Unendliche Gruppen als geometrische Objekte Ralf Meyer Georg-August-Universität Göttingen 12. November 2004 1 Endlich erzeugte Gruppen und die Wortmetrik Wir definieren endlich erzeugte Gruppen und führen einige grundlegende Konstruktionen für sie ein, nämlich den Cayleygraphen, die Wortlänge und die Wortmetrik. Wir betrachten dabei die Beispiele F 2 und Z 2, die freie Gruppe und die freie Abelsche Gruppe mit zwei Erzeugern. 1.1 Erzeugendensysteme und Cayleygraphen Sei G eine diskrete Gruppe. Definition 1. S G heißt Erzeugendensystem, wenn S = S 1 und n=0 Sn = G. Gibt es ein endliches Erzeugendensystem, so heißt G endlich erzeugt. Beispiel 2. Z 2 ist endlich erzeugt mit S = {(±1, 0), (0, ±1)} oder S = S {(1, 1), ( 1, 1)}. Beispiel 3. Q ist nicht endlich erzeugt. Definition 4. Der Cayleygraph Cay(G, S) hat G als Eckenmenge und eine Kante zwischen g, h G, falls g 1 h S. Also G Cay(G, S). 1.2 Wortlänge und Wortmetrik Definition 5. Die Wortlänge l(g) sei das kleinste n N mit g S n. Eigenschaften: l(1) = 0, l(g) = l(g 1 ), l(gh) l(g) + l(h). Definition 6. Definiere d(g, h) = l(g 1 h). Dies ist eine Metrik auf G, genannt Wortmetrik zu S. Wir metrisieren Cay(G, S) so, dass die Kanten isometrisch zu [0, 1] sind und d(x, y) die Länge des kürzesten Wegs von x nach y ist. ι: G Cay(G, S) ist eine isometrische Einbettung. Die freie Gruppe F 2 und ihr Cayleygraph Die freie Gruppe hat Elemente a m0 b n0 a m k b n k, m 0,..., n k Z, n 0,..., m k 0. Wähle als Erzeugendensystem S = {a ±1, b ±1 }. Wir schreiben auch ã = a 1, b = b 1. Zum Beispiel gilt l(ababa 5 ) = 9, d(ababa, ab 2 ) = 4.
b 2 bã b ba ãb ab ã 2 ã 1 a a 2 ã b a b bã b ba b2 Abbildung 1: Der Cayleygraph von F 2 2 Grobe geometrische Strukturen Wozu grobe geometrische Strukturen? Die bisherigen Konstruktionen hängen ab von der Wahl eines endlichen Erzeugendensystems. Verschiedene Wortmetriken sollten äquivalent sein. Vergleichbare Situation in der Analysis: Definiert man die Konvergenz von Folgen in R 2 mit dem ɛ-δ-kriterium, so liefern viele verschiedene Metriken auf R 2 den gleichen Konvergenzbegriff. Denn Konvergenz hängt nur von der Topologie ab. Alle Wortmetriken definieren dieselbe grobe geometrische Struktur. Mengen benachbarter Punktepaare Definition 7. Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir nennen R X X kontrolliert, falls es ein r > 0 gibt mit d(x, y) r für alle (x, y) R. Sei K (X, d) die Menge aller kontrollierten Teilmengen von X X. Wir fassen Teilmengen von X X als Relationen in X auf und schreiben xry statt (x, y) R. Eine grobe geometrische Struktur auf X ist eine Menge von Relationen mit ähnlichen Eigenschaften wie K (X, d). Wir benötigen folgende Konstruktionen mit Relationen: X = {(x, x) x X} R t = {(x, y) yrx} R S = {(x, y) z X : xrz, zsy} (reflexiv), (symmetrisch), (transitiv). 2
Vergleiche die Definition von Äquivalenzrelationen. 2.1 Definition grober geometrischer Strukturen Definition 8 (John Roe, coarse space). Sei X ein Hausdorffscher topologischer Raum. Eine Menge K von Relationen in X heißt grobe geometrische Struktur auf X, falls gilt: Teilmengen: R S, S K R K. Vereinigungen: R K, S K R S K. Transposition: R K R t K. Verknüpfung: R K, S K R S K. Verträglichkeit mit Topologie: K enthält eine offene Umgebung von X. Eigentlichkeit: eine Teilmenge von X ist genau dann abgeschlossen und beschränkt, wenn sie kompakt ist. Dabei heißt B X beschränkt, wenn B B K. Beispiel 9. Ist X kompakt, so ist notwendig K (X) = P(X). 2.2 Beispiele: metrische Räume, Gruppen und Gruppenwirkungen Beispiel 10. Sei (X, d) ein eigentlicher metrischer Raum, das heißt, beschränkte abgeschlossene Teilmengen von X sind kompakt. Dann ist K (X, d) eine grobe geometrische Struktur auf X. Beispiel 11. Sei G eine beliebige Gruppe. Für eine endliche Teilmenge S setze x S y x 1 y S. Nenne R X X kontrolliert, falls es eine endliche Teilmenge S G gibt mit R S. Dies definiert eine grobe geometrische Struktur K (G) auf G, genannt linksinvariante grobe geometrische Struktur. Isometrische Gruppenwirkungen Definition 12. Eine G-Wirkung auf X heißt isometrisch bezüglich einer groben geometrischen Struktur K und K heißt G-invariant, falls R K G R K. (G wirkt durch g(x, y) = (gx, gy).) Beispiel 13. Wirkt G isometrisch auf einem eigentlichen metrischen Raum (X, d), so ist die Wirkung auch isometrisch bezüglich K (X, d). Beispiel 14. Die linksinvariante grobe geometrische Struktur auf einer Gruppe G ist invariant unter der Wirkung G G G durch Linksmultiplikation. Grobe geometrische Strukturen auf Gruppen Satz 15. Ist G endlich erzeugt und ist d eine Wortmetrik auf G, so stimmt K (G, d) mit der linksinvarianten groben geometrischen Struktur überein. Korollar 16. Alle Wortmetriken auf einer endlich erzeugten Gruppe definieren dieselbe grobe geometrische Struktur. Die linksinvariante grobe geometrische Struktur ist auch für Gruppen definiert, die nicht endlich erzeugt sind. 3
Eigentliche und kokompakte Gruppenwirkungen Definition 17. Sei X ein topologischer Raum mit einer stetigen G-Wirkung. Die Wirkung heißt eigentlich, falls für kompaktes K X die Menge der g G mit gk K endlich ist. kokompakt, falls es eine kompakte Teilmenge K X gibt mit G K = X. Beispiel 18. Die Wirkung von G auf sich und auf Cay(G, S) ist kokompakt und eigentlich. Ebenso die Wirkung von Z 2 auf R 2. Die triviale Wirkung von G auf X ist nur dann eigentlich, wenn G endlich ist, und nur dann kokompakt, wenn X kompakt ist. Grobe geometrische Struktur für Gruppenwirkungen Satz 19. Zu einer eigentlichen, kokompakten Gruppenwirkung G X X gibt es genau eine G- invariante grobe geometrische Struktur. Diese ist gleich K (X, d), wenn d eine G-invariante, eigentliche, stetige Metrik auf X ist. Beweis. Für K X kompakt setze x K y falls gx K, gy K für ein g G. Diese Relation ist kontrolliert für jede G-invariante grobe geometrische Struktur. Die Teilrelationen von K für kompakte K X bilden bereits eine grobe geometrische Struktur auf X. Dies ist eine minimale G-invariante grobe geometrische Struktur. Der Beweis benutzt die Eigentlichkeit und Kokompaktheit der Wirkung. Wegen der Eigentlichkeit der Wirkung gibt es zu kompaktem K X eine kompakte Teilmenge L G mit gy, hy K = h Lg. Also x K y K z = x LK z. Es gibt U X offen und relativ kompakt mit G U = X. Die Relation U ist kontrollierte offene Umgebung von X X X. Aus der Eigentlichkeit der Wirkung folgt, dass beschränkte Teilmengen relativ kompakt sind. Diese grobe geometrische Struktur ist auch maximal. Für den Beweis wähle irgendeine grobe geometrische Struktur mit den gewünschten Eigenschaften. Sei R eine kontrollierte Relation. Vergrößere R so, dass G R = R. Wähle S X kompakt mit G S = X. Wegen der Eigentlichkeit der groben geometrischen Struktur gibt es eine kompakte Teilmenge K S mit xry, x S = y K. Aus G R = R und G S = X folgt nun R K, wie gewünscht. 3 Geometrie im Unendlichen Eine Gruppe versehen mit der Wortmetrik ist kein besonders schönes geometrisches Objekt. Häufig hat eine Gruppe aber eine eigentliche, isometrische und kokompakte Wirkung auf einem Raum X mit viel besseren geometrischen Eigenschaften. Das Hauptresultat dieses Abschnitts ist, dass die Gruppe G und der G-Raum X grob äquivalent sind. Das bedeutet, dass sie dieselbe Geometrie im Unendlichen haben und daher für viele Probleme der eine Raum durch den anderen ersetzt werden darf. 3.1 Definition der groben Kategorie Definition 20. Ein Morphismus grober geometrischer Räume ist eine Abbildung f : X Y mit folgenden Eigenschaften: kontrolliert: f f(r) K (Y ) für alle R K (X); eigentlich: f 1 (B) ist beschränkt, falls B beschränkt ist; f ist (Borel-)messbar, aber nicht notwendig stetig. 4
Zwei Morphismen f, f : X Y heißen nahe, f f, wenn die durch f(x) f (x) für alle x X definierte Relation zu K (Y ) gehört. Das heißt, f f ( X ) K (Y ). Sei C (X, Y ) die Menge der -Äquivalenzklassen von Morphismen X Y. Dies definiert eine Kategorie C, genannt die grobe Kategorie von Räumen mit grober geometrischer Struktur. Ein Morphismus f heißt grobe Äquivalenz, wenn er in C invertierbar ist. (Es gibt g mit f g Id, g f Id.) Die obige Definition der groben Kategorie weicht in zwei Punkten von der natürlichen Definition ab: Erstens verlangen wir nicht, dass Morphismen stetig sind; zweitens identifizieren wir nahe Morphismen. Dies ist das Wesentliche an der Definition. Dadurch wird sichergestellt, dass die grobe Kategorie nur die globale Struktur unserer Räume sieht. Grobe Äquivalenz von Gruppen und ihren Wirkungen Satz 21. Sei X ein eigentlicher kokompakter G-Raum, sei x X. Versehe X mit der G-invarianten groben geometrischen Struktur. Die Abbildung ι: G X, g g x, ist eine grobe Äquivalenz. Beweis. S Abbildung 2: Beispiel G = Z 2, X = R 2 Wähle S X kompakt mit G S = X und x S. Finde F g g S messbar mit X = F g. Definiere π(x) = g für x F g. ι und π sind Morphismen. π ι Id G, ι π Id X. 3.2 Beispiele grober Äquivalenz Beispiel 22. G ist grob äquivalent zu Cay(G, S). Insbesondere ist F 2 äquivalent zu einem Baum. Z 2 ist äquivalent zu einem Gitter in R 2. Beispiel 23. Z n ist grob äquivalent zu R n für alle n N. Beispiel 24. M sei kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit, M die universelle Überlagerung mit der üblichen Metrik. Dann ist die Fundamentalgruppe von M grob äquivalent zu M. Dies gilt aber nur für kompaktes M. 5
Gerüste Definition 25. Eine diskrete Teilmenge X d X heißt ein Gerüst für X, falls es R K (X) gibt mit R X d = X, wobei R X d = {x X y X d : xry}. Wir versehen X d mit der natürlichen groben geometrischen Struktur. Satz 26. Jeder Raum mit grober geometrischer Struktur besitzt ein Gerüst. Ist X d X ein Gerüst, so ist X d X eine grobe Äquivalenz. Beweis. Sei U eine kontrollierte Umgebung von X in X X. Es gibt eine lokal endliche Überdeckung U i = X mit U i U i U, da X parakompakt ist. Wähle x i U i und setze X d = {x i }. Dies ist diskret und U X d = X. Wähle B i U i mit B i = X und definiere π(x) = x i für x B i. π und ι: X d X sind zueinander inverse Morphismen. Zusammenfassung (Unendliche) Gruppen tragen eine grobe geometrische Struktur. Ist die Gruppe endlich erzeugt, so wird diese Struktur durch die Wortmetrik realisiert. Wirkt eine Gruppe eigentlich und kokompakt auf einem Raum X, so trägt X genau eine G- invariante grobe geometrische Struktur. Die Räume X und G sind grob äquivalent. Was macht man jetzt damit? Eine ganze Reihe von Problemen der Gruppentheorie läßt sich nur unter geometrischen Voraussetzungen an die Gruppe lösen. Oft hängen globale Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit nur von der Fundamentalgruppe ab. 6