IV. Diffrnialglichngn: z.b. y d Klassifiaion von Diffrnialglichngn 1. Gwöhnlich / Parill Dgl. y f, 1 nabhängig Variabl gwöhnlich Dgl mhr Variabln : parill Dgl. Ordnng Is di höchs vorommnd bling y, y... y : 1. Ordnng y :. Ordnng 3. Grad Is di höchs vorommnd Ponz : y`, y`², y`³ y`: 1. Grad linar, y`² :. Grad qadra 4. homogn / inhomogn: d y c Homogn: c Inhomogn: c : ispil: d y odr analog zm radioaivn Zrfall d d Das is in gwöhnlich 1 Var., linar y`, homogn c Diffrnialglichng 1. Ordnng y` 1 Einfach Diffrnialglichngn önnn drch Ingraion glös wrdn, bi parilln Dgl. is of nr mhr in nmrisch Lösng möglich. Lösngsmöglichin: 1 Einfach Ingraion: z.. d Ingraion af bidn Sin d Ein Fallbispil disr r is di glichförmig Gschwindigi ds/d d d Mahmaisch Übngn Kap.3 1/8 Hofmann / Lnr
d d d d Fallbispil dafür is dr frir Fall D Dis Dgl.. Ordnng wird -mal ingrir m af in Glichng für z ommn Di Ingraionsonsann nd D wrdn für ral Fäll von dr Physi nd nich von dr Mahmai bsimm naürlich müssn si mahmaisch möglich sin. Ein infach Ingraion is nr dann möglich, wnn af dr rchn Si dr Glichng in Konsan sh. Sh af dr rchn Si in Fnion, dann müssn andr Mhodn angwnd wrdn.. Mhod dr Trnnng dr Variabln Z.. f Frag: wi ändr sich mi dr Zi sp. d d ispil radioaivr Zrfall; allgmin ri in Glichng disr Form af, wnn di Ändrng ds Fnionswrs proporional dm Fnionswr is Trnnng dr Variabln nd : d d { { f f Ingraion disr Glichng: o d O d Grnz obn offn Flächnfnion Grnzn: nr Grnz is di nfangsbdingng Zi sar bi, sar bi o o analog: Randbdingng Ingraion von rchr nd linr Si: abr: vrschidn Ingraionsvariabl Mahmaisch Übngn Kap.3 /8 Hofmann / Lnr
Plasibiliä: Ingraion Flächnbrchnng Es ann nach bidn Variabln ingrir wrdn, di Gsamfläch blib dabi glich. o d ln ln O d simmng dr Ingraionsonsann c übr di Fslgng dr Rand- bzw. nfangsbdingngn: Nach dn Rgln dr Mahmai gib s nndlich vil Lösngn, drch di Physi odr di iologi wrdn nr in, vnll mhrr, bsimm sinnvoll Lösngn asgwähl. Di Dgl. d/d - ha z.. di allgmin Lösng: : d d ln c. c Di Randbdingng ann mß abr nich! lan: Für gil o. Mi dr Fslgng disr Randbdingng ann anggbn wrdn o Einszn in di allgmin Lösng: Mahmaisch Übngn Kap.3 3/8 Hofmann / Lnr
ispil: radioaivr Zrfall dn d N N... nzahl dr om zm Zipn Lösng: N N o. --o... Zrfallsonsan ispil für di nwndng dr Mhod dr Trnnng dr Variabln: Wichig nwndng in iologi habn di a Diffrnialglichngn dr allgminn Form: y ay b, b ispil dafür in dr Nar sind: limiirs bgrnzs Wachsm, 1-Komparmnmodll, Ladng ins Kondnsaors, radioaivs Glichgwich c.. 1-Komparmnmodll: dc Im Glichgwich gil: : d Lösng dr Diffrnialglichng drch Trnnn dr Variabln: v.5;. v. 1. v v. d d d d v 1 ; dv v dv d dv ; d dv v d; d; Di Lösng ds nbsimmn Ingrals la: ln v v 4 1 3 Mahmaisch Übngn Kap.3 4/8 Hofmann / Lnr
Mahmaisch Übngn Kap.3 5/8 Hofmann / Lnr simmng dr Ingraionsonsann K K K v dahr ; ln nfangsbdingngn: ; 1 Lösng : ;. 1 K K Di Säigng s bzw. dr Maimalwr is rrich bi ; s s b Dgl. dr Form: y ay² by c nich-linar Dgl. qadra. Glichng: ay²byc Lösngn Wrzln:, ay² by c a-y-y ; für y bzw. y ad y y Parialbrchzrlgng mi Variabln dr Trnnng dr Mhod y y a d Lösng: s. aschl: c a y ; 1 sp.: bschräns Wachsm inr Poplaion
3 c 5 a. y 1 c. 15, 14.9.. 3 4 a.. mahmaisch Form: y y; d Lösng: Zm Vrglich: y 1 nbschräns Wachsm bi /d ay y Säigng bi: /d a-y 1 3 In nbnshndr bbildng is in sigmoid Krv als ispil für in bschräns Wachsm dargsll. Dis Fnion wird als logisisch Fnion bzichn. c Mli omparmn- Modll 1 1 1 1 1,... Konznraion in Komparimn 1 nd 1 Zfhrra [ -1 ] 1 Transfrra von Komp. 1 nach Komp. d1 d { 1 1 11 1443 1443 zfhr von nach1 von1nach analog d 1 1 1 d 1443 1443 1443 von 1nach von nach 1 flß Zfhr: posiivs Vorzichn Mahmaisch Übngn Kap.3 6/8 Hofmann / Lnr
branspor: ngaivs Vorzichn llgmin Lösng: 1 1 1 a1 a Sind omparmns vorhandn, dann rn in dr Lösng -Fnionn af. 3 Lösng von Diffrnialglichngn drch Einszn nd Probirn Dis Form ds Lösns von Dgl. sz allrdings gwiss mahmaisch Knnniss nd Erfahrngn voras. z.. Schwingng ins Fdrpndls Fdrraf Gwich nfangsbdingng: Fdrpndl wird bis asgzogn Hoo schs Gsz: F - Fdrraf F d m. a m d d Diffgl.: m d.. in gwöhnlich 1.Var., homogn, linar y Diffrnialglichng.Ordnng y. hapng bzw. nnahm: Lösng is in Sinsschwingng β is di Phasnvrschibng sin ω β d d o cos ω ß ω Mahmaisch Übngn Kap.3 7/8 Hofmann / Lnr
d d o sin ω ß ω 144 43 4 ω Mi inm Koffizinnvrglich: d m mω d rgib sich: ω ω m m nn in di nnahm inszn: sin ω β sin β m Was passir nn mi dr Phasnvrschibng ß Ingraionsonsan nfangsbdingng:, / / / sin / β m/ sin β 1 ß 9 bzw. π / Ein ispil dafür, dass sin ann!! Lösng: sin m π Mahmaisch Übngn Kap.3 8/8 Hofmann / Lnr