Aufgaben zur Wellenoptik C Mehrfachspalte Aufgabe C 1: Zeigeraddition bei Doppelspalt Die Abbildung zeigt einen Doppelspalt, an dessen Spalten zwei gleichphasig schwingende Wellen starten. Die zu den Schwingungen gehörenden Zeiger sind für einen bestiten Augenblick abgebildet. Die Wellenlänge beträgt λ = 2,0 c. a) Zeichne in den Punkten A und B die Zeiger ein, die zu der vo oberen Spalt koenden Welle zu betrachteten Zeitpunkt gehören. b) Zeichne in C den zur unteren Welle gehörenden Zeiger. c) Zeichne in D die zu beiden Wellen gehörenden Zeiger, sowie die Überlagerung beider Zeiger ein. A B D C Aufgabe C 2: Doppelspalt Benutze für die folgenden Aufgaben das Progra "MehrfachspalteA" in der Prograsalung "Zeigerodelle" bzw. das Progra "Mehrspal.exe". a) Öffne das Progra und schaue i Menü nach, wie an die Anzahl der Spalte, sowie den Abstand der Spaltitten (und dait gleichzeitig die Wellenlänge) verändern und die Intensität der resultierenden Welle anzeigen kann. b) Wähle einen Doppelspalt it große Spaltabstand und erzeuge das zugehörige Intensitätsdiagra. Skizziere das Diagra. c) Welche Phasenwinkel stellen sich zwischen den Zeigern der Einzelwellen a Ort des Detektors ein, wenn an diesen (I) in ein Intensitätsaxiu, (II) in ein Intensitätsiniu bringt? Aufgabe C 3: Mehrfachspalte a) Wähle nun einen Dreifachspalt und stelle den kleinstöglichen Spaltabstand ein. Skizziere die Intensitätsverteilung und beschreibe, welche Winkel sich zwischen den Zeigern an den Orten der Minia bzw. der Maxia einstellen. b) Löse die gleichen Aufgaben für eine Vierfach- und einen Fünffachspalt. c) Zwischen den groß ausgeprägten Hauptaxia liegen nun kleine Nebenaxia. Versuche eine Forel für die Zahl der zwischen zwei Hauptaxia liegenden Nebenaxia aufzustellen. d) Die Intensitäten sind bei PC-Progra noriert, d.h. die Intensitäten der Maxia bei verschiedener Anzahl von Spalten sind nicht direkt vergleichbar. Überlege anhand der Anzahl der Zeiger, die sich addieren, wie sich die Intensitäten der Maxia vo Doppel- zu Vierfachspalt verändern. e) Waru ist ein Achtfachspalt für Wellenlängenessungen besser geeignet als ein Doppelspalt?
D Gitter: Aufgabe D 1 Leite selbständig (öglichst ohne nachzuschauen) die Forel für die Winkel her, unter denen Maxia bei Gitter entstehen. Aufgabe D 2 Ein Gitter hat 500 Linien pro. Der Schirabstand beträgt 1,50. Welchen Abstand hat für λ = 780 n die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? (123 c) Aufgabe D 3 Die beiden durch ein optisches Gitter erzeugten Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht (λ = 590 n) haben auf eine 1,00 entfernten Schir den Abstand 11,8 c voneinander. Wie groß ist g? (Zur Abschätzung darfst du bei optischen Gittern ier davon ausgehen, dass g höchstens 1 beträgt.) (g = 0,01 ) Aufgabe D 4 Ein Gitter it 5000 Strichen pro c wird it parallele weiße Glühlicht beleuchtet. Der Schir hat die For eines Halbzylinders it Radius 30 c, in dessen Mittelachse das Gitter steht. Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektru ganz beobachtet werden? (2. Ordnung) E Einzelspalt: Aufgabe E 1 Ein Einzelspalt it Spaltbreite b = 0,50 wird erst it rote (λ = 760 n), dann it violette (λ = 400 n) Licht durchstrahlt. Wie groß ist jeweils der Abstand der beiden ersten Minia auf eine Schir i Abstand a = 1,50? (4,6 / 2,4 ) Aufgabe E 2 Einfarbiges Licht fällt auf einen Spalt der Breite 0,30. Auf eine 3,00 entfernten Schir haben die beiden ittleren dunklen Interferenzstreifen einen Abstand von 10,0. Berechne die Wellenlänge des Lichtes. ( = 0,50 ) Aufgabe E 3 Lässt an statt einfarbige Licht paralleles weißes Licht auf einen Spalt fallen, so entsteht ein Interferenzuster, dessen Dunkelstellen von Farbsäuen ugeben sind. Wie koen sie zustande? Handelt es sich u Spektralfarben oder u Mischfarben? Aufgabe E 4 Paralleles Licht einer Natriuspektrallape (λ = 589 n) fällt senkrecht auf einen Doppelspalt. Der Abstand der Spaltitten beträgt 0,30. Das entstehende Interferenzbild wird auf eine dazu parallelen Schir it Abstand a = 255 c aufgefangen. a) Bestie die Lage der Maxia des Doppelspalts bis zur 7. Ordnung auf de Schir. b) Jeder Spalt hat eine Breite von 0,050. Berechne die Lage der Minia bis zur 2. Ordnung auf den Millieter genau, wenn entweder nur der erste oder nur der zweite der beiden Spalte geöffnet ist. c) Welches der in a) berechneten Maxia kann nicht beobachtet werden? Skizziere den Intensitätsverlauf auf de Schir. Aufgabe E 5 Bei eine optischen Gitter seien die Spaltbreiten halb so groß wie die Gitterkonstante. Zeige: I Interferenzuster des Gitters kann an die Maxia it geraden Ordnungszahlen nicht sehen.
F Brechungsgesetz Aufgabe F 1 Licht trifft unter de Einfallswinkel α 1 = 30 von Luft auf eine Wasseroberfläche. (Für Wasser ist n 2 = 1,33) a) Berechne die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in Wasser. b) Berechne den Brechungswinkel Aufgabe F 2 Vakuu Wasser Diaant α β n β 10,0 7,50 4,11 20,0 14,90 8,12 30,0 22,08 11,92 50,0 35,17 18,45 70,0 44,95 22,85 90,0 48,75 24,41 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 β in Wasser Diaant α in 0 0 30 60 90 Überprüfe anhand der Messwerte ob das Brechungsgesetz erfüllt ist und berechne für Wasser und für Diaant sowohl die Brechzahl, als auch die Phasengeschwindigkeit i entsprechenden Mediu. Aufgabe F 3 a) Leite selbständig das Brechungsgesetz sinα 1 / sin α 2 = c 2 / c 1 her. b) Ein Lichtstrahl fällt unter α 1 = 20 von Luft in ein bestites Mediu, wo es it de Brechungswinkel α 2 = 14,9 gebrochen wird. Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit in Mediu 2 und dessen Brechungszahl n
Lösungen: C Mehrfachspalte Aufgabe C 1: Zeigeraddition bei Doppelspalt Die Abbildung zeigt einen Doppelspalt, an dessen Spalten zwei gleichphasig schwingende Wellen starten. Die zu den Schwingungen gehörenden Zeiger sind für einen bestiten Augenblick abgebildet. Die Wellenlänge beträgt λ = 2,0 c. a) Zeichne in den Punkten A und B die Zeiger ein, die zu der vo oberen Spalt koenden Welle zu betrachteten Zeitpunkt gehören. b) Zeichne in C den zur unteren Welle gehörenden Zeiger. c) Zeichne in D die zu beiden Wellen gehörenden Zeiger, sowie die Überlagerung beider Zeiger ein. a-d) Vorüberlegung: Für r = k λ (k = 0,1,2..) hinkt der Zeiger u Δφ =k 2π nach Allgeein gilt: Δφ = - r 2π / λ it λ = 2,0 c A B D C A: r A = 1 λ => Δφ = 0 B: r B = 2 ¼ λ => Δφ = - π/2 (-90 ) C: r C = 1 ½ λ => Δφ = - π (-180 ) D oben : r Do = 5 λ => Δφ = 0 D unten : r Du = 5 ¼ λ => Δφ = - π/2
Aufgabe C 2: Zeigeraddition bei Doppelspalt Benutze für die folgenden Aufgaben das Progra "Mehrfachspalte" in der Prograsalung "Zeigerodelle". a) Öffne das Progra und schaue i Menü nach, wie an die Anzahl der Spalte, sowie den Abstand der Spaltitten (und dait gleichzeitig die Wellenlänge) verändern und die Intensität der resultierenden Welle anzeigen kann. b) Wähle einen Doppelspalt it große Spaltabstand und erzeuge das zugehörige Intensitätsdiagra. Skizziere das Diagra. Intens. c) Welche Phasenwinkel stellen sich zwischen den Zeigern der Einzelwellen a Ort des Detektors ein, wenn an diesen (I) in ein Intensitätsaxiu, Δφ = k 2π oder 0, 360... k = 0,1,2 (II) in ein Intensitätsiniu bringt? Δφ = (2k-1) π k = 1,2,3 oder: 180, 540,... Intens.
Aufgabe C 3: Zeigeraddition bei Mehrfachspalten a) Wähle nun einen Dreifachspalt und stelle den kleinstöglichen Spaltabstand ein. Skizziere die Intensitätsverteilung und beschreibe, welche Winkel sich zwischen den Zeigern an den Orten der Minia bzw. der Maxia einstellen. b) Löse die gleichen Aufgaben für eine Vierfach- und einen Fünffachspalt. Doppelspalt 3-fach Spalt 4-fach Spalt 5-fach Spalt Intens. Intens. Intens. Intens. Δφ ax = 0, 360.. Δφ ax = 0, 360.. Δφ ax = 0, 360.. Δφ ax = 0, 360.. Δφ in = 180 Δφ in = 120 Δφ in = 90 Δφ in = 350/5 c) Zwischen den groß ausgeprägten Hauptaxia liegen nun kleine Nebenaxia. Versuche eine Forel für die Zahl der zwischen zwei Hauptaxia liegenden Nebenaxia aufzustellen. Zahl der Nebenaxia: Z = N-2 (N = Zahl der Spalte) d) Die Intensitäten sind bei PC-Progra noriert, d.h. die Intensitäten der Maxia bei verschiedener Anzahl von Spalten sind nicht direkt vergleichbar. Überlege anhand der Anzahl der Zeiger, die sich addieren, wie sich die Intensitäten der Maxia vo Doppel- zu Vierfachspalt verändern. Bei eine N-fach Spalt addieren sich in eine Hauptaxiu N Zeiger, die Aplitude des resultierenden Zeigers ist also proportional zu N. Die Intensität der Hauptaxia nit also it der Anzahl der Spalte zu (genauer: it N² da I E²). e) Waru ist ein Achtfachspalt für Wellenlängenessungen besser geeignet als ein Einzelspalt? Bei 8-fach Spalt sind die Hauptaxia viel heller und schärfer ausgeprägt. Man kann daher die Lage der Maxia viel genauer eritteln.
D Gitter: Aufgabe D 1 Leite selbständig (öglichst ohne nachzuschauen) die Forel für die Winkel her, unter denen Maxia bei Gitter entstehen. Herleitung: Ein Gitter kann an als einen Mehrfachspalt it sehr vielen Einzelspalten auffassen. An jede Einzelspalt starten Eleentarwellen it gleicher Phasenlage. Bei parallelen Wegen (also g << a) verstärken sich die Wellen von Sp1 und Sp2 gegenseitig (konstruktive Interferenz) unter de Winkel α, falls δ 1 = k λ ( k = 0, 1, 2..) ist Wenn δ 1 = k λ folgt: δ 2 = 2 k λ u.s.w. => Alle Wellen verstärken sich gegenseitig falls δ 1 = k λ Mit sin α = δ 1 / g folgt: g α δ 1 δ 2 δ 3 1 2 3 4 sin α k = k λ / g für k = 0, 1, 2, q.e.d. Aufgabe D 2 Ein Gitter hat 500 Linien pro. Der Schirabstand beträgt 1,50. Welchen Abstand hat für λ = 780 n die Spektrallinie 1. Ordnung von der Linie 2. Ordnung? Geg.: g = 1/500 = 2,00 10-6, a = 1,50, λ = 780 n Ges.: d 2 d 1 Lsg.: Es gilt g << a Wege annähernd parallel k sin k g 9 1 1 780 10 sin 1 6 g 2 10 9 2 2 780 10 sin 2 6 g 2 10 0,39 0,78 1 = 23,0. 2 = 51,3. nicht klein Näherung tan sin nicht zulässig. Mit tan α = d / a folgt: d = a tan α Gitter a d => d 1 = 0,635.., d 2 = 1,8696.. => d 2 d 1 = 123 c
Aufgabe D 3 Die beiden durch ein optisches Gitter erzeugten Spektrallinien 1. Ordnung von Na-Licht (λ = 590 n) haben auf eine 1,00 entfernten Schir den Abstand 11,8 c voneinander. Wie groß ist g? (Für die Abschätzung der Gültigkeit der Näherungen darfst du bei optischen Gittern ier davon ausgehen, dass g höchstens 1 beträgt.) Geg.: a = 1,00, λ = 590 n, Ges.: g d 1 = 0,5 11,8 c = 0,059 Lsg.: Es gilt g << a Wege annähernd parallel k sin k g d1 0,059 tan 1 0,059 1 = 3,4. klein a 1 Es gilt tan sin d k a g Also: a g k 1 590 10 d g 0,01 1 ² 10 0,059 9 5 k = 0 1 2 2 d 1 Aufgabe D 4 Ein Gitter it 5000 Strichen pro c wird it parallele weiße Glühlicht beleuchtet. Der Schir hat die For eines Halbzylinders, in dessen Mittelachse das Gitter steht. Bis zu welcher Ordnung kann das sichtbare Spektru ganz beobachtet werden? Geg.: g = 2,000 10-6 λ rot = 800 n, Ges.: k ax Lsg.: Ansatz: Weißes Licht enthält die Wellenlängen 400 n < λ < 800 n. Schir Wenn das gesate Spektru der Ordnung k ax sichtbar sein soll, uss auch der a stärksten gebeugte Anteil it λ ax = λ rot = 800 n noch sichtbar sein. Für Interferenz a Gitter gilt (g<<a): sin α k = k λ / g für k = 0,1,2, => k ax = sin α ax g / λ Da α ax 90 ist, folgt: sin α ax 1 => k ax g / λ = 2,5 Licht => k ax = 2 Beachte: k uss eine ganze Zahl sein! Man kann bis zur 2. Ordnung das gesate Spektru sehen. Gitter
E Einzelspalt: Aufgabe E 1 Ein Einzelspalt it Spaltbreite b = 0,50 wird erst it rote (λ = 760 n), dann it violette (λ = 400 n) Licht durchstrahlt. Wie groß ist jeweils der Abstand der beiden ersten Minia auf eine Schir i Abstand a = 1,50? Ansatz: Minia a Einzelspalt erhält an, wenn die beiden Rand"strahlen" den Gangunterschied δ = k λ (k = 1,2,3, ) besitzen. Die von den Spaltkanten zu Schir laufenden Linien r 1 und r 2 sind in Spaltnähe praktisch parallel. b α α r 1 r 2 Lsg.: Es gilt g << a k sin k b Wege annähernd parallel δ 9 1 1 760 10 sin 1 3 b 0,5 10 0,00152 1 = 0,087. klein Es gilt tan sin d k a b it k = 1 => d 1 = λ a / b Abstand = 2 d rot: 2d 1 = 4,6 violett: 2d 1 = 2,4 Aufgabe E 2 Einfarbiges Licht fällt auf einen Spalt der Breite 0,30. Auf eine 3,00 entfernten Schir haben die beiden ittleren dunklen Interferenzstreifen einen Abstand von 10,0. Berechne die Wellenlänge des Lichtes. Geg.: b = 0,30, a = 3,00, d 1 = 5,00 Ges.: λ Lsg.: Es gilt g << a Wege annähernd parallel d << a klein Es gilt tan sin d k it k = 1 a b => λ = b d 1 / a = 500 n λ = 0,50 μ k sin k b
Aufgabe E 3 Lässt an statt einfarbige Licht paralleles weißes Licht auf einen Spalt fallen, so entsteht ein Interferenzuster, dessen Dunkelstellen von Farbsäuen ugeben sind. Wie koen sie zustande? Handelt es sich u Spektralfarben oder u Mischfarben? Da rotes Licht stärker gebeugt wird als blaues, liegen die Maxia und Minia dieser Farben an verschiedenen Orten. Es handelt sich u Mischfarben, da an jede Ort Licht unterschiedlichster Wellenlänge ankot. Aufgabe E 4 Paralleles Licht einer Natriuspektrallape (λ = 589 n) fällt senkrecht auf eine Doppelspalt. Der Abstand der Spaltitten beträgt 0,30. Das entstehende Interferenzbild wird auf eine dazu parallelen Schir it Abstand a = 255 c aufgefangen. a) Bestie die Lage der Maxia des Doppelspalts bis zur 7. Ordnung auf de Schir. Für Maxia a Doppelspalt gilt für kleine α und g << a: => d k = k λ a / g Hier: d k = k 5 d 1,ax = 5,0 ; d 2,ax = 10 ; d 3,ax = 15 ; d 4,ax = 20 ; d 5,ax = 25 ; d 6,ax = 30 ; d 7,ax = 35 b) Jeder Spalt hat eine Breite von 0,050. berechne die Lage der Minia bis zur 2. Ordnung auf den Millieter genau, wenn entweder nur der erste oder nur der zweite der beiden Spalte geöffnet ist. Lage der Minia bei Einzelspalt für g << a und kleine α: sin α k = k λ / b = tan α k = d k / a => d k = k λ a / b = k 30 d 1,in = 30 ; d 2,in = 60
c) Welches der in a) berechneten Maxia kann nicht beobachtet werden? Skizziere den Intensitätsverlauf auf de Schir. Vergleich ergibt: d 6,ax = d 1,in Maxiu der 6. Ordnung aus a) kann nicht beobachtet werden, da dort die Einzelspalte ihr 1. Miniu haben. 0 1 2 3c Aufgabe E 5 Bei eine optischen Gitter seien die Spaltbreiten halb so groß wie die Gitterkonstante. Zeige: I Interferenzuster des Gitters kann an die Maxia it geraden Ordnungszahlen nicht sehen. Für Minia bei Spalt gilt: sin α k,es = k Es λ / b it k = 1, 2, 3 Für Maxia bei Gitter gilt: sin α k,ds = k Ds λ / g wobei g = 2 b Maxia des Gitters fehlen, wenn sin α k,es = sin α k,ds => k Es λ / b = k Ds λ / g = k Ds λ / 2b => k Es = k Ds / 2 => k Ds = 2 k Es, d. h. die Maxia it gerader Ordnung fehlen.
F Brechungsgesetz Aufgabe F 1 Licht trifft unter de Einfallswinkel α 1 = 30 von Luft auf eine Wasseroberfläche. (Für Wasser ist n 2 = 1,33) a) Berechne die Phasengeschwindigkeit des Lichtes in Wasser. Geg.: α 1 = 30, n 2 = 1,33, n 1 = 1 (Luft) Ges.: α 2 Lsg.: Es gilt das Brechungsgesetz: sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n => c 2 = c 1 / n = 3,00 10 8 /s / 1,33 = 2,255.. 10 8 /s c 2 = 2,26 10 8 /s b) Berechne den Brechungswinkel Geg.: α 1 = 30, n 2 = 1,33, n 1 = 1 (Luft) Ges.: α 2 Lsg.: Es gilt das Brechungsgesetz: sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n => sin α 2 = sin α 1 / n = 0,3759 => α 2 = 22,08.. α 2 = 22 Aufgabe F 2 Überprüfe anhand der Messwerte ob das Brechungsgesetz erfüllt ist und berechne für Wasser und für Diaant sowohl die Brechzahl, als auch die Phasengeschwindigkeit i entsprechenden Mediu. Vakuu Wasser Diaant α β sin α / sin β β sin α / sin β 10,0 7,50 1,33 4,11 2,42 20,0 14,90 1,33 8,12 2,42 30,0 22,08 1,33 11,92 2,42 50,0 35,17 1,33 18,45 2,42 70,0 44,95 1,33 22,85 2,42 90,0 48,75 1,33 24,41 2,42 50 β in 45 40 Wasser 35 30 25 20 Diaant 15 10 5 0 0 30 60 90 α in Achtung: Hier wurde der Einfallswinkel als α, der Brechungswinkel als β bezeichnet! Das könnte in der Arbeit oder i Abi auch passieren.
Falls das Brechungsgesetz sin α / sin β = n erfüllt ist, uss der Quotient aus sin α und sin β stets den gleichen konstanten Wert ergeben. Da dies der Fall ist (s. Tabelle), ist das Gesetz erfüllt. Da es sich bei Mediu 1 u Vakuu handelt, gilt: n = c 1 / c 2 => c 2 = c 1 / n Wasser: n = 1,33 => c Wasser = 2,26 10 8 /s Diaant: n = 2,42 => c Diaant = 1,24 10 8 /s Aufgabe F 3 a) Leite selbständig das Brechungsgesetz sinα 1 / sin α 2 = c 2 / c 1 her. Siehe Arbeitsplan b) Ein Lichtstrahl fällt unter α 1 = 20 von Luft in ein bestites Mediu, wo es it de Brechungswinkel α 2 = 14,9 gebrochen wird. Berechne den Brechungsindex und die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Mediu 2. Geg.: Ges.: n 2 und c 2 Lsg.: α 1 = 20, α 2 = 14,9 n 1 = 1 (Luft) Es gilt das Brechungsgesetz: sin α 1 / sin α 2 = c 1 / c 2 = n n 2 = sin α 1 / sin α 2 = 1,33 n 2 = 1,33 c 2 = c 1 sin α 2 / sin α 1 c 2 = 2,3 10 8 /s