ElektronischeBandstruktur Literatur: C. Kittel Einführungin die Festkörperphysik Kapitel 7,8 Ashcroft & Mermin, Kapitel 7,8 Ziman Principles of the Theory of solids, Kapitel 3
Dispersionsrelation für freie und fast freie Elektronen
1dimensionales Gitter: Dispersion E(k) für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen Reduziertes Zonenschema Erweitertes Zonenschema
ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER Lineare Kette:
H N -Kette: E j =α+2βcos(jπ/(n+1)) offene Enden! N=4 N=8 N=12 E E E k k k Erlaubte k i - und E i -Werte rücken näher zusammen: k~1/n E~W/N
N : E(k)=α+2βcos(ka) offene Enden!
Tight Binding Elektronische Struktur von Festkörpern mit s-orbitalen Hückel Nähering zu LCAO, Tight Binding: Lineare Kette: E j =α+2βcos(jπ/(n+1)) N E(k)=α+2βcos(ka) α. Coulombintegral β. Transferintegral Verallgemeinert 3D: E(k)= α+βσ ΝΝ e ik(r-r ) Bandbreite : W= 2N c β, N c Koordinationszahl Lokalisierung von Elektronen: ω e >> ω h Hoppingfrequenz: ω h =2β/h~W Eigenfrequenz: ω e =α/h
ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER Metall Isolator Übergang Beispiel: Hg [Xe]4f 14 5d 10 6s 2 van der Waals: N<10 Kovalent: 30<N<80 Metall: N>200
2 dimensionales Gitter: Fermiflächen für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen Erweitertes Zonenschema
Beispielezuelektronischen Bandstrukturenvon Festkörpern: 1) Metalle: Akalimetalle, Cu, Au, Multivalente Metalle: Al 2) Halbleiter/Halbmetalle: Bsp. Si,Ge, GaAs 3) Molekulare Festkörper: Graphene, Fullerene, Nanoröhren
Alkalimetalle: NatriumAtomkonfiguration1s 2 2s 2 2p 6 3s, bcc Gitter Energiedispersion für fast freie Elektronen bcc Brillouinzone mit Hochsymmetriepunkten
E(k) Dispersion für bcc Kristalle in Näherung des Leeren Gitters (freie Elektronenparabeln)
E(k) Dispersion für Natrium: Im Vergleich zur Näherung des leeren Gitters, kleine Aufspaltung an den Hochsymmetriepunkten
Bandstruktur von fcc Metallen, Beispiel Kupfer Fcc Brillouinzone mit Hochsymmetriepunkten Dispersionsrelationin Kupfer: 3d 10 4s Am L Punkt(1/2,1/2,1/2) starke d-s Übergänge ca 2eV Fermioberfläche von Kupfer:
Multivalente Metalle Beispiel Aluminium: 3 Valenzelektronen, fcc Gitter 2 BZ 3BZ 1 BZ 3BZ 3p 3s Dispersionsrelation: s-p Interband-Übergänge am W-Punkt Valenzelektronen besetzen 3 Brillouinzonen
KlassischeTypIV und III-V Halbleiter: Diamantund Zinkblende Struktur: Ausgewählte wichtige Hochsymmetriepunkte:
Beispiel PbTe: Energielücke ~ 300 mev bei kleiner Dotierung schon metallisch Zustandsdichte
Vergleich verschiedener Halbleiter mit Diamant(Zinkblende)struktur:
Schematische Darstellung der Energielücken für Halbleiter: Direkte Lücke Indirekte Lücke Stark dotierter Halbleiter Schematische Darstellung der Phononenunterstützten Anregung im indirekten Halbleiter
Beispiel Germanium: Energielücke ~ 0.8 ev Bandstruktur ohne Spin-Bahn Kopplung Spin-Bahn Aufspaltung berücksichtigt
Silizium Bandstruktur und Zustandsdichte, Energielücke 1.2 ev
Grauer Zinn Zero gap semiconductor
Dimensionality of sp 2 bonded carbon allotropes Graphite, Mittelalter 3D Carbon nanotubes Iijima, 1991 1D Fullerene 0D Graphene 2D A. Geim, K. Novoselov, 2004 Nobel prize physics, 2010 R. Curl, H. Kroto, R. Smalley, 1985 Nobel prize chemistry, 1996
Graphene Γ M K Zero gap semiconductor
ELECTRONIC STRUCTURE OF GRAPHENE A a 1 a 2 B Γ M K Γ Ψ C ( k) E Laser K 2D BZ K M K Ψ V ( k' ) E Fermi Graphene is a zero gap semiconductor. Bands at Fermi energy (K point) are linear in k. Wallace (1947), Painter and Ellis PRB 1, 4747 (1970)
Formation of single-wall carbon nanotubes SWCNTs Hamada vector graphene sheet r r r C = na1 + ma2 = ( n, m) C (n,0) Φ A (n,m) d (n,0) zigzag Φ=0 a1 o (n,n) C O(A) (n,n) armchair Φ=30 a 2 The diameter of SWCNT (n,m): d n,m = C /π=a(n 2 +m 2 +mn) 1/2 /π (n,m) chiral 0<Φ<30 a= a 1 = a 2 =2.49 Å e.g. (10,10) d=1.37nm
Electronic properties of SWCNTs periodic boundaries 2πd k n =2π n k K K 1/d K (k n -quantization) 1/d metal semiconductor 9 (10,10) 9 E F E F E(K) (ev) 6 3 0-3 EF 6 3 0-3 Density of states 0 (10,10) K Γ K M K -6-6 (17,0) -9-9 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 ka/π ka/π E g ~1/d (17,0) 0-3 -2-1 0 1 2 3 E(k) (ev) Electronic properties are determined by the structure of SWCNT Theory: tight binding approximation (TBA)
SWCNT: semiconducting or metallic? DOS (ev -1 C -1 ) 0.1 0.0 E F (10,10) -2-1 0 1 2 Energy (ev) (11,9) Armchair Φ= 30 metallic Zigzag+Chiral: Φ<30 metallic or semiconducting semiconducting metallic DOS (ev -1 C -1 ) 0.1 0.0 E g ~1/d -2-1 0 1 2 Energy (ev) Metallic for m-n= 3j j = integer
Elektronische Zustände in SWCNT Parallel zur Achse der SWCNT: ähnlich Graphit unendliche Anzahl von k-zuständen Normal zur Achse der SWCNT: Quantisierung des Wellenvektors der Elektronen auf dem Umfang c λ = c/j j = integer k = 2π/λ = 2πj/c = j/r j=0 j=1 j=2
Eigenschaften von C 60 Fußballform hat I h Symmetrie: Elektronische Zustände: Hückelnäherung Γ π =a g +t 1g +t 2g +2g g +3h g +2t 1u +2t 2u +2g u +2h u Schwingungen: 174 Freiheitsgrade, entartet zu 46 Moden Γ π =2A g +3T 1g +4T 2g +6G g +8H g +4T 1u +5T 2u +6G u +7H u Bindungslängen:a s = 0.146 nm, a d =0.14 nm, φ=108 Durchmesser:D=0.7 nm, van der Waals r =0.5 nm Elektronenaffinität = 2.65 ev, Ionisierungspotential = 7.6 ev C 60 ist leichter zu Reduzieren als Oxidieren
ElektronischeStruktur: C 60 Halbleiter, schmale Bänder W=0.3 ev W=0.4 ev