Universität Bielefeld WS 2012/13 GRUPPENTHEORIE AUFGABEN ZUR PRÜFUNGSVORBEREITUNG II DR. PHILIPP LAMPE Rat sucht man deshalb, weil man die einzige Lösung kennt, aber nichts davon wissen will. Erica Jong Das folgende Aufgabenblatt dient der Leistungsüberprüfung. Die Aufgaben ähneln in der Form möglichen Fragen in einer mündlichen Abschlussprüfung (obwohl das gesamte Aufgabenblatt umfangreicher ist als eine Prüfung). Eine mündliche Prüfung dauert ungefähr 30 Minuten und ist in drei Teile unterteilt. Sie beginnt damit, dass Sie in etwa 5-10 Minuten einen Satz inklusive seiner Beweisskizze vorstellen. Danach folgen Fragen aus dem Umfeld des Satzes. Der dritte Teil umfasst den restlichen Stoff der Vorlesung. Die folgenden Sätze eignen sich gut zur Vorstellung: (1) Der Satz von Lagrange (Bemerkung 11.7). Man stelle zunächst den Satz vor. Dazu wiederhole man kurz die Definition der Ordnung einer Gruppe und eines Gruppenelements und formuliere anschließend die Behauptung des Satzes. Dann stelle man den Beweis skizzenhaft vor. Dabei sind Mengen L(y) für y G wichtig. Man begründe kurz, warum die Mengen alle die gleiche Kardinalität haben, warum diese Kardinalität mit der Ordnung des betrachteten Gruppenelements übereinstimmt und folgere die Behauptung. Wenn die Zeit reicht, illustriere man das Resultat an einem interessanten Beispiel. Mögliche Anschlussfragen sind: (a) Wie beweist man das Kürzungslemma, das im Beweis verwendet wird? (b) Wie folgt der kleine Satz von Fermat aus dem Satz von Lagrange? (c) Sei x = 11 in G = (Z/28Z). Wie sehen die Mengen L(y) für verschiedene Gruppenelemente y G aus? (d) Sei σ in G = S 3 die Permutation der Menge {1, 2, 3} mit σ(1) = 2, σ(2) = 1 und σ(3) = 3. Wie sehen die Mengen L(y) für verschiedene Gruppenelemente y G aus? (2) Das Lemma von Bézout (Lemma 9.2). Man formuliere zunächst die Aussage des Lemmas von Bézout. Es gibt zwei mögliche Beweise: einen nichtkonstruktiven Beweis über das Schubfachprinzip und einen konstruktiven Beweis über den euklidischen Algorithmus. Man beschreibe die wesentlichen Beweisschritte eines Beweises (zum Beispiel durch Betrachtung der Elemente n, 2n, 3n,..., mn modulo m im ersten Fall). Wenn die Zeit reicht, illustriere man das Resultat an einem interessanten Beispiel. Mögliche Anschlussfragen sind: (a) Wie findet man solche Zahlen konkret? (b) Finden Sie solche Zahlen für ein Beispiel. (c) Wie beweist man die Existenz des inversen Elements in multiplikativen Restklassengruppen mit Hilfe des Lemmas von Bézout? (3) Klassifikation der platonischen Körper (Satz 22.1). Man gebe die Definition eines platonischen Körpers, nenne die fünf platonischen Körper an und formuliere die Aussage des Satzes. Für einen Beweis des Satzes gebe man (ohne Beweis) die Eulersche Polyederformel an, führe das Schläfli-Symbol ein und begründe kurz die Beziehungen 2K = pf = qe. 1
Im Anschluss stelle man die diophantische Gleichung auf. Man gebe die Lösungen der Gleichung an, diskutiere aber nur einen Fall im Detail. Mögliche Anschlussfragen sind: (a) Was ist das Schläfli-Symbol in den konkreten fünf Fällen? (b) Was ist die (volle) Symmetriegruppe des Tetraeders? (c) Was ist die (volle) Symmetriegruppe des Würfels? (d) Was ist die (volle) Symmetriegruppe des Ikosaeders? (e) Was ist Dualität? Welche platonischen Körper sind dual zueinander und was bedeutet das für ihre Symmetriegruppen? Die folgenden Fragen sind mögliche Fragen im dritten Teil: Aufgabe 1 (Definitionsabfragen). Geben Sie die Definitionen der folgenden Begriffe aus der Vorlesung wieder. (a) Was ist eine Untergruppe? (b) Wie ist die Gruppe der Drehungen eines n-ecks definiert? (c) Wie ist die Diedergruppe definiert? (d) Was ist ein platonischer Körper? (e) Was ist das Schläfli-Symbol? (f) Wie ist die Vektoraddition im R 2 bzw. R 3 definiert? Aufgabe 2 (Allgemeinwissen). Im Folgenden sollen Sie die folgenden Sätze und Resultate (als Aussagen ohne Beweis) wiedergeben. (a) Formulieren Sie die Klassifikation der platonischen Körper. (b) Formulieren Sie den Satz von Lagrange. (c) Was sagt der chinesische Restsatz? Was ist das Lemma über simultane Kongruenzen? (d) Nennen Sie die Ordnungen der Drehgruppe R n, der Diedergruppe D n, der (vollen) Tetraedergruppe, der (vollen) Würfelgruppe und der (vollen) Ikosaedergruppe. Aufgabe 3 (Untergruppen). Entscheiden Sie, welche Teilmenge H G eine Untergruppe der Gruppe (G, ) bildet: (a) Die Teilmenge H = 14Z Z der durch 14 teilbaren ganzen Zahlen in G = (Z, +). (b) Die Teilmenge H = 3 + 14Z Z der Zahlen kongruent zu 3 modulo 14 in G = (Z, +). (c) Die Teilmenge H = {0, 3, 6} in G = Z/9Z. (d) Die Teilmenge H = {1, 8} in G = Z/9Z. (e) Die Teilmenge H = {1, 8} in G = (Z/9Z). (f) Die Teilmenge Q R der rationalen Zahlen in (R, +). (g) Die Teilmenge Z Q der ganzen Zahlen in (Q, +). (h) Die Teilmenge H = {(n, m) Z Z: n m mod 18} in G = Z Z. (i) Die Teilmenge H = {(n, m) Z Z: n m + 13 mod 18} in G = Z Z. Aufgabe 4 (Dreieck). Stellen Sie die Verknüpfungstabelle der Diedergruppe D 3 der Symmetrien eines regulären Dreiecks auf. 2
Aufgabe 5 (Viereck). Stellen Sie die Verknüpfungstabelle der Untergruppe der Diedergruppe D 4 derjenigen Symmetrien eines Quadrats auf, die die folgende Färbung der Ecken erhalten. Aufgabe 6 (Sechseck). Stellen Sie die Verknüpfungstabellen der Untergruppen der Diedergruppe D 6 derjenigen Symmetrien eines Sechsecks auf, die die folgende Färbungen der Ecken erhalten. Aufgabe 7 (Drehungen und Spiegelungen in der Ebene). (a) Definieren Sie die Begriffe Drehung, Verschiebung, Punktspieglung und Achsenspiegelung. (b) Welche anschauliche Interpretation hat Vektoraddition im R 2? (c) Begründen Sie mit Hilfe von (b), warum Drehungen und Spiegelungen lineare Abbildungen sind. (d) Welche Art von Abbildung ist die Verkettung zweier Drehungen (um den Ursprung)? (e) Welche Art von Abbildung ist die Verkettung einer Drehungen (um den Ursprung) und einer Achsenpiegelung? (f) Welche Art von Abbildung ist die Verkettung zweier Achsenspiegelungen? (Vorsicht bei dem Sonderfall paralleler Achsen.) (g) Beschreiben Sie die Drehungen um den Ursprung um 90 bzw. 180 gegen den Uhrzeigersinn explizit in Koordinaten. (h) Skizzieren Sie, wie man mit Hilfe der Trigonometrie eine beliebige Drehung explizit in Koordinaten beschreiben kann. (i) Beschreiben Spiegelung an der x-achse explizit in Koordinaten. (j) Skizzieren Sie, wie man mit Hilfe der Trigonometrie eine beliebige Achsenspiegelung explizit in Koordinaten beschreiben kann. 3
Aufgabe 8 (Drehungen und Spiegelungen im Raum). (a) Definieren Sie die Begriffe Drehung um eine Achse, Verschiebung, Punktspiegelung und Ebenenspiegelung. (b) Welche anschauliche Interpretation hat Vektoraddition im R 3? (c) Begründen Sie mit Hilfe von (b), warum Drehungen und Spiegelungen im Raum lineare Abbildungen sind. Aufgabe 9 (Platonische Körper). (a) Was ist ein platonischer Körper? (b) Welche platonischen Körper gibt es? (c) Was besagt die Eulersche Polyederformel? (d) Was ist das Schläfli-Symbol? (e) Bestimmen Sie die Zahl der Ecken, Fächen und Kanten sowie das Schläfli-Symbol in den konkreten Fällen. Verifizieren Sie die Eulersche Polyederformel in den Fällen. Platonischer Körper E K F p q Tetraeder Würfel Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder (f) Was ist Dualität? Welche platonischen Körper sind zueinander dual? Aufgabe10 (Tetraeder). Im Folgenden sei T die Tetraedergruppe, d.h. die Gruppe der Drehungen, die ein gegebenes reguläres Tetraeder festlassen. Ferner sei T die volle Tetraedergruppe, d.h. die Gruppe aller Symmetrietransformationen, die das Tetraeder festlassen. (a) Wie viele Elemente enthält T? (b) Wie viele Elemente enthält T? (c) Beschreiben Sie die Elemente von T. (d) Welche zwei Arten von Elementen kommen dazu, wenn man von T zu T übergeht? (e) Betten Sie das Tetraeder geschickt in ein Koordinatensystem ein. (g) Begründen Sie, warum die Mengen T und T Gruppen bilden. (h) Begründen Sie, warum T isomorph zu S 4 ist. Aufgabe 11 (Würfel). Im Folgenden sei W die Würfelgruppe, d.h. die Gruppe der Drehungen, die einen gegebenen Würfel festlassen. Ferner sei W die volle Würfelgruppe, d.h. die Gruppe aller Symmetrietransformationen, die den Würfel festlassen. (a) Wie viele Elemente enthält W? (b) Wie viele Elemente enthält W? (c) Beschreiben Sie die Elemente von W. (d) Welche zwei Arten von Elementen kommen dazu, wenn man von W zu W übergeht? (e) Betten Sie den Würfel geschickt in ein Koordinatensystem ein. (g) Begründen Sie, warum die Mengen W und W Gruppen bilden. 4
(h) Begründen Sie, warum W isomorph zu S 4 ist. Aufgabe 12 (Ikosaeder). Im Folgenden sei I die Ikosaedergruppe, d.h. die Gruppe der Drehungen, die ein gegebenes reguläres Ikosaeder festlassen. Ferner sei I die volle Ikosaedergruppe, d.h. die Gruppe aller Symmetrietransformationen, die das Ikosaeder festlassen. (a) Wie viele Elemente enthält I? (b) Wie viele Elemente enthält I? (c) Beschreiben Sie die Elemente von I. (d) Welche zwei Arten von Elementen kommen dazu, wenn man von I zu I übergeht? (e) Betten Sie das Ikosaeder geschickt mit Hilfe der Postkartenkonstruktion in ein Koordinatensystem ein. Was ist der goldene Schnitt und warum ist er an der Stelle hilfreich? (g) Begründen Sie, warum die Mengen I und I Gruppen bilden. Aufgabe 13 (Kulturhistorischer Background). Gegeben sind fünf Fremdwörter, die in der Vorlesung eine Rolle spielen, und ihre deutsche Übersetzung. Ordnen Sie die Paare entsprechend zu. Symmetrie Isomorphie Rotation Permutation Tetraeder Vertauschung Vierflächner Drehung Ebenmaß Gleichgestaltigkeit 5