Universität Potsdam Institut für Physik Vorlesung Theoretische Physik I LA) WS 13/14 M. Rosenblum Übung 8 : Spezielle Relativitätstheorie Besprechung am Montag, dem 03.0.014) Aufgabe 8.1 Zeigen Sie die Invarianz des Viererabstands Minkovski-Norm der Differenz zweier Vierervektoren) unter Lorentz-Transformation. Wir betrachten zwei reignisse mit Raumzeit-Koordinaten t 1,x 1,y 1,z 1 und t,x,y,z. Wir legen unser Koordinatensystem so dies ist immer möglich), daß y = z = y 1 = z 1 = 0. Dann gilt für den Vierer-Abstand in einem Inertialsystem K s = c t t 1 ) x x 1 ) und für den Vierer-Abstand in einem System K, das sich in x-richtung mit der Geschwindigkeit V gleichförmig relativ zu K bewegt s = c t t 1 ) x x 1 ). Wir ersetzen in der letzten Gleichung die gestrichenen Koordinaten durch die ungestrichenen Lorentz-Transformierten siehe Aufgabe 8.3). s ergibt sich ) s = c t βx /c t ) 1 βx 1 /c x βct x 1 βct 1 s ) = c t t 1 ) β ) c x x 1 )) x x1) βct t 1 ) = c t t 1 ) + β c x x 1 ) β ) c t t 1 )x x 1 ) ) x x1) +β c t t 1 ) βct t 1 )x x 1 ) s = c t t 1 ) ) x x1) ) = s ) = s.
Also haben die reignisse in beiden Bezugssystemen denselben Vierer- Abstand: Der Vierer-Abstand ist invariant unter Lorentz-Transformation. Aufgabe 8. in Beobachter in einem Zug gleichförmige Geschwindigkeit v) beobachtet den gleichzeitigen inschlag von zwei Blitzen an den Punkten A und B siehe Skizze). Welcher Blitz schlägt früher ein, für einen in K ruhenden Beobachter? K K V x x Bx 1,t 1 ;x 1,t 1) Ax,t ;x,t ) Wir haben zwei reignisse, die Blitzeinschläge, die wir von K bzw K aus beobachten. Die Raumzeit-Koordinaten sind inschlag bei B: x 1,t 1 ;x 1,t 1 inschlag bei A: x,t ;x,t. Da die Blitzeinschläge in K gleichzeitig erfolgen haben wir t 1 = t. Wir bilden die Differenz der Zeitpunkte der inschläge in K und ersetzen ungestrichene Größen durch die gestrichenen Lorentz-Transformierten t 1/ = t 1/ +βx 1/ /c so daß t t 1 = t +x β/c t 1 +x 1β/c) = β c > 0 x x 1 Im System K schlägt der Blitz also zuerst bei B ein und dann bei A. Aufgabe 8.3 Gegeben sei ein Inertialsystem K und ein dazu gleichförmig mit Geschwindigkeit V bewegtes System K. Die Achsen beider Systeme sind stets parallel und die Bewegung erfolge längs der x-achse. in Photon bewegt sich
in K mit der Geschwindigkeit v = ccosθ,csinθ,0). Finden Sie die Komponenten und den Betrag der Geschwindigkeit im System K. Wir finden die allgemein gültigen Formeln für die Transformationen der Geschwindigkeit. Wir beginnen mit der Komponente der Geschwindigkeit in Richtung der Relativbewegung der beiden Koordinatensysteme. Wir verwenden die gebräuchliche Schreibweise β V/c, wobei V die Relativgeschwindigkeit der Koordinatensysteme ist. s gilt die Lorentz-Transformation x = x βct 1) y = y ) z = z 3) t = t βx/c 4) und für die x-komponente des zurückgelegten Weges Damit finden wir also x = v x t x = v x t. v x = x t = x βct t βx/c = x/t βc x/ct) v x = v x βc v x /c. 5) Invertieren liefert v x = v x +βc. 6) 1+βv x /c Für die Komponente v y transversal zur Relativbewegung der Koordinatensysteme gilt v y = y = y t t βx/c = y t x/ct) also Invertieren ergibt v y = v y v x /c. 7) v y = v y 1+βv x/c. 8)
In der Aufgabenstellung haben wir v x = c cosθ, v y = c sinθ so daß die Gleichungen 6) und 8) für die Geschwindigkeiten im ruhenden System liefern cosθ +β v x = c 1+βcosθ v y = c sinθ 1+βcosθ. Für den Betrag der Geschwindigkeit ergibt sich v x +v y = c cos θ+βcosθ+β +sin θ ) 1+βcosθ) = c 1+βcosθ +β 1 sin θ) 1+βcosθ) = c, wie es für ein Photon sein muss. Aufgabe 8.4 Die Lebensdauer eines Mesons in seinem Ruhesystem beträgt τ = 10 8 s. Die Gesamtenergie des Mesons im Laborsystem betrage = 5 10 9 ev, mit einer Ruhemasse von m meson = 73m e, wobei m e die lektronenmasse bezeichnet. Wie groß ist die Lebensdauer des Mesons im Laborsystem und wie groß ist der Weg, den das Meson in dieser Zeit zurücklegt? Wir können die Geschwindigkeit des Mesons im Laborsystem aus der Gesamtenergie = m mesonc ausrechnen. s gilt 1 = m meson c V βc = c 1 m mesonc Wir berechnen die Lebensdauer im Laborsystem. Dazu betrachten wir die.
Invarianz des Vierer-Abstands Aufgabe 8.) c τ }{{} Ruhesystem = c } t {{ x } Laborsystem [ ) x = c t 1 ct] [ ] ) V = c t 1 c so daß t = τ = τ m meson c. Der Weg, den das Meson in dieser Zeit im Laborsystem zurücklegt ist x = V t = cτ m meson c 1. Aufgabe 8.5 in Photon nergie ω, Impuls ω/c) trifft auf ein ruhendes Atom. nergie und Impuls des Photons werden bei der Kollision vollständig absorbiert. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Atoms nach der Kollision? Der Stoß des Photons mit dem Atom ist inelastisch, d.h. beim Stoß geht nergie des Photons auch in innere Freiheitsgrade des Atoms über. Aber der Impuls ist streng erhalten, so daß wir von der relativistischen Impulserhaltung ausgehen können. Die Ruhemasse des Atoms bleibt annähernd konstant. Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist der des Photons P = ω c. Nach dem Stoß hat das Atom den Impuls P = m 0v. 1 v c
s folgt ω c ) ) 1 v c ω c = m 0 v) ) ) ) ω = v m 0 + c = v m c 0 c + v = c ω m 0 c 4 + ω) ) ) ω c