5.6. Prüfungsaufgaben zu Differentialgleichungen und Wachstumsformen

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1 5.6. Prüfungsaufgabn zu Diffrnialglichungn und Wachsumsformn Aufgab a: Richungsfldr (8) a) Skizzir das Richungsfld dr Diffrnialglichung ( ) = im Brich bzw.. () b) Bsimm di dr Diffrnialglichung aus a) mi dm Sarwr () = durch Ingraion. () c) Führ di Prob durch. () : a) sih rchs () Wrabll: b) ( ) d d = TdV ( )d = d In = ( ) ( ) = VE + =. bf ( ) = = ± + = ± c) () = ± ( ) = ( ± ) = (± ) =. Aufgab b: Richungsfldr (8) a) Skizzir das Richungsfld dr Diffrnialglichung ( + + ) = im Brich bzw.. () b) Bsimm di dr Diffrnialglichung aus a) mi dm Sarwr () = durch Ingraion. () c) Führ di Prob durch. () : a) sih rchs () Wrabll: b) ( + + ) d d = TdV = ( ) d = d In ( ),5 = +,5 = c) () = ( ) ( + + ) =. () Aufgab : Trnnung dr Variabln (5) Bsimm di dr folgndn Diffrnialglichungn zu dn ggbnn Anfangsbdingungn: a) d d = + mi () = b) d d + = mi () = d c) d = mi () =,6,5,5,5 -,5,5,5,6,5,5,,6

2 n a) d d = + () () = b) d d + = c) () = d d = d = d = d = d ( )d d = ln() = = = + () ln = = () () = ln( + ) () Aufgab : Bschränks Wachsum (7) Bi Tropfinfusionn wrdn dm Blu ds Painn Mdikamn glichmäßig zugführ. In inr Klinik wrdn übr in Tropfinfusion pro Minu,8 mg ins Mdikamns vrabrich, das bislang im Körpr nich vorhandn war. Andrrsis wrdn übr di Nirn pro Minu 5 % dr akull im Blu vorhandnn Mng diss Mdikamns ausgschidn. Zu Bginn dr Bhandlung bkomm dr Pain durch in Spriz 5 mg ds Mdikamns vrabrich. a) Zign Si, dass s sich bi disr Siuaion um bschränks Wachsum handl. () b) Bsimmn Si in Funkion, di dn Vrlauf diss bschränkn Wachsums bschrib. () c) Mi wlchr Mng ds Mdikamns is bi inr längrn Bhandlung ds Painn in sinm Körpr zu rchnn? () a) Es si di si Bginn dr Vrhandlung vrgangn Zi in Minun und B() dr Ghal ds Mdikamns im Blu in mg. Dann gil B () =,8,5 B(). Dis DGL bschrib in bschränks Wachsum. () b) Ausklammrn ds Wachsumsfakors rgib B () =,5 (6 B()) k =,5 und S = 6. Mi B() = 5 rhäl man di dr DGL B() = S [S B()] k = 6,5. () c) Aus b) rgib sich B() S = 6 mg für () Aufgab : Bschränks Wachsum (7) Ein Tich bi Plaz für maimal 7 Fisch. In inm Modll soll angnommn wrdn, dass di Ändrungsra ds Fischbsands proporional zur Anzahl dr noch Plaz findndn Fisch is. Anfangs bfindn sich Fisch im Tich. Nach inm Mona sind Fisch vorhandn. a) Formulir di Diffrnialglichung für dn Bsand B() nach Monan. () b) Bsimm durch Ingraion di Funkion, wlch disn Fischbsand in Abhängigki von dr Zi bschrib. () c) Nach wi viln Monan sind 5 Fisch in dm Tich vorhandn? () d) Wi vil Fisch müssn sich am Anfang im Tich bfindn, dami bi unvrändrn Wachsumsbdingungn rs nach fünf Monan 5 Fisch vorhandn sind? () a) B () = k [S B()] mi S = 7 () b) B() = 7 k mi B() = k = ln 6, B() = 7, () c) B() = 5 ln(,5),,8, also nach knapp dri Monan. () d) B 5 () = 7 A, mi B 5 (5) = 5 A = 88, Sarwr B 5 () 9 Fisch () Aufgab 5: Bschränks Wachsum (8) Nach inm lichn Erdbbn vrändr sich in inr unrirdischn Höhl das Wassrvolumn V(), das bishr 6 m brug, mi dr Wachsumsgschwindigki V'() =,7,8 mi in Wochn si dm Erdbbn, V() in m. a) Woran is rknnbar, dass das Wassrvolumn zunimm? () b) Bsimm dn Funkionsrm für V() durch Ingraion dr ggbnn Wachsumsgschwindigki. () c) Mi wlchm Wassrvolumn is auf lang Sich zu rchnn? () d) Bsäig durch Rchnung, dass V() di Diffrnialglichung V'() =,8 [5 V()] rfüll. () ) Erläur mi Hilf dr Diffrnialglichung, dass di Vrändrung ds Wassrvolumns auf inn konsann Zufluss und inn ziabhängign Abfluss von Wassr zurückgführ wrdn kann. () () () ()

3 a) V() sig monoon, wil V () > () b) Sammfunkion V c () = 9,8 + c mi V c () = 6 c = 5 V() = 5 9,8 () c) V() 5 für (Säigungsschrank) () d),8 [5 V()] =,8 [9,8 ] =,7,8 = V () () ) V () =,8 [5 V()] =,,8 V(). () Dr Zufluss sz sich also zusammn aus dm konsann Zufluss +, m /Woch und dm ziabhängign Abfluss,8 V() m /Woch () Aufgab 6: Bvölkrungswachsum In inm Land mi 7 Millionn Einwohnrn kommn auf Einwohnr Gburn und 9 Todsfäll im Jahr. Jds Jahr wandrn durchschnilich Prsonn aus und 5 Prsonn in. a) Bschrib di Enwicklung dr Bvölkrungszahl B() nach Jahrn durch in Diffrnialglichung. Mi wlchr Bvölkrungszahl is langfrisig zu rchnn? b) Bsimm di Funkionsglichung für di Bvölkrungszahl B() durch Ingraion dr Diffrnialglichung aus a). Wi vil Einwohnr gib s nach 5 Jahrn? : a) B () = 5 +, B() =, [75 B()] Bschränk Zunahm mi B() = 7 und Säigungsgrnz S = 75. () b) TdV und Ingraion: sih Skrip () B() = 75 5, mi in Jahrn B(5) = () Aufgab 7: Bschränks Wachsum, Ingraion, Tangnn () In inm Land mi ca. 6, Millionn Haushaln gab s zu Bginn ds Jahrs wa, Millionn Haushal mi inm DVD-Plar. Di Zahl H dr mi inm DVD-Plar vrsorgn Haushal in Millionn si Bginn ds Jahrs kann durch di Diffrnialglichung H'()=, (5, H()) bschribn wrdn. Dabi is di Anzahl dr si Bginn ds Jahrs vrgangnn Jahr. a) Bsimm inn Funkionsrm dr Funkion H(). () Mi wlchr Anzahl von Haushaln mi DVD-Plarn is langfrisig zu rchnn? () Zu wlchm Zipunk sh in 7% dr Haushal ds Lands in DVD-Plar? () Wann lag di Ändrungsra dr Anzahln rsmals unr,6 Millionn pro Jahr? () b) Wlch Größ wird durch H'() bschribn? () Erklär mi Hilf inr Skizz, wi man mi Hilf von H'() und H() inn Nährungswr für H(,5) brchnn kann. () Bsimm disn Nährungswr. () Bgründ, warum disr Nährungswr größr als H(,5) is. () a) H() = 5, A, mi H() = A =,,8,9 H() = 5,,9, () H() 5, für Langfrisig wird sich di Zahl dr Säigungsgrnz S = 5, nährn. () H() =,7 6 =, =,9, = 5 ln(,9) 7,95, d.h. End 7 () H( + ) H() <,6,9, (, ) <,6,96, d.h. von nach () b) H () bschrib di momnan Ändrungsra zum Jahrsbginn () Di Tangn T() = H () ( ) + H() durch P( H()) mi dr Sigung H () lifr Nährungswr in dr Umgbung von =. (sih Skizz unn) () T() =,76( ) + T(,5),88 Millionn () H(,5), is klinr, wil di Kurv rchsgkrümm is, so dass di Tangn obrhalb vrläuf. () 5,,9, H/Millionn T(),5 /a

4 Aufgab 8 Bschränks Wachsum (6) Ein Kondnsaor dr Kapaziä C wird durch in Glichspannung übr inn Widrsand von R = kω aufgladn. a) Skizzir das Schalbild. () b) Formulir di Diffrnialglichung für di Ladungsfunkion Q(). () c) Bsimm di dr Diffrnialglichung durch Trnnung dr Variabln. () d) Wi gross is di Kapaziä C ds Kondnsaors, wnn r nach Skundn zu 8% gladn is? () n: (Alls in SI) Skizz sih rchs () U R + U C = U R I() + Q() C = U dq U = d R Q RC () Q dq Q U C = ln RC d Q ln Q U C = RC Q U C UC = RC Q() = RC UC () Di maimal rrichbar Ladung is di Q = U C und () aus Q() =,8 U C rhäl man,8 = C = 5 ln(,) C, = () 5 C (), mf () U U C = Q/C U R = R I Aufgab 9: Roaionsvolumina, bschränks und logisischs Wachsum () Ggbn is di Funkion f durch f() = mi R. Das Schaubild von f si K. a) Skizzir K mihilf ds GTR. () Bsimm das Volumn ds Körprs, dr durch Roaion von K zwischn = und = um di -Achs nsh. () b) Wlch Eignschafn von K könnn dm Funkionsrm f() ohn Vrwndung von Abliungn nnommn wrdn? Bgründ. () c) f wird für vrglichn mi inr Funkion h, di dor durch h() = 8 ggbn is. Zig, dass dr Unrschid zwischn dn Funkionswrn von f und h monoon fäll. () Wi groß wird dr maimal Unrschid? () Zig, dass di Funkion h in bschränks Wachsum bschrib. Kann das auch übr f gsag wrdn? () a) Skizz () V = π (f ()) d,86 VE () Achsnschnipunk S ( 5 ) durch Einszn (,5) Wrbrich W = ]; [, da > und + > (,5) waagrch Asmpo = für, da für (,5) waagrch Asmpo = für +, da für + (,5) f() = = wächs srng monoon, da + srng monoon fäll. (,5) f ha dahr kin Ermpunk! (,5) b) d() = f() h() = mi d () = ( ) 6 () 6( ) 6( ) Wgn d () = ( ) < fäll dr Unrschid monoon () Dr maimal Unrschid wird bi = rrich mi d(), (GTR) () c) Wgn h () = 6 rfüll h di Diffrnialglichung h () = ( h()). () h bschrib dahr in bschränks Wachsum mi dr Säigungsgrnz S =. () 6 Wgn f () = ( ) rfüll f daggn di Diffrnzialglichung f () = f() ( f()). () f bschrib dahr in logisischs Wachsum mi dr Säigungsgrnz S =. ()

5 Aufgab : Bschränks Wachsum (5) Das unn shnd Bild gib di Enwicklung dr Bvölkrungsdich auf dm Gbi dr aln Bundsländr widr. Einwohnr (in Mio.) a) Modllir unr dr Annahm ponnilln Wachsums mils dr in dr Tabll anggbnn Bvölkrungsdich in gign Funkion, di di Enwicklung in dn Jahrn 86 bis 9 nährungswis bschrib. () b) Bsimm dami in Prognos für di Bvölkrungsdich und di Bvölkrungszahl im Jahr. () c) Di Enwicklung dr Bvölkrungsdich ab 95 du auf bschränks Wachsum hin. Gib in gign Diffrnzialglichung für dis Wachsumsform an. () d) Li in disr Diffrnzialglichung hr. () ) Bsimm mi dn Dan dr Jahr 95, 98 und 996 di Funkion, di dis Enwicklung widrspigl. (5) f) Wlch langfrisig Bvölkrungsdich rgib sich nach dism Modll? () a) Ansaz B() = B() k mi B() = 77 für das Jahr 86 ( = ) und B(9) = für das Jahr 9 ( = 9) B() = 77 und k = ln 77, B() 77, mi in Jahrn ab 86. () 9 b) B() 9 für das Jahr () c) B () = k (S B()) () B '() d) Man bring all von abhängndn Ausdrück auf in Si und ingrir dann mi linarr Subsiuion: S B() = k B '() d S B() = kd ln S B() = k S B( ) ln = k S B() B()) k. () ) B() = für das Jahr 95 S 7 B() = 7 für das Jahr 98 ln = k S S 67 B(6) = 67 für das Jahr 996 ln = 6k S S 67 S 7 S 67 Glichszn rgib ln = 6 ln 6 S S / : ZERO) rgib S 8,5 E / km. Mi Einszn rhäl man wir k 5,8,689 E / km (5) f) Aus ) rgib sich S = 8,5 E / km. () ln S 6 S 7 ln S S B( ) S B() = k B( ) = S (S = mi dm GTR (CALC 8, 5 67 ln,689 B() = 8,5 8,5 5

6 Aufgab : Wachsum und Diffrnialglichungn (6) Di Wachsumsgschwindigki dr Pflanz Abiurium wird in dn rsn zhn Jahrn nach dr Pflanzung durch di Funkion f () = 6 mi R + bschribn, wobi in Jahrn nach dr Pflanzung, f () in Mrn pro Jahr anggbn is. ( ) Zum Zipunk dr Pflanzung is di Pflanz cm hoch. Das Schaubild von f si K. a) Skizzir K mi Hilf ds GTR für. Bsimm mi Hilf ds GTR auf Nachkommaslln gnau, wann di Pflanz am schnllsn wächs und zu wlchn Zipunkn si um m pro Jahr wächs. (5) b) Skizzir das Schaubild dr Funkion f(), wlch di zilich Enwicklung dr Pflanznhöh bschrib. Bsimm mi Hilf ds GTR, wi hoch di Pflanz nach Jahrn is. () c) Bsimm di Funkionsglichung für f() durch Ingraion. () d) Nun soll in dn rsn Jahrn di Wachsumsgschwindigki dr Pflanz vrinfach durch ponnills Wachsum bschribn wrdn. Bsimm mihilf dr Wr dr obn anggbnn Funkion f () für = und = di Diffrnialglichung und di sfunkion g() für ponnills Wachsum. () ) In wlchm Ziraum vrdoppl sich di Wachsumsgschwindigki nach dm ponnilln Ansaz? () f) Vrglich mihilf dr Wr nach Jahrn das vrinfach Modll mi dm ursprünglichn Modll. () n a) Skizz sih rchs () Das Maimum dr Wachsumsgschwindigki f () wird lau GTR nach = Jahrn rrich. () f () m/jahr wird lau GTR bi,65 und widr bi 5,5 Jahrn rrich () b) Skizz sih rchs. () f() = is lau GTR nach,78 Jahrn rrich. () c) f() = 6 d 6 = 6 () = 6 = 6 ( ) ( )( ) d) DGL g () = k g() mi g() =, und () g () = f () = 6 ( ),597 rgib k,9 g() = g() k,,9 () ) Aus g( D ) = g() rgib sich di Vrdopplungszi D = ln(),9 f) Dr rlaiv Fhlr bräg nach Jahrn bris d () () g() f () f () rapid, wil di ponnill Nährung dn Grnzwr = 6 5,5 5,5,5,5,5,5 g() f() f'( ,75 Jahr (),,89,89, % und vrgrößr sich lim f() = 6 m nich brücksichig. () 6

7 Aufgab : Hagn-Poissuill-Gsz für Ribungswidrsand in inm Rohr bi laminarr Srömung Ein Flüssigki mi dr Viskosiä η rrich in inm Rohr dr Läng l und mi dm Durchmssr R bi inr Druckdiffrnz Δp = p End p Anfang zwischn dn Rohrndn inn Volumnsrom (= Volumn pro Zi) V () = Δp. 8 l Ein 5 m langs, m bris und m ifs Schwimmbckn soll durch in waagrchs m langs und cm dicks Rohr glr wrdn, dssn Anfang im Bcknbodn lig und dssn End fri lig. Dr hdrosaisch (Übr)Druck Δp = A F G auf dn Rohranfang mi dr Qurschnisfläch A komm durch di auf ihm lasnd Gwichskraf F G = m g = ρ V g = ρ A h() g dr Wassrsäul mi dr Dich ρ, dr Grundfläch A und dr Höh h() zusand. Wassr ha di Viskosiä η = Ns/m und di Dich ρ = kg/m. Di Schwrbschlunigung is g = m/s. Bsimm di Ausflussgschwindigki V () in Lirn pro Skund. Ach auf das ngaiv Vorzichn dr Druckdiffrnz und dr Ausflussgschwindigki! Wi lang daur s, bis das Wassr nur noch cm hoch sh? (Dr Rs vrduns dann!). Wassrsäul mi dr Mass m = ρ A h() g R h( ) Qurschnisfläch A l n: (Alls in SI) Di Ausflussgschwindigki V () is proporional zum Volumn V A () = ρ A h() dr Wassrsäul, di übr dm Ausfluss sh. Dis is widrum proporional zum Gsamvolumn V() = ρ m A h() mi V A () = V() () 6 R R R g A Di DGL lau V () = Δp = ρ V A () g = 8 l 8 l 8 l V() V () = k V() mi k = R g = () 8 l 5 Mi V() = rgib sich di V() = V() k für das ausgflossn Volumn nach Skundn. () Aus V() = rhäl man di Ausflusszi = ln(,)/k 999 s 7 h min und s. () Aufgab : Funkionsanpassung Dr Schalr in dr rchs abgbildn Schalung wird im Skundnak an- und widr ausgschal. a) Bsimm di Glichung für di unn abgbild Kurv dr Kondnsaorspannung U C () in dr rsn Skund. () b) Bsimm di Kapaziä C aus dr in a) rmiln Glichung () U C /V,5,5,5,5 /s n a) Ansaz U() = U ( /RC ) mi lim U() = U = 8V und U(,) = 5V s () 5 = 8(,/RC ) RC =,:ln, s 8 () b) C, s / 5 Ω, mf () 7

8 Aufgab : Trnnung dr Variabln: Bsimm di dr Diffrnialglichung + = mi dr Anfangsbdingung () =. n + = d = (,5) d d = d (,5) () d = () () ln() = d () () ln() = ln() + = () () = =. () 8