Mathematik Semesterarbeit Eingereicht von: Heller Markus Student HFTG Zug 3. Semester Bei Dozentin Stähli Franziska
2 Inhaltsverzeichnis Einleitung...3 Die Strecke...4 Die Daten...5 Das Datenblatt der Tour...5 Die Daten aufbereitet...5 Die Formeln...6 Hangabtriebskraft und Normalkraft...6 mechanische Arbeit...6 Leistung...6 Erste Berechnung...7 Skizze 1...7 Arbeit 1...8 Leistung 1...8 Zweite Berechnung...9 Skizze 2...9 Arbeit 2...11 Leistung 2...11 Die Hubarbeit...12 Erkenntnisse...12 Funktionen...13 Die Hangabtriebskraft im Vergleich zur Steigung...13 Der Rollwiderstand im Vergleich zur Steigung...14 Schlussfolgerung...15 Quellenverzeichnis...16 Bestätigung...16
3 Einleitung Keine Fortbewegung zu Lande, zu Wasser oder in der Luft ist so effizient wie das Radfahren, wenn man das Verhältnis bewegte Masse, Geschwindigkeit und eingesetzte Kraft vergleicht. Es soll also die energiesparendste Fortbewegungsart überhaupt sein. (www.smolik-velotech.de) Und genau darum geht es in dieser Mathematik-Arbeit: ich will die physische Arbeit und die Leistung beim Fahrrad fahren berechnen. Dazu unternehme ich eine kleine Velotour, welche auf der Luzerner Allmend beginnt und auf der Krienseregg am Pilatushang endet. Eines steht schon am Anfang fest: trotz des effizienten Fortbewegungsmittels wird das ein hartes Stück Arbeit in Bezug auf die Tour und des Dokumentes. Bei der Einarbeitung in die Materie stiess ich auf Widerstände. Nämlich genau vier an der Zahl; den Luftwiderstand, den Rollwiderstand, den Steigungswiderstand (Hangabtriebskraft) und den Beschleunigungswiderstand. Den Luft- und den Beschleunigungswiderstand werde ich in meiner Arbeit nicht berücksichtigen und ich konzentriere mich voll auf den Rollwiderstand und die Hangabtriebskraft. Beim Rollwiderstand gilt es den Rollwiderstandskoeffizienten zu beachten, welcher beim Fahrrad auf Asphalt und mit gut gepumpten Rädern 0,007 beträgt. Zudem erlaube ich mir das g mit 10 N/kg in den Berechnungen einzusetzen.
4 Die Strecke Start/ Ziel Zwischenstopp Strecke Ausschnitt aus der Wanderkarte Luzern Pilatus; Mst. 1:25000
Die Daten 5 Das Datenblatt der Tour Die Daten aufbereitet Ort Fahrmeter Meter über Meer Fahrmeterdifferenz Höhendifferenz(m) Allmend 0 451 0 0 Kriens, Talstation 3510 514 3510 63 Buurestübli 5450 685 1940 171 Grauenstein 6310 790 860 105 Kreuzung 6980 844 670 54 Naturfreundehaus 9390 985 2410 141 Krienseregg 9985 1026 595 41 Total 9985 575 Gewicht Total Fahrzeit Total Fahrzeit retour 89kg 57min 35s = 3455s 21min 29s = 1289s Das Beweisbild vom Ziel: 9,98 gefahrene Kilometer
6 Die Formeln Hangabtriebskraft und Normalkraft mechanische Arbeit Bei einer schiefen Ebene (Steigung/ Gefälle) teilt sich die Gewichtskraft in zwei grundlegende Kräfte: Normalkraft: ist die Kraft welche senkrecht zum Boden wirkt. Fn = Masse * g * cos (alpha) -> Aus dieser Formel leite ich den Rollwiderstand ab: F Roll = Masse * g * froll *cos (alpha) Der Rollwiderstandskoeffizient (froll) beträgt beim Fahrrad 0.007 und wird bei den nachfolgenden Berechnungen eingesetzt. Hangabtriebskraft: ist die Kraft welche ich überwinden muss um den Berg hinaufzufahren. Fh = Masse * g * sin (alpha) Die mechanische Arbeit ist das Produkt aus Kraft (in Wegrichtung) mal Weg, die Einheit ist das Newtonmeter (Nm), auch bezeichnet als Joule (J) oder Wattsekunde (Ws). W = (F) * (s) Quelle: U. Jakober Physik 15 Leistung In der Physik wird der Quotient aus Arbeit (W) und der dafür erforderlichen Zeit (t) als Leistung (P) mit der Einheit Watt definiert. P = (W) / (t) Quelle: U. Jakober Physik 16 Die Hangabtriebskraft steigt mit zunehmendem Neigungswinkel Alpha. Die Normalkraft ist bei 0º maximal und nimmt mit steigendem Neigungswinkel ab. Quelle: Duden, Abiturwissen Physik, Seite 74
7 Erste Berechnung Bei meiner ersten Berechnung gehe ich von einer gleichmässigen Steigung aus. Der Steigungswinkel alpha ist elementar für die weiteren Berechnungen und ich ermittle ihn gleich mit der Sinusfunktion im rechtwinkligen Dreieck. sin alpha = a/c sin alpha = 575m / 9985m sin alpha = 0,057586 alpha = 3.30128º sin-1 Skizze 1 c = Krienseregg Allmend alpha Masstab 1:50'000 a = Nun berechne ich die Kräfte Hangabtriebskraft: F h = Masse * g * sin (alpha) F h = 89kg * 10N/kg * sin (3.301) F h = 51,2518 N Rollwiderstand: F Roll = Masse * g * froll *cos (alpha) F Roll = 89kg * 10 N/kg * 0.007 *cos (3.301) F Roll = 6,2196 N Summiert ergibt das eine Fahrwiderstandskraft von 57,471 N
8 Arbeit 1 Leistung 1 Die verrichtete Arbeit ist nun einfach zu berechnen: Auch die Leistung stellt kein Problem dar: W = F * s W = 57,4714 N * 9985m W = 573'852 Nm W = 573,8 KNm P = W / t P = 573 852 Nm / 3455s P = 573 852 Ws / 3455s P = 166,093 Watt P =0,166KW
9 Zweite Berechnung Nun wird es kompliziert; die Steigungen werden in sechs Teilabschnitte unterteilt, gemäss den Daten von Seite 5. Mehrere Sinus und cosinus-funktionen wollen berechnet werden und die dazu entsprechenden Fahrwiderstandskräfte. Deshalb wechsle ich auf ein Excel-Tabellenblatt, welches auf der nachfolgenden Seite abgebildet ist. Doch zunächst werden die Steigungswinkel ermittelt. sin alpha = a/c sin alpha = 63m / 3510m sin alpha = 0,017949 alpha = 1,02844º sin-1 sin delta = a/c sin delta = 54m / 670m sin delta = 0,080597 delta = 4,62288º sin-1 sin beta = a/c sin beta = 171m / 1940m sin beta = 0,088144 beta = 5,05686º sin-1 sin alpha' = a/c sin alpha' = 141m / 2410m sin alpha' = 0,058506 alpha' = 3,35408º sin-1 sin gamma = a/c sin gamma = 105m / 860m sin gamma = 0,122093 gamma = 7,01291º sin-1 sin beta' = a/c sin beta' = 41m / 595m sin beta' = 0,068908 beta' = 3,95124º sin-1 Skizze 2 Allmend alpha beta gamma delta alpha' beta' Masstab 1:50'000 Krienseregg
10 Strecke (m) Höhendifferenz (m) Hangabtriebskraft (N) Fahrwiderstandskraft (N) Kriens, Talstation sin alpha 0.018 3510 63 15.974 22.203 Buurestübli sin beta 0.088 1940 171 78.448 84.654 Grauenstein sin gamma 0.122 860 105 108.663 114.846 Kreuzung sin delta 0.081 670 54 71.731 77.941 Naturfreundehaus sin alpha 0.059 2410 141 52.071 58.290 Krienseregg sin beta 0.069 595 41 61.328 67.543 Strecke (m) Strecke horizontal Rollwiderstand (N) Kriens, Talstation cos alpha 0.100 3510 3509.43 6.229 Buurestübli cos beta 0.996 1940 1932.44 6.206 Grauenstein cos gamma 0.993 860 853.56 6.183 Kreuzung cos delta 0.997 670 667.82 6.210 Naturfreundehaus cos alpha 0.998 2410 2405.87 6.219 Krienseregg cos beta 0.998 595 593.58 6.215 Masse (kg) 89 g (N/kg) 10 Rollwiderstandskoeffizient 0.007 Zeit (t) in sec 3455 Zum besseren Verständnis liste ich nochmals die beiden Formeln auf: F Roll = Masse * g * froll *cos (alpha) Fh = Masse * g * sin (alpha) (Nm) Arbeit 1 77933.78 Arbeit 2' 164229.16 Arbeit 3 98767.72 Arbeit 4 52220.52 Arbeit 5 140478.58 Arbeit 6 40188.04 Arbeit Total (Nm) 573817.79 Leistung Total (Watt) 166.083
11 Arbeit 2 Leistung 2 Arbeit 1 Arbeit 2' Arbeit 3 Arbeit 4 Arbeit 5 Arbeit 6 Arbeit Total Arbeit Total 77933,78 Nm 164229,16 Nm 98767,72 Nm 52220,52 Nm 140478,58 Nm 40188,04 Nm 573817,79 Nm 573,8 KNm P = W / t P = 573 817,79 Nm / 3455s P = 573 817,79 Ws / 3455s P = 166,083 Watt P =0,166KW Die einzelnen Teil-Arbeitssummen vom Excelblatt werden hier nochmals aufgelistet und zusammengezählt. Danach wird die verrichtete Arbeit wieder durch die 3455 Sekunden geteilt, wodurch ich die Leistung erhalte.
12 Die Hubarbeit Als Vergleichswert rechne ich noch die Hubarbeit aus. Das heisst wie hoch ist der Kraftaufwand um mein Gewicht und das Fahrrad (890 N) 575 m anzuheben. W HUB = F G * s W = 890 N * 575m W = 511750 Nm W = 511,75 KNm Erkenntnisse Wenn ich die Ergebnisse aus der ersten und der zweiten Berechnung vergleiche, sehe ich, dass die Abweichung gering ist. Bei der Arbeit beträgt sie 34 Newtonmeter und bei der Leistung 0,01 Watt. Das heisst sie sind nahezu identisch und ich hätte mir die Unterteilung ich sechs Abschnitte sparen können. Im Vergleich zur Hubarbeit besteht eine Differenz von gut 62 KNm. Ich erkläre mir den Unterschied dadurch, dass es definitiv zwei verschiedene physische Arbeiten sind. Einerseits das Fahrrad mit Rollwiderstand und Hangabtriebskraft, andererseits die Hubarbeit wo ich die volle Gewichtskraft nehmen muss.
13 Funktionen Die Hangabtriebskraft im Vergleich zur Steigung sin x Steigung Hangabtriebskraft (N) x y=f(x) 0 0% 0 0.050 5% 44.444 0.100 10% 88.558 0.148 15% 132.023 0.196 20% 174.543 0.243 25% 215.857 0.287 30% 255.740 0.330 35% 294.012 0.371 40% 330.538 0.410 45% 365.225 0.447 50% 398.020 0.482 55% 428.908 0.514 60% 457.901 0.545 65% 485.040 0.573 70% 510.381 0.6 75% 534 0.625 80% 555.979 0.648 85% 576.407 0.669 90% 595.379 0.689 95% 612.987 0.707 100% 629.325 700 600 500 400 300 200 100 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% y=f(x) Die Kurve ist leicht gekrümmt und wäre bei einer senkrechten Wand gleich der Gewichtskraft; die 890 Newton. 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% 100% y=f(x)
14 Der Rollwiderstand im Vergleich zur Steigung cos x Steigung Rollwiderstandskraft(N) x y=f(x) 1 0% 6.23 0.999 5% 6.222 0.995 10% 6.199 0.989 15% 6.161 0.981 20% 6.109 0.970 25% 6.044 0.958 30% 5.967 0.944 35% 5.880 0.928 40% 5.784 0.912 45% 5.681 0.894 50% 5.572 0.876 55% 5.459 0.857 60% 5.342 0.838 65% 5.224 0.819 70% 5.104 0.8 75% 4.984 0.781 80% 4.865 0.762 85% 4.747 0.743 90% 4.631 0.725 95% 4.517 0.707 100% 4.405 7 6 5 4 3 2 1 0 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% y=f(x) 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% Auch diese Kurve ist leicht gekrümmt, jedoch in die andere Richtung. Der Rollwiderstand wäre bei der senkrechten Wand gleich null. 90% 95% 100% y=f(x)
15 Schlussfolgerung Keine Fortbewegung ohne Krafteinsatz. Egal ob es die Muskel- oder die Motorkraft ist, welche die Bewegung initiiert, immer ist dabei die Kraft (Newton) in Wegrichtung am Werk. Wenn dabei noch eine Steigung zu überwinden ist, so wird es definitiv kompliziert. Mit meiner Leistung von 166 Watt bin ich zufrieden. Die verrichtete Arbeit von 574 KNm ( = 574KJ) entsprechen in etwa 60g Ruchbrot oder 100g Eier-Spätzli. Dank dieser Arbeit befasste ich mich mit dem Rollwiderstand sowie der Hangabtriebskraft und ich habe in diesem Bereich sicher etwas dazugelernt. Genaue Messwerte sind schwer zu ermitteln, und wohl nur im Labor oder mit modernsten Messinstrumenten zu erreichen. Ich hatte jedoch nicht den Anspruch auf superexakte Messwerte, sondern wollte mit möglichst einfachen Instrumenten und geringen Kosten meine Daten ermitteln. Der Zeitaufwand für die vorliegende Abeit war gross, ich weiss die Stundenzahl nicht genau, aber ich schätze den Aufwand zwischen 32 und 37 Stunden.
16 Quellenverzeichnis Fundamentum Mathematik und Physik Dossier Physik Urs Jakober Duden, Abiturwissen Physik, Seite 74 www.smolik-velotech.de/glossar/f_fading.htm www.roboternetz.de/wissen/index de.wikipedia.org/wiki/hangabtriebskraft Bestätigung Die hier vorliegende Arbeit wurde von mir eigenhändig erarbeitet und geschrieben. Alle externen Text- und Bildquellen sind gekennzeichnet. Luzern, im Oktober 2008 Unterschrift Student: (Markus Heller)... Unterschrift Dozentin: (Franziska Stähli)...