In einem Informatik-Kurs bestehend aus 100 Studenten, haben 54 Studenten Mathematik, 69 Chemie und 35 beide Fächer belegt. Wenn wir zufällig einen Studenten auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er Mathematik oder Chemie (oder beide) belegt hat? dass er keins von diesen beiden Fächern belegt hat? dass er Chemie aber nicht Mathematik belegt hat? M M C 19 35 34 C 12 Für die Elektrotechnik-Studenten einer Universität ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem achlor- bschluss ein Master-Studium zu beginnen gleich ¼, für Maschinenbau-Studenten dagegen gleich. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass Studenten beider Fächer nach dem achlor-bschluss ein Master-Studium beginnen. dass Studenten der Elektrotechnik oder der Maschinenbau (oder beider Fachrichtungen) nach dem achlor-bschluss ein Master-Studium beginnen. Lösung: Unabhängige Ereignisse und dditionssatz a) 1/12 b) 1/2 ei einer Prüfung sind 25% der Prüflinge in Physik, 15% in Chemie und 10% in beiden Fächern durchgefallen. Wenn wir zufällig einen Prüfling auswählen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er in Physik durchfiel, wenn man weiß, dass er Chemie nicht bestanden hat? dass er in Chemie durchfiel, wenn man weiß, dass er Physik nicht bestanden hat? dass er in Physik oder Chemie (oder beide) durchfiel? Lösung: edingte Wahrscheinlichkeiten und dditionssatz a) 2/3 b) 2/5 c) 3/10 Die Feuerwehr einer kleinen Ortschaft besitzt ein Feuerwehrfahrzeug und einen Krankenwagen. Die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass das Feuerwehrfahrzeug einsatzbereit ist, beträgt 0,98 und, dass der Krankenwagen einsatzbereit ist, beträgt 0,92. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Fahrzeuge gleichzeitig verfügbar sind. Lösung: Unabhängige Ereignisse 0,9016! Die Noten von 10 achlor- 30 Master- und 10 PhD-Studenten (Doktoranden) eines Informatikkurses waren wie folgt. Studien- bschluss Note Gut efriedigend usreichend achlor 3 2 5 10 Master 10 12 8 30 PhD 5 5 0 10 18 19 13 50 1
Wenn man aus diesem Kurs einen Studenten zufällig auswählt und heraus findet, dass er die Prüfung mit Gut bestanden hat, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass er ein Master- Student ist? Lösung: edingte Wahrscheinlichkeit: 10/18 " In einer Packung befinden sich 5 Speicherchips Zwei davon sind defekt. Jemand wählt nacheinander zufällig ohne Zurücklegen zwei Chips heraus. Definieren Sie die jeweiligen Ereignisse für die beiden Züge und zeichnen Sie den Wahrscheinlichkeitsbaum. erechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse. Ereignis E 0 : kein Chip defekt. Ereignis E 1 : genau ein Chip defekt. Ereignis E 2 : zwei Chips defekt. Lösung: Wahrscheinlichkeitsbaum und abhängige Ereignisse für die Züge: a) 3/10 b) 6/10 c) 1/10 # In einer Packung befinden sich 5 Speicherchips Zwei davon sind defekt. Jemand wählt nacheinander zufällig ohne Zurücklegen zwei Chips heraus. $ estimmen Sie die nzahl der Möglichkeiten 2 Chips zu erhalten, so dass der Zustand der beiden Chips unwichtig ist so dass von den beiden Chips keiner defekt ist. so dass von den beiden Chips genau einer defekt ist. % so dass beide Chips defekt sind. &'!"#$%&$!$'&! "&$( Lösung: Kombinatorik: a) 10 b) 3 c) 6 d) 1 $$ estimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür 2 Chips zu erhalten, so dass von den beiden Chips keiner defekt ist. so dass von den beiden Chips genau einer defekt ist. % so dass beide Chips defekt sind. &'!"#$)$ ** Lösung: Definition der Wahrscheinlichkeit: a) 3/10 b) 6/10 c) 1/10 ( Eine Packung enthält 11 Speicherchips. Von diesen Chips sind 6 aus Japan und 5 aus Korea. estimmen Sie die die Wahrscheinlichkeit dafür 4 Chips ohne Zurücklegen auszuwählen, falls 2 aus Japan und 2 aus Korea stammen sollen. falls alle aus Japan stammen sollen. Lösung: Mit Hilfe der Formeln der Kombinatorik und der Definition der Wahrscheinlichkeit a) 150 / 330 b) 15 / 330 ) Eine Packung enthält 500 Stück 400MHz-Prozessoren und 500 Stück 600MHz- Prozessoren. Die nzahl von intakten sowie von defekten Mikroprozessoren in der Packung ist in der folgenden Tabelle gegeben. Prozessor 400MHz 600MHz Intakt 480 490 970 Defekt 20 10 30 500 500 Gesamtzahl: 1000 Wenn man aus dieser Packung zufällig einen Mikroprozessor auswählt und heraus findet, dass dieser ein 400MHz-Prozessor ist, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Prozessor defekt ist? Lösung: edingte Wahrscheinlichkeit: (20/1000) : (500/1000) = 20/500 = 0,04 2
* +++,-./01&12.++ Der Kandidat wählt ein Tor aus, welches aber vorerst verschlossen bleibt. Daraufhin öffnet der Moderator, der die Position des Gewinns kennt, eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich eine Ziege befindet. Im Spiel befinden sich also noch ein Gewinn und eine Niete. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere Tor zu wählen Wie soll sich der Kandidat entscheiden, um seine Gewinnchance zu erhöhen? Soll er stehen bleiben oder das Tor wechseln? 1 2 3 Kandidat wählt ein Tor 1 2 3 Moderator macht ein Tor auf, hinter dem sich eine Ziege befindet,$$&)$- -./"& "011"$&$ -./"& "011"$&$ -./"& "011"$&$ 21301$4($/!1"541"$'"&$6&!""$7&$"&$ 01"5$&$&$&$6/&- 3-7&$"&$"&$ 3-7&$"&$"&$ Kandidat wählt Tor 1 uto hinter Tor 1 2 3 1 / 2 1 / 2 0 1 Moderator öffnet Tor 0 1 T 2 T 3 T 2 T 2 T 3 T 3 Nicht- Wechsel 0 0 Wechsel 0 2 / 3 /!,1$0101("!$("!8,0195010$11 5$6 +++ erechnen Sie mit Hilfe des Satzes von ayes die Wahrscheinlichkeiten für das Ziegenproblem bei einem Wechsel und bei einem Nicht-Wechsel. 3
ufgrund von Erfahrungen und statistischen Untersuchungen geht die Flugsicherheitsbehörde davon aus, dass im Flughafen C& 0,1% der Passagiere (unabsichtlich oder absichtlich) mit sich verbotene Gegenstände mitführen. Ein Scanngerät der Marke G&E soll zur Kontrolle der Passagiere eingesetzt werden. Dieses Gerät hat die Eigenschaft, dass es in 98% der Fälle larm schlägt, wenn ein Passagier verbotene Gegenstände bei sich hat. Und in 1% der Fälle schlägt das Gerät auch larm, wenn ein Passagier keine verbotenen Gegenstände bei sich hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei Passagier-Kontrollen in diesem Flughafen dieses Gerät larm schlägt? Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,01097 Wenn bei Passagier-Kontrollen in diesem Flughafen dieses Gerät larm schlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Passagier keine verbotenen Gegenstände bei sich hat (Fehlalarm)? Lösung: Satz von ayes:: 0,91066 0,911 Wenn bei Passagier-Kontrollen in diesem Flughafen das Gerät larm schlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Passagier tatsächlich verbotene Gegenstände bei sich hat? Lösung: Satz von ayes: 0,089 oder 1 0,911 = 0,089 % In diesem Flughafen werden durchschnittlich in einem Jahr mit dem Gerät 100 000 Passagiere gescannt. Wie oft würde dann das Scanngerät larm schlagen und wie viele davon wären dann Fehlalarme? Lösung: 1097 larme und 999 Fehlalarme Das Scann-Gerät der der Marke G&E soll nun auch im Flughafen von Gotham-City eingesetzt werden, in dem nach statistischen Untersuchungen 20% der Passagiere mit sich absichtlich verbotene Gegenstände mitführen. In wie viel Prozent der Fälle schlägt in diesem Flughafen dieses Gerät larm? Wenn in diesem Flughafen das Gerät larm schlägt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Passagier tatsächlich verbotene Gegenstände bei sich hat? Eine Produktionsanlage in einem Elektronikkonzern stellt Mikrochips mit einem usschuss von 10% her. Zur ussonderung werden die hergestellten Chips mit einem Prüfgerät geprüft. Durch das Prüfgerät werden 97% aller defekten Chips aussondiert. Leider werden durch das Prüfgerät auch 5% aller nicht-defekten Chips aussondiert. Wie groß ist der nteil aller aussondierten Chips aus der Gesamtproduktion. (Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Chip aussondiert wird) Lösung: Satz der totalen Wahrscheinlichkeit: 0,142 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein aussondierter Chip auch tatsächlich defekt ist? Lösung: Satz von ayes: 0,683 4
,45460.31$ Ein System, das aus einer Serien-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert dann, wenn beide einzelnen Komponenten gleichzeitig funktionieren. Die Komponenten bzw. seien unabhängig von einander, und P() = 0,99 bzw. P() = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten bzw. funktionieren. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass das System ausfällt. (F: usfall des Systems). Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: $ der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den dditionssatzes). $$ eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des dditionssatzes). $ Das System funktioniert, wenn UND gleichzeitig funktionieren. $$ : Komponente funktioniert. : : : R : System funktioniert F : System funktioniert nicht. 5
! Ein System, das aus einer Parallel-Schaltung mit zwei Komponenten besteht, funktioniert dann, wenn mindestens einer der beiden Komponenten funktionieren. Die Komponenten bzw. seien unabhängig von einander, und P() = 0,99 bzw. P() = 0,98 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten bzw. funktionieren. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass das System ausfällt. (F: usfall des Systems). &' Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: $ der Definition von unabhängigen Ereignissen (und ggf. den dditionssatzes). $$ eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und ggf. des dditionssatzes). $ Das System funktioniert, wenn ODER (oder beide) funktionieren. $$ : Komponente funktioniert. : : : R : System funktioniert F : System funktioniert nicht. 6
" Folgendes gemischtes System ist gegeben. C Die Komponenten, bzw. C seien unabhängig von einander, und P() = 0,9 P() = 0,9 bzw. P(C) = 0,8 seien die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass die Komponenten, bzw. C funktionieren. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass das System funktioniert (R: Zuverlässigkeit des Systems). dass das System ausfällt. (F: usfall des Systems). &' Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: $ der Definition von unabhängigen Ereignissen und des dditionssatzes. $$ eines Ereignisbaums (der Definition von unabhängigen Ereignissen und des dditionssatzes). $ Das System funktioniert, wenn UND ODER C (oder alle) funktionieren. $$ : : : : C : C : 7
# Die irline D& bestellt für ihre Langstreckenflüge dreistrahlige Passagierjets der Marke Tri- Star mit Turbinen vom Hersteller R&R. Diese haben nach ngaben des Herstellers während eines Langstreckenfluges eine usfallwahrscheinlichkeit von p = 0,01. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass während eines Langestreckenflugs keine Turbine ausfällt (Ereignis E 0 )? eine Turbine ausfällt (Ereignis E 1 )? 2 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 2 ) % alle 3 Turbinen ausfallen? (Ereignis E 3 ). &' Lösen Sie diese ufgabe mit Hilfe: $ eines Ereignisbaums. $$ einer geeigneten Wahrscheinlichkeitsverteilung. : : : : C : C : E 0 = P( E 0 ) = E 1 = P( E 1 ) = E 2 = P( E 2 ) = E 3 = P( E 3 ) = 8
( eim usfallen der Turbinen gerät ein Flugzeug in bsturzgefahr. Die Wahrscheinlichkeit für die bsturzgefahr des Flugzeugtyps aus der vorigen ufgabe beträgt 0,001, wenn keine Turbine ausfällt. beträgt 0,1, wenn eine Turbine ausfällt. beträgt 0,7, wenn 2 Turbinen ausfallen. beträgt 1, wenn alle 3 Turbinen ausfallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Flugzeug in bsturzgefahr gerät? &' Lösung mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeiten und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. : : : : G : Flugzeug gerät in die bsturzgefahr. G = P( G ) = 9
) Ein ergsteiger verwendet beim Klettern ein Seilsystem, das aus 2 Seilen gleicher Qualität besteht. Das erste Seil ist fest gespannt und trägt die ganze Last. Das zweite Seil ist ein wenig länger als Seil und trägt keine Last, so lange Seil noch funktioniert. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Seil beim Tragen seines Gewichts zerreißt, beträgt 0,01. Falls Seil zerreißt, übernimmt Seil seine ufgabe. In diesem Fall ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass zerreißt 0,02. Denn wegen der Trägheit von Seil und die schnelle Zugkraft, die es erfährt, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, dass es zerreist. Das Seilsystem fällt dann aus, wenn beide Seile zerreißen. erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Seilsystem versagt. erechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Seilsystem zuverlässig funktioniert Lösung: bhängige Ereignisse a) 0,00002 b) 1 0,00002 3 / 10