15. Basen und Dimension

166 Andreas Gathmann 15. Basen und Dimension Wir wollen nun die Struktur von Vektorräumen genauer untersuchen. Besonders zentral ist dabei der Begriff der Basis, den ihr ja wahrscheinlich schon aus der Schule kennt. Die Idee dabei ist, dass man aus jedem Vektorraum V eine Familie von Vektoren x i (mit i aus einer gewissen Indexmenge I, oft einfach mit i I = {1,...,n}) auswählen kann, so dass sich jedes x V auf eindeutige Art als Linearkombination x = λ 1 x i1 + + λ n x in dieser ausgewählten Vektoren mit Skalaren λ 1,...,λ n K und (verschiedenen) i 1,...,i n I schreiben lässt. Die λ 1,...,λ n lassen sich dann als Koordinaten von x auffassen. Der Vorteil daran ist, dass man mit diesen Koordinaten in vielen Fällen einfacher rechnen kann als mit dem ursprünglichen Vektor x selbst, da sie ja einfach Elemente von K sind und nicht von einem abstrakten Vektorraum. 15.A Lineare Unabhängigkeit und Basen Um den Begriff einer Basis einführen zu können, benötigen wir als Erstes das zentrale Konzept der linearen Unabhängigkeit von Vektoren. Definition 15.1 (Basen von Vektorräumen). Es sei V ein K-Vektorraum. (a) Eine Familie von Vektoren in V ist eine Indexmenge I zusammen mit einem Vektor x i für alle i I. Wir schreiben eine solche Familie als B = (x i ) i I. Ist die Indexmenge I endlich, so wählen wir sie in der Regel als I = {1,...,n} und schreiben die Familie als B = (x 1,...,x n ). (b) Eine Familie B = (x i ) i I von Vektoren in V heißt ein Erzeugendensystem von V, wenn Lin(B) := Lin{x i : i I} = V gilt, d. h. wenn sich jeder Vektor x V als Linearkombination x = λ 1 x i1 + + λ n x in mit n N, λ 1,...,λ n K und i 1,...,i n I schreiben lässt. (c) Eine Familie B = (x i ) i I von Vektoren in V heißt linear unabhängig, wenn es aus den Vektoren in B keine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors gibt, d. h. wenn gilt: Sind n N, i 1,...,i n I verschieden, und λ 1,...,λ n K mit λ 1 x i1 + + λ n x in =, so folgt bereits λ 1 = = λ n =. Ist das Gegenteil der Fall, gibt es also eine Linearkombination ( ) des Nullvektors mit verschiedenen i 1,...,i n I und Skalaren λ 1,...,λ n, die nicht alle gleich Null sind, so heißt B linear abhängig. (d) Eine Familie B in V heißt Basis von V, wenn B ein Erzeugendensystem von V und linear unabhängig ist. Bemerkung 15.2 (Familien Mengen). Beachte, dass eine Familie von Vektoren nicht das gleiche ist wie eine Menge von Vektoren: Im Gegensatz zu einer Menge sind die gegebenen Vektoren in einer Familie den Elementen einer Indexmenge zugeordnet, haben also z. B. im Fall einer endlichen Familie mit Indexmenge {1,...,n} eine festgelegte Reihenfolge. Dies ist wichtig, damit wir später die Koordinaten eines Vektors auch den Elementen der Basis zuordnen können. Bemerkung 15.3 (Endliche Basen). Ist B = (x 1,...,x n ) eine endliche Familie, so kann man in Definition 15.1 (b) und (c) offensichtlich stets annehmen, dass alle Vektoren von B in den betrachteten Linearkombinationen auftreten. Wir haben dann also: (a) B ist ein Erzeugendensystem von V, wenn es zu jedem x V Skalare λ 1,...,λ n K gibt mit x = λ 1 x 1 + + λ n x n ; ( )

15. Basen und Dimension 167 (b) B ist linear unabhängig, wenn die Gleichung λ 1 x 1 + +λ n x n = mit λ 1,...,λ n K nur die triviale Lösung λ 1 = = λ n = hat. Nur wenn B unendlich viele Vektoren enthält, muss man da Linearkombinationen ja immer endlich sind, siehe Bemerkung 13.13 (c) immer eine endliche Auswahl der Elemente von B betrachten. Beispiel 15.4. (a) Enthält eine Familie B = (x i ) i I den Nullvektor, d. h. ist x i = für ein i I, so ist B stets linear abhängig, denn dann ist ja 1 x i = eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors. Ebenso ist B immer linear abhängig, wenn die Familie einen Vektor mehrfach enthält, also wenn x i = x j für gewisse i, j I mit i j gilt, da dann 1 x i 1 x j = eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors ist. (b) Ist V = K n und sind 1 e 1 =., e 2 = 1.,..., e n =. 1 die sogenannten Einheitsvektoren von K n, so ist die Familie B = (e 1,...,e n ) aller dieser Einheitsvektoren eine Basis von V : B ist ein Erzeugendensystem von V, denn jeder Vektor in V hat die Form für gewisse x 1,...,x n K. x 1 x 2. = x 1e 1 + + x n e n x n B ist linear unabhängig, denn sind λ 1,...,λ n K mit λ 1 λ = λ 1 e 1 + + λ n e n = 2., λ n so ist natürlich notwendigerweise λ 1 = = λ n =. Man nennt B die Standardbasis von K n. (c) In V = R 3 ist die Familie B = 1, 1, 1 1 kein Erzeugendensystem, denn kein Vektor mit letztem Eintrag ungleich kann eine Linearkombination der Elemente aus B sein. Die Familie B ist auch nicht linear unabhängig, denn 1 + 1 1 1 = ist eine nicht-triviale Linearkombination des Nullvektors aus den Elementen von B anschaulich bedeutet dies gerade, dass einer der drei Vektoren in der Ebene liegt, die von den beiden anderen erzeugt wird. (d) Im Vektorraum V Abb(R, R) aller Polynomfunktionen aus Beispiel 13.8 (c) ist die Familie B = (x i ) i N aller Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten eine Basis von V :

168 Andreas Gathmann B ist ein Erzeugendensystem, da jede Polynomfunktion nach Definition eine (endliche) Linearkombination der Potenzfunktionen x i ist; B ist linear unabhängig, da eine nicht-triviale Linearkombination der x i nach dem Koeffizientenvergleich aus Lemma 3.28 nie die Nullfunktion sein kann. Genauso ist natürlich (x,x 1,...,x n ) eine Basis des Vektorraums aller Polynomfunktionen vom Grad höchstens n. (e) Es seien W = Abb(N, R) der Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen aus Beispiel 13.3 (d), und e i für i N analog zu (b) die i-te Einheitsfolge, d. h. die Folge e i = (,...,,1,,...), wobei die 1 an der i-ten Stelle steht. Ist nun B = (e i ) i N die Familie aller dieser Einheitsfolgen, so haben wir bereits in Bemerkung 13.13 (c) gesehen, dass Lin(B) die Menge aller reellen Zahlenfolgen ist, bei denen nur endlich viele Folgenglieder ungleich Null sind. Daher ist z. B. die konstante Folge (1,1,1,...) kein Element von Lin(B). Also ist B kein Erzeugendensystem (und damit auch keine Basis) von W. Die Familie B ist aber linear unabhängig, denn ist i λ i e i = (,,,...) (für eine gewisse Summe über endlich viele i), so folgt durch Vergleich des i-ten Folgengliedes natürlich λ i = für alle in der Summe auftretenden i. (f) Es sei V = Lin(cos,sin) Abb(R,R) der von den Funktionen x cosx und x sinx erzeugte Unterraum des Raums aller reellen Funktionen auf R. Mit anderen Worten sind die Elemente von V also die Funktionen der Form für λ 1,λ 2 R. x λ 1 cosx + λ 2 sinx Nach Definition ist nun klar, dass die Familie B = (cos, sin) ein Erzeugendensystem von V ist. Wir behaupten, dass sie auch linear unabhängig ist: Dazu seien λ 1,λ 2 R, so dass λ 1 cos+λ 2 sin die Nullfunktion (also der Nullvektor in V ) ist. Insbesondere folgt dann durch Einsetzen von x = : λ 1 cos + λ 2 sin =, also 1 λ 1 + λ 2 =, und von x = π 2 : λ 1 cos π 2 + λ 2 sin π 2 =, also λ 1 + 1 λ 2 =. Es muss also λ 1 = λ 2 = sein, d. h. B ist linear unabhängig und damit eine Basis von V. Aufgabe 15.5. Untersuche die Familie B in den folgenden Fällen auf lineare Unabhängigkeit im Vektorraum V : (a) V = C als Q- und auch als R-Vektorraum; B = (1,i, 2). (b) V ein beliebiger Vektorraum, B = (x + y,x + z,y + z) für drei linear unabhängige Vektoren x,y,z. (c) V = R 3 /U mit U = Lin(e 1 + 2e 2 ); B = (e 1,e 2 ) (wobei wie üblich e 1,e 2,e 3 die Einheitsvektoren in R 3 bezeichnet). (d) V = Abb(R,R); B = ( f a ) a R mit f a : R R, x x a. Wie wir in der Einleitung zu diesem Kapitel schon erwähnt haben, ist das Schöne an einer Basis eines Vektorraums V nun, dass sich jeder Vektor aus V auf eindeutige Art als Linearkombination der Vektoren der Basis schreiben lässt: Lemma 15.6. Es sei B = (x i ) i I eine Basis eines K-Vektorraums V. Dann lässt sich jeder Vektor x V auf eindeutige Art (bis auf die Reihenfolge der Summanden und Addition von Vektoren mit Vorfaktor Null) als Linearkombination x = λ 1 x i1 + + λ n x in mit λ 1,...,λ n K und verschiedenen i 1,...,i n I schreiben.

15. Basen und Dimension 169 Beweis. Die Existenz einer solchen Darstellung folgt sofort nach Definition, da B ja ein Erzeugendensystem von V ist. Für die Eindeutigkeit sei nun x V ein Vektor, für den wir zwei Darstellungen als Linearkombination der Basisvektoren haben. Nach evtl. Vertauschung der Summanden und Hinzuschreiben fehlender Vektoren mit Vorfaktor Null können wir annehmen, dass beide Linearkombinationen dieselben Vektoren in derselben Reihenfolge enthalten, d. h. dass die beiden Linearkombinationen x = λ 1 x i1 + + λ n x in = µ 1 x i1 + + µ n x in für gewisse λ 1,...,λ n, µ 1,..., µ n K und verschiedene i 1,...,i n I sind. Dann folgt aber (λ 1 µ 1 )x i1 + + (λ n µ n )x in = und somit λ i = µ i für alle i = 1,...,n, da B nach Voraussetzung linear unabhängig ist. Also sind die beiden Darstellungen von x als Linearkombination der Basisvektoren dieselben. Bemerkung 15.7 (Koordinaten). Hat V eine endliche Basis B = (x 1,...,x n ), so müssen wir für die Linearkombinationen in Lemma 15.6 (genau wie in Bemerkung 15.3) nicht mehr endlich viele Vektoren auswählen, sondern können annehmen, dass alle Basisvektoren x 1,...,x n (in dieser Reihenfolge) darin auftreten. In diesem Fall gibt es also zu jedem x V eindeutig bestimmte Skalare λ 1,...,λ n K mit x = λ 1 x 1 + + λ n x n. Man nennt diese Skalare λ 1,...,λ n die Koordinaten von x bezüglich der Basis B. Diese Darstellung eines Vektors durch Koordinaten bezüglich einer Basis wird insbesondere bei der Untersuchung linearer Abbildungen in Abschnitt 16.B noch eine große Rolle spielen. Um Vektorräume mit Hilfe von Basen untersuchen zu können, müssen wir uns jetzt natürlich noch fragen, ob denn überhaupt jeder Vektorraum eine Basis besitzt aus den Vektorraumaxiomen ist das ja nicht offensichtlich. In der Tat ist das aber so: Man kann beweisen, dass jeder beliebige Vektorraum eine Basis hat. Wir werden uns beim Beweis dieser Aussage allerdings auf Vektorräume beschränken, die von endlich vielen Elementen erzeugt werden können und dann auch eine endliche Basis besitzen (den allgemeinen Beweis könnt ihr z. B. in [GK] Proposition II.2.22 finden). Dies liegt zum einen daran, dass der Beweis für Vektorräume mit unendlichen Basen deutlich komplizierter und abstrakter ist. Zum anderen und das ist fast der wichtigere Grund ist der Beweis im allgemeinen Fall nicht konstruktiv und daher eigentlich nur von theoretischem Interesse. Betrachten wir zum Beispiel noch einmal den R-Vektorraum Abb(N, R) aller reellen Zahlenfolgen aus Beispiel 15.4 (d). Wir werden in Beispiel 15.17 (b) sehen, dass dieser Vektorraum keine endliche Basis besitzt. Man weiß nun zwar aufgrund des oben angegebenen Satzes, dass dieser Folgenraum dennoch eine (unendliche) Basis hat, aber niemand kann eine solche Basis konkret angeben! Versucht doch einmal, eine Basis zu finden ihr werdet sehr schnell merken, dass das aussichtslos ist. Zur Erinnerung: Ihr müsstet dazu eine (unendliche) Familie von Folgen hinschreiben, so dass jede beliebige Folge auf eindeutige Art eine endliche Linearkombination der Folgen ist, die ihr ausgewählt habt. Formal bedeutet dies, dass wir uns in Zukunft in der Regel auf Vektorräume mit der folgenden Eigenschaft beschränken wollen. 33 Definition 15.8 (Endlich erzeugte Vektorräume). Ein K-Vektorraum V heißt endlich erzeugt, wenn er ein Erzeugendensystem aus endlich vielen Vektoren besitzt. Für derartige Vektorräume wollen wir nun die Existenz von Basen zeigen. In der Tat werden wir die stärkeren Aussagen beweisen, dass man aus jedem Erzeugendensystem (das evtl. noch nicht linear unabhängig ist) eine Basis auswählen und jede linear unabhängig Menge (die evtl. noch kein Erzeugendensystem ist) zu einer Basis ergänzen kann. Satz 15.9 (Basisauswahl). Es sei B ein endliches Erzeugendensystem eines Vektorraums V. Dann kann man aus B eine Basis von V auswählen. Insbesondere besitzt also jeder endlich erzeugte Vektorraum eine (endliche) Basis.

17 Andreas Gathmann Beweis. Es sei B = (x 1,...,x n ) ein Erzeugendensystem von V. Ist B bereits linear unabhängig, so sind wir fertig. Andernfalls gibt es eine Linearkombination λ 1 x 1 + + λ n x n =, bei der nicht alle λ 1,...,λ n gleich Null sind. Wir können also ein i {1,...,n} wählen mit λ i. Mit diesem i setzen wir nun B = (x 1,...,x i 1,x i+1,...,x n ) und behaupten, dass B immer noch ein Erzeugendensystem von V ist. In der Tat ist dies leicht einzusehen: Wegen der vorausgesetzten Linearkombination des Nullvektors und λ i ist ja x i = 1 λ i ( λ 1 x 1 λ i 1 x i 1 λ i+1 x i+1 λ n x n ) Lin(B ), da sich dieser Vektor als Linearkombination von x 1,...,x i 1,x i+1,...,x n darstellen lässt. Damit enthält der Unterraum Lin(B ) alle Vektoren x 1,...,x n, nach Bemerkung 13.13 (a) also auch den von diesen Vektoren erzeugten Unterraum Lin(x 1,...,x n ) = Lin(B) = V. Es ist daher Lin(B ) = V, d. h. B ist immer noch ein Erzeugendensystem von V. Ist B nun linear unabhängig, so sind wir fertig. Andernfalls wiederholen wir das obige Verfahren so lange, bis die resultierende Familie linear unabhängig und damit eine Basis von V ist (dies muss spätestens nach n Schritten passieren, da dann keine Vektoren mehr übrig sind und die leere Familie natürlich linear unabhängig ist). Beispiel 15.1. Beachte, dass der Beweis von Satz 15.9 auch konstruktiv ist, d. h. ein Verfahren angibt, wie man aus einem Erzeugendensystem B eine Basis bekommt: Solange es eine nicht-triviale Linearkombinationen der Null in B gibt, lässt man einen beliebigen Vektor aus B weg, der in dieser Linearkombination mit einem Vorfaktor ungleich Null auftaucht. So gibt es z. B. in dem Erzeugendensystem B = (( ) 1, ( ), 1 ( )) 2 von R 2 die nicht-triviale Linearkombination ( ) ( ) 2 1 =, 1 2 ( ) ( ) also können wir aus B einen der Vektoren und weglassen. Lassen wir in diesem Fall ( ) 1 2 z. B. den Vektor weg, so haben wir damit (nach Beispiel 15.4 (b)) bereits eine Basis von R 2 2 erhalten, nämlich die Standardbasis. Als Nächstes wollen wir unterschiedliche Basen eines Vektorraums miteinander vergleichen können. Hierfür beweisen wir zunächst ein Hilfsresultat. Lemma 15.11 (Austauschlemma). Es sei B = (x 1,...,x n ) eine (endliche) Basis eines Vektorraums V. Weiterhin sei y V ein beliebiger Vektor, den wir natürlich (nach Lemma 15.6) als Linearkombination y = λ 1 x 1 + + λ n x n schreiben können. Ist dann i {1,...,n} mit λ i, so ist auch B = (x 1,...,x i 1,y,x i+1,...,x n ) eine Basis von V (wir können in der Basis also x i durch y ersetzen). Beweis. Nach evtl. Umbenennung der Vektoren können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit i = 1, also λ 1 und B = (y,x 2,...,x n ) annehmen. Dann gilt: B erzeugt V : Wegen x 1 = 1 λ 1 (y λ 2 x 2 λ n x n ) Lin(B ) enthält Lin(B ) = Lin(y,x 2,...,x n ) alle Vektoren x 1,...,x n und nach Bemerkung 13.13 (a) damit auch den davon erzeugen Unterraum Lin(x 1,...,x n ) = Lin(B) = V. Also ist B ein Erzeugendensystem von V.

15. Basen und Dimension 171 B ist linear unabhängig: Ist µ 1 y + µ 2 x 2 + + µ n x n = eine Linearkombination der Null mit Vektoren aus B, so folgt daraus = µ 1 (λ 1 x 1 + λ 2 x 2 + + λ n x n ) + µ 2 x 2 + + µ n x n = (µ 1 λ 1 )x 1 + (µ 1 λ 2 + µ 2 )x 2 + + (µ 1 λ n + µ n )x n. Dies ist nun eine Linearkombination der Null mit Vektoren aus B. Da B linear unabhängig ist, müssen alle Vorfaktoren verschwinden, d. h. es gilt µ 1 λ 1 = (und damit µ 1 = wegen λ 1 ) und dann auch µ 1 λ i + µ i = µ i = für alle i = 2,...,n. Also ist B linear unabhängig. Beispiel 15.12. Wir betrachten den Vektorraum V = R 3 mit der Standardbasis B = (e 1,e 2,e 3 ) aus Beispiel 15.4 (b). Weiterhin sei y = 1 2 = e 1 + 2e 2. Da in dieser Linearkombination die Vektoren e 1 und e 2 mit Vorfaktoren ungleich Null vorkommen, folgt aus dem Austauschlemma 15.11 also, dass wir einen dieser Vektoren durch y ersetzen können, d. h. dass auch (y,e 2,e 3 ) und (e 1,y,e 3 ) Basen von R 3 sind. Im Gegensatz dazu ist (e 1,e 2,y) jedoch keine Basis von V (wie aus der Linearkombination e 1 + 2e 2 y = natürlich auch sofort folgt). Der folgende Satz ergibt sich nun einfach, indem man Lemma 15.11 mehrmals nacheinander anwendet. Satz 15.13 (Steinitzscher Austauschsatz). Es seien B = (x 1,...,x n ) eine Basis und (y 1,...,y r ) eine linear unabhängige Familie in einem Vektorraum V. Dann ist r n, und die x 1,...,x n lassen sich so umnummerieren, dass B = (y 1,...,y r,x r+1,...,x n ) ebenfalls eine Basis von V ist (man kann in der Basis also r der Vektoren x 1,...,x n durch die gegebenen Vektoren y 1,...,y r ersetzen). Beweis. Wir beweisen den Satz mit Induktion über r; für r = ist nichts zu zeigen. Für den Induktionsschritt r r + 1 sei nun (y 1,...,y r+1 ) linear unabhängig. Da dann natürlich auch (y 1,...,y r ) linear unabhängig ist, gilt nach Induktionsvoraussetzung r n, und nach geeigneter Umnummerierung der Vektoren in B ist (y 1,...,y r,x r+1,...,x n ) eine Basis von V. Wir können den Vektor y r+1 also als Linearkombination y r+1 = λ 1 y 1 + + λ r y r + λ r+1 x r+1 + + λ n x n schreiben. Dabei muss mindestens einer der Vorfaktoren λ r+1,...,λ n ungleich Null sein, denn andernfalls wäre λ 1 y 1 + + λ r y r y r+1 = im Widerspruch dazu, dass die Familie (y 1,...,y r+1 ) linear unabhängig ist. Insbesondere muss also r +1 n gelten, und nach evtl. Umbenennung der x r+1,...,x n können wir annehmen, dass λ r+1 ist. Dann ist nach dem Austauschlemma 15.11 aber auch (y 1,...,y r+1,x r+2,...,x n ) eine Basis von V. Damit ist der Satz mit Induktion bewiesen. Eine wichtige Konsequenz dieses Satzes ist das folgende bereits angekündigte Gegenstück zu Satz 15.9: Folgerung 15.14 (Basisergänzung). Es sei B eine linear unabhängige Familie eines endlich erzeugten Vektorraums V. Dann ist B endlich, und man kann B zu einer endlichen Basis von V ergänzen. Beweis. Nach Satz 15.9 besitzt V eine endliche Basis (x 1,...,x n ). Wegen Satz 15.13 kann es dann keine linear unabhängige Teilmenge von V mit mehr als n Elementen geben; insbesondere ist B also endlich und von der Form B = (y 1,...,y r ) für ein r n. Satz 15.13 besagt nun, dass wir diese Vektoren y 1,...,y r in die Basis (x 1,...,x n ) hineintauschen können, so dass wir also eine Basis von V bekommen, die die Vektoren aus B enthält.

172 Andreas Gathmann Aufgabe 15.15. Es sei U = Lin(x 1,x 2,x 3 ) R 3 mit x 1 = 1 1, x 2 = 1 1, x 3 = Finde eine Basis von U und ergänze sie zu einer Basis von R 3. 1. 1 15.B Dimension von Vektorräumen Eine wichtige Konsequenz des Steinitzschen Austauschsatzes 15.13 ist, dass jede Basis eines endlich erzeugten Vektorraums V gleich viele Elemente besitzt: Nach Folgerung 15.14 ist zunächst einmal jede solche Basis endlich. Sind nun B = (x 1,...,x n ) und B = (y 1,...,y r ) zwei Basen von V, so folgt r n aus Satz 15.13, und aus Symmetriegründen durch Vertauschen von B und B dann natürlich auch n r. Also ist n = r, d. h. B und B haben gleich viele Elemente. Da nach Satz 15.9 auch jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis besitzt, können wir also definieren: Folgerung und Definition 15.16 (Dimension von Vektorräumen). Für einen endlich erzeugten Vektorraum V ist die Dimension, geschrieben dim K V oder einfach dimv, definiert als die Anzahl der Elemente in einer (beliebigen) Basis von V. Ist V nicht endlich erzeugt (und hat damit natürlich auch keine endliche Basis), so schreiben wir formal dimv =. Beispiel 15.17. (a) Nach Beispiel 15.4 (b) ist dimk n = n für alle n N. (b) Es sei V = Abb(N,R) der Raum aller reellen Zahlenfolgen aus Beispiel 13.3 (d). Nach Beispiel 15.4 (d) besitzt V eine unendliche linear unabhängige Familie von Vektoren und kann somit nach Folgerung 15.14 nicht endlich erzeugt sein. Es ist also dimv =. Wir wollen nun einige interessante Anwendungen des Dimensionsbegriffs betrachten. Als Erstes zeigen wir ein vereinfachtes Kriterium dafür, ob eine gegebene Familie B eines endlich erzeugten Vektorraums V eine Basis ist: Wenn wir bereits wissen, dass B die richtige Anzahl von Vektoren enthält, dann brauchen wir nicht mehr zu überprüfen, dass B ein Erzeugendensystem und linear unabhängig ist, sondern es reicht bereits eine dieser beiden Eigenschaften. Satz 15.18 (Basiskriterium). Es sei B = (x 1,...,x n ) eine Familie von n Vektoren in einem endlich erzeugten Vektorraum V. (a) Ist B ein Erzeugendensystem von V, so gilt n dimv. (b) Ist B linear unabhängig, so gilt n dimv. Ist eine dieser beiden Bedingungen erfüllt und n = dimv, so ist B sogar eine Basis von V. Beweis. Dies folgt unmittelbar mit Hilfe der Basisauswahl und -ergänzung: (a) Nach Satz 15.9 können wir aus B eine Basis B von V auswählen. Da diese Basis B dann aus dimv Vektoren besteht, muss natürlich dimv n gelten. (b) Nach Folgerung 15.14 können wir B zu einer Basis B von V ergänzen. Da diese Basis wieder aus dimv Vektoren besteht, folgt dimv n. In beiden Fällen folgt im Fall n = dimv natürlich B = B, d. h. B ist bereits eine Basis von V. Wir wollen nun sehen, wie man endlich erzeugte Vektorräume mit Hilfe des Dimensionsbegriffs klassifizieren kann. Immer wenn man eine neue mathematische Struktur eingeführt und ein paar Beispiele untersucht hat, fragt man sich in der Regel, ob man vielleicht sogar eine vollständige Liste aller Beispiele angeben kann in unserem Fall also, ob wir eine vollständige Liste aller (endlich erzeugten) Vektorräume hinschreiben können. Dabei soll vollständig immer vollständig

15. Basen und Dimension 173 bis auf Isomorphie bedeuten, da wir ja in Beispiel 14.14 schon gesehen haben, dass isomorphe Vektorräume von ihrer Struktur her ohnehin ununterscheidbar sind, so dass es uns bei isomorphen Vektorräumen natürlich reichen sollte, wenn einer von ihnen in unserer Liste steht. Bei vielen mathematischen Strukturen ist eine derartige Klassifikation schlichtweg aussichtslos, weil es viel zu viele Beispiele gibt, die auch keinem ersichtlichen Schema folgen. Dies ist z. B. bei Gruppen (siehe Definition 3.1) der Fall niemand kann eine vollständige Liste aller Gruppen (bis auf Isomorphie) angeben. Es ist eine Besonderheit der linearen Algebra, dass dies bei endlich erzeugten Vektorräumen anders ist: Diese Vektorräume sind genau durch ihre Dimension klassifiziert, d. h. zu jedem Körper K und jeder natürlichen Zahl n N gibt es bis auf Isomorphie genau einen K- Vektorraum dieser Dimension, nämlich K n. Dieses Ergebnis, das wir jetzt zeigen wollen, wird uns die Arbeit später ganz wesentlich vereinfachen: Wenn wir Aussagen über beliebige endlich erzeugte Vektorräume beweisen wollen, genügt es deswegen nämlich, nur die Vektorräume K n zu betrachten und mit denen lässt es sich natürlich deutlich leichter arbeiten als mit abstrakten Vektorräumen. Um dieses Klassifikationsresultat zu zeigen, beginnen wir mit der einfachen Aussage, dass isomorphe Vektorräume dieselbe Dimension haben. Dies sollte, da man sich isomorphe Vektorräume ja als ununterscheidbar vorstellen kann, nicht weiter erstaunlich sein. Satz 15.19. Es seien f : V W ein Morphismus zwischen K-Vektorräumen, B = (x 1,...,x n ) eine endliche Familie in V und f (B) := ( f (x 1 ),..., f (x n )) die zugehörige Familie der Bildvektoren in W. Dann gilt: (a) Ist f injektiv und B linear unabhängig, so ist auch f (B) linear unabhängig. (b) Ist f surjektiv und B ein Erzeugendensystem von V, so ist f (B) ein Erzeugendensystem von W. (c) Ist f ein Isomorphismus und B eine Basis von V, so ist f (B) eine Basis von W. Insbesondere haben isomorphe Vektorräume also die gleiche Dimension. Beweis. (a) Es seien λ 1,...,λ n K mit λ 1 f (x 1 ) + + λ n f (x n ) =, also (weil f ein Morphismus ist) mit f (λ 1 x 1 + + λ n x n ) =. Nach Voraussetzung ist f injektiv, d. h. es ist Ker f = {} aufgrund von Lemma 14.9. Also folgt bereits λ 1 x 1 + +λ n x n = und damit auch λ 1 = = λ n =, da B linear unabhängig ist. Die Familie f (B) ist somit linear unabhängig. (b) Es sei y W beliebig. Da f surjektiv ist, gibt es ein x V mit f (x) = y, und weil B ein Erzeugendensystem von V ist, können wir x = λ 1 x 1 + + λ n x n für gewisse λ 1,...,λ n K schreiben. Damit ist aber auch y = f (x) = f (λ 1 x 1 + + λ n x n ) = λ 1 f (x 1 ) + + λ n f (x n ) eine Linearkombination von Vektoren aus f (B). Also ist f (B) ein Erzeugendensystem von W. (c) ist einfach nur (a) kombiniert mit (b). Nach Teil (c) dieses Satzes ist also K n = K m für n m. Um unser angekündigtes Klassifikationsresultat zu zeigen, müssen wir also nur noch beweisen, dass jeder K-Vektorraum der Dimension n bereits isomorph zu K n ist. Satz 15.2 (Klassifikation endlich erzeugter Vektorräume). Es sei V ein endlich erzeugter K- Vektorraum mit dimv = n. Dann ist V isomorph zu K n.

174 Andreas Gathmann Beweis. Wir wählen eine Basis (x 1,...,x n ) von V. Dann ist die Abbildung λ 1 f : K n V,. λ 1 x 1 + + λ n x n λ n ein Isomorphismus (es ist klar, dass f linear ist, und f ist nach Bemerkung 15.7 bijektiv). Aufgabe 15.21. Es sei (a n ) die sogenannte Fibonacci-Folge, die durch a = a 1 = 1 sowie die Rekursionsgleichung a n+2 = a n+1 + a n für alle n N ( ) gegeben ist, also die Folge (1,1,2,3,5,8,13,21,...). Wir wollen in dieser Aufgabe eine explizite Formel für das n-te Folgenglied a n herleiten. Es sei dazu V Abb(N, R) der Unterraum aller reellen Zahlenfolgen, die die Rekursionsgleichung ( ) erfüllen (ihr braucht nicht nachzuweisen, dass dies wirklich ein Unterraum ist, solltet euch aber trotzdem kurz überlegen, warum das so ist). 34 (a) Für welche q R liegt die Folge (q n ) n N = (1,q,q 2,q 3,...) in V? (b) Zeige, dass dimv = 2, und bestimme eine Basis von V. (c) Berechne eine explizite nicht-rekursive Formel für die Glieder a n der Fibonacci-Folge. Wir wollen nun für ein paar wichtige Vektorraumkonstruktionen (z. B. Summen, Durchschnitte und Quotientenräume) angeben, wie man die Dimensionen der resultierenden Vektorräume berechnen kann. Wir beschränken uns dabei der Einfachheit halber auf endlich erzeugte Vektorräume und beginnen mit einer einfachen Aussage über Unterräume. Lemma 15.22. Es sei U ein Unterraum eines endlich erzeugten K-Vektorraums V. Dann ist auch U endlich erzeugt, und es ist dimu dimv. Gilt sogar dimu = dimv, so ist U = V. Beweis. Wäre U nicht endlich erzeugt, so könnten wir rekursiv eine (unendliche) Folge x 1,x 2,x 3,... in U wählen mit x n / Lin(x 1,...,x n 1 ) für alle n 1, denn es ist ja stets Lin(x 1,...,x n 1 ) U. Die Familie (x n ) n N> ist dann linear unabhängig: Gäbe es eine Relation λ 1 x 1 + + λ n x n = mit λ 1,...,λ n K, die nicht alle sind, so könnten wir darin n so wählen, dass λ n ist, und damit den Widerspruch x n = 1 λ n (λ 1 x 1 + + λ n 1 x n 1 ) Lin(x 1,...,x n 1 ) erhalten. Also ist (x n ) n N> eine unendliche linear unabhängige Familie in U, und damit auch in V. Dies ist aber ein Widerspruch zu Folgerung 15.14, da V als endlich erzeugt vorausgesetzt wurde. Also ist U endlich erzeugt. Nach Satz 15.9 gibt es damit eine (endliche) Basis (x 1,...,x n ) von U, wobei n = dimu. Da diese Vektoren insbesondere linear unabhängig (in V ) sind, können wir sie nach Folgerung 15.14 zu einer Basis (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) von V ergänzen, wobei n + m = dimv. Dann gilt aber dimu = n n + m = dimv. Ist darüberhinaus dimu = dimv, also m =, so wird V bereits von den Vektoren x 1,...,x n erzeugt, d. h. es gilt V = Lin(x 1,...,x n ) = U. Als Nächstes betrachten wir Summen und Durchschnitte. Satz 15.23 (Dimensionsformel für Summen und Durchschnitte). Sind U 1 und U 2 endlich erzeugte Unterräume eines K-Vektorraums V, so gilt dim(u 1 +U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 + dimu 2.

15. Basen und Dimension 175 Beweis. Nach Lemma 15.22 ist U 1 U 2 als Unterraum des endlich erzeugten Vektorraums U 1 ebenfalls endlich erzeugt. Es gibt nach Satz 15.9 also eine Basis (x 1,...,x n ) von U 1 U 2. Wie im Beweis von Lemma 15.22 können wir diese zu Basen (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) von U 1 und (x 1,...,x n,z 1,...,z p ) von U 2 ergänzen. Wir zeigen, dass B = (x 1,...,x n,y 1,...,y m,z 1,...,z p ) dann eine Basis von U 1 +U 2 ist: B erzeugt U 1 +U 2 nach Bemerkung 13.16 (a). B ist linear unabhängig: Es sei also λ 1 x 1 + + λ n x n + µ 1 y 1 + + µ m y m + ν 1 z 1 + + ν p z p =, (1) λ 1 x 1 + + λ n x n + µ 1 y 1 + + µ m y m = ν 1 z 1 ν p z p (2) für gewisse λ 1,...,λ n, µ 1,..., µ m,ν 1,...,ν p K. Da die linke Seite von (2) in U 1 und die rechte in U 2 liegt, ist dieser Vektor in U 1 U 2 und besitzt demnach eine Darstellung λ 1 x 1 + + λ n x n + µ 1 y 1 + + µ m y m = λ 1x 1 + + λ nx n für gewisse λ 1,...,λ n K. Da die Vektoren x 1,...,x n,y 1,...,y m eine Basis von U 1 bilden, ist die Darstellung eines Vektors als Linearkombination dieser Basisvektoren nach Bemerkung 15.7 aber eindeutig, d. h. es ist λ i = λ i für alle i = 1,...,n und µ i = für alle i = 1,...,m. Setzen wir dies nun in (1) ein, so erhalten wir λ 1 x 1 + + λ n x n + ν 1 z 1 + + ν p z p =, und damit auch λ 1 = = λ n = ν 1 = = ν p =, da die Vektoren x 1,...,x n,z 1,...,z p als Basis von U 2 ebenfalls linear unabhängig sind. Also ist B eine Basis von U 1 +U 2. Damit folgt nun durch Abzählen der Elemente unserer Basen dim(u 1 +U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = (n + m + p) + n = (n + m) + (n + p) = dimu 1 + dimu 2. Beispiel 15.24. Beachte, dass nur die Summe der Dimensionen von U 1 U 2 und U 1 + U 2 durch dimu 1 und dimu 2 bestimmt sind, nicht aber die Dimensionen von U 1 U 2 und U 1 +U 2 selbst. Als einfaches Beispiel hierfür seien U 1 und U 2 zwei Geraden (durch den Ursprung) in R 2. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: (a) Ist U 1 = U 2, so ist U 1 +U 2 = U 1 U 2 = U 1 = U 2, und die Dimensionsformel ergibt dim(u 1 +U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = 1 + 1 = 1 + 1 = dimu 1 + dimu 2. (b) Ist hingegen U 1 U 2, so ist U 1 +U 2 = R 2 und U 1 U 2 = {}, und damit dim(u 1 +U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = 2 + = 1 + 1 = dimu 1 + dimu 2. Aufgabe 15.25. Es seien V ein K-Vektorraum und U 1,U 2 V mit dimv = 6, dimu 1 = 5 und dimu 2 = 3. Welche Dimension kann U 1 U 2 haben? Gib für jede solche Möglichkeit ein konkretes Beispiel für U 1, U 2 und V an. Bemerkung 15.26 (Dimensionsformel für direkte Summen). Ein wichtiger Spezialfall von Satz 15.23 ist, wenn U 1 U 2 = {} gilt (wie z. B. in Beispiel 15.24 (b)) und die Summe U 1 +U 2 nach Lemma 13.2 damit direkt ist: Dann gilt nämlich dim(u 1 U 2 ) = dimu 1 + dimu 2 (eine Verallgemeinerung davon auf mehrere Summanden werden wir in Aufgabe 15.31 noch sehen). Ist zusätzlich auch noch U 1 +U 2 = V, so ist sogar Diese Situation hat einen besonderen Namen: dimv = dimu 1 + dimu 2.

176 Andreas Gathmann Definition 15.27 (Komplemente). Es sei U ein Unterraum eines K-Vektorraums V. Ein Unterraum U V heißt Komplement von U, wenn U U = V gilt. Bemerkung 15.28. (a) Nach Lemma 13.2 ist U V genau dann ein Komplement von U V, wenn U +U = V und U U = {} gilt. Ist V darüber hinaus endlich erzeugt, so ist nach Bemerkung 15.26 dann dimu = dimv dimu. (b) Wir haben in Beispiel 15.24 (b) schon gesehen, dass Komplemente nicht eindeutig sind: Ist U eine Ursprungsgerade in R 2, so ist jede andere Ursprungsgerade in R 2 ein Komplement von U. Wir wollen nun aber sehen, dass Komplemente zumindest immer existieren, und dabei auch gleich ein Verfahren angeben, wie man Komplemente finden kann. Wie schon bei der Existenz von Basen beschränken wir uns hierbei auf den Fall von endlich erzeugten Vektorräumen. Lemma 15.29 (Existenz von Komplementen). Jeder Unterraum U eines endlich erzeugten K- Vektorraums V besitzt ein Komplement. Beweis. Nach Lemma 15.22 ist U endlich erzeugt, hat also nach Satz 15.9 eine Basis (x 1,...,x n ). Wir ergänzen sie gemäß Folgerung 15.14 zu einer Basis (x 1,...,x n,y 1,...,y m ) von V und behaupten, dass U := Lin(y 1,...,y m ) dann ein Komplement von U ist. Es ist offensichtlich U +U = V, denn U +U = Lin(x 1,...,x n ) + Lin(y 1,...,y m ) = Lin(x 1,...,x n,y 1,...,y m ) = V. Es ist U U = {}: Mit unseren Bezeichnungen ist dimu = n, dimu = m und dimv = n + m, und damit nach Satz 15.23 dim(u U ) = dimu + dimu dim(u +U ) = n + m (n + m) =, was genau U U = {} bedeutet. Also ist U nach Bemerkung 15.28 (a) ein Komplement von U in V. Beispiel 15.3 (Basen von Komplementen). Möchte man ein Komplement U zu einem Unterraum U eines endlich erzeugten Vektorraums V berechnen, muss man nach dem Beweis von Lemma 15.29 also (z. B. mit Hilfe des Verfahrens aus Satz 15.13) eine Basis von U zu einer Basis von V ergänzen; die dafür hinzu genommenen Vektoren bilden dann eine Basis eines Komplements U. Ist z. B. y = 1 2 R 3 und U = Lin y, so haben wir in Beispiel 15.12 gesehen, dass man y z. B. für e 1 in die Standardbasis (e 1,e 2,e 3 ) hineintauschen kann, dass also (y,e 2,e 3 ) ebenfalls eine Basis von R 3 ist. Damit ist U = Lin(e 2,e 3 ) ein Komplement von U. Aufgabe 15.31. Es seien U 1,...,U n Unterräume eines endlich erzeugten Vektorraums V. Zeige, dass die Summe U 1 + +U n genau dann direkt ist, wenn dim(u 1 + +U n ) = dimu 1 + + dimu n, und dass man in diesem Fall eine Basis von U 1 + +U n erhält, indem man Basen von U 1,...,U n vereinigt. Mit Hilfe von Komplementen können wir nun auch die Dimension von Quotientenräumen berechnen: Der folgende Satz besagt nämlich, dass ein Quotientenraum V /U von U immer isomorph zu einem Komplement U von U ist. Satz 15.32 (Dimensionsformel für Quotientenräume). Es seien U ein Untervektorraum eines K- Vektorraums V und U ein Komplement von U. Dann ist die Abbildung f : U V /U, x x ein Isomorphismus. Ist V zusätzlich endlich erzeugt, so gilt also insbesondere:

15. Basen und Dimension 177 (a) Ist (x 1,...,x n ) eine Basis von U, so ist (x 1,...,x n ) eine Basis von V /U; (b) dimv /U = dimv dimu. Beweis. Wir zeigen zunächst, dass f ein Isomorphismus ist. f ist ein Morphismus, denn für alle x,y U ist f (x + y) = x + y = x + y = f (x) + f (y), und eine analoge Aussage gilt natürlich für die Skalarmultiplikation. f ist injektiv: Es sei x U mit f (x) = x =, also x U nach Bemerkung 14.17 (b). Dann ist aber x U U = {}. Damit ist f nach Lemma 14.9 injektiv. f ist surjektiv: Es sei x V/U beliebig, also x V. Wegen V =U +U können wir x = x 1 +x 2 mit x 1 U und x 2 U schreiben. Dann liegt x 2 in der Definitionsmenge U von f, und es gilt f (x 2 ) = x 2 = x nach Bemerkung 14.17, da x x 2 = x 1 U. Also ist f surjektiv. Die Zusatzaussage (a) folgt damit nun sofort aus Satz 15.19 (c), die Aussage (b) aus der Dimensionsformel dimu = dimv dimu aus Bemerkung 15.28 (a). Bemerkung 15.33. Das Bild rechts illustriert für den Fall einer Geraden U in V = R 2 noch einmal die Tatsache, dass der Morphismus f aus Satz 15.32 bijektiv ist: Als Komplement U können wir eine beliebige Ursprungsgerade ungleich U wählen, denn dann ist natürlich U +U = R 2 und U U = {}. Die Zuordnung x x bildet nun einen Punkt von U auf die zu U parallele Gerade durch diesen Punkt ab und liefert so eine 1:1-Beziehung zwischen U und der Menge V /U aller zu U parallelen Geraden. x U U f (x) = x Beispiel 15.34 (Basen von Quotientenräumen). Kombinieren wir Beispiel 15.3 mit Satz 15.32 (a), so sehen wir auch, dass wir eine Basis von V /U erhalten, indem wir eine Basis von U zu einer Basis von V ergänzen und die Klassen der dafür hinzugenommenen Vektoren nehmen. In Beispiel 15.3 ist also z. B. (e 2,e 3 ) eine Basis von V /U. Aufgabe 15.35. Wir betrachten die Unterräume 1 1 U 1 = Lin 1 1, 1 und U 2 = Lin 1, 1 1. 1 1 von R 4. Bestimme jeweils die Dimension und eine Basis von U 1 + U 2, von U 1 U 2, von einem Komplement von U 1 und vom Quotientenraum V /U 1. Aus Satz 15.32 ergibt sich nun auch sofort eine Dimensionsformel für Morphismen: Satz 15.36 (Dimensionsformel für Morphismen). Es sei f : V W ein Morphismus zwischen endlich erzeugten K-Vektorräumen. Dann gilt dimker f + dimim f = dimv. Beweis. Nach dem Homomorphiesatz 14.19 ist V /Ker f isomorph zu Im f. Also gilt nach Satz 15.32 (b). dimim f = dim(v /Ker f ) = dimv dimker f Folgerung 15.37. Es seien V ein endlich erzeugter K-Vektorraum und f : V V ein Morphismus. Dann gilt f ist injektiv f ist surjektiv f ist bijektiv.

178 Andreas Gathmann Beweis. Es genügt zu zeigen, dass f genau dann injektiv ist, wenn f surjektiv ist: f ist injektiv Ker f = {} (nach Lemma 14.9) dimker f = dimv dim Im f = (nach Satz 15.36) dimim f = dimv Im f = V (nach Lemma 15.22) f ist surjektiv. 35 Beispiel 15.38. Wie auch viele andere Resultate in diesem Kapitel, die auf Dimensionsargumenten beruhen, ist Folgerung 15.37 für nicht endlich erzeugte Vektorräume falsch. Ist z. B. V = Abb(N, R) der Vektorraum aller reellen Zahlenfolgen und f : V V, (a,a 1,a 2,a 3,...) (a 1,a 2,a 3,...) der Morphismus, der von einer Folge das erste Glied streicht, so ist f offensichtlich surjektiv, aber nicht injektiv.