Entwurf 1.6. Einführung in die Zahlentheorie. Peter Hellekalek. Skriptum. 3. August 2006

Peter Hellekalek Einführung in die Zahlentheorie Skriptum 3. August 2006

Inhaltsverzeichnis 1 Teilbarkeit................................................ 1 1.1 Grundlagen............................................ 1 1.2 Division mit Rest....................................... 2 1.3 Größter gemeinsamer Teiler.............................. 4 1.4 Euklidischer Algorithmus................................ 9 1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie....................... 13 1.6 Primzahlen............................................ 21 2 Zahlentheoretische Funktionen............................ 35 2.1 Das größte Ganze...................................... 35 2.2 Multiplikative Funktionen............................... 36 2.3 Die Möbiussche µ-funktion.............................. 37 2.4 Die Eulersche ϕ-funktion................................ 40 3 Kongruenzen............................................. 45 3.1 Grundlegende Definitionen............................... 45 3.1.1 Ausflug in die Ringtheorie......................... 50 3.2 Lineare Kongruenzen und der chinesische Restsatz.......... 67 3.3 Die Sätze von Fermat und Euler.......................... 73 3.3.1 Ausflug in die Kryptographie...................... 76 3.3.2 Das RSA-Verfahren............................... 83 3.4 Algebraische Kongruenzen und ein Satz von Lagrange....... 86 3.5 Untergruppen und der Satz von Lagrange................. 89 3.6 Zyklische Gruppen...................................... 91 3.7 Die Struktur der primen Restklassengruppe................ 95

VI Inhaltsverzeichnis 4 Diophantische Approximation............................ 99 4.1 Die b-adische Entwicklung natürlicher Zahlen.............. 101 4.1.1 Primzahlen mit vorgegebener Stellenanzahl.......... 103 4.2 Die b-adische Entwicklung reeller Zahlen................... 106 4.2.1 Die Cantormenge C.............................. 110 4.3 Kettenbrüche.......................................... 112 Literatur..................................................... 121

1 Teilbarkeit 1.1 Grundlagen Wir verwenden folgende Bezeichnungen: N = {1, 2, 3,... } Z = {..., 1, 0, 1,... } { } p Q = q : p Z, q N R = {?} C = {a + ib : a, b R} Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Menge der komplexen Zahlen Die Eigenschaften von N werden in dieser Vorlesung nicht hinterfragt. Grundlage des Rechnens mit natürlichen Zahlen bilden die Peano-Axiome. Das Fragezeichen bei den reellen Zahlen steht zu Recht. Es ist nicht einfach, die reellen Zahlen präzise einzuführen. Die Klärung dieser Frage ist nicht Gegenstand der Zahlentheorie. Bemerkung 1.1 (Peano-Axiome) Für Details wird auf das Buch von Forster[10] verwiesen. Unter den natürlichen Zahlen verstehen wir eine Menge N mit einem ausgezeichneten Element 1 N und einer Abbildung ν : N N, Nachfolgefunktion genannt, so daß folgende Axiome gelten: 1. ν ist injektiv 2. ν(n) = N \ {1} 3. Axiom der vollständigen Induktion: Sei M N mit 1 M und x M ν(x) M, dann gilt M = N. Für natürliche Zahlen x und y mit ν(x) = y sagen wir, y ist der Nachfolger von x und x der Vorgänger von y. Bemerkung 1.2 Es gilt dann (erstaunlicherweise, bei so wenigen Axiomen!)

2 1 Teilbarkeit 1. Das Element 1 hat keinen Vorgänger. 2. Die natürlichen Zahlen sind angeordnet, d.h. für beliebige x, y N gilt genau eine der folgenden Beziehungen: x < y x = y x > y wobei x < y folgendermaßen definiert ist: t N : x + t = y 3. Es folgen noch weitere Eigenschaften von N aus den Peano-Axiomen, unter anderem lassen sich Addition und Multiplikation in N erklären: Addition: n + ν(x) := ν(n + x) Multiplikation: n + 1 := ν(n) n ν(x) := n x + n n 1 := n Satz 1.3 (Wohlordnungsprinzip) Sei M eine nichtleere Teilmenge von N. Dann besitzt M ein kleinstes Element. 1.2 Division mit Rest Definition 1.4 (Teiler, Primzahl, zusammengesetzte Zahl) Seien a, b, c Z. 1. Eine von Null verschiedene Zahl b teilt a (in Kurzschreibweise: b a), wenn eine Zahl c existiert, sodaß a = b c ist. Man sagt, b ist ein Teiler von a und a ein Vielfaches von b. b a : c mit a = b c 2. Die Zahl b heißt ein echter Teiler von a, wenn b a und 1 < b < a. 3. Eine natürliche Zahl p > 1 heißt eine Primzahl, wenn 1 und p die einzigen natürlichen Zahlen sind, die p teilen. 4. Das Produkt zweier ganzer Zahlen, die dem Betrage nach größer als 1 sind, heißt eine zusammengesetzte Zahl. Beispiel 1.5 Es gilt 1. Die Zahl 2 20996011 1 ist prim. (Frage: Wie kommt man auf so ein Resultat?)

2. Die Zahl 2 220996011 1 ist nicht prim. (Gleiche Frage) 3. Die Zahl 101001000100001000001 ist zusammengesetzt. (Warum?) 4. Die folgende Zahl 1.2 Division mit Rest 3 12301866845301177551304949583849627207728535695953 34792197322452151726400507263657518745202199786469 38995647494277406384592519255732630345373154826850 79170261221429134616704292143116022212404792747377 94080665351419597459856902143413 ist angeblich zusammengesetzt und soll nur zwei Primfaktoren besitzen. Wie lauten diese? Die Antwort ist zur Zeit noch USD 50.000,- wert, siehe den Link www.rsasecurity.com/rsalabs/challenges/factoring/numbers.html Definition 1.6 Sei α R, dann bezeichnet [α] := max{g Z : g α} das größte Ganze von α. In der Informatik verwendet man in diesem Zusammenhang die Funktionen floor und ceiling: Bemerkung 1.7 α := max{g Z : g α} α := min{h Z : α h} α R : [α] α < [α] + 1 Der folgende Satz ist einfach zu beweisen, jedoch von großer Bedeutung für die Arithmetik ganzer Zahlen. Satz 1.8 (Division mit Rest) Für a Z und b N gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r mit a = q b + r, 0 r < b. Beweis. Zur Existenz von q und r: 0 a [ a ] [ a ] b < 1 0 a b < b. b b Wir wählen q = [a/b] und r = a [a/b] b. Damit ist die Existenz der gewünschten Darstellung gezeigt.

4 1 Teilbarkeit Zur Eindeutigkeit von q und r: Seien zwei Zahlenpaare q, r und q, r gegeben, die jeweils die oben genannten Eigenschaften besitzen. Dann gilt Es folgt unmittelbar: a = bq + r = bq + r. b(q q ) = r r. Es gilt also: b teilt die Differenz r r. Da aber r r < b gilt (wegen 0 r < b und 0 r < b), erhalten wir die Gleichheit r = r. Es folgt q = q und damit die Eindeutigkeit der Darstellung. Satz 1.9 (Division mit absolut kleinstem Rest) Für a Z und b N gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen q und r, sodaß a = q b + r und b/2 r < b/2 gilt. Beweis. Übungsaufgabe 1.3 Größter gemeinsamer Teiler Definition 1.10 (Größter gemeinsamer Teiler) Seien a und b zwei von Null verschiedene ganze Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl d ein größter gemeinsamer Teiler (ggt) von a und b, wenn gilt: 1. d ist gemeinsamer Teiler von a und b, also d a und d b. 2. Jeder andere gemeinsame Teiler von a und b teilt d. (In Symbolen: e a e b e d) Frage 1.11 1. Gibt es überhaupt eine solche Zahl (a, b)? 2. Wenn ja, ist diese eindeutig bestimmt? Bemerkung 1.12 Wenn ein größter gemeinsamer Teiler von a und b existiert, dann ist er eindeutig bestimmt. Denn: Seien d und d zwei größte gemeinsame Teiler von a und b. Dann gilt d a und d b. Da d ein größter gemeinsamer Teiler von a und b ist, folgt d d. Auf analoge Weise erhalten wir d d. Da d und d natürliche Zahlen sind, folgt d = d.

1.3 Größter gemeinsamer Teiler 5 Bemerkung 1.13 (Bezeichnung) Wir bezeichnen den größten gemeinsamen Teiler von a und b mit dem Symbol (a, b). Definition 1.14 (Modul) Eine nichtleere Teilmenge M von Z, die bezüglich Addition und Subtraktion abgeschlossen ist, heißt ein Modul in Z. Die Menge {0} heißt Nullmodul. Bemerkung 1.15 Wir merken an: 1. Ein Modul in Z ist also eine Untergruppe der additiven Gruppe (Z, +). 2. Das Element 0 ist in jedem Modul enthalten. 3. Für a, b Z sind und insbesondere Moduln. {ma + nb : m, n Z} {ma : m Z} 4. Ist M ein Modul und gilt a, b M, dann folgt ma+nb M für beliebige ganze Zahlen m und n. Proposition 1.16 Zu jedem Modul M {0} existiert eine eindeutig bestimmte Zahl d N, sodaß M = {kd : k Z}. Beweis. Existenz von d: Sei d = min{g N : g M}. Für ein beliebiges Element n M gilt dann nach Satz 1.8 (Division mit Rest): es gibt ganze Zahlen q und r mit n = qd + r und 0 r < d. Da M ein Modul ist, liegt qd und damit auch die Differenz n qd = r in M. Wäre r 1, so stünde dies im Widerspruch zur Minimalität von d (wegen r < d). Somit ist r = 0. Es folgt M = {kd : k Z}. Eindeutigkeit: Seien d und e zwei natürliche Zahlen mit der Eigenschaft, daß beide den gleichen Modul M erzeugen, M = {kd : k Z} = {je : j Z}. Dann gilt d = min{g N : g M} = min{je : j N} = e. Korollar 1.17 Zu je zwei ganzen Zahlen a und b, die nicht beide gleich Null sind, existiert ein größter gemeinsamer Teiler (a, b). Wie wir bereits wissen, ist (a, b) dann eindeutig bestimmt.

6 1 Teilbarkeit Beweis. Zu M = {ma + nb : m, n Z} {0} gibt es laut vorangegangener Proposition eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl d, sodaß M = {kd : k Z}. Da a und b selbst in M liegen, gibt es ganze Zahlen s und t mit a = sd und b = td. Folglich ist d ein gemeinsamer Teiler von a und b. Sei nun e N ein weiterer gemeinsamer Teiler von a und b. Dann gilt e ma + nb für alle m, n Z und daher e d. Daraus folgt d = (a, b). Bemerkung 1.18 (Zusammenfassung zum ggt) Für den größten gemeinsamen Teiler (a, b) gilt: 1. Teilt e zwei Zahlen a und b, dann teilt e auch (a, b). 2. Für beliebige m, n Z gilt: (a, b) ma + nb. 3. Es gibt m 0, n 0 Z, sodaß (a, b) = m 0 a + n 0 b. 4. Dividiert man zwei Zahlen a und b durch ihren ggt, so gilt für die daraus resultierenden Quotienten a := a/(a, b) und b := b/(a, b) die Aussage (a, b ) = 1. Definition 1.19 (Relativ prim, teilerfremd) Zwei Zahlen heißen teilerfremd oder relativ prim, wenn ihr größter gemeinsamer Teiler gleich Eins ist. Definition 1.20 (Lineare diophantische Gleichung) Unter einer linearen diophantischen Gleichung in zwei Variablen verstehen wir eine Gleichung der Form ax + by = c mit gegebenen ganzen Zahlen a, b und c. Proposition 1.21 (Lösbarkeitsbedingung) Die lineare diophantische Gleichung ax + by = c mit Parametern a, b, c Z besitzt genau dann eine ganzzahlige Lösung, wenn die folgende Lösbarkeitsbedingung erfüllt ist: (a, b) c. Beweis. Wenn eine der beiden Zahlen a oder b (oder beide) gleich Null sein sollte, dann ist die Gleichung uninteressant. Seien daher beide Zahlen a und b von Null verschieden und sei (x 0, y 0 ) eine ganzzahlige Lösung der diophantischen Gleichung. Wegen (a, b) ax 0 + by 0 gilt (a, b) c. Sei umgekehrt (a, b) c vorausgesetzt. Es gibt also g Z mit c = g (a, b). Wir wissen, daß sich (a, b) für geeignete m 0, n 0 Z schreiben läßt als

(a, b) = m 0 a + n 0 b. 1.3 Größter gemeinsamer Teiler 7 Wir multiplizieren in dieser Gleichung beide Seiten mit g. Damit haben wir mit (gm 0, gn 0 ) eine ganzzahlige Lösung der linearen diophantischen Gleichung gefunden: c = g (a, b) = (gm 0 ) a + (gn 0 ) b Wir wissen nun, wann eine lineare diophantische Gleichung lösbar ist. Wie in der linearen Algebra reicht es aus, eine partikuläre Lösung zu kennen, um alle Lösungen zu berechnen: Proposition 1.22 Sei (a, b) = 1 und sei (x 0, y 0 ) eine ganzzahlige Lösung von ax + by = c. Dann hat jede Lösung dieser Gleichung die Gestalt (x 0 tb, y 0 + ta), mit t Z. Beweis. Wir subtrahieren die beiden Gleichungen: } ax 0 + by 0 = c a(x ax + by = c 0 x) = b(y y 0 ) Da a und b teilerfremd sind, muß a y y 0 gelten und es gibt ein t Z mit y = y 0 + ta. Der Teil für die x-koordinate der Lösung verläuft analog. Bemerkung 1.23 Wie lösen wir eine diophantische Gleichung der Gestalt Die Schritte sind wie folgt: ax + by = c? (1.1) 1. Wir überprüfen die Lösbarkeitsbedingung (a, b) c. 2. Wir betrachten die gekürzte Gleichung, in der durch (a, b) dividiert wurde: a x + b y = c, (1.2) wobei a = a/(a, b), b = b/(a, b), c = c/(a, b) und damit (a, b ) = 1. 3. Bemerkung. Jede Lösung (x, y) dieser Gleichung ist eine Lösung der ursprünglichen Gleichung (1.1) und umgekehrt. 4. Wenn wir eine Lösung (m 0, n 0 ) der Gleichung a x + b y = 1 (1.3)

8 1 Teilbarkeit finden können, so erhalten wir durch Multiplikation mit c sofort eine Lösung (x 0, y 0 ) = (m 0 c, n 0 c ) der gekürzten Gleichung (1.2). Nach Proposition 1.22 können wir damit die Gesamtheit aller Lösungen der Gleichung (1.2) angeben: Damit ist die Aufgabe gelöst. x = x 0 t b y = y 0 + t a (t R). Frage 1.24 Wir wissen bereits von der Diskussion des größten gemeinsamen Teilers her, daß wegen (a, b ) = 1 zwei ganze Zahlen m 0 und n 0 existieren mit a m 0 + b n 0 = (a, b ) = 1. Wie finden wir solche Zahlen m 0, n 0? Antwort: Mit Hilfes des Euklidischen Algorithmus (siehe Kapitel 1.4). Definition 1.25 Seien a 1, a 2,..., a n ganze, von Null verschiedener Zahlen. Unter dem größten gemeinsamen Teiler von a 1, a 2,..., a n verstehen wir die folgende rekursiv definierte natürliche Zahl (a 1, a 2,...,a n ) := ((a 1, a 2,..., a n 1 ), a n ). Wir nennen a 1, a 2,...,a n relativ prim oder teilerfremd, falls (a 1, a 2,..., a n ) = 1. Bemerkung 1.26 Analog zum Fall des größten gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen kann man zeigen: 1. Es gibt Zahlen m 1,...,m n Z, sodaß sich der größte gemeinsame Teiler als Linearkombination schreiben läßt: (a 1,..., a n ) = m 1 a 1 + + m n a n. 2. Die lineare diophantische Gleichung in n Variablen a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = c ist lösbar genau dann, wenn die Bedingung (a 1,..., a n ) c erfüllt ist.

1.4 Euklidischer Algorithmus 1.4 Euklidischer Algorithmus 9 Die Berechnung des größen gemeinsamen Teilers zweier ganzer Zahlen a und b sowie seine Darstellung als ganzzahlige Linearkombination war für die Berechnung einer einzelnen Lösung (und damit der Gesamtheit aller Lösungen) der linearen diophantischen Gleichung wichtig. Es stellen sich also zwei Fragen: Frage 1.27 1. Wie finden wir (a, b) (möglichst effizient)? 2. Für welche m 0, n 0 gilt die Darstellung (a, b) = m 0 a + n 0 b? Die Antwort auf diese beiden Fragen ist mehr als zweitausend Jahre alt und bis heute, selbst für die Supercomputer der NSA (siehe www.nsa.gov) aktuell. Satz 1.28 (Euklidischer Algorithmus) Seien a und b zwei natürliche Zahlen mit a b. Dann gilt: 1. Die durch den folgenden Algorithmus festgelegten Zahlen q i und r i sind eindeutig bestimmt. 2. Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. 3. Der letzte nicht verschwindende Rest r k ist der größte gemeinsame Teiler von a und b. Algorithmus: r 0 = a r 1 = b a = q 2 b + r 2 0 < r 2 < b b = q 3 r 2 + r 3 0 < r 3 < r 2 r 2 = q 4 r 3 + r 4 0 < r 4 < r 3. r k 2 = q k r k 1 + r k 0 < r k < r k 1 r k 1 = q k+1 r k r k+1 = 0 Beweis. Wir wenden die Division mit Rest (siehe Satz 1.8) schrittweise an. Damit ist die Existenz und Eindeutigkeit der Zahlen q i und r i gezeigt. Offen ist noch, warum der Euklidische Algorithmus nach endlich vielen Schritten abbricht. Dies liegt an der Beziehung der Reste r i zueinander. Wir fügen die Ungleichungen zusammen und sehen, daß gilt:.

10 1 Teilbarkeit b = r 1 > r 2 > r 3 > > 0. Es gibt nur endlich viele solcher Zahlen r i zwischen 0 und b. Daher gilt nach endlich vielen Schritten, daß r k+1 = 0 gelten muß. Sei r k der letzte nicht verschwindende Rest, das heißt es gilt r k > 0 und r k+1 = 0. Wir erhalten aus dem Euklidischen Algorithmus schrittweise folgende Teilbarkeitsaussagen: r k 1 = q k+1 r k r k r k 1 r k r k 2.. r k b r k a r k (a, b) Wir schließen nun in der anderen Richtung: } (a, b) a (a, b) r (a, b) b 0 Insgesamt folgt r k = (a, b). (a, b) r 1. (a, b) r k Bemerkung 1.29 Der Euklidische Algorithmus besitzt viele Anwendungen. Besonders wichtig ist er zum Beispiel in Zusammenhang mit Faktorisierungsalgorithmen. Weitere Hinweise: 1. Zur Definition des Euklidischen Algorithmus können wir auch die Division mit absolut kleinstem Rest verwenden. Damit erhöht sich die Effizienz des Algorithmus. 2. Implementationen und genauere Informationen zur Komplexität des Euklidischen Algorithmus finden sich in Bressoud [3], Forster[10] und in der Monographie von Bach und Shallit[2]. Beispiel 1.30 1. Finde (6172530,6279) und bestimme m 0, n 0.

6172530 = 983 6279 + 273 6279 = 23 273 1.4 Euklidischer Algorithmus 11 273 ist der letzte nicht verschwindende Rest und damit der größte gemeinsame Teiler von 6172530 und 6279. Als Linearkombination ergibt sich aus obiger Berechnung: 273 = 1 6172530 + ( 983) 6279 2. Finde (111,39) und bestimme m 0, n 0. 111 = 2 39 + 33 39 = 1 33 + 6 33 = 5 6 + 3 6 = 2 3 Damit ist (111, 39) = 3. Für die Bestimmung von m 0 und n 0 scheint eine etwas länglichere Rückeinsetzung leider unumgänglich: 3 = 33 5 6 = = 33 5 (39 33) = = ( 5) 39 + 6 33 = = ( 5) 39 + 6 (111 2 39) = = 6 111 + ( 17) 39 Es ist jedoch eine Variante des Euklidischen Algorithmus bekannt, bei der die Rückeinsetzung entfällt, der sogenannte erweiterte Euklidische Algorithmus. Satz 1.31 (Erweiterter Euklidischer Algorithmus) Seien a und b zwei natürliche Zahlen mit a b. Dann gilt: 1. Die durch den folgenden Algorithmus festgelegten Zahlen q i, r i, m i und n i sind eindeutig bestimmt. 2. Der Algorithmus bricht nach endlich vielen Schritten ab. 3. Für den letzten nicht verschwindenden Rest r k gilt r k = (a, b) = m k a + n k b. Algorithmus: Die Startwerte des Algorithmus sind wie folgt definiert: r 0 = a m 0 = 1 n 0 = 0 r 1 = b m 1 = 0 n 1 = 1

12 1 Teilbarkeit Die weiteren Zahlen q i (k 2) und r i sind wie in Satz 1.28 definiert. Die Zahlen m i und n i sind wie folgt definiert: r i = r i 2 q i r i 1, wobei q i = [ r i 2 ] r i 1 m i = m i 2 q i m i 1, n i = n i 2 q i n i 1. Beweis. Es ist nur die Behauptung r k = m k a + n k b für den letzten nicht verschwindenden Rest r k zu zeigen. Wir führen den Nachweis mittels Induktion nach i. Induktionsanfang i = 0 r 0 = m 0 a + n 0 b = a. i = 1 r 1 = m 1 a + n 1 b = b. Induktionsschritt Sei die Behauptung für alle j < i richtig. Dann gilt r i = r i 2 q i r i 1 = (m i 2 a + n i 2 b) q i (m i 1 a + n i 1 b) = (m i 2 q i m i 1 )a + (n i 2 q i n i 1 )b = m i a + n i b. Bemerkung 1.32 Aus dem Euklidischen Algorithmus gewinnen wir eine wichtige Darstellung der rationalen Zahl a/b: a b = q 2 + r 2 b = = q 2 + 1 = b/r 2 1 = q 2 + q 3 + 1 = r 2 /r 3 1 = q 2 + 1 q 3 + q 4 + 1 r 3 /r 4

1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 13 Nach fortgesetzter Anwendung dieses Verfahrens erhalten wir: a b = q 2 + q 3 + 1 1 q 4 +... 1 q k+1 Diese Darstellung als eine Kette von Brüchen heißt eine Kettenbruchentwicklung von a/b. Wir werden auf die Bedeutung der Kettenbruchentwick- lung für die Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen in Kapitel 4 näher eingehen. Wir werden dort folgende Fragen beantworten: Frage 1.33 1. Für welche reelle Zahlen existiert eine solche Kettenbruchentwicklung? 2. Ist diese Entwicklung im Fall der Existenz auch schon eindeutig bestimmt? 3. Welche Eigenschaften einer rationalen oder reellen Zahl lassen sich aus der Kettenbruchentwicklung ablesen? 1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie Satz 1.34 (Satz von Euklid) Wenn eine Primzahl das Produkt ab zweier ganzer Zahlen a und b teilt, dann teilt sie mindestens einen der Faktoren. Beweis. Sei ab 0 und sei p eine Primzahl mit p ab und p a. Dann sind p und a teilerfremd, (p, a) = 1. Daher existieren ganze Zahlen m 0 und n 0, für die gilt: 1 = m 0 p + n 0 a. Durch Multiplikation mit b erhalten wir b = m 0 bp + n 0 ab. Da p die rechte Seite dieser Gleichung teilt, muß p auch die linke Seite der Gleichung teilen. Damit gilt p b. Bemerkung 1.35 Dieses unscheinbare Resultat von Euklid wird uns von großem Nutzen sein, wenn wir den Begriff der Primzahl vom Ring Z der ganzen Zahlen auf einen beliebigen Integritätsbereich übertragen wollen. Die Schlüsselwörter bei dieser Verallgemeinerung von Konzepten wie Teilbarkeit, Primzahl und Primfaktorzerlegung heißen Primelement und irreduzibles Element (siehe die Vorlesung über Algebraische Strukturen, Skriptum unter http://random.mat.sbg.ac.at/~peter/students ).

14 1 Teilbarkeit Bemerkung 1.36 Sei c N und (a, b) = d. Dann gilt (ac, bc) = dc. Beweis. Es gibt ganze Zahlen m 0 und n 0 mit d = m 0 a + n 0 b. Wir multiplizieren mit c und erhalten dc = m 0 (ac) + n 0 (bc) Also gilt (ac, bc) dc. Umgekehrt haben wir dc ac und dc bc (wegen d a und d b), folglich gilt dc (ac, bc). Satz 1.37 (Fundamentalsatz der Zahlentheorie) Sei n eine natürliche Zahl ungleich Eins. Dann gilt: 1. Es existieren paarweise verschiedene Primzahlen p 1, p 2,...,p s und Exponenten α 1, α 2,...,α s N mit der Eigenschaft n = s p αi i. i=1 2. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Beweis. Existenz der Darstellung. Für den Fall n prim gibt es nichts zu zeigen, sei daher n eine zusammengesetzte Zahl. Dann besitzt n einen kleinsten positiven echten Teiler q 1. Dieser ist prim, denn ein echter Teiler von q 1 wäre auch ein echter Teiler von n und noch dazu kleiner als q 1. Dies wäre ein Widerspruch zur Minimalität von q 1. Es folgt n = q 1 n 1, mit q 1 prim. Falls n 1 prim ist, sind wir fertig. Andernfalls existiert ein kleinster positiver echter Teiler q 2 von n 1. Die Zahl q 2 ist prim, auf Grund desselben Arguments wie für q 1. Es gilt n = q 1 q 2 n 2. Wenn wir dieses Verfahren fortsetzen, dann erhalten wir nach k Schritten n = q 1 q 2 q k n k, wobei die Zahlen q i prim sind und 1 < n k < n k 1 < < n 1 < n gilt. Aus dieser Kette von Ungleichungen folgt, daß das Verfahren nach höchstens n 2 Schritten beendet ist. Damit gilt: n = q 1 q 2 q t,

1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 15 wo die q i zwar prim, aber nicht notwendigerweise verschieden sind. Indem wir gleiche Faktoren q i zusammenfassen, kommen wir auf die Darstellung n = s p αi i, i=1 wobei die p i Primzahlen sind mit p i p j für verschiedene Indizes i und j. Eindeutigkeit der Darstellung Wir führen den Nachweis mittels Induktion nach n. Induktionsanfang Für n = 2 ist die Behauptung trivialerweise erfüllt. Induktionsvoraussetzung Die Behauptung gelte für alle k < n. Induktionsschritt Sei n = p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q r mit Primzahlen p i und q j. Aus p 1 q 1 q r folgt mit Hilfe von Satz 1.34 (Satz von Euklid): p 1 q 1 oder p 1 q 2 q r. Trifft letzteres zu, so bedeutet dies, daß p 1 q 2 oder p 1 q 3 q r usw. Daher gilt p 1 q t für irgendein t. Da beides Primzahlen sind, muß p 1 = q t sein. Sei o.b.d.a. t = 1, also p 1 = q 1 (was durch Umnummerierung der q j leicht zu erreichen ist). Wir erhalten p 2 p s = q 2 q r < n. Mithilfe der Induktionsvoraussetzung folgt r = s und bis auf die Reihenfolge der Faktoren stehen links und rechts dieselben Primzahlen gleich oft. Definition 1.38 (Primfaktorzerlegung) Sei n eine von Eins verschiedene natürliche Zahl. Die in Satz 1.37 angegebene Darstellung s n = p αi i p i prim, α i N, i=1 heißt die Primfaktorzerlegung von n. Es ist in dieser Darstellung üblich, die Primzahlen aufsteigend geordnet anzuschreiben, also p 1 < p 2 < < p s zu wählen. Bemerkung 1.39 Für einige Anwendungen des Hauptsatzes der Zahlentheorie ist es praktisch, die folgende Form der Primfaktorzerlegung zu verwenden: n = p αi i i=1

16 1 Teilbarkeit Dabei sind die Exponenten α i nichtnegative ganze Zahlen und p i bezeichnet die i-te Primzahl, also p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, usw. Bemerkung 1.40 (Fundamentalproblem der Arithmetik) Für große Zahlen n ist es extrem rechenaufwändig, die Primfaktorzerlegung von n zu finden. Groß bedeutet hier ab etwa 150 Dezimalstellen. Auf genau dieser Schwierigkeit, große natürliche Zahlen zu faktorisieren, beruht die Hypothese der Sicherheit wichtiger kryptographischer Verfahren wie RSA (siehe Kapitel 3). Literaturempfehlungen zu diesem Thema sind Ertl[8], Buchmann[4] und Stinson[21]. Die mathematischen Stichwörter zu Faktorisierungsalgorithmen lauten Pollard-Rho, Zahlenkörpersieb und ECM (Elliptic Curve Method), siehe Bressoud[3], Forster[11] und Riesel[18]. Proposition 1.41 Für p prim ist p irrational. Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis. Sei p rational, p = a/b, mit a und b aus N. Es folgt p = a 2 /b 2 und daraus die Gleichung p b 2 = a 2. Dies ergibt einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung: Auf der linken Seite der Gleichung steht eine ungerade Anzahl und auf der rechten eine gerade Anzahl an Primfaktoren. Definition 1.42 (Quadratfreie Zahlen) Eine ganze Zahl b heißt quadratfrei, wenn für alle natürlichen Zahlen a 1 gilt, daß a 2 kein Teiler von b ist, also a 2 b. Beispiel 1.43 1. 18 ist nicht quadratfrei, denn 3 2 18. 2. 32 ist nicht quadratfrei, denn 2 2 32. 3. 30 ist quadratfrei, denn 30 = 2 3 5. 4. 154 ist quadratfrei, denn 154 = 2 7 11. Proposition 1.44 Die Quadratwurzel einer quadratfreien Zahl größer als Eins ist irrational. Beweis. Analog zu Proposition 1.41. Bemerkung 1.45 Für zwei ganze Zahlen a und b mit Primfaktorzerlegungen a = i N pαi i und b = i N pβi i, wobei α i, β i 0, ist der größte gemeinsame Teiler (a, b) bestimmt durch (a, b) = i N p min{αi,βi} i.

1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 17 Beweis. Sei d := i N pmin{αi,βi} i. Dann teilt d sowohl a als auch b und damit auch (a, b). Wegen (a, b) a und (a, b) b gilt (a, b) = i N pγi i mit γ i min{α i, β i }. Daraus folgt, daß (a, b) ein Teiler von d ist. Definition 1.46 Seien a und b natürliche Zahlen. Ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist eine ganze Zahl, die sowohl durch a als auch durch b teilbar ist. Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgv) von a und b verstehen wir die kleinste natürliche Zahl, die ein gemeinsames Vielfaches von a und b ist. Wir bezeichnen diese Zahl mit dem Symbol [a, b]. Bemerkung 1.47 Für zwei ganze Zahlen a und b mit den Primfaktorzerlegungen a = i N pαi i und b = i N pβi i, wobei α i, β i 0, ist die Zahl [a, b] bestimmt durch [a, b] = p max{αi,βi} i=1 i. Beweis. Trivial: Analog zur entsprechenden Identität für (a, b). Bemerkung 1.48 Für a, b N gilt die Beziehung Beweis. Trivial. a b = (a, b) [a, b]. Definition 1.49 (Teilersumme) Für natürliche n ist σ(n) definiert als die Summe der positiven Teiler von n. Beispiel 1.50 1. σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7 2. σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 3. σ(12) = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 Bemerkung 1.51 Für die Funktion σ gilt σ(n) = 1 + n genau dann, wenn n prim ist. Proposition 1.52 Sei n = s 1. Es gilt die Identität i=1 pαi σ(n) = i die Primfaktorzerlegung von n. s i=1 p αi+1 i 1 p i 1.

18 1 Teilbarkeit 2. Für teilerfremde Zahlen m und n gilt σ(mn) = σ(m) σ(n). Diese Eigenschaft nennt man die Multiplikativität der Funktion σ, siehe Kapitel 2. Beweis. Zur ersten Behauptung: Sei n = s i=1 pαi i mit α i N. Jeder Teiler d von n hat die Form d = s mit δ i {0, 1,..., α i }. Die Zuordnung d (δ 1, δ 2,..., δ s ) ist bijektiv. Somit gilt: σ(n) = α 1 d = d n = α 2 α s p δ1 1 pδ2 2... pδs s = δ 1=0 δ 2=0 δ s=0 ( α1 ) ( α2 ) ( αs p δ1 1 p δ2 2 p δs s δ 1=0 δ 2=0 δ s=0 1 1 p 1 1 = pα1+1 2 1 pαs+1 s 1 p 2 1 p s 1. pα2+1 Die zweite Behauptung folgt direkt aus der ersten. Definition 1.53 (Vollkommene Zahlen) Eine natürliche Zahl n heißt vollkommen, wenn σ(n) = 2n. i=1 pδi i, Beispiel 1.54 Die folgenden vollkommenen Zahlen sind jeweils von der Form 2 n 1 (2 n 1), wobei 2 n 1 prim ist. Sie waren bereits vor Christi Geburt bekannt. 6 = 2 3 496 = 16 31 28 = 4 7 8128 = 64 127 Definition 1.55 (Mersennesche Primzahlen) Eine Primzahl der Form 2 n 1 heißt eine Mersennesche Primzahl. Proposition 1.56 Ist 2 n 1 eine Mersennesche Primzahl, dann folgt n prim. Beweis. Wir führen einen indirekten Beweis. Sei n zusammengesetzt, n = k l. Dann gilt 2 n 1 = ( 2 k 1 ) ( (2 k ) l 1 ( + 2 k ) ) l 2 + + 1 Wegen k > 1 gilt 2 k 1 > 1. Damit ist die Zahl 2 k 1 ein echter Teiler von 2 n 1. Proposition 1.57 Ist a n 1 eine Primzahl, dann folgt daraus a = 2 und n prim. ) =

1.5 Fundamentalsatz der Zahlentheorie 19 Beweis. Für a > 2 ist a n 1 = (a 1) (a n 1 + a n 2 + + 1 ), also zusammengesetzt. Es bleibt daher nur der Fall a = 2 zu behandeln. Dies ist aber in der vorhergehenden Bemerkung geschehen. Es existieren umfangreiche Tabellen von Mersenneschen Primzahlen. Zum Beispiel ist M p := 2 p 1 prim für p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89,107, 127,..., 19937,..., 44497,..., 3021377,...? Es ist möglich, sich an der Suche nach Mersenneschen Primzahlen zu beteiligen, siehe die Webseite http://www.utm.edu/research/primes. Auf dieser interessanten Seite finden Sie die aktuellen Resultate zu Mersenneschen Primzahlen (und vieles mehr). Frage 1.58 In Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen sind einige Fragen ungelöst. 1. Gibt es unendlich viele gerade vollkommene Zahlen? 2. Gibt es ungerade vollkommene Zahlen? Die Suche nach geraden vollkommenen Zahlen läßt sich auf die Suche nach Mersenneschen Primzahlen zurückführen, wie wir gleich zeigen werden. Das erste Resultat des folgenden Satzes wurde bereits von Euklid erwähnt, der zweite Teil stammt von Euler. Satz 1.59 Es gilt 1. Für 2 n 1 prim ist 2 n 1 (2 n 1) eine vollkommene Zahl. 2. Jede gerade vollkommene Zahl ist von dieser Form. Beweis. Sei m := 2 n 1 (2 n 1) mit 2 n 1 prim. Dann gilt σ(m) = σ ( 2 n 1 (2 n 1) ) = σ ( 2 n 1) σ (2 n 1) = = 2n 1 2 1 2n = 2 ( 2 n 1 (2 n 1) ) = 2m. Sei a eine gerade vollkommene Zahl, d.h. a = 2 n 1 b mit n 2 und b ungerade. Es ist σ(a) = σ ( 2 n 1) σ(b) = (2 n 1) σ(b). Wegen der Vollkommenheit gilt σ(a) = 2a = 2 2 n 1 b. Wir setzen diese beiden Resultate gleich und erhalten σ(b) = 2n 2 n 1 b = b + b 2 n 1. Daraus folgt nun, daß b/(2 n 1) = 1 sein muß. Aus der Beziehung σ(b) = b+1 folgt, daß b = 2 n 1 eine Primzahl ist.

20 1 Teilbarkeit Bemerkung 1.60 Nach Satz 1.59 wird die Suche nach geraden vollkommenen Zahlen auf die Suche nach Mersenneschen Primzahlen zurückgeführt. Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Mersennesche Primzahlen gibt. Zu ungeraden vollkommenen Zahlen wissen wir nicht, ob es überhaupt solche Zahlen gibt, aber falls n eine ungerade und vollkommene Zahl ist, dann muß n > 10 300 gelten. Weiters muß n mindestens acht verschiedene Primfaktoren besitzen.

1.6 Primzahlen Ein berühmter, mehr als 2000 Jahre alter Satz ist der folgende: Satz 1.61 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. 1.6 Primzahlen 21 Beweis. Angenommen, wir kennen bereits n Primzahlen p 1, p 2,..., p n. Wir setzen p := p 1 p 2 p n +1. Dann ist p entweder eine Primzahl oder besitzt zumindest einen Primteiler q, 1 < q < p, letzteres nach dem Fundamentalsatz. Im ersten Fall (d.h. p prim) haben wir zu unseren n Primzahlen eine neue gefunden, denn p p i für 1 i n. Im Fall, dass p zusammengesetzt ist, gilt für den Primteiler q, dass er nicht in der Liste p 1, p 2,...,p n vorkommen kann, denn sonst gilt n q p p i = 1. i=1 Dies ist ein Widerspruch zu q prim. Daher haben wir zu n gegebenen Primzahlen eine neue Primzahl gefunden. Frage 1.62 Wie finden wir Primzahlen (systematisch)? Proposition 1.63 Ist die natürliche Zahl n zusammengesetzt, dann gibt es eine Primzahl, die n teilt und kleiner oder gleich n ist. Beweis. Sei n zusammengesetzt. Dann gibt es natürliche Zahlen a und b mit n = a b. Wie sich (mittels indirektem Beweis) leicht zeigen läßt, muß a n oder b n gelten. Bemerkung 1.64 (Sieb des Eratosthenes) Sei eine positive reelle Zahl x gegeben. Wir finden alle Primzahlen kleiner oder gleich x mittels der folgenden Siebmethode: 1. Wir schreiben nacheinander alle natürlichen Zahlen kleiner oder gleich x an, beginnend mit 2. 2. Wir streichen der Reihe nach die Vielfachen jeder Zahl, die kleiner oder gleich x ist und noch nicht selbst gestrichen wurde. Die erste solche Zahl ist 2, gefolgt von 3, dann 5 (weil 4 als Vielfaches von 2 schon gestrichen wurde) usw. 3. Die verbleibenden, nicht gestrichenen Zahlen sind genau die Primzahlen kleiner oder gleich x. Beispiel 1.65 Für x = 300 ist x = 17, 32..., also streichen wir alle Vielfachen der Zahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Proposition 1.66 Sei p n die n-te Primzahl, dann ist p n 2 2n.

22 1 Teilbarkeit Beweis. Wir definieren Q := p 1 p n + 1. Dann gilt p i < Q und p i Q, 1 i n. Es folgt daraus, daß die nächste Primzahl p n+1 Q ist. Denn falls Q prim ist, gilt klarerweise p n+1 Q. Andernfalls ist Q zusammengesetzt, also existiert eine Primzahl q mit q Q. Wegen p i Q kann q nicht unter den ersten n Primzahlen sein. Daher gilt p n+1 q < Q. Mittels vollständiger Induktion zeigen wir dann Q 2 2n+1. Im folgenden diskutieren wir einige Eigenschaften der Primzahlen, die ihre Unregelmäßigkeiten aufzeigen. Als Erstes suchen wir eine möglichst einfache Formel, um die Menge der Primzahlen zu erzeugen. Können wir die Primzahlen als Werte eines Polynoms darstellen? Wir betrachten dazu einige Beispiele. Beispiel 1.67 1. p(x) := x 2 + x + 17 Der Wert von p(x) ist für die ersten sechzehn nichtnegativen ganzen Zahlen x = 0, 1, 2,..., 15 stets eine Primzahl. 2. p(x) := x 2 + x + 41 p(0) = 17 p(1) = 19. p(15) = 257 Hier ist der Wert von p(x) sogar für die ersten vierzig nichtnegativen ganzen Zahlen x = 0, 1, 2,..., 39 jeweils eine Primzahl. Die Suche nach einem Polynom in einer Variablen, das alle Primzahlen erzeugt, bleibt aber hoffnungslos: Bemerkung 1.68 Sei p(x) ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und sei p(k) prim für alle nichtnegativen ganzen Zahlen k. Dann ist p(x) ein konstantes Polynom mit p(x) = q für alle x, wo q eine feste Primzahl ist. Beweis. Sei k 0 fest gewählt. Dann gilt für alle ganzen Zahlen t 0 p(k) p(k + tp(k)) p(k). Es folgt p(k) p(k+tp(k)). Da beide Zahlen Primzahlen sind, müssen sie gleich sein, es gilt also

p(k) = p(k + tp(k)), t Z, t 0. Damit ist p(x) aber ein konstantes Polynom. 1.6 Primzahlen 23 Bemerkung 1.69 Wie der russische Mathematiker V. Matijasewitsch (englische Schreibweise: Matiyasevich) 1970 gezeigt hat, gibt es Polynome in mehreren Variablen mit der folgenden Eigenschaft: Setzen wir für die Variablen beliebige nichtnegative ganze Zahlen ein und ergibt sich dafür ein positiver Wert des Polynoms, so ist dieser Wert prim! Erstaunlicherweise gilt sogar, daß wir auf diese Weise alle Primzahlen erhalten können. Definition 1.70 Eine Primzahl der Form 2 2n +1 heißt Fermatsche Primzahl. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Ob ein regelmäßiges n-eck mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann, hängt eng mit Fermatschen Primzahlen zusammen: Satz 1.71 (Gauß) Sei n > 2 eine natürliche Zahl. Das regelmäßige n-eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn gilt: n = 2 m p 1 p 2 p r wo m 0 eine ganze Zahl und p 1, p 2,..., p r paarweise verschiedene Fermatsche Primzahlen sind. Beweis. Siehe zum Beispiel das Lehrbuch von Fischer und Sacher[9, Kap. III]. Bemerkung 1.72 Zu jeder natürlichen Zahl n 3 gibt es eine Primzahl p mit n < p < n!. Beweis. Setze N := n! 1. Sei p prim mit p N, dann ist p < n!. Angenommen, es gilt p n, so ist p ein Teiler von n! und damit auch ein Teiler der Differenz n! N = 1. Dies ist ein Widerspruch. Korollar 1.73 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Eine wesentliche Verschärfung von Bemerkung 1.72 gibt der folgende Satz: Satz 1.74 (Bertrandsches Postulat) Zu jeder natürlichen Zahl n 3 gibt es eine Primzahl p mit n < p < 2n.

24 1 Teilbarkeit Beweis. Das Bertrandsche Postulat wurde von Tschebyscheff bewiesen. Wir verweisen auf entsprechende Literatur, etwa Hua[14, Ch. 5.7] oder Hardy and Wright[12, Ch. 22.3]. Die Lücken zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen können beliebig groß werden: Bemerkung 1.75 Sei n 2 eine natürliche Zahl. Keine der n 1 aufeinanderfolgenden Zahlen n! + 2, n! + 3,..., n! + n ist prim. Beweis. Jedes k mit 2 k n ist ein Teiler von n! + k. Bemerkung 1.76 Wir können Primzahlen zwar nicht als die Werte eines Polynoms in einer Variablen darstellen (siehe Bemerkung 1.68), aber nach Mills (1947) 1 gilt: Es existiert eine reelle Zahl α > 1, sodaß für alle natürlichen Zahlen n gilt: [ α 3n] ist prim. Der folgende Satz von Euler markiert den Beginn eines bedeutenden Teilbereichs der Zahlentheorie, der sogenannten analytischen Zahlentheorie. In diesem Gebiet studiert man zahlentheoretische Fragen mit Methoden der Analysis (siehe dazu die Monographie von Apostol[1]). Satz 1.77 (Euler, 1737) Für jede reelle Zahl x 2 gilt: 1 > log log x 1. p p x Es bezeichnet dabei p x die Summation über alle Primzahlen p x. Beweis. Sei x 2 eine reelle Zahl. P(x) := 1 1 1/p = p x = (1 + 1p + 1p ) 2 +... = p x n wobei n die Summe über alle n N, deren Primfaktoren p alle kleiner oder gleich x sind, und p x das Produkt über alle Primzahlen p x bezeichnet. 1 W.H. Mills, Bull. AMS 53 (1947) 1 n

P(x) > n [x] n [x] n+1 n 1 n = n+1 n [x] n [x]+1 dt t = = log ([x] + 1) > log x. 1 dt n > dt t = Also ist P(x) > log x. Weiters gilt: log P(x) = log (1 + 1p + 1p ) 2 +... p x 1.6 Primzahlen 25 Mit log(1 + t) < t für alle t > 0 folgt: log P(x) < ( 1 p + 1 ) p 2 +... = 1 p + 1 p(p 1) p x p x p x Wir schätzen den zweiten Summanden nach oben ab: 1 p(p 1) < 1 (n + 1)n = ( 1 n 1 ) = 1 n + 1 p x n=1 Daraus folgt letztendlich die Behauptung: n=1 1 > log P(x) 1 > log log x 1 p p x Korollar 1.78 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Bemerkung 1.79 (Exkurs: Landau-Symbole) Die Landau-Symbole o ( Klein-O ), O ( Groß-O ) und das Symbol dienen dazu, das Wachstum von Funktionen zu vergleichen. Definition 1.80 (Landau-Symbole; asymptotisch gleich) Sei f : R R. Die Funktion f heißt beschränkt, wenn eine positive Konstante C existiert mit f(x) C x. Seien f, g : R R. Wir schreiben f(x) = O(g(x)) (x ), wenn eine positive Konstante C und eine Schranke x 0 existieren so, dass f(x) C g(x) x x 0.

26 1 Teilbarkeit Man sagt f(x) ist ein Groß-O von g(x). Wir schreiben f(x) = o(g(x)) (x ), wenn lim x f(x) g(x) = 0. Man sagt f(x) ist ein Klein-O von g(x). Wir schreiben f(x) g(x) (x ), wenn lim x f(x) g(x) = 1. Man sagt f(x) ist asymptotisch gleich g(x). Bemerkung 1.81 Es sind auch folgende Bezeichnungen üblich: f(x) O(g(x)), f O(g), f = O(g), analog für das Symbol Klein-O. Die Bezeichnung O(g) steht für eine Klasse von Funktionen. Daher bedeutet die Aussage f = O(g), dass die Funktion f in der Klasse jener Funktionen liegt, die nicht rascher als die Funktion Cg wachsen, C eine beliebige positive Konstante. Bemerkung 1.82 Man kann elementar zeigen: ( ) 1 1 = log log x + C + O. p log x p x mit einer Konstanten C (siehe Apostol[1, Th. 4.12], Hardy and Wright[12, Par. 22.20] oder Hlawka et al. [13, Kap. 5, Th. 2]). Frage 1.83 Wir bezeichnen die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x mit π(x), π(x) := p x1. (1.4) Wie wir bereits wissen, gilt lim x π(x) =. Wie schnell wächst diese Funktion? Als Lektüre zu dieser Frage möchte ich hier Don Zagier[22] und Ribenboim[17] empfehlen. Wir betrachten nun einige numerische Ergebnisse zum Wachstum von π(x), siehe Tabelle 1.1.

x π(10 x 10 x ) π(10 x ) 1 4 2.5 2 25 4.0 3 168 6.0 4 1229 8.1 5 9592 10.4 6 78498 12.7 7 664579 15.0 8 5761455 17.4 9 50847534 19.7 10 455052511 22.0 11 4118054813 24.3 12 37607912018 26.6 x 1.6 Primzahlen 27 π(10 x ) 10x / log 10 x π(10 x ) 1 4 1.09 2 25 0.87 3 168 0.86 4 1229 0.88 5 9592 0.91 6 78498 0.92 7 664579 0.93 8 5761455 0.94 9 50847534 0.95 10 455052511 0.95 11 4118054813 0.96 12 37607912018 0.96 Tabelle 1.1. Zum Wachstum von π(x). Bemerkung 1.84 Auf der Grundlage von Tabellen ähnlich Tabelle 1.1 vermutete Legendre um 1808 lim x π(x) x/(log x B) = 1, wobei B eine Konstante ist. Der Wert für B lag seiner Schätzung nach bei etwa 1.08366. Gauß postulierte lim x π(x) lix = 1. In diesem Zusammenhang bezeichnet li x den sogenannten Logarithmus Integralis : x dt li x := log t dt. Es besteht folgende Beziehung: lim x 2 x log x B li x = 1. Bemerkung 1.85 Der Logarithmus Integralis läßt sich etwas allgemeiner definieren, mit Hilfe des sogenannten Cauchyschen Hauptwertes: li 0 x := lim ε 0 [ 1 ε 0 dt log t + x 1+ε ] dt log t Wir könnten an Stelle von lix im Folgenden stets die Funktion li 0 (x) verwenden, dies macht keinen Unterschied bei unseren Aussagen.

28 1 Teilbarkeit Es ist inzwischen bekannt, dass der optimale Wert für B Eins beträgt (de la Vallée-Poussin) und dass die Funktion li x eine bessere Approximation für π(x) liefert als x/(log x 1). Der nächste Satz ist eines der berühmtesten Ergebnisse der Zahlentheorie. Satz 1.86 (Primzahlsatz; Hadamard und de la Vallée-Poussin 1896) Es gilt π(x) lim = 1. (1.5) x x log x Beweis. Hadamard und de la Vallée-Poussin zeigten im Jahr 1896 unabhängig voneinander die Aussage ( ) π(x) = li(x) + O xe C log x, wobei C eine positive Konstante ist. Bemerkung 1.87 Der russische Mathematiker Tschebyscheff zeigte schon 1848: wenn obiger Limes existiert, dann hat er notwendigerweise den Wert 1. Das Problem war also, die Existenz des Grenzwertes zu beweisen. Der Beweis des Primzahlsatzes von Hadamard und de la Vallée-Poussin sowie alle modernen Varianten in den Lehrbüchern beruhen auf funktionentheoretischen Hilfsmitteln, die Riemann 1859 bei seinen Untersuchungen über die Zetafunktion entwickelt hat: ζ(s) = 1 n s (s C, Re s > 1). n=1 Wir können den Beweis hier nicht führen und verweisen auf die Literatur: Korevaar (1982) 2, Hlawka et al. [13], Brüdern, J: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer-Verlag 1995 und Bundschuh[5]. Die Funktion ζ(s) läßt sich auf ganz C definieren, mit Hilfe einer Funktionalgleichung, in der die Eulersche Gammafunktion auftritt (siehe zum Beispiel Apostol[1] oder Kramer(2002) 3 ) In diesem Zusammenhang möchte ich auf die berühmte Riemannsche Vermutung hinweisen, die besagt, dass sich abgesehen von den trivialen Nullstellen s = 2, 4, 6,... von ζ(s) sämtliche weitere Nullstellen auf der sogenannten kritischen Geraden {s C : Re s = 1/2} befinden. Diese Vermutung ist bis heute ungelöst. Bemerkung 1.88 Im Jahr 1949 gaben Selberg und Erdös unabhängig voneinander einen Beweis des Primzahlsatzes an, der ohne Funktionentheorie 2 Korevaar, J. : On Newman s quick way to the Prime Number Theorem. Mathematical Intelligence 4 (1982), 108-115 3 Kramer, J.: Die Riemannsche Vermutung. Elem. Math. 57(2002), 90 95.

1.6 Primzahlen 29 auskommt. Diese elementaren Beweise des Primzahlsatzes sind wesentlich schwieriger als funktionentheoretische Beweise, obwohl sie elementare Beweise des Primzahlsatzes genannt werden. Satz 1.89 (Tschebyscheff, ca. 1850) Es gibt positive Konstante C und D, sodaß für hinreichend große n gilt: n C log n < π(n) < D n log n. Beweis. (Nach Tschebyscheff) Wir definieren die Hilfsfunktion θ(x) als die Summe der Logarithmen aller Primzahlen kleiner oder gleich x, θ(x) := p x Sei n eine natürliche Zahl. Dann gilt: Es folgt n 2/3 <p n θ(n) = p n Insgesamt haben wir erhalten: log p log p. n 2/3 <p n log p. log p > log n 2/3 (π(n) π ( n 2/3)) 2 3 log n (π(n) n 2/3). θ(n) > 2 3 log n π(n) 2 3 log n n2/3. Daraus läßt sich eine obere Schranke für π(n) log n/n angeben: π(n) log n n < 3 2 θ(n) n + log n n. 1/3 Wir werden nun θ(n)/n nach oben abschätzen. Dazu verwenden wir den folgenden Trick, der sich aus den Rechenregeln für den Logarithmus ergibt: θ(2n) θ(n) = log p n<p 2n Für n < p 2n ist p ein Primteiler des Binomialkoeffizienten ( ) 2n n. In der Primfaktorzerlegung von ( ) 2n n kommt also jede dieser Primzahlen vor. Wir folgern:

30 1 Teilbarkeit ( ) 2n p < n n<p 2n 2n k=0 Wir logarithmieren beide Seiten und erhalten Daraus leiten wir ab: θ ( 2 k+1) = ( ) 2n = 2 2n. k θ(2n) θ(n) < 2 log2 n. k ( ( θ 2 i+1 ) θ ( 2 i)) < i=0 < 2 log2 (1 + 2 + + 2 k) < 4 log 2 2 k. Zu jedem n gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl k mit 2 k < n 2 k+1. Daraus folgt θ(n) θ ( 2 k+1) < 4 log2 n Wie gut ist unsere Abschätzung? Rosser und Schönfeld zeigten 1975, daß für alle x > 0 die folgende Ungleichung gilt: θ(x) < 1.001102 x. Beachte im Vergleich, daß 4 log2 2.77 ist. Wir setzen nun die obere Schranke für θ(n) in die Abschätzung von π(n) log n/n ein und erhalten: π(n) log n log n < 6 log 2 + n n. 1/3 Wie groß wird der Ausdruck log n/n 1/3 maximal? Dazu betrachten wir die folgende Funktion f auf dem Intervall [1, ) und analysieren ihre Ableitung: f(x) = log x x 1/3 f (x) = 1 3 x 4/3 log x + x 1/3 1 x = x 4/3 3 log x 3 Die erste Ableitung ist genau dann Null, wenn x = e 3. Für x < e 3 ist sie positiv und für x > e 3 negativ. Also hat f(x) an der x = e 3 das Maximum mit zugehörigem Funktionswert f(e 3 ) = 3/e. Somit gilt: π(n) log n n < 6 log2 + 3 5, 2625. e

1.6 Primzahlen 31 Die Abschätzung nach unten. Dazu stellen wir uns eine Frage zur Primfaktorzerlegung von n!: Wie oft tritt eine Primzahl p in der Primfaktorzerlegung von n! auf? [ ] n #{k, 1 k n : p k} = p [ ] n #{k, 1 k n : p 2 k} = Wir setzen A j := {k, 1 k n : p j k}. Dann gilt folgende Eigenschaft dieser Mengen:.. A 1 A 2 A 3... Mit welchem Exponenten kommt p in n! vor? Die Elemente der Mengen A i liefern dazu jeweils ihren Beitrag: A 1 trägt [ n p ] bei, A 2 trägt [ n p ] bei, A 2 3 fügt [ n p ] hinzu, und so weiter. Der Exponent von p in n! muß daher lauten: 3 p 2 [ ] [ ] [ ] n n n [ ] n + p p 2 + p 3 + = p i Somit läßt sich mit α p := n ] i=1[ p die Primfaktorzerlegung von n! wie folgt i anschreiben: n! = p n p αp. i=1 Wie sich leicht zeigen läßt, gilt für jede natürliche Zahl n: ( ) 2n 2 n. n Wir logarithmieren beide Seiten: n log 2 log(2n)! 2 logn!. Nun schreiben wir statt n! und (2n)! ihre Primfaktorzerlegungen an und verwenden anschließend die Rechenregeln für den Logarithmus, um das Ergebnis zu vereinfachen.

32 1 Teilbarkeit log p 2n p P i=1 [2n p i ] 2 log p n pp i=1 [ n p i ] = = [ ] 2n log p p i 2 [ ] n log p p i = p 2n i=1 p n i=1 = log p p 2n log 2n [ log p ] i=1 [ ] [ ] 2n n 2 Eine grundlegende Eigenschaft der Gaußklammer ist [x] x < [x]+1, woraus sofort 2[x] 2x < 2[x] + 2 folgt. Da 2x echt kleiner als die ganze Zahl 2[x] + 2 ist, kann deren ganzzahliger Anteil höchstens 2[x] + 1 betragen, d.h. es gilt 2[x] [2x] 2[x] + 1. Demnach kann [2x] 2[x] nur Werte aus {0, 1} annehmen, womit wir schreiben können: n log 2 [ ] log 2n log p π(2n) log 2n log p p 2n Für gerade Argumente können wir π folglich schon nach unten abschätzen, nämlich mittels der Ungleichung π(2n) log 2 2n/ log2n. Den ungeraden Fall können wir leicht auf den geraden zurückführen: 2n π(2n + 1) π(2n) 0.3466 log 2n > 2n > 0.25 log 2n 1 6 2n + 1 log(2n + 1) Also haben wir für n 2 die beiden Ungleichungen: p i π(2n) > 1 4 2n log 2n π(2n + 1) > 1 6 2n + 1 log(2n + 1) In jedem Fall (ob gerades oder ungerades Argument) gilt: π(n) > 1 6 n log n Damit haben wir gezeigt, daß für hinreichend große natürliche Zahlen n die Ungleichung 1/6 < π(n) log n/n < 6 log2 + 3/e gilt. Bemerkung 1.90 In diesem Zusammenhang ist auch das folgende Resultat von Felgner(1990) 4 interessant: p i 0.91 n log n < p n < 1.7 n log n. 4 Felgner: Estimates for the sequence of primes. Elemente Math. 46 (1990), 17-25.

1.6 Primzahlen 33 Bemerkung 1.91 Mittels genauerer Abschätzung von ( ) 2n n könnten wir unsere Abschätzung von π(2n) noch etwas verbessern. Ein möglicher Startpunkt dazu wäre der folgende (siehe Hua[14, Theorem 71, p.82]): ( ) 1 2n 2n 22n < < 1 n n 22n. Wir führen nun einige berühmte Fragen und Ergebnisse zu Primzahlen an. Bemerkung 1.92 (Primzahlen in arithmetischen Progressionen) Eine arithmetische Progression ist definiert als w(a, b) := (a + bk) k=1 Notwendig dafür, daß in der Folge w(a, b) überhaupt Primzahlen auftreten, ist offensichtlich (a, b) = 1. Man kann recht einfach zeigen, daß es unendlich viele Primzahlen der Form 4k + 3, 6k + 5, usw. gibt. Der Beweis verläuft ähnlich dem von Satz 1.61. Schwieriger ist es, diese Aussage für Primzahlen der Form 4k+1, 6k+1, usw. zu zeigen. Ein berühmter Satz von Dirichlet besagt, daß es zu teilerfremden Zahlen a und b unendlich viele Primzahlen der Form a + kb gibt (k Z). Sei (a, b) = 1 und sei Dann gilt die Beziehung π(x; a, b) = {p prim : k : p = a + kb und p x}. (1.6) π(x; a, b) π(x) ϕ(x), wobei ϕ die Eulersche Phi-Funktion bezeichnet. (Zur Eulerschen Phi-Funktion siehe Kapitel 2, zum Resultat von Dirichlet siehe zum Beispiel Apostol[1]) Bemerkung 1.93 (Primzahlzwillinge) Ein Paar (p, p+2), wo p und p+2 Primzahlen sind, heißt ein Primzahlzwilling. Beispiele dafür sind (3, 5), (5, 7), (11, 13), usw. Sei π 2 (x) = {p x : p und p + 2 prim}. Dann ist bekannt (V. Brun, 1919): ( ) x π 2 (x) = O (log x) 2. Es läßt sich zeigen:

34 1 Teilbarkeit Satz 1.94 Sei P 2 = {p : p und p + 2 prim }. Dann gilt ( 1 p + 1 p + 2 ) <. p P 2 (siehe dazu zum Bespiel Indlekofer[15, Kapitel 30.III]) Eine der berühmtesten offenen Fragen der Zahlentheorie (und der gesamten modernen Mathematik) lautet: Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? Bemerkung 1.95 (Goldbachsche Vermutung) Jede gerade Zahl größer gleich Sechs ist Summe zweier Primzahlen. 6 = 3 + 3 12 = 5 + 7 8 = 3 + 5 14 = 7 + 7 10 = 5 + 5... Der chinesische Mathematiker Chen zeigte 1974, daß jede genügend große gerade Zahl als Summe zweier Zahlen darstellbar ist, wobei die erste Zahl prim ist und die zweite höchstens zwei Primfaktoren besitzt. Weitere Fragen und Resultate zu Primzahlen finden Sie in den ausgezeichneten Büchern Crandall und Pomerance [6] und Ribenboim [17].

2 Zahlentheoretische Funktionen 2.1 Das größte Ganze Diese Funktion (in Schulbüchern auch Gaußklammer genannt) kennen wir bereits von Kapitel 1. Es gilt, wie man leicht nachrechnet: [x + y] [x] + [y] x, y R [x + m] = [x] + m x R, m Z [ [ ] x [x] = x R, m N. m] m Definition 2.1 (Bruchteil) Für x R bezeichne {x} = x [x] der Bruchteil von x. Die folgende Proposition ist uns bereits vom Kapitel über Primzahlen bekannt (siehe Beweis von Satz 1.89). Proposition 2.2 Sei n N, sei p prim, und sei λ := max{i Z, i 0 : p i n!}. Dann gilt: [ ] n λ = i=1 p i [ ] n λ p 1 Satz 2.3 Sei n N, k Z, 0 k n. Dann gilt ( ) n Z. k Beweis. Wir gehen von der Darstellung ( ) n k = n! k! (n k)! aus und verwenden die vorhergehende Proposition. Für jede Primzahl p gilt: [ ] [ ] [ ] n k n k + p i p i p i

36 2 Zahlentheoretische Funktionen Korollar 2.4 Sei n N, sei k i Z, k i 0, 1 i τ, und sei k 1 +...+k τ = n. Dann gilt n! k 1!...k τ! Z. 2.2 Multiplikative Funktionen Definition 2.5 (Zahlentheoretische Funktion, Multiplikativität) Unter einer zahlentheoretischen Funktion verstehen wir eine Funktion f : N C. Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multiplikativ, wenn gilt: f(m n) = f(m) f(n) m, n : (m, n) = 1. Eine zahlentheoretische Funktion f heißt vollständig multiplikativ, wenn gilt: f(m n) = f(m) f(n) m, n N. Bemerkung 2.6 Die Multiplikativität einer zahlentheoretischen Funktionen erlaubt es, den Fundamentalsatz der Zahlentheorie zu verwenden und zahlreiche Untersuchungen nicht für beliebige ganze Zahlen, sondern nur für Primzahlpotenzen durchzuführen zu müssen. Beispiele zu dieser Art der Beweisführung werden wir in Kürze kennen lernen. Definition 2.7 (Summenfunktion) Unter der Summenfunktion S f zu einer zahlentheoretischen Funktion f verstehen wir die Funktion S f (n) = f(d). d n Proposition 2.8 f multiplikativ S f multiplikativ Beweis. Sei (m, n) = 1. Dann gilt d m n d 1, d 2 : d = d 1 d 2 d 1 m, d 2 n d 1 und d 2 eindeutig Beweis der Existenz von d 1 und d 2 : Sei d 1 := (d, m), d 2 := d d1. Dann gilt d 1 m, d 2 n: Wegen d = d 1 d 2 m n d 2 m d 1 n