Lösungn u Übungsblatt 5 Zu Aufgab Stlln Si folgnd komplxn Zahln als Zigr im kartsischn Koordinatnsystm dar! Gbn Si Raltil, Imaginärtil und dn Btrag an! a + b 5 c Grafisch Darstllung als komplx Zigr: Raltil, Imaginärtil und Btrag: ( R( + Im( Läng ds Zigrs Zahl R( Im( - 5-9 - 5 Zu Aufgab Zichnn Si folgnd komplx Zahln si als Zigr im kartsischn Koordinatnsystm! a b c Grafisch Darstllung als komplx Zigr: 60 ^
Zu Aufgab Brchnung dr Normalform: cos( + sin( (wil: cos( cos(90 0,sin( sin(90 cos( sin( (wil: cos( cos(5 sin( sin(5 60 cos(60 + sin(60 + 0,866 +,6 (wil: cos( 60 /, sin(60 0, 866 Raltil, Imaginärtil und Btrag: ( R( + Im( Läng ds Zigrs Zahl R( Im( 0,6 Zu Aufgab ϕ α Eulrform: wobi ϕ dr Winkl von dr positivn R(-Achs um Zigr ggn di Uhrigr- Richtung ist; und α ist dr Winkl von dr positivn R(-Achs um Zigr in Uhrigr- Richtung., und lign all im. Quadrantn. Dmufolg wrdn di Winkl wi folgt brchnt: Im( Im( tan( α, α arctan(, ϕ 60 α. R( R( ^
Zahl α ϕ 60 - α in EF arctan(/arctan(5 5 5 5 arctan(/5,8 8, 8 9, arctan(/ 6, 96,57 5 6, Zu Aufgab 5 Zu a Es gilt: ϕ cos( ϕ + sin( ϕ Priod ist cos( ϕ + + sin( ϕ + ( ϕ+ Zu b Es gilt: ϕ-α und wir rhaltn: ϕ Priodiität ( α ( α cos( α + α cos( α + sin( α sin( α Zu c Es gilt: cos( α cos( α und sin( α sin( α achsnsymmtrisch punktsymmtrisch und wir rhaltn: α cos( α + sin( α Symmtri cos( α sin( α ^
Zu Aufgab 6 Brchnn Si mit dn komplxn Zahln di folgndn Trm und stlln Si di Summandn und das Ergbnis im Koordinatnsystm dar! a +, b + c - 0 0 Was bdutn Addition und Subtraktion wir komplxr Zahln gomtrisch? Zwi komplx Zahln wrdn addirt odr subtrahirt, indm man si in NF darstllt, dann addirt bw. subtrahirt und das Ergbnis nach Raltil und Imaginärtil sortirt. Bsp: -, + + - + + 5 + und - - (+ - 5 Das hißt, dass wir vor dr Subtraktion/Addition di inlnn Summandn bw. Minund und Subtrahnd unächst in NF darstlln. a + -6 0 b (cos(0 sin(0 (0,766-0,6,5-,86 Daraus folgt: +,5-5,86 c - -- Gomtrisch Bdutung: Addition: Addition dr Vktorn, di di komplxn Zigr darstlln, Subtraktion: Subtraktion dr Vktorn, di di komplxn Zigr darstlln. Zu Aufgab 7 Brchnn Si mit dn komplxn Zahln 0 + folgnd Produkt und stlln Si di Faktorn und das Produkt im Koordinatnsystm als komplx Zigr dar! a b c Was bdutt di Multiplikation wir komplxr Zahln gomtrisch? Zwi komplx Zahln in NF kann man ausmultipliirn wi rll Zahln. Das Ergbnis wird widr nach Raltil und Imaginärtil sortirt. Zwi komplx Zahln in EF kann man bnfalls wi rll Zahln multipliirn. Das Ergbnis wird in EF dargstllt. Bsp: -, + (-(+ 6 + 8 0 + 5 ^
0 0 0 0 0 (0 0 6 0 Das hißt, dass wir vor dr Multiplikation di inlnn Faktorn unächst bid in NF odr bid in EF darstlln. Zu a 0 (5 0 Zu b ( ( + 6 + 6 8 Zu c Wir wandln in NF um: (Altrnativ: Umwandlung von in EF: 5 ( (cos(5 + sin(5 ( (0,707+ 0,707( + + Gomtrisch Bdutung dr Multiplikation: Di Winkl dr Zigr wrdn addirt, di Bträg multipliirt. Zu Aufgab 8 Brchnn Si mit dn komplxn Zahln 0 + folgnd Brüch und stlln Si Nnnr und Zählr, sowi dn Bruch im Koordinatnsystm als komplx Zigr dar! a b c Was bdutt di Division wir komplxr Zahln gomtrisch? Zwi komplx Zahln in EF kann man wi rll Zahln dividirn. Das Ergbnis wird in EF dargstllt. 0 0 0 0 (0 + 0 70 Bsp: 0 Zwi komplx Zahln in NF a+b und a+b wrdn wi folgt dividirt:. Zunächst wird dr Bruch mit dr konugirt komplxn Zahl * a-b ds Nnnrs rwitrt. (Damit macht man dn Nnnr rll.. Dann wrdn Zählr und Nnnr ausmultipliirt und das Ergbnis wird in NF dargstllt. Bsp: -, + + ( ( ( + ( 6 8 + 9 6 5 5 5 ^ 5
Das hißt, dass wir vor dr Multiplikation di inlnn Faktorn unächst bid in NF odr bid in EF darstlln. Zu a ( + 0 0 (75 ( ( 6 6 + 8 Zu b + ( + ( 9 0 Zu c Wir wandln in EF um (Altrnativ: in NF umwandln: 90 Gomtrisch Bdutung dr Division: Di Winkl dr Zigr wrdn subtrahirt, di Bträg dividirt. Zu Aufgab 9 Brchnn Si mit dn komplxn Zahln 0 0 di folgndn Trm und gbn Si di Ergbniss in Normalform und in Eulr- Form an: a * * * + (cos( + sin( b ( / ( Normalform von,, : Eulrform von,, :, 5, 86 70 6, 0 Zu a Wir brchnn di inlnn Bstandtil ds Trms in NF (wil man nur in NF addirn kann ( ( ( ( + 8 8 0,65-0,9 ( ( + + 0 (cos( + sin( 9 9 0,5 +.86, wobi 0 80 9 cos( sin( (cos( + sin( + Für dn Gsamttrm rhaltn wir dann: ^ 6
8 + (cos( + sin( 6(cos( + (sin( + 9 9 +,567,66 in Eulrform:,7 ligt im. Quadrantn, d.h. ϕ arctan( +, 06,57 r,57 +,7,06,,, wobi,06, 68 Zu b Wir brchnn unächst di inlnn Bstandtil ds Trms: ( + 6 5, 6, 0 6, Damit rgibt sich für dn Gsamttrm: * * ( / ( 5 (, 6, 7, 0,9 (Bognmaß ϕ,9 (Eulrform 0, 6 0,8 (Normalform Zu Aufgab 0 Mit dm komplxn Zigr + wrdn folgnd Oprationn durchgführt: a b * c / d 0 f g Was bdutn si gomtrisch? D.h., stlln Si dis Oprationn (d.h., di komplxn Zahln a und g, sowi dn Btrag von im Koordinatnsystm dar! + 5, (dg : 6,7 a + ϕ cos( ϕ + sin( ϕ, + sin(90 (, + bw. ( 5 ( 5 Drhung um ϕ 90 im positivn Drhsinn (Ggnuhrigrsinn b ^ 7
Spiglung an dr Ral-Achs c ( + ( ( ϕ da ist di Division durch auf di Multiplikation mit, (, ϕ urückführbar. Somit da ( 5 ( 5, bdutt di Division durch in Drhung im ngativn Drhsinn( im Uhrigrsinn. d + Di Multiplikation mit inr rlln Zahl kommt inr Strckung um dn Faktor glich 0, 5 6 5 (, + 6,6 5 (dg: 9,965 (Eulr 0,55, (Normalform Drhung um 0 im positivn Drhsinn f 5 Drhung auf di Ralachs (Läng ds Vktors, rll, 5 5 5 g +,,, bw. ( 5 5 (dg: 6,87 (Eulr Drhung um, und Strckung um r 5 Zu Aufgab Zign Si : Für d komplx Zahl a + b gilt: a R( + * b Im( * c * Si x + y a x + y + x y x + ( y y x R( + b x + y x + y x x + ( y (y Im( c* (R(+Im((R(-Im( (R( +Im( ^ 8