. Dann hat die Gleichung [X 2 ] p k = [a] p k in ( Z/p k Z )

Aufgabe 57 a) Seien p Primzahl, p 2, k N und [a] p k ( Z/p k Z ). Dann hat die Gleichung [X 2 ] p k = [a] p k in ( Z/p k Z ) genau zwei oder gar keine Lösung. Beweis: Sei [x] p k ( Z/p k Z ) eine Lösung obiger Gleichung. Wir müssen zeigen, dass genau ein Element [y] p k ( Z/p k Z ) existiert mit [y 2 ] p k = [a] p k und [y] p k [x] p k. Existenz: Setze [y] p k := [ x] p k. Dann gilt [y] p k ( Z/p k Z ) und [y 2 ] p k = [( x) 2 ] p k = [x 2 ] p k = [a] p k. Es gilt auch [y] p k [x] p k. Um das zu zeigen, benutzen wir die Voraussetzung p 2. Angenommen: [ x] p k = [x] p k [x] p k + [x] p k = [0] p k [2x] p k = [0] p k p k 2x p 2 p 2x p x ggt(x, p k ) 1 [x] p k / ( Z/p k Z ), Widerspruch. Eindeutigkeit: Angenommen es existiere ein Element [y] p k ( Z/p k Z ) mit [y] p k [x] p k, [y] p k [ x] p k und [y 2 ] p k = [a] p k. Wir haben also in ( Z/p k Z ) drei verschiedene Lösungen der Gleichung [X 2 ] p k = [a] p k. Dann sind aber [x] p, [ x] p und [y] p drei verschiedene Lösungen der Gleichung [X 2 ] p = [a] p in Z/pZ. Demnach hat das Polynom X 2 [a] p mit Koeffizienten im Körper Z/pZ drei Nullstellen. Dies ist ein Widerspruch, denn ein Polynom f mit Koeffizienten in einem Körper hat höchstens gradf Nullstellen. b) Gesucht sind die Lösungen der Gleichung [X 2 ] 243 = [202] 243. Wir stellen zunächst fest, dass die Voraussetzungen aus Aufgabenteil a) erfüllt sind. Wegen 243 = 3 5 haben wir die Situation p = 3, k = 5 und a = 202. Es gibt also entweder gar keine oder zwei Lösungen. Eine Lösung ist [92] 243. Nach a) sind dann [92] 243 und [ 92] 243 = [151] 243 alle Lösungen der Gleichung [X 2 ] 243 = [202] 243. Die Gleichung [X 2 ] 243 = [202] 243 kann man auch als Kongruenzgleichung X 2 202 (mod 243) in Z auffassen. Bei dieser Interpretation ergibt sich als Lösungsmenge [92] 243 [151] 243 = {z Z z = 92 + k 1 243, k 1 Z oder z = 151 + k 2 243, k 2 Z}. 1

Aufgabe 58 a) Seien p, q ungerade Primzahlen und m = pq. Dann hat die Gleichung [X 2 ] m = [a] m in (Z/mZ) keine oder genau 4 Lösungen. Beweis: Weil p und q ungerade Primzahlen sind folgt ggt(p, q) = 1. Nach dem Chinesischen Restsatz folgt daraus Z/mZ = Z/pZ Z/qZ. Diese Isomorphie vererbt sich auch auf die Einheitengruppen (Z/mZ) = (Z/pZ) (Z/qZ). Wir können also ein Element [x] m (Z/mZ) auffassen als Tupel ([x 1 ] p, [x 2 ] q ) (Z/pZ) (Z/qZ). Eine Gleichung [X 2 ] m = [a] m, gelesen in (Z/mZ), übersetzt sich demnach zu ([X 2 1] p, [X 2 2] q ) = ([a 1 ] p, [a 2 ] q ) gelesen in (Z/pZ) (Z/qZ). Die letzte Gleichung ist erfüllt genau dann, wenn die folgenden beiden Gleichungen geichzeitig erfüllt sind: [X 2 1] p = [a 1 ] p und [X 2 2] q = [a 2 ] q. Nach Aufgabe 57 a) gibt es für jede der beiden Gleichungen entweder keine oder zwei Lösungen. Insgesamt existieren also 4 Lösungen oder es existiert keine Lösung. b) Gesucht sind die Lösungen der Gleichung [X 2 ] 253 + [X] 253 + [164] 253 = [0] 253 in (Z/253Z). Wegen 253 = 11 23 gilt nach dem Chinesischen Restsatz (Z/253Z) = (Z/11Z) (Z/23Z). Obige Gleichung übersetzt sich also ins Gleichungssystem [X 2 1] 11 + [X 1 ] 11 + [10] 11 = [0] 11, [X 2 2] 23 + [X 2 ] 23 + [3] 23 = [0] 23. Durch Ausprobieren erhält man für die erste Gleichung die Lösungen [X 1 ] 11 = [3] 11 und X 1 = [7] 11. Für die zweite Gleichung erhält man als Lösung [X 2 ] 23 = [4] 23 und X 2 = [18] 23. Man hat also folgende Lösungskombinationen: ([X 1 ] 11, [X 2 ] 23 ) {([3] 11, [4] 23 ), ([3] 11, [18] 23 ), ([7] 11, [4] 23 ), ([7] 11, [18] 23 )} (Z/11Z) (Z/23Z). 2

Folgende Frage bleibt zu klären: Zu welchen Elementen [X] 253 (Z/253Z) korrespondieren die obigen 4 Tupel unter dem Chinesischen-Restsatz- Isomorphismus? Um diese Frage zu beantworten, muss man die folgenden simultanen Kongruenzen lösen: X X 1 (mod 11), X X 2 (mod 23), wobei jedes mal ([X 1 ] 11, [X 2 ] 23 ) eines der obigen 4 Tupel ist. Rechnung liefert als mögliche Lösung [X] 253 {[18] 253, [73] 253, [179] 253, [234] 253 }. Aufgabe 59 a) Sei f 1 = X 3 + d mit d Q. Setze α := 3 d und ζ 3 = e 2πi 3. Die drei Nullstellen von f 1 sind dann α, αζ 3, αζ 2 3. Beachte: α symbolisiert hier nur eine komplexe Zahl, deren dritte Potenz d ergibt. Abhängig von d gibt es verschiedene Möglichkeiten für α, die wir in den verschiedenen Fällen konkretisieren. 0. Fall: d = 0. Dann zerfällt f 1 bereits über Q und es folgt L 1 = Q. 1. Fall: d < 0 d > 0. 1.1 Fall: a Q : a 3 = d. Hier wähle α = a Q. Dann gilt für den Zerfällungskörper L 1 = Q[α, αζ 3, αζ 2 3] α Q = Q[ζ 3 ]. [L 1 : Q] = grad p ζ3,q = 2, weil X 2 + X + 1 Minimalpolynom von ζ 3 ist. 1.2 Fall: Es existiert kein a Q : a 3 = d. Hier wähle für α die positive reelle dritte Wurzel von d, also α = 3 d R >0 \ Q. Dann gilt für den Zerfällungskörper L 1 = Q[α, αζ 3, αζ 2 3] = Q[α, ζ 3 ]. [L 1 : Q] = [L 1 : Q[ζ 3 ]] [Q[ζ 3 ] : Q] = 3 2, wegen p α,q[ζ3 ] = X 3 + d und p ζ3,q = X 2 + X + 1. 3

2. Fall: d > 0 d < 0. 2.1 Fall: a Q : a 3 = d. Hier wähle α = a Q. Dann gilt für den Zerfällungskörper L 1 = Q[α, αζ 3, αζ 2 3] α Q = Q[ζ 3 ]. [L 1 : Q] = grad p ζ3,q = 2, weil X 2 + X + 1 Minimalpolynom von ζ 3 ist. 2.2 Fall: Es existiert kein a Q : a 3 = d (dann gibt es auch kein a Q mit a 3 = d ). Gehe wie folgt vor, um ein α auszuwählen. Schreibe zunächst α in Polarkoordinaten. Weil sich α auf der negativen reellen Achse befindet, gilt α = d e πi. Wähle α = 3 d e πi 3. }{{} R >0 \Q L 1 = Q[α, αζ 3, αζ 2 3] = Q[α, ζ 3 ]. [L 1 : Q] = [L 1 : Q[ζ 3 ]] [Q[ζ 3 ] : Q] = 3 2, wegen p α,q[ζ3 ] = X 3 + d und p ζ3,q = X 2 + X + 1. b) Sei f 2 = X 4 + d mit d Q. Setze α := 4 d. Die vier Nullstellen von f 2 sind dann α, αi, αi 2 = α, αi 3 = αi. Beachte auch hier: α symbolisiert hier nur eine komplexe Zahl, deren vierte Potenz d ergibt. Abhängig von d gibt es verschiedene Möglichkeiten für α, die wir in den verschiedenen Fällen konkretisieren. 0. Fall: d = 0. Dann zerfällt f 2 bereits über Q und es folgt L 2 = Q. 1. Fall: d < 0 d > 0. 4

1.1 Fall: a Q : a 4 = d. Wähle hier α = a Q. Dann gilt für den Zerfällungskörper L 2 = Q[α, αi, α, αi] = Q[α, i] α Q = Q[i]. [L 2 : Q] = 2, wegen p i,q = X 2 + 1. 1.2 Fall: Es existiert kein a Q mit a 4 = d aber b Q : b 2 = d. Dann existiert auch ein b > 0 aus Q mit b 2 = d. Wähle hier α = b R >0 \ Q. L 2 = Q[α, αi, α, αi] = Q[α, i]. [L 2 : Q] = [L 2 : Q[i]] [Q[i] : Q] = 2 2, wegen p α,q[i] = X 2 b und p i,q = X 2 + 1. 1.3 Fall: Es existiert kein a Q mit a 4 = d und es existiert kein b Q mit b 2 = d. Wähle hier α = 4 d R >0 \ Q. Dann gilt für den Zerfällungskörper L 2 = Q[α, αi, α, αi] = Q[α, i]. [L 2 : Q] = [L 2 : Q[i]] [Q[i] : Q] = 4 2, wegen p α,q[i] = X 4 + d und p i,q = X 2 + 1. 2. Fall: d > 0 d < 0. Dann sind alle vier Nullstellen von f 2 nicht-reell. Um später einfacher das α wählen zu können, schreibe d in Polarkoordinaten, also d = d e πi. 5

2.1 Fall: a Q : a 4 = d. Wähle in diesem Fall α = ae πi 4 = ae 2πi 8 = aζ 8, wobei ζ 8 = e 2πi 8 eine primitive 8-te Einheitswurzel bezeichnet. L 2 = Q[α, αi, α, αi] = Q[α, i] = Q[aζ 8, i] a Q = Q[ζ 8, i] ζ 2 8 =i = Q[ζ 8 ]. [L 2 : Q] = 4, wegen p ζ8,q = X 4 + 1 (vgl. Aufgabenteil c)). 2.2 Fall: Es existiert kein a Q mit a 4 = d aber b Q : b 2 = d. Dann existiert auch ein b > 0 aus Q mit b 2 = d. Wähle hier α = }{{} b R >0 \Q ζ 8. L 2 = Q[α, αi, α, αi] = Q[α, i] = Q[ b ζ 8, i] α 2 =bi = Q[ b ζ 8 ] = Q[ b, ζ 8 ]. [L 2 : Q] = [L 2 : Q[ζ 8 ]] [Q[ζ 8 ] : Q] = 2 4, wegen p b,q[ζ 8 ] = X2 b und p ζ8,q = X 4 + 1. 2.3 Fall: Es existiert kein a Q mit a 4 = d und es existiert kein b Q mit b 2 = d. Wähle hier 4 d R >0 \ Q und setze α = 4 d ζ 8. L 2 = Q[α, αi, α, αi] = Q[α, i] = Q[ 4 d ζ 8, i]. 6

[L 2 : Q] = [L 2 : Q[i]] [Q[i] : Q] = 4 2, wegen p 4 d ζ8,q[i] = X4 + d und p i,q = X 2 + 1. c) Sei f 3 = X 7 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1. Bestimme als erstes die Nullstellen von f 3. Setze ζ 8 := e 2πi 8. Die Nullstellen von f 3 sind alle 8-ten Einheitswurzeln, ausgenommen 1, also die Menge ζ 8, ζ 2 8,..., ζ 7 8. Dies kann man folgendermaßen einsehen: das Polynom X 8 1 hat alle 8- ten Einheitswurzeln 1, ζ 8, ζ 2 8,..., ζ 7 8 als Nullstelle. Aus der Zerlegung X 8 1 = (X 1)(X 7 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1) folgt, dass alle Einheitswurzeln ungleich 1 im rechten Faktor aufgehen müssen. Damit folgt für den Zerfällungskörper von f 3 : L 3 = Q[ζ 8, ζ 2 8,..., ζ 7 8] = Q[ζ 8 ]. Für den Grad der Körpererweiterung gilt bekanntlich: [Q[ζ 8 ] : Q] = grad p ζ8. Es bleibt demnach das Minimalpolynom von ζ 8 zu bestimmen. Das Polynom p(x) = X 4 + 1 hat ζ 8 als Nullstelle, es ist normiert und nach Blatt 10 Aufgabe 40 irreduzibel. Folglich gilt p ζ8 = p und damit Aufgabe 60 [Q[ζ 8 ] : Q] = 4. a) Sei K ein beliebiger Körper und f = X 2 + ax + b K[X]. Seien x 1 und x 2 die Nullstellen von f. Bezeichne L = K[x 2, x 1 ] den Zerfällungskörper von f über K. Dann gilt [L : K] 2. Beweis: Betrachte den Zwischenkörper K K[x 1 ] L. Es gilt [K[x 2, x 1 ] : K] = [K[x 2, x 1 ] : K[x 1 ]] [K[x 1 ] : K]. Wir betrachten die beiden Faktoren separat: Für den rechten Faktor gilt [K[x 1 ] : K] = grad p x1,k. Weil x 1 Nullstelle von f ist, ist das Minimalpolynom p x1,k von x 1 über K ein Teiler von f. Damit 7

gilt grad p x1,k 2. Für den rechten Faktor gilt [K[x 2, x 1 ] : K[x 1 ]] = grad p x2,k[x 1 ]. Über K[x 1 ] zerfällt das Polynom f zu f = (X x 1 )g mit einem Polynom g K[x 1 ][X] von grad g = 1. Weil x 2 Nullstelle von f ist, aber keine Nullstelle von X x 1 ist, muss x 2 Nullstelle von g sein. Folglich ist p x2,k[x 1 ] ein Teiler von g und folglich grad p x2,k[x 1 ] 1. b) Wir behandeln den Fall, in dem der Körper eine Charakteristik ungleich 2 hat. Seien f = X 2 + ax + b, g = X 2 + cx + d K[X] und bezeichne L f bzw. L g den Zerfällungskörper von f bzw. g. Ferner sei α := a 2 4b die Diskriminante von f und β := c 2 4d die Diskriminante von g. Dann gilt: L f und L g sind K-isomorph genau dann, wenn α ein Quadrat in K ist. β Beweis: Vor dem eigentlichen Beweis einige allgemeine Beobachtungen. Wir gehen von dem nicht-trivialen Fall aus, dass f und g irreduzibel über K sind. Andernfalls hätten f und g Nullstellen in K was L f = K = L g zur Folge hätte. Nach der p-q-formel sind die Nullstellen von f wie folgt: x 1 = 1 2 ( a + α), x 2 = x 1. Entsprechend sind die Nullstellen von g: Es folgt also und y 1 = 1 2 ( c + β), y 2 = y 1. L f = K[x 1, x 2 ] = K[ α] L g = K[y 1, y 2 ] = K[ β]. = Sei ϕ : K[ α] K[ β] ein K-Isomorphismus, es gelte also ϕ K = id K. Jedes y K[ β] ist von der Form b 0 + b 1 β mit b0, b 1 K. Insbesondere folgt ϕ( α) = b 0 + b 1 β, mit geeigneten b0, b 1 K. Es ergibt sich α α K = ϕ(α) = ϕ( α) 2 = (b 0 + b 1 β) 2 = b 2 0 + b 2 1β + 2b 0 b 1 β Weil α in K liegt, muss b 0 b 1 = 0 gelten. Also muss b 0 = 0 oder b 1 = 0 gelten. Es ist b 1 = 0 allerdings ausgeschlossen, weil sonst ϕ(k[ α]) = K 8

gelten würde, was wegen ϕ(k[ α]) = K[ β] K nicht sein darf. Die letzte Ungleichheit gilt, weil f irreduzibel über K ist und der Zerfällungskörper deshalb echt größer als K ist. Also hat man b 0 = 0. Oben eingesetzt liefert dies α β = b2 1. Dies war zu zeigen. An dieser Stelle sieht man, dass die vorausgesetzte K-Isomorphie sogar Gleichheit der Zerfällungskörper impliziert. = Sei α β ein Quadrat in K. Es existiert also ein k K mit k2 = α β. Daraus folgt β = k 2 α und damit K[ β] = K[ k 2 α] = K[k α] = K[ α]. Die Zerfällungskörper sind also gleich (und damit insbesondere K-isomorph). 9