9. Übung zur aß- und Integrationstheorie, Lösungsskizze Aufgaben A 50 (Eine Flächenberechnung mit dem Cavalierischen Prinzip). Es seien a, b > 0 und : { (x, y) R 2 : (x/a) 2 + (y/b) 2 1 }. (a) Skizzieren Sie für a 1, b 2. (b) Bestimmen Sie y : {x R: (x, y) } für y R. (c) Berechnen Sie das 2-dimensionale Volumen λ 2 () von. (a) Die Fläche wird von einer Ellipse umrandet. (b) Gegeben y R ist y {x R : (x/a) 2 1 (y/b) 2 }. Es ist also y für y > b, während für y b ein Intervall der Länge 2a 1 (y/b) 2 ist. y {x R: x a 1 (y/b) 2 } (c) Nach dem Prinzip von Cavalieri ist λ 2 () λ 1 ( y ) dλ 1 (y) R b b π/2 π/2 2a 1 (y/b) 2 dy [ b,b] π/2 2a 1 (y/b) 2 dλ 1 (y) π/2 ab(1 + cos(2u)) du πab, 2ab cos 2 (u) du wobei zur Berechnung des Riemann-Integrals y b sin(u), dy b cos(u) du substituiert wurde. A 51 (Volumen des Einheitssimplex). Es sei e j der j-te Einheitsvektor im n-dimensionelen euklidischen Raum. Bestimmen Sie das Volumen des n-dimensionalen Einheitssimplex E n : λ j e j λ j 0, λ j 1 Wir gehen genauso vor wie bei der Berechnung des Volumens der n-dimensionalen Kugel. Zunächst schneiden wir den Einheitsimplex in Scheiben. Für 0 t 1 gilt E n,t {x R n 1 (x, t) E n } {x R n 1 (x, t) (λ 1,..., λ n 1, t) mit λ j 0 und (λ 1,..., λ n 1 ) R n 1 (1 t)e n 1 + n 1 λ j 1 t Aus dem Cavalerischen Prinzip folgt dann für n > 1 λ n (E n ) λ n 1 (E n,t )dt λ n 1 (E n 1 ) λ n 1 (E n 1 ) 1 n λ n 1 ((1 t)e n 1 )dt (1 t) n 1 dt n 1 λ j + t 1}
9. Übung, Lösungsskizze 2 Wegen λ 1 (E 1 ) 1 ergibt sich λ n (E n ) 1 n!. A 52 Transformationsformel. Es sei A eine symmetrische reelle n n atrix und f : R n R, x exp( x T Ax). Zeigen Sie, dass f genau dann über ganz R n integrierbar ist, wenn A positiv definit ist. Berechnen Sie in diesem Fall das Integral R n fdλ. Hinweis: Symmetrische atrizen lassen sich in der Form A SDS T mit orthogonaler atrix S und Diagonalmatrix D schreiben. Benutzen Sie die Transformationsformel bezüglich Φ : x Sx und Γ( 1 2 ) π. Beachten Sie, dass die Einträge der Diagonalmatrix D genau die Eigenwerte λ i von A sind. Die lineare Abbildung Φ : x Sx ist ein Diffeomorphismus mit det Φ (x) det S 1 it der Transformationsformel errechnet sich dann fdx exp( (Sx) T ASx)dx R n R n exp( x T Dx)dx R n exp( λ i x 2 i )d(x 1,..., x n ) R n n F ubini exp( λ i x 2 i )dx i R Die Funktionen exp( λ i x 2 i ) sind genau dann über R integrierbar, wenn λ i > 0 ist. Die Abbildung f ist also integrierbar genau dann wenn alle Eigenwerte von A positiv sind. Bei nochmaliger Anwendung der Transformationsformel mit dem Diffeomorphismus ]0, [ ]0, [, x x λi errechnet sich das Integral R n fdx n 2 exp( λ i x 2 i )dx i ]0, [ n 2 2 λ i x 1 2 i exp( x i )dx i ]0, [ }{{} Γ( 1 2 ) Bemerkung: Der Wert des Integrals hängt also nur von den Eigenwerten von A ab. A 53 (Bildmaße). ( π) n n λ i Es sei f : (, S) (, T ) eine messbare Abbildung zwischen essräumen und µ ein aß auf (, S). Zeigen Sie: (a) Die Abbildung f (µ): T [0, ], f (µ)(a) : µ(f 1 (A)) ist ein aß auf (, T ) (genannt das Bildmaß von µ unter f. ) (b) Ist auch (Z, U) ein essraum und g : (, T ) (Z, U) messbar, so ist (g f) (µ) g ( f (µ) ). (a) Es ist f (µ)( ) µ(f 1 ( )) µ( ) 0. Ist (A n ) eine Folge paarweise disjunkter engen A n T, so sind nach Lemma 1.22 (c) auch die engen f 1 (A n ) S paarweise disjunkt und f 1( A ) n f 1 (A n ), somit ( ) f (µ) A n µ (f 1( )) ( ) A n µ f 1 (A n ) µ ( f 1 (A n ) ) f (µ)(a n ).
9. Übung, Lösungsskizze 3 Also ist f (µ) ein aß auf (, T ). (b) Für alle A U gilt (g f) (µ)(a) µ((g f) 1 (A)) µ ( f 1 (g 1 (A)) ) f (µ) ( g 1 (A) ) g (f (µ))(a). Also (g f) (µ) g (f (µ)). A 54 (Integration bzgl. eines Bildmaßes / Allgemeine Transformationsformel). Es sei φ: (, S) (, T ) eine messbare Abbildung zwischen essräumen, µ ein aß auf (, S) und φ (µ) das zugehörige Bildmaß auf (, T ) (siehe Aufgabe 53). (a) Es sei A T. Finden Sie eine enge B S mit 1 A φ 1 B. (b) Es sei s: R, s n α j1 A j eine Stufenfunktion auf. Zeigen Sie, dass s φ eine Stufenfunktion auf ist. Finden Sie eine Formel für s φ, welche diese Funktion durch charakteristische Funktionen ausdrückt. Zeigen Sie nun mit dem Beweisprinzip der Integrationstheorie aus Aufgabe A36: (c) Für jede messbare Funktion f : [0, ] auf (, T ) gilt f dφ (µ) f φ dµ. (1) (d) Eine messbare Funktion f : R ist genau dann bzgl. φ (µ) über integrierbar, wenn f φ: R bzgl. µ über integrierbar ist. In diesem Falle gilt (1). (a) Für x gilt 1 A (φ(x)) 1 falls φ(x) A, also x φ 1 (A); es gilt 1 A (φ(x)) 0 falls φ(x) \A, also x φ 1 ( \ A) \ φ 1 (A). Somit 1 A φ 1 φ 1 (A). (b) Die Funktion s φ ist messbar als Komposition messbarer Funktionen und nimmt nur endlich viele Werte an, da dies für s vorausgesetzt ist. Also ist s φ eine Stufenfunktion. it Teil (a) erhalten wir s φ α j 1 A j φ α j (1 A j φ) α j 1 φ 1 (A j ). (c) Schritt 1: Es sei f : 1 A : [0, [ die charakteristische Funktion einer messbaren Teilmenge A T von. Nach Teil (a) ist dann 1 A φ dµ 1 φ 1 (A) dµ µ(φ 1 (A)) def φ (µ)(a) 1 A dφ (µ). Schritt 2: Nun sei f n α j1 A j eine nicht-negative Stufenfunktion auf, mit α j [0, [ und paarweise disjunkten engen A j T. it Schritt 1 erhalten wir: f φ dµ α j 1 A j φ dµ α j 1 A j dφ (µ) f dφ (µ). Schritt 3. Nun sei f : [0, ] eine beliebige nicht-negative messbare Funktion auf (, T ). Nach Satz 3.4 existiert eine monoton wachsende Folge (s n ) nicht-negativer Stufenfunktionen s n auf, die punktweise gegen f konvergiert Dann ist (s n φ) eine monoton wachsende Folge von Stufenfunktionen auf, die punktweise gegen f φ konvergiert (vgl. (b)). Also liefern die bereits bewiesene Transformationsformel für Stufenfunktionen und der Satz über monotone Konvergenz: f dφ (µ) lim n s n dφ (µ) lim n s n φ dµ f φ dµ. (d) Nun führen wir Schritt 4 des Beweisprinzips der Integrationstheorie durch (Aufspaltung in Positivund Negativteil). Es ist f bzgl. φ (µ) integrierbar genau dann, wenn f + und f bzgl. φ (µ) integrierbar sind. Nach Teil (c) ist dies genau dann der Fall, wenn f + φ und f φ bzgl. µ integrierbar sind. Wegen f ± φ (f φ) ± gilt letzteres genau dann, wenn f φ bzgl. µ integrierbar ist.
9. Übung, Lösungsskizze 4 A 55 (inkowski Ungleichung) Es sei R n meßbar, 1 p und L p () definiert wie in Aufgabe A44 (Blatt 7). Wir definieren die Abbildung p : L p () R + 0, f p ( f p dλ ) 1 p. Zeigen Sie: a) Für alle λ R ist λf p λ f p b) Für alle f, g L p () ist f + g p f p + g p (inkowski Ungleichung) achen Sie sich klar, dass keine Norm auf dem Vektorraum L p () ist. Offensichtlich ist λf p ( λf p dλ ) 1 p λ f p. Zum Beweis der inkowski Ungleichung (Teil b) benötigt man die Höldersche Ungleichung (vergleiche Aufgabe 44). In den Fällen p 1 und p ist die Ungleichung klar (p bedeutet ist die aximumsnorm). Sei also 1 < p < und q : (1 1/p) 1 (und damit q(p 1) p). Dann ist f + g p p f + g p dλ f f + g p 1 dλ + g f + g p 1 dλ Hoelder f p ( f + g (p 1)q dλ ( f p + g p ) f + g p q p ) 1 q + g p ( ) 1 f + g (p 1)q q dλ und damit f + g p f + g q p f p + g p. Bemerkung. Eine Norm ist p nicht, denn nicht nur die Nullfunktion wird auf Null abgebildet. A 56 (Zusatzaufgabe: Konvergenz fast überall). Es sei q : N ]0, 1[ Q, n q n eine Bijektion. Zeigen Sie, dass die Reihe x qn für λ-fast alle x ]0, 1[ gegen eine reelle Zahl konvergiert (hier 1/0 : ). Hinweis: In R konvergiert die Reihe für alle x. Ist ]0,1[ x qn d λ(x) <? Nutzt das? Für jedes n N gilt x qn d λ(x) ]0,1[ 2 ]0,q n[ qn 0 1 0 x qn d λ(x) + + ]q n,1[ 1 x qn dx + t dt {q n} x qn d λ(x) } {{ } 0 x qn d λ(x) q n [ 4 t x qn dx ] 1 0 4 2 n.
9. Übung, Lösungsskizze 5 Hierbei beruht das erste Gleichheitszeichen auf Satz 3.15 (a), dann wurde Lemma 3.12 (e) benutzt und schließlich Folgerung 4.16 für das zweite Gleichheitszeichen, zum Umschreiben der Lebesgue-Integrale in uneigentliche Riemann-Integrale. it Folgerung 3.25 erhält man nun ]0,1[ x qn d λ(x) ]0,1[ x qn d λ(x) 4 16 < unter Benutzung der Summenformel für die geometrische Reihe. Also ist die durch f(x) : x qn [0, ] definierte Funktion f : ]0, 1[ [0, ] bzgl. λ über ]0, 1[ integrierbar und somit f(x) R für λ-fast alle x ]0, 1[, nach Lemma 3.12 (f). Für diese x ist die Reihe also in R konvergent. Ankündigung: Am 25. Aug. 2005 findet die Analysis-Vordiplomklausur statt. Die Studierenden, die ab 1. September 2005 einen Auslandsaufenthalt wahrnehmen werden, möchten sich bitte in eine Liste eintragen, so dass der mündliche Teil der Vordiplomsprüfung für den 30.-31. August 2005 geplant werden kann. Die Liste liegt ab 20.6.05 am Schaukasten neben Zimmer S2 15/428 aus.