Existenz eines Nash Gleichgewichts Ei Existenztheorem: Wenn für ein Spiel = (N, S, u) gilt, dass (i) der Strategieraum S kompakt und konvex ist und (ii) die Auszahlungsfunktion u i (s) jedes Spielers stetig und begrenzt in s S sowie quasi konkav in s i sind (d.h. konvexe Indifferenzkurven), so existiert ein Nash Gleichgewicht für dieses Spiel. Beweisidee: iid [Details siehe ih Holler/Illing, lli 3.3.4] Unter diesen Bedingungen schneiden sich die Reaktionsabbildungen. Sonderfall: [füranwendung wichtiger Fall mitstetigen Strategien z.b. Duopol] Auszahlungsfunktionen stetig differenzierbar und streng konkav und S i kompaktes, konvexes Intervall im R (Strategieraum eindimensional) innere Lösung von u i / s i = 0 für alle i =,, n ist Nash Gleichgewicht K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 37. Einführung: Idee, Beispiele, formale Darstellung. Statische Spiele bei vollständiger Information 3. Dynamische Spiele und unvollständige Information Statische Spiele bei vollständiger Information Dominanz als Lösungskriterium Nash Gleichgewicht Grundkonzept Erweiterungen: Fokus Punkt und gemischte Strategien Literatur zu.3: Holler/Illing, 3.3.3, 3.3.5 3.3.7, 3.5, (3.6, 3.7) Morasch/Bartholomae/Wiens Dixit/Skeath, 4.+4., 4.4, 4.7+4.8, 5. 5.4, 7. 7.3, 7.6+7.7 K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 38
Erweiterungen: Fokus Punkt und gemischte Strategien Aufbau von Abschnitt.3: Effizienz Pareto Optimalität und externe Effekte Eindeutigkeit MehrereNash Nash Gleichgewichte, endogener vs. exogener Fokuspunkt Gleichgewicht in gemischten Strategien Konzept gemischte Strategie, analytische und graphische Lösung (Kommunikation und korrelierte Strategien) gemeinsamer Zufallsmechanismus, effiziente korrelierte Strategie Bestimmung einer plausiblen Lösung in Simultanspielen Vorgehen bei Spielen mit diskreten und stetigen Strategien K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 39 Effizienz: Pareto Optimalität und externe Effekte Beispiele für diskrete Strategien Gefangenendilemma, Assurance Game ( Vertrauensspiel ) und Chicken Game ( Mutprobe ) s s s (3,3) (,4) (3,3) (0,) (3,3) (,4) (4,) (,) (,0) (,) (4,) (0,0) Aspekte: Anreiz zur Abweichung, pareto optimales Gleichgewicht, mehrere pareto optimale Auszahlungskombinationen als Gleichgewichte Stetige Strategien formale Bedingungen für Pareto Optimalität und Nash Gleichgewicht: Effizienz i nur sichergestellt, solange ki keine externen Effekte! K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 40
Eindeutigkeit: Mehrere Nash Gleichgewichte und Fokuspunkt Endogene vs. exogene Fokuspunkte endogen (Assurance Game): exogen (Battle of Sexes): Effizienz vs. Risikoüberlegungen Symmetrie Orientierung an Konvention s s s 3 s (3,3) (0,) (,) (0,0) (0,0) (3,) (0,0) (0,0) (3,) (0,0) (,0) (,) (0,0) (,3) s 3 (0,0) (0,0) (,3) Interpretation: Assurance Game: gemeinsame Jagd auf Hirsch (s i ) oder alleine Hasen erlegen (s i ) Battle of Sexes: Treffen beim Fußball (s i ) oder im Kino (s i ) Mädchen (Spieler (p ) präferiert Fußball, Junge (p (Spieler ) geht lieber ins Kino Alternativen: Gleichgewicht in gemischten Strategien oder korrelierte Strategien K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 4 Gleichgewicht in gemischten Strategien (I) Konzept Gemischte Strategie : Eine gemischte Strategie s i ordnet jeder der m reinen Strategien eine bestimmte Wahrscheinlichkeitzu (Summegleich eins). Darstellung: () (i) s i als m dimensionaler Vektor der Wahrscheinlichkeiten (ii) Strategiemenge S i aller zulässigen gemischten Strategien ist der m dimensionaler Einheitssimplex S i s R i m ; m k s ik Beispiel: Zwei reine Strategien t und s = (0,) S i Münzwurf: s = (½,½) s = (,0) K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 4
Gleichgewicht in gemischten Strategien (II) Beispiel mit zwei reinen Strategien analytischer Lösungsansatz vereinfachte Darstellung: s i [0,] als Wahrscheinlichkeit für s i (Wahrscheinlichkeit für s i ist dann durch s i gegeben) Vorgehensweise: (i) Bestimme Erwartungsnutzen u i (s, s )! (Wahrscheinlichkeiten für Kombination reiner Strategien (s i,s j ) multipliziert mit zugehöriger Auszahlung aufsummieren) s (,) (,0) (ii) Ermittle das Nash Gleichgewicht über die Bedingungen erster Ordnung des (,) (0,4) Nutzenmaximierungsproblems! (analog zum Nash Gleichgewicht bei stetigen Strategien) Alternative bei x Spielen: BestimmeWsk Wsk. s i, fürdiespielerj j zwischen s j unds s j indifferent K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 43 Gleichgewicht in gemischten Strategien (III) Beispiel mit zwei reinen Strategien graphische Darstellung Reaktionsabbildungen: r ( s r ( s ) ) 0 s 0, 5 [0,] s 0,5 s 0,5 s 0,75 [0,] s 0,75 0 s 0,75 s 0,5 r (s ) Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien r (s ) 075 0,75 s K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 44
Kommunikation und korrelierte Strategien Problem: Nash Gleichgewichte mit asymmetrischer Auszahlungsstruktur, kein Fokuspunkt, Gleichgewicht in gemischten Strategien unattraktiv Lösung: Korrelation der Wahrscheinlichkeiten (z.b. über Wetter) s s (3,) (0,0) (3,3) (,4) (0,0) (,3) (4,) (0,0) Beispiele: (Details siehe Morasch/Bartholomae/Wiens und Holler/Illing, 3.5) Battle of Sexes: bei schönem Wetter zum Fußball, bei schlechtem ins Kino Chicken: bei Korrelation über dritte Person positive Wsk. für (,s )! K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 45 Nash Gleichgewicht als plausibles Lösungskonzept? Rationalität und Erwartungsbildung Anreiz zur Abweichung, wenn Strategiekombination kein Nash Gleichgewicht > > eindeutiges Nash Gleichgewicht als plausible Lösung Mehrere Nash Gleichgewichte? Auswahl von Nash Gleichgewichten durch Fokuspunktüberlegungen g (mit Kommunikation: korrelierte Strategien) Gleichgewicht in gemischten Strategien? bei Nullsummenspielen plausible Lösung, sonst eher problematisch (eventuell als reduzierte Form für Spiel mit unvollständiger Information) Bestimmung einer plausiblen Lösung in Simultanspielen diskrete Strategien: Dominanz, Cell by cell, Fokuspunkt, gemischte Strategien stetige Strategien: Schnittpunkte der Reaktionsabbildungen (Gleichungssystem) K. Morasch 0 Angewandte Spieltheorie 46