Mengenoperationen, Abbildungen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Z6 Rechengesetze für Mengenoperationen Lineare Algebra 1 WS 2006/07 en Blatt 3 06.11.2006 Mengenoperationen, Abbildungen Zentralübungsaufgaben a) Zeigen Sie für beliebige Mengen A, B und C: A B = B A, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C). A (B C) = (A B) (A C). b) Zeigen Sie weiter: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C), A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). Ähnlich wie bei Summen schreibt man für den Durchschnitt bzw. die Vereinigung mehrerer Mengen A 1,..., A n kurz c) Zeigen Sie: ( n A 1... A n =: B \ A i ) B = A i = A i und A 1... A n =: (A i B), ( n ) A i B = (B \ A i ), B \ A i = A i. (A i B), (B \ A i ). Arbeitet man in einer festen Menge X und betrachtet A P(X) (also eine Teilmenge A X), so schreibt man für X \ A auch C X A und nennt dies das Komplement von A (in X). d) Formulieren Sie die Aussagen von b) für den Fall B, C A in Komplementschreibweise, ebenso die untere Zeile von c) im Fall A 1,..., A n B. (Bei Mengenaufgaben sind Venn-Diagramme stets ein nützliches Hilfmittel.) a) Alle hier angegebenen Gesetze beruhen auf den entsprechenden Gesetzen für die Operatoren (einschließendes oder ) und ( und ) der Aussagenlogik. Man prüft im Detail: A B = B A: x A B ( x liegt in der Vereinigung von A und B ) Def. von x A x B ( x liegt in A oder x liegt in B ) ( x B x A ( x liegt in B oder x liegt in A ) Def. x B A ( x liegt in der Vereinigung von B und A ). oder ) ist kommutativ 1

A (B C) = (A B) C: A (B C) = (A B) (A C): x A (B C) x A x B C nochmal Def. x A (x B x C) (x A x B) x C 2 Def. x (A B) C. Def. ist assoziativ x A (B C) x A x B C Def. x A (x B x C) (x A x B) (x A x C) Def. x A B x B C Def. x (A B) (A C). Def. Distributivgesetz für und Die Beweise für die rechts stehenden Aussagen gehen völlig analog (Dualitätsprinzip). b) Es bezeichne die logische Negation. Für Aussagen Auss1 und Auss2 gilt (wie man sich leicht an alltäglichen Beispielen veranschaulicht) (Auss1 Auss2) (Auss1) (Auss2), (Auss1 Auss2) (Auss1) (Auss2). Auf die Aussagen x A und x B angewendet bedeutet dies (x A x B) (x A) (x B), (x A x B) (x A) (x B), oder in vertrauterer Schreibweise: x A B x A x B, x A B x A x B. ( ) Damit ist der Beweis für A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) leicht: x A \ (B C) x A x B C ( ) x A (x B x C) assoziativ x A x B x C x A x B x A x C assoziativ (x A x B) (x A x C) Def. x A \ B x A \ C Def. x (A \ B) (A \ C). Def. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) zeigt man analog. Wiederholung derselben Aussage c) Wegen der Kommutativität und Assoziativität von und sind die großen Ausdrücke für alle n N wohldefiniert. Sie lassen sich wie folgt charakterisieren: x x A i i {1,... n} : x A i, A i i {1,... n} : x A i. 2

Durch Negation folgt x x A i i {1,... n} : x A i, A i i {1,... n} : x A i. Damit gehen die Beweise der Rechengesetze nach gewohnter Manier: ( n ) ( n ) x A i B Def. x A i x B (entscheidender Schritt überlegen!) s. Charakterisierung oben ( i {1,... n} : x A i ) x B i {1,... n} : (x A i x B) Def. i {1,... n} : x A i B s.o. x (A i B) ; x B \ A i Def. x B x A i s.o. (entscheidender Schritt überlegen!) x B ( i {1,... n} : x A i ) i {1,... n} : (x B x A i ) Def. i {1,... n} : x B \ A i s.o. x (B \ A i ) ; übrige Aussagen analog. d) Die Aussagen aus b) lauten dann C A (B C) = (C A B) (C A C), C A (B C) = (C A B) (C A C), und die aus der unteren Zeile von c) lauten C B n A i = n C B A i, C B A i = C B A i. Z7 Ein Ausflug in die Zahlentheorie In der Vorlesung haben Sie von MERSENNEschen Primzahlen (Primzahlen von der Form 2 n 1) und FERMATschen Primzahlen (solche von der Form 2 n + 1) gehört als Beispiele für Zahlenmengen, von denen nicht bekannt ist, ob sie endlich oder unendlich sind. Zeigen Sie: a) Ist 2 n 1 eine Primzahl, so ist n prim. b) Ist 2 n + 1 eine Primzahl, so ist n eine Zweierpotenz. a) Behauptung: 2 n 1 prim n prim. Beweis: durch Kontraposition, d.h. wir zeigen: n zusammengesetzt 2 n 1 zusammengesetzt. Sei also n = ab mit a, b N \ {1}. Setze A := 2 a 1 und B := 2 (b 1)a + 2 (b 2)a + + 2 a + 1, 3

dann ist A N \ {1} (wegen a > 1) und auch B N \ {1} (denn wegen b > 1 hat die Summe, durch die B definiert ist, mindestens zwei Summanden). Und es gilt A B = (2 a 1) (2 (b 1)a + 2 (b 2)a + + 1) = = 2 a+(b 1)a + 2 a+(b 2)a + + 2 a 2 (b 1)a 2 a 1 = 2 ab 1 = 2 n 1, also ist 2 n 1 zusammengesetzt. b) Behauptung: 2 n + 1 prim n ist eine Zweierpotenz. Beweis: wiederum durch Kontraposition. Sei also n keine Potenz von 2. Dann ist n = ab mit a, b N und b 3 ungerade. Es gilt 2 n + 1 = (2 a ) b + 1 = [(2 a + 1) 1] b + 1 = b ( ) = b (2 a + 1) j ( 1) b j + 1 j j=0 b ( ) = 1 + b (2 a + 1) j ( 1) b j + 1 = j j=1 b ( ) b = (2 a + 1) (2 a + 1) j 1 ( 1) b j. j j=1 }{{} =:B Z Binomischer Lehrsatz, vgl. Analysis = Summand für j = 0 rausziehen, b ungerade! Also ist 2 n + 1 = (2 a + 1) B, und wegen 1 < 2 a + 1 < 2 n + 1 muss auch 1 < B < 2 n + 1 sein, somit ist 2 n + 1 zusammengesetzt. (Wenn man modulares Rechnen kennt, geht es schneller: 2 n + 1 = (2 a ) b + 1 ( 1) b + 1 = 1 + 1 = 0 (mod 2 a + 1), d.h. 2 a + 1 teilt 2 n + 1.) Tutoraufgaben T6 Symmetrische Differenz von Mengen Es bezeichne A B := (A \ B) (B \ A) die symmetrische Differenz der Mengen A und B. a) Zeigen Sie: A B = (A B) \ (A B). b) Untersuchen Sie die Mengenoperationen \ und auf Kommutativität und Assoziativität. a) Für eine logische Aussage ist stets wahr. Damit: ( ) Aussage (Aussage) x A B Def. x (A \ B) (B \ A) Def. x A \ B x B \ A Def. (x A x B) (x B x A) Distributivgesetz [(x A x B) x B] [(x B x A) x A] nochmal Distributivgesetz [(x A x B) (x B x B)] [(x A x A) (x B x A)] ( ) (x A x B) (x B x A) vgl. Lsg. zu Z6 b) (x A B) (x B A) Def., Kommutativgesetz für x (A B) \ (A B). 4

b) \ ist nicht kommutativ: Ein Gegenbeispiel: A := {1, 2}, B := {2, 3}. Dann ist A \ B = {1} {3} = B \ A. \ ist nicht assoziativ: Ein Gegenbeispiel: A := {1, 2}, B := {2, 3}, C := {2}. Dann ist (A\B)\C = {1}\{2} = {1}, aber A \ (B \ C) = {1, 2} \ {3} = {1, 2} {1}. ist kommutativ: Dies folgt unmittelbar aus der Kommutativität von und : ist assoziativ: A B a) = (A B) \ (A B) = (B A) \ (B A) = B A. (Dies ist aufwendiger.) Nach Definition ist x M N (x M x N) (x N x M). (1) Angewendet auf M := A B und N := C bedeutet dies x (A B) C (x A B x C) (x C x A B). (2) Hierin kann man x A B nochmal gemäß (1) ersetzen. Was aber bedeutet x A B? Unter Verwendung von findet man dafür x A \ B (x A x B) x A x B (3) (3) x A B x (A \ B) (B \ A) x A \ B x (B \ A) (x A x B) (x B x A) 2 Distributivgesetz (x A x B) (x A x A) (x B x B) (x B x A) (x A x B) (x B x A), (4) wobei im letzten Schritt benutzt wurde, dass eine Aussage X X trivialerweise nie wahr ist. Nun können wir (1) und (4) in (2) einsetzen: x (A B) C (x A B x C) (x C x A B) [( (x A x B) (x B x A) ) x C ] [ x C ( (x A x B) (x B x A) )] (x A x B x C) (x A x B x C) (x A x B x C) (x A x B x C) (5) ( x liegt in genau einer der Mengen A, B, C oder in allen dreien ) Damit kennen wir also (A B) C. Andererseits gilt A (B C) = (B C) A, und das Ergebnis hierfür erhält man, wenn man in der obigen Rechnung überall A durch B, B durch C und C durch A ersetzt. Es zeigt sich, dass (5) symmetrisch in A, B, C ist, d.h. der Ausdruck bleibt bei dieser Vertauschung gleich. Dies zeigt A (B C) = (A B) C. 5

T7 Bild und Urbild unter Abbildungen Es sei f : X Y eine Abbildung. Für A X heißt f(a) := {f(a) : a A} Y das Bild von A unter f. Für B Y heißt f 1 (B) := {x X : f(x) B} X das Urbild von B unter f. a) Zeigen Sie: f 1 (f(a)) A und f(f 1 (B)) B. Geben Sie je ein Beispiel dafür an, dass dabei Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt. b) Es seien A 1, A 2 X, B 1, B 2 Y. Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel: (i) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (iii) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) (ii) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) (iv) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) a) Beweis zu A f 1 (f(a)): Sei x A. Dann folgt f(x) f(a) nach Definition des Bildes von A, und nach Definition des Urbildes von f(a) bedeutet dies x f 1 (f(a)). Beweis zu f(f 1 (B)) B: Sei y f(f 1 (B)), d.h. y liege im Bild von f 1 (B) unter f. Das bedeutet, dass es in der Menge f 1 (B) ein Element x geben muss mit f(x) = y. Aber x f 1 (B) bedeutet f(x) B. Also y B. Ein Beispiel für A f 1 (f(a)): Betrachte f : Menge aller Hände Menge aller Menschen Hand Besitzer der Hand und A := {Prof. Roeslers rechte Hand}. Dann gilt f(a) = {Prof. Roesler} und f 1 (f(a)) = {Prof. Roeslers rechte Hand, Prof. Roeslers linke Hand}. Ein Beispiel für f(f 1 (B)) B: Betrachte f : Menge unserer LA1-Tutorgruppen Menge aller Wochentage Gruppe i Wochentag, an dem Gruppe i stattfindet und B := {Donnerstag, Sonntag}. Dann gilt f 1 (B) = {Gruppe 5,..., Gruppe 11} und f(f 1 (B)) = {Donnerstag}. b) Aussage (i) ist wahr. Beweis: für alle y Y gilt y f(a 1 A 2 ) x A 1 A 2 : f(x) = y ( x A 1 : f(x) = y) ( x A 2 : f(x) = y) y f(a 1 ) y f(a 2 ) y f(a 1 ) f(a 2 ). Aussage (ii) ist falsch. Ein Gegenbeispiel: betrachte die konstante Abbildung f : N N n 2006 und A 1 := {n N : n ungerade}, A 2 := {n N : n gerade}. Dann ist f(a 1 A 2 ) = f( ) = und f(a 1 ) f(a 2 ) = {2006} {2006} = {2006}. Es gilt jedoch f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ): für alle y Y gilt y f(a 1 A 2 ) x A 1 A 2 : f(x) = y x X : x A 1 x A 2 f(x) = y x X : f(x) f(a 1 ) f(x) f(a 2 ) f(x) = y y f(a 1 ) f(a 2 ). (Warum kommt man beim vorletzten Schritt nicht zurück?) 6

Aussage (iii) ist wahr. Beweis: für alle x X gilt x f 1 (B 1 B 2 ) f(x) B 1 B 2 f(x) B 1 f(x) B 2 x f 1 (B 1 ) x f 1 (B 2 ) x f 1 (B 1 ) f 1 (A 2 ). Aussage (iv) ist ebenfalls wahr. Den Beweis erhält man, wenn man im Beweis zur Aussage (iii) überall durch und durch ersetzt (nachprüfen!). Hausaufgaben H6 Zwei weitere Distributivgesetze? Geben Sie an, in welcher Beziehung (Gleichheit, Inklusion,...) die nachfolgenden Paare von Mengen jeweils zueinander stehen, und beweisen Sie Ihre Aussagen. a) A (B \ C)? (A B) \ (A C) b) A (B \ C)? (A B) \ (A C) a) Es gilt A (B \ C) (A B) \ (A C), aber im Allgemeinen nicht Gleichheit. Beweis der Inklusion: x (A B) \ (A C) x A B x A C (x A x B) (x A x C) Distributivgesetz [ ] [ ] x A (x A x C) x B (x A x C) }{{} niemals wahr x B x A x C x A x B \ C x A (B \ C). x B \ C x A x B \ C (Bemerkung. Das Symbol oben markiert die Stellen, wo die Schlussfolgerung nicht umkehrbar ist. Dies zeigt an, wie man ein Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion zu konstruieren hat.) Ein Beispiel, dass Gleichheit im Allgemeinen nicht gilt: A beliebige nichtleere Menge, B beliebige Menge, C := B. Dann ist (A B) \ (A C) =, aber A (B \ C) = A = A. b) Es gilt A (B \ C) = (A B) \ (A C). Den Beweis findet man am leichtesten, wenn man auf der rechten Seite beginnt: x (A B) \ (A C) x A B x A C (x A x B) (x A x C) Distributivgesetz [ ] [ ] (x A x B) x A) (x A x B) x C) }{{} niemals wahr x A (x B x C) x A x B \ C x A (B \ C). H7 Disjunktheit mehrerer Mengen a) Was sagen Sie zu folgender Behauptung? (Beweisen oder widerlegen Sie jede Richtung separat.) A B C = A B = A C = B C =. 7

b) Es sei k N. Konstruieren Sie Mengen M 1,..., M k, so dass (gleichzeitig) gilt: (i) M i M j für alle i, j {1,..., k} ; (ii) Für welche k ist das nicht möglich? a) Die Richtung ist korrekt: Für beliebige Mengen M und N gilt k M i =. x M N x M x N x M (klar!), also M N M. Angewendet auf M := A B und N := C bedeutet dies hier A B C A B = ; also A B C =, da die einzige Teilmenge der leeren Menge die leere Menge selbst ist. (Bemerkung. Dabei wurde A C = B C = gar nicht benutzt! Die Aussage läßt sich also erheblich verschärfen der obige Beweis zeigt, dass der Durchschnitt einer Familie von Mengen ist bereits dann leer ist, wenn zwei der Mengen disjunkt sind.) Die Richtung ist dagegen falsch: Betrachte etwa A := {b, c}, B := {a, c} und C := {a, b}. Dann ist A B C = (es gibt kein Element, das in allen drei Mengen liegt), aber alle paarweisen Durchschnitte sind nichtleer: b) Für k = 1 ist A B = {c}, A C = {b} und B C = {a}. k M i = M 1 = M 1 M 1 und die Bedingung damit nicht erfüllbar, da diese Menge nach (i) nichtleer und nach (ii) zugleich leer sein müßte. Aus dem gleichen Grund ist die Bedingung für k = 2 nicht erfüllbar, denn k M i = M 1 M 2. Für k = 3 wurde oben schon ein Beispiel in a) angegeben, das die Bedingung erfüllt. Dieses läßt sich auf beliebige k 3 verallgemeinern: Setze M i := {1,..., k} \ {i}. Dann gilt (i) für alle i, j {1,..., k} gibt es ein l {1,..., k} mit l i und l j, und für dieses gilt l M i M j ; k (ii) M i =, denn für jedes x {1,..., k} gibt es eine Menge M i (nämlich M x ), die x nicht enthält. Damit sind beide Forderungen erfüllt. (Bemerkung. Im vorliegenden Beispiel ließe sich (i) sogar noch verschärfen zu (i ) j {1,..., k} : k M i, d.h. der Durchschnitt ist schon nicht mehr leer, wenn nur eine einzige Menge M j ausgenommen wird.) i j 8

H8 Beweisen oder widerlegen Sie! (M 1, M 2, N 1, N 2 seien Mengen, f : X Y eine Abbildung, A 1, A 2 X.) (i) M 1 M 2 N 1 N 2 M 1 N 1 M 2 N 2 (iii) f(a 1 \ A 2 ) = f(a 1 ) \ f(a 2 ) (ii) (M 1 N 1 ) (M 2 N 2 ) = (M 1 M 2 ) (N 1 N 2 ) (iv) C X (A 1 A 2 ) = (C X A 1 ) A 2 Aussage (i) ist wahr. Beweis: Sei (m, n) M 1 N 1, zu zeigen ist (m, n) M 2 N 2. Es gilt (m, n) M 1 N 1 Def. von n. Vor. m M 1 n N 1 m M 2 n N 2 Def. von (m, n) M 2 N 2. Aussage (ii) ist falsch. Ein Gegenbeispiel: Betrachte {1,..., 10} {a,... j} ( Schiffe versenken ). Hier gilt etwa für M 1 := {2}, M 2 := {7}, N 1 := {d} und N 2 := {g}: (M 1 N 1 ) (M 2 N 2 ) = {(2, d), (7, g)} (nur zwei Segelschiffchen ), (M 1 N 1 ) (M 2 N 2 ) = {(2, d), (2, g), (7, d), (7, g)} (vier Segelschiffchen ). (Bemerkung. Es gilt jedoch. Nach (i) ist jede der Mengen M i N i (i = 1, 2) Teilmenge der rechten Seite, also auch deren Vereinigung.) Aussage (iii) ist falsch. Als Gegenbeipiel läßt sich etwa das Beispiel aus T7(ii) wieder heranziehen. Hier gilt f(a 1 \ A 2 ) = f(a 1 ) = {2006}, f(a 1 ) \ f(a 2 ) = {2006} \ {2006} =. (Bemerkung. Es gilt jedoch. Denn liegt y in f(a 1 ) \ f(a 2 ), so gibt es ein x 1 A 1 mit f(x 1 ) = y, während f(x) y für alle x A 2. Also muss x 1 A 1 \ A 2 sein, somit y = f(x 1 ) f(a 1 \ A 2 ).) Aussage (iv) ist wahr. Beweis: für alle x X (andere werden hier nicht betrachtet!) gilt x C X (A 1 A 2 ) x A 1 A 2 x ( A 1 \ A 2 ) (A 2 \ A 1 ) x A 1 \ A 2 x A 2 \ A 1 (x A 1 x A 2 ) (x A 2 x A 1 ) (x C X A 1 x A 2 ) (x C X A 1 x A 2 ) x (C X A 1 ) A 2 x (C X A 1 ) A 2 x ( ) ( ) (C X A 1 ) A 2 \ (CX A 1 ) A 2 x (C X A 1 ) A 2. (Alternativ kann man das natürlich auch rein mit Mengenoperationen und Komplementen formulieren.) 9

H9 Widerlegung der Kommutativität der Addition von Flächen Erklären Sie, woher das Loch im rechten Teil der Skizze kommt! (Die Ecken der Teilfiguren liegen jeweils auf Gitterpunkten.) Natürlich haben die beiden Figuren, da sie aus vier kongruenten Flächenstücken zusammengesetzt sind, den gleichen Flächeninhalt (nämlich 32 Flächeneinheiten). In beiden Figuren ist jedoch die obere Begrenzungslinie keine Gerade! Beim Dreieck A hat die obere Seite die Steigung 3 : 8 = 0, 375, beim Dreieck D dagegen die Steigung 2 : 5 = 0, 4 (dieser Unterschied ist optisch kaum wahrnehmbar). Somit ist die obere Begrenzungslinie in der linken Figur leicht nach unten und in der rechten Figur leicht nach oben geknickt. Die dadurch rechts hinzugewonnene Fläche wird gerade durch das fehlende Einheitsquadrat kompensiert.