4 Elemente der Mathematik - Winter 2016/2017 Prof. Dr. Peter Koepke, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 7 Aufgabe 29 (8 Punkte). Für eine Menge M ist die Potenzmenge von M definiert als P(M) := {X X M}, also die Menge aller Teilmengen von M. (a) Berechnen Sie P( ),P(P( )),P(P(P( ))) sowie P(P(P(P( )))). (b) Beweisen Sie, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge ebenfalls eine endliche Menge ist. (c) Sei M = µ. Berechnen Sie die Kardinalität von P(M). (d) Sei f : M P(M) eine Funktion. Beweisen Sie, dass f nicht surjektiv ist. Betrachten Sie dazu die Menge X := {x M x / f(x)}. (e) Folgern Sie, dass es für jede Kardinalzahl µ eine Kardinalzahl ν gibt mit ν > µ. Bemerkung: Aus (e) folgt, dass es eine Kardinalzahl grösser als ℵ 0 = N gibt. Beispielsweise ist die Kardinalität von R grösser als ℵ 0. Lösung. (a) Es gilt P( ) = { } P(P( )) = P({ }) = {,{ }} P(P(P( ))) = P({,{ }}) = {,{ },{{ }},{,{ }}} P(P(P(P( )))) = P({,{ },{{ }},{,{ }}}) = {,{ },{{ }},{{{ }}},{{,{ }}},{,{ }},{,{{ }}},{,{,{ }}}, {{ },{{ }}},{{ },{,{ }}},{{{ }},{,{ }}},{,{ },{{ }}}, {,{ },{,{ }}},{,{{ }},{,{ }}},{{ },{{ }},{,{ }}} {,{ },{{ }},{,{ }}}. (b) Sei ϕ(x) die Eigenschaft P(x) ist endlich. Induktionsanfang: P( ) = { } ist endlich, also gilt ϕ( ). Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass ϕ(x) gilt. Wir müssen zeigen, dassϕ(x {y})füreinbeliebigesy gilt.nachannahmeistp(x)endlich. Es gilt P(x {y}) = P(x) {z {y} z P(x)}.
Nach Annahme ist P(x) endlich. Es bleibt zu zeigen, dass M := {z {y} z P(x)} auch endlich ist. Es gilt: f : P(x) M,f(z) := z {y} ist bijektiv. Daher ist auch M endlich. Da Vereinigungen von endlichen Mengen wieder endlich sind, ist P(x {y}) ebenfalls endlich. (c) Wir behaupten, dass P(M) = 2 µ gilt. Dazu reicht es, eine Bijektion zwischen P(M) und {0,1} M anzugeben, da {0,1} = 2 und M = µ und somit {0,1} M = 2 µ. Wir betrachten f : {0,1} M,P(M),s f(s) := {x M s(x) = 1}. Wir zeigen, dass f bijektiv ist. f ist injektiv: Seien s,t {0,1} M mit f(s) = f(t). Für x M gilt s(x) = 1 x f(s) = f(t) t(x) = 1 und somit s(x) = t(x). Aus dem Extensionalitätsaxiom für Funktionen folgt s = t. f ist surjektiv: Sei N P(M). Wir definieren 1 x N s : M {0,1},s(x) = 0 x / N. Dann gilt f(s) = {x M f(x) = 1} = N wie gewünscht. (d) Wir machen einen Widerspruchsbeweis und nehmen an, dass f surjektiv ist. Dann ist X = {x M x / f(x)} P(M). Somit gibt es ein y M mit f(y) = X. Dann gilt aber y f(y) y X y / f(y), ein Widerspruch. (e) Sei M eine Menge mit M = µ. Wir definieren ν := P(M) = 2 µ. Es gilt µ ν, da die Funktion M P(M),x {x} offensichtlich injektiv ist. Aus (d) folgt aber, dass es keine surjektive (und somit auch keine bijektive) Funktion M P(M) gibt. Daraus folgt µ < ν. Aufgabe 30 (6 Punkte). Sei M eine endliche Menge und f : M M eine Funktion. (a) Zeigen Sie mit Hilfe eines Induktionsargumentes, dass falls f injektiv oder surjektiv ist, f bereits bijektiv ist. 5
6 (b) Sei f bijektiv. Zeigen Sie, dass es eine natürliche Zahl n N gibt mit f n = f f = id }{{} M. n-mal (c) Gelten (a) und (b) auch falls M unendlich ist? Hinweis für (b): Verwenden Sie Präsenzaufgabe 1. Lösung. (a) WirzeigendieBehauptungperInduktion.Seiϕ(x)dieEigenschaft jede injektive oder surjektive Abbildung x x ist bijektiv. Induktionsanfang: Die einzige Funktion ist die leere Funktion, und die ist bereits bijektiv. Somit gilt ϕ( ). Induktionsschritt: Wir nehmen an, dass ϕ(x) gilt. Sei f : x {y} x {y} eine Funktion, die entweder injektiv oder surjektiv ist. Wir müssenzeigen,dassf bereitsbijektivist.seiw := f(y).wirbetrachten die Funktion f(z) f(z) y g : x x,g(z) = w f(z) = y, d.h. im Fall w = y, so gilt f = g. Es gibt 2 Fälle: 1. Fall: f ist injektiv. Dann ist aber auch g injektiv und somit nach Induktionsannahme bijektiv. Dann ist aber auch f bijektiv. 2. Fall: f ist surjektiv. Dann ist auch g surjektiv und somit bijektiv. Nach Konstruktion von g ist dann auch f surjektiv. (b) Da M endlich ist, ist nach Präsenzaufgabe 1 auch M M endlich. Damit (c) ist auch {f n n N} endlich, da {f n n N} M M. Somit muss es n,m N geben mit f n = f m. Wir können ohne Einschränkung annehmen, dass n < m gilt. Dann gilt id M = f 1 f 1 f f = (f 1 ) n f n = (f 1 ) n f m = f m n, }{{}}{{} n-mal n-mal also ist f m n = id M. Gegenbeispiele für (a): N N,n n + 1 ist injektiv, aber nicht surjektiv; n 1 n > 0 N N,n 0 n = 0 ist surjektiv, aber nicht injektiv. Gegenbeispiel für (b): für f : N N,n n+1 gilt f n (m) = m+n, also gilt f n id N für jedes n N.
7 Definition. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ), wobei G eine Menge ist und : G G G eine Verknüpfung mit den folgenden Eigenschaften: (G1) (g h) k = g (h k) für alle g,h,k G (G2) es gibt e G (das neutrale Element), sodass g e = e g = g für alle g G (G3) für jedes g G gibt es g 1 (das zu g inverse Element) mit g g 1 = g 1 g = e. (G, ) heisst abelsch, falls kommutativ ist; d.h. g h = h g für alle g,h G. Aufgabe 31 (4 Punkte). Die Symmetriegruppe S 3 des Dreiecks besteht aus allen Bewegungen (Spiegelungen, Drehungen und Kombinationen davon), die ein gleichseitiges Dreieck auf sich selbst an der selben Stelle in der Ebene abbilden. (a) Geben Sie alle Elemente von S 3 anhand einer Skizze an. (b) Zeigen Sie, dass (S 3, ) eine Gruppe ist, wobei die Komposition von Funktionen ist. Geben Sie dazu eine Verknüpfungstabelle an. (c) Ist S 3 abelsch? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung. (a) Die Elemente sind die Identität e die Drehung d um 90 die Drehung d 2 um 240 (2fache Drehung um 120 ) die Spiegelung s 1 an der Höhe h a die Spiegelung s 2 an der Höhe h b die Spiegelung s 3 an der Höhe h c Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/s3 (Gruppe) (b) Die Verknüpfungstabelle sieht wie folgt aus:
8 e d d 2 s 1 s 2 s 3 e e d d 2 s 1 s 2 s 3 d d d 2 e s 3 s 1 s 2 d 2 d 2 e d s 2 s 3 s 1 s 1 s 1 s 2 s 3 e d d 2 s 2 s 2 s 3 s 1 d 2 e d s 3 s 3 s 1 s 2 d d 2 e (G1) gilt, da die Verknüpfung von Bewegungen ein Spezialfall der Komposition von Funktionen ist, und diese assoziativ ist (wurde in der Vorlesung gezeigt). (G2) gilt, da e ein neutrales Element ist. (G3) gilt, denn e 1 = e,d 1 = d 2,(d 2 ) 1 = d,s 1 1 = s 1,s 1 2 = s 2 und s 1 3 = s 3. (c) Aus der Verknüpfungstabelle ist ersichtlich, dass beispielsweise d s 1 = s 3, aber s 1 d = s 2, also ist S 3 nicht abelsch.