Eigenschaften der relativen Häufigkeit ( Zur Erinnerung) Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1
Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2
Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bewerber von Firma A angenommen wird, ist P(A) = 0,2. Die Wahrscheinlichkeit von Firma B angenommen zu werden beträgt P(B) = 0,3. Von mindestens einer der beiden Firmen wird man mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 angenommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, von keiner der beiden Firmen eine Zusage zu erhalten? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, ausschließlich von Firma B eine Zusage zu bekommen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 3
Aufgabe Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 4
Aufgabe Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 5
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13 19 18 14 20 16 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 7
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Beispiel: V = Werfen von 2 Würfeln Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für a) Genau eine Sechs wird geworfen? b) Mindestens eine Sechs wird geworfen? c) Höchstens eine Sechs wird geworfen? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 11
rot grün rund dreieckig Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 12
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Vermischte Aufgaben Aufgabe 1 Sei V der zufällige Versuch "Roulette". Die möglichen Ergebnisse beim Roulette sind die Zahlen 0; 1; 2;... ; 36 (alle gleichwahrscheinlich). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass ein Spieler gewinnt, wenn er a) auf das erste Dutzend (Zahlen 1-12) setzt? b) auf eine rote Zahl setzt? c) auf "impair" (=ungerade) setzt? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 29
Aufgabe 2 Sei V der zufällige Versuch "Ziehen einer Karte aus einem Spiel von 32 Karten". Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse: a) Es wird eine Herzkarte gezogen. b) Es wird eine Bildkarte gezogen. c) Es wird eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte gezogen. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 30
Aufgabe 3 Sei V der zufällige Versuch "Würfeln mit 2 Würfeln". a) Geben Sie die Ergebnismenge an. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: 1) Werfen zweier Vierer 2) Werfen zweier ungerader Zahlen 3) Werfen zweier unterschiedlicher Zahlen 4) Werfen von genau einer Sechs. 5) Werfen von mindestens einer Sechs. 6) Die Augensumme der geworfenen Augenzahlen ist 5 oder 9. Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 31
Aufgabe 4 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 32
Aufgabe 5 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 33
Aufgabe 6 Eine Firma bezieht jeweils 40 % und 60% von benötigten Teilen von 2 verschiedenen Zulieferern Z1 und Z2. Über die Ausschussrate (Anteil der defekten Teile unter den gelieferten) sei bekannt, dass sie bei Z1 1%, bei Z2 0,5 % beträgt. a) Wie viel % Ausschuss (Ereignis B) erhält die Firma insgesamt? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt ein defektes Teil von Z1? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 34
Aufgabe 7 Sei X die zufällige Lebensdauer eines Bauteils und es gelte P(X > 200h) = 0,4 sowie P(X > 100h) = 0,7. Wieviel % aller Bauteile, die länger als 100h leben überleben auch 200 h? Sind die beiden Ereignisse X>100 h und X> 200h stochastisch unabhängig voneinander? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 35
Aufgabe 8 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 36
Aufgabe 9 P(G)=0,99497 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 37
Aufgabe 10 Es sei bekannt, dass bei 95 % aller defekten Geräte, eine eingebaute LED nicht aufleuchtet, wärend das nur bei 1 % aller Geräte der Fall ist, die O.K. sind. Die Funktionsfähigkeit eines Gerätes wird nun anhand dieser kleinen LED geprüft. Leuchtet die LED, so wird das Gerät al O.K. eingestuft, leuchtet sie nicht, so wird das gerät als defekt eingestuft. Man weiß aus früheren Untersuchungen, dass 0,5 % aller Geräte defekt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) ein Gerät, welches als O.K. eingestuft wurde, in Wirklichkeit defekt ist? b) ein Gerät, welches als defekt eingestuft wurde, in Wirklichkeit O.K. ist? P(A)=0,000254 P(B)=0,6769 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 38
Aufgabe 11 Eine Spedition beschäftigt 2 Fahrer, Paul und Anton. Paul fährt 40% aller Touren und Anton 60%. Ab und zu passiert ein Unfall. Die Wahrscheinlichkeit, dass Paul in einen Unfall verwickelt ist, beträgt 0,01 und bei Anton ist diese Wahrscheinlichkeit 0,005. a) Der Spediteur erhält die Nachricht, dass einer seiner LKW s in einen Unfall verwickelt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Fahrer Anton? b) Sind die beiden Ereignisse: Es ist ein Unfall passiert und der Fahrer ist Anton voneinander stochastisch unabhängig? Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 39