Anfängerpraktikum WS 2010/2011 Universtität Konstanz Gekoppelte Pendel. John Schneider Jörg Herbel

Anfängerpraktikum WS 2010/2011 Universtität Konstanz Gekoppelte Pendel John Schneider Jörg Herbel 14.12.2010

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs 3 2 Physikalische Grundlagen 3 2.1 Die Harmonische Schwingung des Fadenpendels.............. 3 2.2 Gekoppelte Schwingungen.......................... 5 1. Gleichsinnige Schwingung................. 5 2. Gegensinnige Schwingung................. 6 3. Kopplungsschwingung................... 6 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel.............. 7 2.3.1 Der Kopplungsgrad.......................... 11 3 Versuchsdurchführung 12 3.1 Versuchsaufbau................................ 12 3.2 Versuchsablauf................................ 12 3.3 Messungen................................... 13 4 Auswertung 14 4.1 Dynamische Bestimmung des Kopplungsgrades............... 14 4.2 Statische Bestimmung des Kopplungsgrades................ 16 4.3 Vergleich der Kopplungsgrade........................ 17 4.4 Fehlerdiskussion................................ 17 5 Fragen und Aufgaben 18 6 Anhang 19 2

2 Physikalische Grundlagen 1 Ziel des Versuchs Bei diesem Versuch werden Überlagerungen von Schwingungen untersucht. Diese treten auf, wenn mehrere schwingfähige Systeme gekoppelt werden, in unserem Fall handelt es sich um zwei mittels einer Feder gekoppelte Fadenpendel. Bei einer solchen Kopplung treten je nach Art der Auslenkung der Schwinger verschiedene Effekt auf, die in diesem Versuch nachvollzogen werden. Solche Kopplungen von Schwingungen treten auch in Natur und Technik häufig auf, beispielsweise kann der Wind aneinander gekoppelte Objekte in Schwingung versetzen und auch auf atomarer Ebene können die Schwingungen von Atomen gekoppelt sein. Im technischen Bereich wird die Kopplung von Schwingungen ausgenutzt, um beispielsweise Schiffe zu stabilisieren, indem entsprechende Wassertanks eingebaut werden. Dies vermindert die seitliche Bewegung eines Schiff in erheblichem Maße. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Die Harmonische Schwingung des Fadenpendels Wird ein Körper in einem schwingfähigen System ausgelenkt, so führt er eine periodische Bewegung aus, die man Schwingung nennt und die sich dadurch auszeichnet, dass der Körper die selben Punkte im Raum in gleichmäßigen Abständen immer wieder passiert. Damit eine solche Bewegung entsteht, muss der Körper periodisch in entgegengesetzte Richtungen beschleunigt werden. Die Kraft, welche diese Beschleunigung bewirkt, heißt Rückstellkraft und zeigt immer zur Ruhelage des Körpers. In unserem Fall ist das schwingfähige System ein Fadenpendel, welches der Bedingung genügt, dass die Rückstellkraft dem Auslenkungswinkel ϕ proportional ist, man spricht dann von einer harmonischen Schwingung. Das Pendel wird als ideal bzw. als mathematisches Pendel angesehen, d.h. die am Pendelfaden fixierte Masse wird als punktförmig angenommen und der Faden selber als volkommen unelastisch (die Fadenlänge ist also konstant). Außerdem werden äußere dämpfende Einflüsse wie Luftreibung vernachlässigt. Das am Faden befestigte Gewicht habe die Masse m, die von dem Gewicht erfahrene Be- 3

2 Physikalische Grundlagen 2.1 Die Harmonische Schwingung des Fadenpendels schleunigung sei a, der Faden habe die Länge l. In unserem Fall wird die Rückstellkraft von der Gravitationskraft F G aufgebracht und es gilt: m a = mg sin ϕ a + g sin ϕ = 0 (1) Dieser Zusammenhang wird auch an folgender Grafik veranschaulicht: Abbildung 1: Skizziertes Fadenpendel mit eingetragener Winkel- und Längenbezeichnung aus [1] Wegen a = l ϕ kann man schreiben: ϕ + g sin ϕ = 0 ϕ + g l sin ϕ = 0 (2) Man definiert: g =: ω l 0, dies ist die Kreisfrequenz, mit der das Pendel schwingt, wenn es von keiner äußeren Kraft angetrieben wird sondern nur zu Beginn eine einmalige Auslenkung erfährt (freie Schwingung), man nennt diese Frequenz die Eigenkreisfrequenz des Pendels. Damit gilt: ϕ + ω 2 0 sin ϕ = 0 (3) Um diese nichtlineare Differentialgleichung zu linearisieren, benutzt man folgende 4

2 Physikalische Grundlagen 2.2 Gekoppelte Schwingungen Näherung für kleine ϕ: sin ϕ ϕ (es handelt sich also nur für kleine Pendelausschläge um eine harmonische Schwingung). Damit vereinfacht sich Gl. (3) zu: ϕ + ω0 2 ϕ = 0 (4) Diese lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung hat die linear unhängigen, partikulären Lösungen ϕ 1 (t) = sin(ω 0 t) und ϕ 2 (t) = cos(ω 0 t). Die allgemeine Lsg. von Gl. (3) und damit die allgemeine Gleichung des Fadenpendels lautet: ϕ(t) = A ϕ 1 (t) + B ϕ 2 (t) = A sin(ω 0 t) + B cos(ω 0 t) (5) wobei A und B Konstanten sind und durch die vorgegebenen Anfangsbedingungen ϕ(0) (Anfangsauslenkung) und ϕ(0) (Anfangsgeschwindigkeit) bestimmt werden. 2.2 Gekoppelte Schwingungen In diesem Abschnitt werden die in unserem Versuch auftretenden Kopplungsarten von zwei mittels einer Feder verbundenen Fadenpendel beschrieben, wobei ψ 1 (t) die Pendel 1 beschreibende und ψ 2 (t) die Pendel 2 beschreibende Gleichung ist. Dabei geht man davon aus, dass es sich um zwei exakt gleiche mathematische Pendel handelt, demzufolge sind die Periodendauern und die Eigenkreisfrequenzen identisch. Folgende drei Fälle können auftreten: 1. Gleichsinnige Schwingung Gemeint ist die Situation, in der beide Pendel mit dem gleichen Anfangswinkel in die gleiche Richtung und der gleichen Anfangsgeschwindigkeit in die gleiche Richtung starten, es gilt also: ψ 1 (t) = ψ 2 (t) und ψ 1 (t) = ψ 2 (t). Daraus folgt, dass die Pendel exakt synchron schwingen und die Feder während Schwingung weder gestaucht noch gedehnt wird, sondern ihre Länge bleibt immer konstant. Deshalb übt die Feder keinerlei Kraft auf die Pendel aus, folglich schwingen diese vollkommen frei und unabhängig voneinander. Damit gilt für die Eigenkreisfrequenz ω gl der Pendel bei einer gleichsinnigen Schwingung: ω gl = ω 0, die Schwingung verläuft also exakt indentisch zu einer Schwingung mit gleichen Anfangsbedingungen, jedoch ohne die Kopplung durch die Feder. Dementsprechend zeigt die zugehörige Grafik, dass die Pendel zur selben Zeit Maximalausschläge in die gleiche Richtung erreichen: 5

2 Physikalische Grundlagen 2.2 Gekoppelte Schwingungen Abbildung 2: Gleichsinnige Pendelschwingung mit den aufgetragenen Pendelgleichungen aus [2] 2. Gegensinnige Schwingung Die gegensinnige Schwingung ist gewissermaßen das Gegenteil der gleichsinnigen Schwingung. Hier sind Anfangswinkel und Anfangsgeschwindigkeit der Pendel zwar betragsmäßig gleich, sie unterscheiden sich aber im Vorzeichen: ψ 1 (t) = ψ 2 (t) und ψ 1 (t) = ψ 2 (t). In diesem Fall wird die Feder gedehnt, wenn die Pendel voneinander weg schwingen und gestaucht, wenn die Pendel aufeinander zu kommen. Foglich nimmt die Feder Einfluss auf die Schwingung, indem sie ein Drehmoment auf beide Pendel ausübt, welche also zusätzlich beschleunigt werden. Dieser zusätzliche Beschleunigungsterm geht mit in die Berechnung der Eigenfrequenz ω geg der Pendel bei einer gegensinnigen Schwingung ein, folglich gilt: ω geg > ω 0. Die nachfolgende Grafik zeigt, dass die Pendel jeweils zum gleichen Zeitpunkt die maximale Auslenkung in entgegengesetzte Richtungen erreichen: Abbildung 3: Gegensinnige Pendelschwingung mit den aufgetragenen Pendelgleichungen aus [2] 3. Kopplungsschwingung Im Fall der Kopplungsschwingung findet im Gegensatz zu den ersten beiden Fällen keine symmetrische Pendelbewegung mehr statt. Um eine solche asymmetische Schwingung zu erreichen, müssen die Anfangsbedingungen der beiden Pendel asymmetrisch, d.h. sowohl im Betrag als auch im Vorzeichen verschieden, sein. Beginnt eine Schwingung mit diesen Anfangsbedingungen, so verändert sich die Amplitude der beiden Pendelschwingungen ständig (natürlich wird eine Amplitude größer, die andere kleiner, es gilt der Energieerhaltungssatz). Wird eines der Pendel ausgelenkt, während das andere in Ruhelage verbleibt, so findet eine Energieübertragung von einem Pendel auf das andere durch die Feder statt: Die Amplitude des ursprünglich ausgelenkten Pendels wird ständig kleiner, die Amplitude des sich ursprünglich in Ruhelage befindenden Pendels nimmt zu. Dieser Vorgang läuft solange, bis die Amplitude des 6

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel ursprünglich ausgelenkten Pendels null ist und das andere Pendel im Gegenzug die Auslenkung erreicht hat, mit der sein Gegenüber ursprünglich startete. Danach kehrt sich der Vorgang um und wiederholt sich identisch, die Energie wird jetzt jedoch in die andere Richtung übertragen, bis wieder die Ausgangsbedingungen herrschen und der Prozess von neuem beginnt. Eine solche Schwingung bezeichnet man als Schwebungsschwingung, sie wird durch zwei Kreisfrequenzen charakterisiert: 1. Beide Pendel schwingen mit der konstanten Kreisfrequenz ω + ω gl ω geg, die Amplituden ändern sich jedoch periodisch. 2. Da sich die Amplituden periodisch ändern, kann man auch dafür eine Kreisfrequenz, ω, angeben. Die zugehörige Periodendauer entspricht der Zeit, die nötig ist, um die Energie im System einmal komplett vom einen auf das andere Pendel und wieder zurück zu übertragen. Man nennt ω auch Schwebungskreisfrequenz und die zugehörige Periodendauer heißt Schwebungsdauer. Abbildung 4: Schwebungsschwingung mit aufgetragenen Pendelfunktionen aus [2] Wie in der Abbildung zu sehen ist, schwingen die Pendel mit einer Phasenverschiebung von 180, hat also das eine Pendel seine maximale Amplitude erreicht, steht das andere gerade still. Nachdem eines der Pendel zum Stillstand gekommen ist, vollführt einen sogenannten Phasensprung von 180, d.h. es beginnt in die entgegengesetzte Richtung zu schwingen, aus der es zur Ruhelage ankam, bevor es kurz stillstand. 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel Im diesem Abschnitt leiten wir dir Bewegungsgleichungen für zwei gekoppelte Pendel her. Dabei handelt es sich wieder um zwei exakt identische, mathematische Pendel, deshalb sind das Trägheitsmoment Θ und die Winkelrichgröße D für beide Pendel gleich. Zur weiteren Vereinfachung gehen wir davon aus, dass die Anordnung vollständig symmetrisch ist, es sind also nicht nur die Pendel gleich, sondern die Kopplungsfeder wirkt bei beiden Pendeln genau an der gleichen Stelle ein. Außerdem soll für diese Feder das 7

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel Hookesche Gesetz F = kx, k = konst., gelten, d.h. die Auslenkung der Feder soll der einwirkenden Kraft, welche die Auslenkung hervorruft, proportional sein, die entsprechende Proprotionalitätskonstante sei D. Weiterhin seien ϕ 1, ϕ 2 die Auslenkungswinkel von Pendel 1 bzw. Pendel 2. Für die Differenz d der Elongationen der Pendel und damit für die Dehnung der Feder gilt dann: d = r sin ϕ 2 r sin ϕ 1, wobei r der Abstand des Angriffspunkts der Feder vom jeweiligen Drehpunkt der Pendel ist (aufgrund der Symmetrie der Anordnung ist r für beide Pendel gleich). Für kleine ϕ gilt wieder, dass sin ϕ ϕ ist, also: d = rϕ 2 rϕ 1. Die Federkraft berechnet sich damit zu F Fed = D d und weil r F ist, gilt für das Drehmoment M Fed, welches die Feder auf beide Pendel ausübt: M Fed = F Fed r = D d r = D r 2 (ϕ 2 ϕ 1 ). Zuletzt geht noch M 0, ein aus der Spannung der Feder zu Beginn der Schwingung resultierendes Drehmoment, das auf beide Pendel wirkt, in die Gleichung ein. Damit sind die auf Pendel 1 bzw. Pendel 2 wirkenden Drehmomente M 1 und M 2 gegeben durch: M 1 = D ϕ }{{} 1 + M Fed + M 0 rücktreibendes Drehmoment = D ϕ 1 + D r 2 (ϕ 2 ϕ 1 ) + M 0 (6) Für das 2. Pendel müssen Vorzeichen geändert werden, weil M Fed und M 0 in die entgegengesetzte Richtung wirken: M 2 = D ϕ 2 D r 2 (ϕ 2 ϕ 1 ) M 0 (7) Als nächstes definiert man Variablen zur Vereinfachung, was möglich ist, weil es für uns nicht auf absolute Winkel, sondern auf Winkeländerungen im Bezug auf die Ruhelage der Pendel ankommt. Sei ϕ 01 die Ruhelage von Pendel 1 und ϕ 02 die Ruhelage von Pendel 2. Es gilt: ϕ 01 = ϕ 02 0, weil beide Pendel durch die Feder leicht aus ihrer eigentlichen Ruhelage ausgelenkt werden und die Anordnung symmetrisch ist. Daher kann man definieren: ϕ 01 =: ϕ 0 = ϕ 02, was folgende Abkürzungen ermöglicht: ψ 1 := ϕ 1 ϕ 01 = ϕ 1 ϕ 0 (8) ψ 2 := ϕ 1 ϕ 02 = ϕ 2 + ϕ 0 (9) 8

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel Die Winkelbezeichnungen werden auch an folgender Grafik verdeutlicht: Abbildung 5: Winkelbezeichnungen beim gekoppelten Pendel aus [5] Benutzt man nun, dass in der Ruhelage gelten muss M 1 = M 2 = 0, so erhält man aus Gl. (6) und (7) unter Verwendung der eben getroffenen Definitionen und einsetzen der entsprechenden Winkel für die Ruhelage: M 1 = D ϕ }{{} 01 +D r 2 ( ϕ 02 ϕ 01 ) + M }{{} 0 = D ϕ 0 2 Dr 2 ϕ 0 + M 0 = 0 (10) =ϕ 0 = 2ϕ 01 = 2ϕ 0 M 2 = D ϕ }{{} 02 D r 2 ( ϕ 02 ϕ 01 ) M }{{} 0 = D ϕ 0 + 2 D r 2 ϕ 0 M 0 = 0 (11) = ϕ 01 = ϕ 0 = 2ϕ 01 = 2ϕ 0 Gl. (11) Gl. (10) ergibt: 2 D ϕ 0 + 4D r 2 ϕ 0 2M 0 = 0 M 0 = D ϕ 0 + Dr 2 ϕ 0 = ( 2 D r 2 + D ) ϕ 0 (12) 9

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel Damit kann man unter Verwendung von Definition (8) und (9) schreiben: M 1 = D ϕ }{{} 1 +D r 2 ( ϕ 2 ϕ }{{} 1 ) + M }{{} 0 =ψ 1 +ϕ 01 =ψ 1 +ϕ 0 =ψ 2 +ϕ 02 =ψ 2 ϕ 01 =ψ 2 ϕ 0 =ψ 1 +ϕ 0 = D ( (ψ 1 + ϕ 0 ) + D r 2 (ψ 2 ψ 1 2ϕ 0 ) + 2 D r 2 + D ) ϕ 0 = D ψ 1 D ϕ 0 + D r 2 (ψ 2 ψ 1 ) 2 D r 2 ϕ 0 + 2 D r 2 ϕ 0 + D ϕ 0 = D ψ 1 + D r 2 (ψ 2 ψ 1 ) (13) Für M 2 muss wegen der Richtung der wirkenden Kraft wieder ein Vorzeichen geändert werden: M 2 = D ψ 2 D r 2 (ψ 2 ψ 1 ) (14) Gleichzeitig gilt natürlich das 2. Newtonsche Axiom in abgewandelter Form für Drehbewegungen: M = Θ ψ(t), so dass man in obigen Gleichungen entsprechend ersetzen und nach ψ(t) auflösen kann, was ein System von gekoppelten Differentialgleichungen liefert: ψ 1 (t) = ω 2 gl ψ 1 + k 2 (ψ 2 ψ 1 ) ψ 1 (t) + ω 2 gl ψ 1 = k 2 (ψ 2 ψ 1 ) (15) ψ 2 (t) = ω 2 gl ψ 2 k 2 (ψ 2 ψ 1 ) ψ 2 (t) + ω 2 gl ψ 2 = k 2 (ψ 2 ψ 1 ) (16) mit ωgl 2 := D (Eigenkreisfrequenz bei gleichsinniger Schwingung) und Θ k2 := Dr2 Θ (Abkürzung aus Übersichtlichkeitsgründen). Durch die Operationen Gl. (15) + Gl. (16) und Gl. (16) - Gl. (15) erhält man: ( ψ 2 + ψ 1 ) + ω 2 gl (ψ 2 + ψ 1 ) = d2 dt 2 (ψ 2 + ψ 1 ) + ω 2 gl (ψ 2 + ψ 1 ) = 0 (17) ( ψ 2 ψ 1 ) + ω 2 gl (ψ 2 ψ 1 ) = d2 dt 2 (ψ 2 ψ 1 ) + ω 2 gl (ψ 2 ψ 1 ) = 2 k 2 (ψ 2 ψ 1 ) (18) Dieses System von Differentialgleichungen kann man durch Substitution lösen, indem man folgendermaßen ersetzt: X := ψ 1 + ψ 2 (19) Y := ψ 1 ψ 2 (20) ω 2 geg := ω 2 gl + 2 k 2 (Eigenkreisfrequenz bei gegensinniger Schwingung) (21) 10

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Schwingungsgleichungen der gekoppelten Pendel und umschreibt: Ẍ + ω 2 gl X = 0 (22) Ÿ + ωgeg 2 Y = 0 (23) Dieses System von Differentialgleichungen hat die Lösungen X(t) = A 1 sin(ω gl ) t) + A 2 cos(ω gl t) und Y (t) = A 3 sin(ω geg ) t) + A 4 cos(ω geg t). Durch Resubstitution ergeben sich damit die Schwinungsgleichungen für zwei mittels einer Feder gekoppelte, symmetrische Fadenpendel: ϕ 1 (t) = ψ 1 (t) + ϕ 0 = X + Y + ϕ 0 2 = A 1 sin(ω gl t) + A 2 cos(ω gl t) + A 3 sin(ω geg t) + A 4 cos(ω geg t) 2 + ϕ 0 (24) ϕ 2 (t) = ψ 2 (t) ϕ 0 = X Y + ϕ 0 2 = A 1 sin(ω gl t) + A 2 cos(ω gl t) A 3 sin(ω geg t) + A 4 cos(ω geg t) 2 ϕ 0 (25) An diesen Gleichungen kann man erkennen, dass die Schwingung nur von den sich überlagernden Fundamentalschwingungen der Kreisfrequenzen ω gl und ω geg sowie von den Anfangsbedingungen wie -winkel und -geschwindigkeit abhängt. Letztere gehen über die Koeffizienten A 1, A 2, A 3, A 4 in die Gleichungen ein, welche über die Startbedingungen bestimmt werden. 2.3.1 Der Kopplungsgrad Der Kopplungsgrad K einer gekoppelten Schwingung ist ein Maß für die Stärke der vorliegenden Kopplung, seine Definition lautet: K := ω2 geg ω 2 gl ω 2 geg + ω 2 gl = T 2 gl T 2 geg T 2 gl + T 2 geg = D r2 D + D r 2 (26) 11

3 Versuchsdurchführung 3 Versuchsdurchführung 3.1 Versuchsaufbau Der Versuch besteht aus einem metallenen Gestell mit zwei gleichen Stangenpendeln, welche über eine Kopplungsfeder verbunden sind. Diese Feder lässt sich auf beliebige Höhen einstellen oder auch vollständig abmontieren. Die beiden Pendel bestehen aus einer Metallstange, welche am ihrem oberen Ende am Gestell befestigt ist (drehbar gelagert), einem Metallzylinder am unteren Ende des Stabes und einem dünnen Zeiger, der zur Messung benötigt wird. Anhand eines Maßstabs am Fuße des Gestells lässt sich mit Hilfe der Zeige die Auslenkung der Pendel ablesen. Zwei Stoppuhren liegen zur Messung der Periodendauer bereit. Der komplette Aufbau ist in Abbildung 6 dargestellt. Abbildung 6: Versuchsaufbau gekoppelte Pendel aus [5] 3.2 Versuchsablauf Zunächst wird die Kopplungsfeder entfernt und für jedes Pendel die Periodendauer (gemittelt über 50 Perioden) und die Länge bestimmt. Daraufhin werden beide Pendel durch Feinjustierungen am Metallzylinder möglichst genau abgeglichen, sodass die Periodendauern der beiden Pendel nahezu identisch sind. Nun werden nacheinander drei verschiedene Kopplungsgerade eingestellt, indem die Kopplungsfeder auf unterschiedlichen Höhen angebracht wird. Für die jeweilige Einstellung wird durch eine statische Auslenkung, der Kopplungsgrad bestimmt. Desweiteren werden nacheinander eine gleichsinnige 12

3 Versuchsdurchführung 3.3 Messungen Schwingung, eine gegensinnige Schwingung und eine Schwebung angeregt und die Periodendauern (über 50 Perioden gemittelt) mit Hilfe der Stoppuhren gemessen. Bei der Schwebung wird zusätzlich noch die Schwebungsdauer gemessen. 3.3 Messungen Die Abmessungen der beiden Pendel, sowie die gemittelten Periodendauern sind in Tabelle 1 vermerkt. Die Messungenauigkeit der Länge liegt bei ±0, 1cm, die Messungenauigkeit der Zeit bei ±0, 5s. Da der Wert der Periodendauer über 50 Perioden gemittelt wurde (arithmetische Mittelwert), beträgt die Ungenauigkeit nur noch ±0, 01s ( 0,5 N, wobei N = Anzahl Perioden). Im Folgenden wird das linke Pendel als Pendel 1 und das rechte Pendel als Pendel 2 bezeichnet. Länge [cm] Periodendauer [s] Pendel 1 90 1,64 Pendel 2 89,5 1,62 Tabelle 1: Längen und Periodendauern der einzelnen Stangenpendel Für den ersten Kopplungsgrad wird die Feder 22cm (d 1 = 22cm) unterhalb des Gestells an dem Stangenpendel angebracht. Entsprechend d 2 = 29, 5cm und d 3 = 35cm. Die Werte zur statischen Bestimmung des Kopplungsgrades sind in Tabelle 2 notiert. Hierzu wurde eines der beiden Pendel um eine Strecke s 1 ausgelenkt und die dadurch resultierende Auslenkung des anderen Pendels s 2 aufgenommen. Für eine bessere Genauigkeit wurde jeweils einmal Pendel 1 und Pendel 2 ausgelenkt und davon dann der Mittelwert genommen (siehe Messprotokoll). Für die Ungenauigkeit der Messung gilt somit: ±0, 05cm. Kopplungsgrad 1 Kopplungsgrad 2 Kopplungsgrad 3 s 1 [cm] s 2 [cm] s 1 [cm] s 2 [cm] s 1 [cm] s 2 [cm] 5,65 0,4 5 0,8 5 1,15 10,7 0,85 10 1,65 10 2,1 15,65 1,4 15 2,25 15 3,1 18,55 1,65 20 2,75 20 4,25 Tabelle 2: Statische Auslenkungen für verschieden Kopplungsgrade Die Messungen der Periodendauern bei den gleichsinnigen und gegensinnigen Schwin- 13

4 Auswertung gungen sind in Tabelle 3 aufgelistet. Auch hier wurde die Periodendauer über 50 Perioden gemittelt. Bei den Messdaten zur Schwebung wurde die Periodendauer wie oben gemittelt, die Schwebungsdauer ist jedoch nur das Mittel aus fünf Perioden. Um die Genauigkeit zu erhöhen wird, wieder zwischen linkem und rechtem Pendel unterschieden und unabhängig gemessen. Die Messungenauigkeit der Periodendauern liegt bei: ±0, 01s. Die Ungenauigkeit der Schwebungsdauer liegt bei: ±0, 1s. Kopplungsgrad 1 Periodendauer [s] Schwebungsdauer [s] gleichsinnige Schwingung 1,62 - gegensinnige Schwingung 1,494 - Schwebung 1,563 32,25 Kopplungsgrad 2 Periodendauer [s] Schwebungsdauer T S [s] gleichsinnige Schwingung 1,626 - gegensinnige Schwingung 1,41 - Schwebung 1,46 20,34 Kopplungsgrad 3 Periodendauer [s] Schwebungsdauer [s] gleichsinnige Schwingung 1,62 - gegensinnige Schwingung 1,35 - Schwebung 1,434 15,1 Tabelle 3: Periodendauern bei verschiedenen Kopplungsgraden jeweils für die gegensinnige Schwingung, gleichsinnige Schwingung und den Schwebungsfall 4 Auswertung 4.1 Dynamische Bestimmung des Kopplungsgrades Aus den gemessenen Werten für die Periodendauern der gleichsinnigen und gegensinnigen Schwingung (T gl und T geg ) lässt sich über die Kreisfrequenz nun die mittlere Schwingungsdauer T + und die Schwebungsdauer T berechnen. Hierzu werden folgende Formeln benutzt: 14

4 Auswertung 4.1 Dynamische Bestimmung des Kopplungsgrades ω gl = 2π T gl (27) ω geg = 2π T geg (28) T + = 4π ω gl + ω geg (29) T = 4π ω gl ω geg (30) Die Ergebnisse für T + und T sind in Tabelle 4 zusammen mit den gemessenen Werten für die mittlere Schwingungsdauer T m und der Schwebungsdauer T S aus Tabelle 3 aufgeführt. Zudem wurde auch noch zum Vergleich der Werte jeweils die Diskrepanz T der beiden Werte gebildet. Die Fehler der errechneten mittleren Periodendauern und der Schwebungsdauern sind folgendermaßen bestimmt worden: δω = ω T δt + = T + w gl δω gl + T + w geg δω geg = δt = T δω gl + T δω geg = w gl w geg 2π δt = δt (31) T 2 4π (ω gl + ω geg ) 2 (δω gl + δω geg ) (32) 4π (ω gl ω geg ) 2 (δω gl + δω geg ) (33) Kopplungsgrad 1 Kopplungsgrad 2 Kopplungsgrad 3 T + [s] 1,55 ±0, 010 1,51±0, 010 1,47±0, 010 T m [s] 1,56±0, 01 1,46±0, 01 1,43±0, 01 T [s] 0,01±0, 011 0,05±0, 011 0,04±, 0, 011 T [s] 38,42 ±6, 118 21,23 ±1, 985 16,2 ±1, 088 T S [s] 32,25 ±0, 1 20,34 ±0, 1 15,1 ±0, 1 T [s] 6,17±6, 218 0,89 ±2, 085 1,1±1, 188 Tabelle 4: Vergleich der mittleren Periodendauer und der Schwebungsdauer über ihre Diskrepanz Der dynamische Kopplungsgrad K dyn lässt sich über Gl. (26) berechnen. Der Ergebnisse sind zusammen mit den statischen Kopplungsgraden in Tabelle 7 aufgeführt, der Fehler gemäß der Fehlerfortpflanzung über folgende Formel berechnet wird: 15

4 Auswertung 4.2 Statische Bestimmung des Kopplungsgrades δk dyn = K δω gl + K ω gl ω geg δω geg (34) 4.2 Statische Bestimmung des Kopplungsgrades Um den Kopplungsgrad über eine statische zu errechnen, müssen zuerst die Auslenkungsstrecken aus Tabelle 2 in Auslenkungswinkel (Tabelle 5) umgerechnet werden. Der Kopplungsgrad ergibt sich dann als Proportionalitätsfaktor zwischen den Winkeln der Pendel. Die Umrechnung in die Winkel erfolgt über folgenden Zusammenhang: sin ϕ = s l (35) Da es sich um kleine Winkel handelt, wurde die Näherung sin x x benutzt: Für den Fehler gilt: Mit: δs = 0, 05cm und δl = 0, 1cm δϕ = ϕ ϕ = s l ( δs s + δl ) l (36) (37) Kopplungsgrad 1 Kopplungsgrad 2 Kopplungsgrad 3 ϕ 1 [rad] (1. Auslenkung) 0,0629 ±0, 0006 0,0557±0, 0006 0,0557±00, 0006, 0006 ϕ 2 [rad] (1. Auslenkung) 0,0044 ±0, 0006 0,0089 ±0, 0006 0,0128 ±0, 0006 ϕ 1 [rad] (2. Auslenkung) 0,1192±0, 0007 0,1114 ±0, 0007 0,1114 ±0, 0007 ϕ 2 [rad] (2. Auslenkung) 0,0094 ±0, 0006 0,0183 ±0, 0006 0,0233±0, 0006 ϕ 1 [rad] (3. Auslenkung) 0,1743 ±0, 0008 0,1671 ±0, 0007 0,16713 ±0, 0007 ϕ 2 [rad] (3. Auslenkung) 0,0155 ±0, 0006 0,0250±0, 0006 0,0345±0, 0006 ϕ 1 [rad] (4. Auslenkung) 0,2066 ±0, 0008 0,2228±0, 0008 0,2228±0, 0008 ϕ 2 [rad] (4. Auslenkung) 0,0183±0, 0006 0,0306 ±0, 0006 0,0473 ±0, 0006 Tabelle 5: Umrechnung der Auslenkungslänge in die Auslenkungswinkel Der Kopplungsgrad lässt sich dann wie folgt bestimmen, die Ergebnisse sind in Tabelle 6 vermerkt. Für den späteren Vergleich wird auch noch ein Mittelwert bestimmt (arithmetische Mittel + Standardabweichung): 16

4 Auswertung 4.3 Vergleich der Kopplungsgrade Für den Fehler gilt: δk = K stat = ϕ 2 ϕ 1 (38) ( δϕ1 + δϕ ) 2 K (39) ϕ 1 ϕ 2 Kopplungsgrad 1 Kopplungsgrad 2 Kopplungsgrad 3 1.Auslenkung 0,070±0, 010 0,160±0, 012 0,230±0, 013 2.Auslenkung 0,079 ±0, 005 0,165 ±0, 006 0,210±0, 007 3.Auslenkung 0,089 ±0, 004 0,150 ±0, 004 0,206±0, 004 4.Auslenkung 0,089 ±0, 003 0,137 ±0, 003 0,212±0, 004 Mittelwert ±σ 0,082 ±0, 0076 0,153 ±0, 0105 0,214 ±0, 0090 Tabelle 6: Ergebnisse für die Berechnung der Kopplungsgrade 4.3 Vergleich der Kopplungsgrade Kopplungsgrad 1 Kopplungsgrad 2 Kopplungsgrad 3 K dyn 0,081±0, 0128 0,142±0, 0129 0,181±0, 0131 K stat 0,082 ±0, 0076 0,153 ±0, 0105 0,214 ±0, 0090 K 0,001±0, 0204 0,011±0, 0234 0,033±0, 0221 Tabelle 7: Vergleich des dynamisch bestimmten und des statisch bestimmten Kopplungsgrades über ihre Diskrepanz 4.4 Fehlerdiskussion Der Vergleich der beiden Werte für den Kopplungsgrad bietet sich an, da zwei grundlegend unabhängige Verfahren angewendet wurden. Die Diskrepanz stellt für den Vergleich eine geeignete Größe dar. Wie man zumindest an den Ergebnissen für den ersten und den zweiten Kopplungsgrad sehen kann, bestätigen sich beide Methoden. Die Diskrepanz liegt innerhalb der Unsicherheit. Lediglich beim dritten Kopplungsgrad liegt die Diskrepanz leicht darüber. Trotz sorgfältigen Experimentierens lassen sich Fehler 17

5 Fragen und Aufgaben nicht ganz ausschließen. Mögliche Fehler sind wohl statistischer Natur oder auf physikalische Nebeneffekte wie Luftreibung, Reibung der Pendel an ihrer Aufhängung oder Nichtberücksichtigung der Federmasse zurückzuführen. Auch hing die Feder an unserem Versuchsaufbau leicht nach unten durch, was eine Abweichung von der Linearität der Kopplung zur Folge gehabt haben könnte. 5 Fragen und Aufgaben 1. Welche Bedeutung haben gekoppelte Schwingungen in der Molekülphysik? Moleküle bestehen aus Atomen, welche durch interatomare Kräfte (z.b. elektrostatischer Natur) aneinander gebunden sind. Außerdem sind Atome in der Lage, Schwingungen auszuführen (diese Eigenschaft wird bei Atomuhren ausgenutzt). Das bedeutet, dass ein Molekül ein System aus gekoppelten Schwingern ist. Da der Kopplungsgrad von der Art der Bindung zwischen den Atomen abhängt, kann dieser Auskunft über den Aufbau des Moleküls geben. Dies ist z.b. bei Kristallen der Fall, dort ist die Anordnung besonders regelmäßig. 2. Wie kann man das Phänomen der Schwebung für die Messung sehr hoher Frequenzen nutzen? Um sehr hohe Frequenzen mit entsprechender Genauigkeit zu messen, benötigt ma sehr genau Messgeräte und die Messung ist sehr fehleranfällig. Ein exakteres Ergebnis erhält man, wenn man die Schwingung mit der zu messenden Frequenz mit einer zweiten Schwingung mit bekannter, ähnlicher Frequenz überlagert. Es kommt dann, genau wie in unserem Versuch, zu einer Schwebung. Die Schwebungsdauer ist dabei sehr viel größer als die Periodendauern der Schwingungen und dementsprechend leichter zu messen. Mit der gemessen Schwebungsdauer und der bekannten Frequenz der Referenzschwingung kann man schließlich die gesuchte Frequenz errechnen. 18

Literatur 6 Anhang Abbildungsverzeichnis 1 Skizze zm Fadenpendel............................ 4 2 Gleichsinnige Schwingung.......................... 6 3 Gegensinnige Pendelschwingung....................... 6 4 Schwebungsschwingung............................ 7 5 Winkelbezeichnungen beim gekoppelten Pendel.............. 9 6 Versuchsaufbau................................ 12 Tabellenverzeichnis 1 Pendelabmessung & Periodendauern.................... 13 2 Statische Auslenkungen............................ 13 3 Periodendauern bei Kopplung........................ 14 4 Vergleich der Zeiten.............................. 15 5 Auslenkungswinkel.............................. 16 6 Kopplungsgrade................................ 17 7 Vergleich der Kopplungsgrade........................ 17 Literatur [1] 4. Schwingungen und Wellen. http://web.physik.rwth-aachen.de/ hebbeker/lectures/ph1 0102/p112 l05/p112 l05.html. Entnommen am 07.01.2011, wurde ausschließlich als Bildquelle verwendet. [2] Gekoppelte Pendel. http://de.wikipedia.org/wiki/gekoppelte Pendel. Entnommen am 07.01.2011, wurde ausschließlich als Bildquelle verwendet. [3] Nielaba, Peter & Fonin, Mikhail: Vorlesung IK1, Universität Konstanz. WS 2010/2011. [4] Nolting, Wolfgang: Grundkurs Klassische Mechanik 1. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 8. Auflage, 2006. 19

Literatur Literatur [5] Runge, Bernd-Uwe: Gekoppelte Pendel. Anleitung zum physikalischen Anfängerpraktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 07.01.2011. 20