Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mathematik- und Naturwissenschaft Lösungen Übungsblatt 1 (Mengenlehre) Roger urkhardt 17 Mathematik 1 1. ufgabe egeben seien die Mengen: = {37, 50, 63, 76, 89, 102,..., 2767} = {25, 125, 625, 3125,..., 390625} = {x N 210%x = 0} D = {x N x%3 = 2 x%4 = 3 100 x 0} (a) eben Sie die Mengen und durch definierende Eigenschaften an. = {37, 50, 63, 76, 89, 102,..., 2767} = {x IN x%13 = 11 37 x 2767} = {25, 125, 625, 3125,..., 390625} = { x IN x = 5 k k {2, 3, 4,..., 8} } (b) eben Sie die Mengen und D durch ufzählung der Elemente an. = {x IN 210%x = 0} = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210} D = {x IN x%3 = 2 x%4 = 3 100 x 0} = {107, 119, 131, 143, 155, 167, 179, 191} (c) estimmen Sie die Mächtigkeiten der Mengen,, und D. 2767 37 = 13 = 8 2 1 = 16 D = 2. ufgabe egeben seien die Mengen 191 107 12 + 1 = 2730 13 + 1 = 6 + 1 = 7 = {{}, 1, 3, 5, 7} + 1 = 210 + 1 = 211 + 1 = 84 12 + 1 = 7 + 1 = 8 = {1, 3, {3}, 5, {7}} = {{}, 1, 3, {1, 3}, {5, 7}} D = {{}, 1} Welche der folgenden ussagen sind richtig und welche falsch? eben Sie jeweils eine kurze egründung!
(a) (b) (c) (d) D ( ) Da = {{}, 1, 3} die Elemente der Menge D beinhaltet ist die ussage wahr. ( ) \ = 4 Die Menge ( )\ = {{3}, {1, 3}, {7}, {5, 7}} hat die Mächtigkeit 4 und somit stimmt die ehauptung. D = D Es gilt D = D und D = D und somit ist die ussage wahr. P ( D) = 2 8 Die Menge D = {{}, 1, 3, {3}, {1, 3}, 5, {5, 7}, 7, {7}} hat 9 Elemente und die Mächtigkeit der entsprechenden Potenzmenge ist 2 9, die ussage ist somit falsch. 3. ufgabe eweisen Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms (Mengenschaubild)., und sind beliebige Mengen und alle seien Teilmengen von der Menge : (a) \ = = (b) \ ( ) = ( \ ) ( \ ) Seite 2 / 7
( ) ( ) ( ) (c) = = 4. ufgabe Es sei T n die Menge aller natürlichen Teiler der natürlichen Zahl n. (a) eben Sie die Mengen T 50, T 100, T 0, T 250 und T 1000 durch ufzählung ihrer Elemente an. Seite 3 / 7
T 50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50} T 100 = {1, 2, 4, 5, 10,, 25, 50, 100} T 0 = {1, 2, 4, 5, 8, 10,, 25, 40, 50, 100, 0} T 250 = {1, 2, 5, 10, 25, 50, 125, 250} T 1000 = {1, 2, 4, 5, 8, 10,, 25, 40, 50, 100, 125, 0, 250, 500, 1000} (b) estimmen Sie alle Teilmengenbeziehungen der obigen Mengen. Skizzieren Sie zudem ein aussagekräftiges Mengenschaubild (Venn-Diagramm) dieser Mengen. 500 1000 T 1000 0 8 1 10 5 50 100 25 4 2 T 100 T 50 250 125 40 T 0 T 250 Es gelten die folgenden Teilmengenbeziehungen: T 50 T 100 T 0 T 1000 T 50 T 100 T 250 T 1000 5. ufgabe Es sei V n die Menge aller natürlichen Vielfache der natürlichen Zahl n. (a) eben Sie die Mengen V 4, V 5, V 8 und V durch ufzählung ihrer Elemente an. Seite 4 / 7
V 4 = {4, 8, 12, 16,, 24, 28, 32,...} V 5 = {5, 10, 15,, 25, 30, 35,...} V 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,...} V = {, 40, 60, 80, 100, 1,...} (b) estimmen Sie die Teilmengenbeziehungen der obigen Mengen. Skizzieren Sie zudem ein ausagekräftiges Venn-Diagramm dieser Mengen. V 8 V 4 V V 4 V V 5 57 38 54 9 41 18 6 17 29 42 15 55 53 44 25 45 27 58 52 4 V...... 30 35... 2 12 36 40 60... 10 V 39... 5 21 8 50 28 48 5 59 47 V 16 24 4 56... 11 32 19 23 V 8 26 51 49 N 37 1 34 14 33 22 46 13 43 7 3 31 N V 8 V 4 V V 5 (c) estimmen Sie die folgenden Mengen und beschreiben Sie diese sowohl durch ngabe der Elemente als auch durch eine definierende Eigenschaft. i. V 4 V 5 =? V 4 V 5 = {, 40, 60, 80,...} = V = {x N x % = 0} ii. V 4 V 8 =? V 4 V 8 = {4, 8, 12, 16,, 24, 28, 32,...} = V 4 = {x N x % 4 = 0} Seite 5 / 7
6. ufgabe egeben seien die Mengen: = {{}, 1, {1}} = {0, 1, {1}} (a) estimmen Sie zu diesen Mengen jeweils die Potenzmengen. P () = {{}, {{}}, {1}, {{1}}, {{}, 1}, {{}, {1}}, {1, {1}}, {{}, 1, {1}}} P () = {{}, {0}, {1}, {{1}}, {0, 1}, {0, {1}}, {1, {1}}, {0, 1, {1}}} (b) estimmen Sie: P ( ) =? P ( ) =? P () P () =? = 2 P ( ) = 2 2 = 4 = 4 P ( ) = 2 4 = 16 P () P () = P () + P () P ( ) = 2 3 + 2 3 2 2 = 8 + 8 4 = 12 7. ufgabe Eine Firma hat drei Zweigniederlassungen, und. Von den ngestellten haben Personen einen rbeitsplatz in allen drei Niederlassungen. Von den 500 in der Niderlassung beschäftigten Personen arbeiten 440 Personen nur in dieser Niederlassung, von den 400 in der Niderlassung beschäftigten Personen arbeiten 350 Personen nur in dieser Niederlassung und von den 300 in der Niderlassung beschäftigten Personen arbeiten 260 Personen nur in dieser Niederlassung. estimmen Sie die nzahl ngestellten, welche sowohl in der Niederlassung und der Niederlassung beschäftigt sind. Die gegebenen Machtigkeiten können in einem Venn-Diagramm eingetragen werden: x 440 350 y z 260 0 = =500 ( ) =440 =400 ( ) =350 =300 ( ) =260 =400 ( ) =x ( ) = y ( ) =z Es bleiben drei leere ereiche übrig - setzt man: ( ) \ = x ( ) \ = y ( ) \ = z Seite 6 / 7
gilt folgendes: x + y = 40 x + z = 30 y + z = Die Lösungen für das leichungssystem lauten: x = 25 y = 15 z = 5 In den Niederlassungen und arbeiten somit 855 Mitarbeiter. 8. ufgabe In einer Schule mit 100 Schülern ( S = 100) werden die drei Wahlfächer, und angeboten. Das Wahlfach belegen 50, das Wahlfach 30 und das Wahlfach 60 Schüler. Für die beiden Wahlfächer und haben sich 10 Schüler angemeldet. Für die beiden Wahlfächer und haben sich Schüler angemeldet. Nur das Wahlfach besuchen Schüler. Wie viele Schüler besuchen kein Wahlfach? Wie viele Schüler besuchen maximal alle drei Wahlfächer? Wie viele Schüler besuchen minimal nur das Wahlfach? S 100 30 0 10 0 0 10 10 10 definiert Variante minimal drei Fächer Variante maximal drei Fächer us dem obigen Venn-Diagramm findet man: S\ ( ) = 10 max = 10 \ ( ) min = Seite 7 / 7