Thema: Kurzformaufgaben Pflichtbereich: ) Ergänze die Skizze so, dass ein Würfelnetz entsteht:. ) Bestimme die beiden Winkel, für die gilt: sin α = 0,6990. ) Ein voller Kanister Benzin wiegt 5 kg, ein halbvoller Kanister nur 8,5 kg. Wie schwer ist der leere Kanister? Beschreibe deinen Lösungsweg und gibt die Lösung an.. ) α α hat eine Größe von 5. Welcher prozentuale Anteil der Kreisfläche wird durch den Kreissektor beschrieben? Skizze 5. ) Vereinfache die Terme so weit wie möglich: a³ b³ 5a a) ( ) a b a b b) 5 6. ) Kreuze an ( Es gibt mehrere Lösungen) a) Std. 5 Min. =,5 Std. 5 Min.,75 Std. 65 Min. b) + =,5 6 8 8
7. ) Eine Firma wirbt mit folgendem Slogan: Wir haben alle Preise um 0 % gesenkt! statt:,00 nur noch: 0,00 statt: 5,95 nur noch: 60,76 Überprüfe die Richtigkeit der Werbung und begründe deine Entscheidung. 8. ) Aufgabe zum Strahlensatz Gegeben : a, e, f Gesucht : b =? LÖSUNGEN
. ) Es gibt mehrere Lösungen, hier nur zwei Beispiele. ) α =,5 und α = 5,65. ) Der Kanister wiegt kg. Litermenge + Kanister = 5kg Litermenge + Kanister = 8, 5kg Wendet man nun das Subtraktionsverfahren an, so erhält man folgende Gleichung Litermenge = 6, 5kg Und somit wiegt die das Benzin kg. Anderer Lösungsvorschlag: Der volle Kanister (Kanister + Inhalt) wiegt 5 kg, der halbvolle nur 8,5 kg. In beiden Fällen hat der Kanister das gleiche Gewicht, also kann der Differenzbetrag (5 kg - 8,5 kg) nur die Hälfte des Inhalts sein, also 6,5 kg. Daraus folgt, dass die verbleibenden kg (Ergänzung zu 8,5 kg) das Gewicht des Kanisters darstellen.. ) Es wird ein Anteil von,5% durch den Kreissektor beschrieben. 5. ) a. ) 50 a 6 b b. ) a b - 6. ) a. ) Std. 5 Min und 65 Min b. ), 5 und 8
7. ) Die erste Aussage ist falsch. Der Preis wurde nur um 0, nicht aber um 0% gesenkt. Die Preissenkung beträgt 6,%. Das zweite Angebot stimmt mit der Behauptung überein. Der Preis wurde genau um 0% gesenkt. 8. ) a = e a + b f af= ea+ eb b= af ea e Thema Komplexaufgabe
Wahlaufgabe 9. ) Die Konzentration eines Medikaments baut sich im menschlichen Blut exponentiell ab. Nach der Einnahme der Normaldosis steigt die Konzentration des Medikamentes im Blut sofort auf mg/l an. Nach einer Stunde misst man noch,5 mg/l. a) Bestimme den Zerfallsfaktor und die Funktionsvorschrift der Zerfallsfunktion, die die restliche Konzentration des Medikamentes im Blut nach x Stunden beschreibt. b) Wie groß ist die Konzentration nach 7 Stunden? Berechne, wann die Konzentration unter die Wirksamkeitsgrenze von mg/l fällt? c) Zeichne den Graphen und überprüfe die rechnerisch ermittelte Lösung an der Zeichnung. ( Erstelle dazu eine Wertetabelle) d) Ein Patient nimmt dreimal hintereinander die Normaldosis des Medikaments im Abstand von 7 Stunden ein. Einer der nachfolgenden Graphen stellt die Masse des Medikaments im Körper in Abhängigkeit von der Zeit dar. Gib das zugehörige Diagramm an und begründe deine Wahl! m m m LÖSUNG A t B t C t a) Zerfallsfaktor und Funktionsvorschrift: Geg.: c = mg/l y = c * a x y y =,5 mg/l a = x c,5 x = Stunde a = = 0, 875 x y = 0, 875 b) Konzentration nach 5 Stunden : x = 7, c = mg/l, a = 0,875 x y = c a 7 Nach 7 Stunden ist eine Konzentration von,57 mg/l im Blut y = 0,875 y,5708 5
c) Bestimmung des Zeitpunktes: c = mg/l, a = 0,875, y = mg/l y = c a x y a = c lg y lg c x = lg a x x = 0,88 Im Laufe der 0. Stunde sinkt der Wert unter die Wirksamkeitsgrenze. Nach 0,5 Std. ist die Konzentration etwa auf mg/l gesunken. d) Es ist das Diagramm C! Die niedrigsten und die höchsten Werte steigen von Verabreichung zu Verabreichung an, denn nach 7 Std. ist die Masse des Medikamentes noch nicht vollständig abgebaut. x 0 5 6 7 8 9 0 y,5,,7,,,8,6,,, Wertetabelle Thema Komplexaufgabe 6
Wahlaufgabe 0. ) Das nebenstehende Diagramm zeigt die Entwicklung des Kapitals von Frau Meier, das sie bei einer Bank im Jahre 995 angelegt hat. a) Was kannst du anhand des Diagramms über die Kapitalentwicklung in den ersten Jahren aussagen? (Formuliere ganze Sätze) b) Welchen Zinssatz hat die Bank in den ersten 5 Jahren gewährt? c) Im Jahr 000 legt Herr Otto ein weiteres Kapital von 500 zu einem Zinssatz von,5% an.. In welchem Jahr (Jahreszahl) wird die Summe Jahre der Kapitalentwicklung nach Jahren aus Aufgabe a) erreicht sein?. Wie hoch müsste der Zinssatz sein, damit sich das Kapital nach 5 Jahren verdoppelt hat? LÖSUNG In den ersten 5 Jahren hat sich das Kapital von 000 durch Zinseszins exponentiell vermehrt. Am Ende des 5. Jahres muss es eine Sonderzahlung von 50 gegeben haben. Danach hat sich das Kapital weiter exponentiell durch Zinseszins vermehrt und nach Jahren verdoppelt. g 0 = 000 g n = 50 ges.: q, p n = 5 g n = g 0 * q n q = n g g n 0 q =,056 p =,6 Die Bank hat einen Zinssatz von,6 % gewährt. 7
c) g 0 = 500 ges.: n. p =,5 % q =,05 g n = 000 g n = g 0 * q n lg g g n = n lg 0 lg q n = 8,65 Im Laufe des Jahres 008 wird die Summe von 000 erreicht sein.. g 0 = 500 ge.: q, p g n = 000 n = 5 g n = g 0 * q n gn q = n g0 q =,07 p =,7 Der Zinssatz müsste,7 % betragen, damit sich das Kapital in 5 Jahren verdoppelt. Thema Komplexaufgabe 8
Wahlaufgabe. ) Mozartkugeln bestehen aus einem Nugatkern, der von einer schicht Pistazienmarzipan umgeben ist. Vor dem Austrocknen schützt eine zusätzlich Schicht aus Schokolade. Die Firma Reber aus Salzburg stellt Mozartkugeln her, deren Nugatkern einen Durchmesser von cm hat, die Marzipanschicht ist 0,75cm, die Schokoladenschicht mm dick. a) Fertige eine Planfigur an! b) Berechne die prozentualen Anteile der drei Bestandteile! c) Nach der Erhöhung der Mehrwertsteuer ist der Preis für Pistazien erheblich gestiegen. Um den Preisanstieg nicht an die Kunden weiter zu geben, soll die Pistazienmenge um 0% gesenkt werden. Beschreibe die Möglichkeiten der Firma bei verringertem Marzipanteil die Größe der Kugel zu erhalten! LÖSUNG a) b) r V V Nugat Nugat Nugat = 5mm = π 5³ 5,599mm³ VMarzipan = πra VNugat ra = 5 + 7,5 =,55mm V Marzipan 7657,6mm³ VSchoko = πra VMarzipan VNugat ra= 5 + 7, 5 + =, 5mm V V Schoko Gesamt 588,80mm³ 770,05mm³ Volumen % 770,05.. 00 5,599.., 7657,6.. 60,0 9
c) Nugatkern vergrößern, Schokolade bleibt gleich Schokoladenschicht vergrößern, Nugatkern bleibt gleich Nugatkern und Schokoladenschicht vergrößern Thema Komplexaufgabe 0
Wahlaufgabe. ) Der Kurs eines Schiffes wird als Winkel zwischen Nordrichtung und rechtsdrehend der Fahrtrichtung angegeben. Kurs 0 bedeutet, das Schiff fährt genau nach Norden. Kurs 90 bedeutet, das Schiff fährt genau nach Osten. Ein Küstenmotorschiff fährt auf der Nordsee mit Kurs 06 und legt dabei Seemeilen (sm =,85 km) pro Stunde zurück. Leider ist die Navigationsanlage ausgefallen. Deshalb peilt der Kapitän um :0 Uhr an Position A den Leuchtturm auf der Insel Helgoland unter einem Winkel von 69 zur Nordrichtung an. Um :5 Uhr beträgt der Peilwinkel von Position B aus ebenfalls Richtung Norden 5. a) Bestimme die Entfernung des Schiffes vom Leuchtturm zum Zeitpunkt der zweiten Messung. Das Schiff fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit in gleicher Richtung weiter. b) Bestimme um welche Uhrzeit der Leuchtturm genau in Nordrichtung angepeilt wird. LÖSUNG a) α = 06 69 = 7 β = (80 06 ) + 5 = 99 γ = 80 7 99 = δ = 06 5 = 8 ε = 80 06 = 7 Berechnung der Fahrstrecke AB :
Das Schiff fährt zwischen beiden Peilungen Minuten mit einer Geschwindigkeit von Seemeilen pro Stunde: =,. Das Schiff hat eine Strecke von, Seemeilen 60 zurückgelegt. Das sind etwa 8,5km. Nun kann die Entfernung zwischen Schiff und Leuchtturm bei der zweiten Peilung über den Sinussatz berechnet werden: BL, = sin 7 sin, sin 7 BL = sin BL =,89 Bei der. Peilung ist das Schiff ca.,8sm vom Leuchtturm entfernt. Das sind ca. 7km. Die Umrechnung in Kilometer ist zulässig, aber nicht erforderlich. b) Nach dem Sinussatz gilt BC BL = sin 5 sin 7 BL sin 5 BC = sin 7 BC =,6759... Sollte mit BL =, 8 gerechnet werden, enthält man den Wert,67. Berechnung der Fahrzeit: 60 BC = 8,79... (bzw. nach dem eben gegebenen Hinweis 8,55). Nach ca. 8, Minuten Fahrt, also gegen Uhr, wird der Leuchtturm genau im Norden angepeilt.