Ferienkurs der TU München- - Analysis 2 Funktionen in mehreren Variablen Vorlesung

Ferienkurs der TU München- - Analysis 2 Funktionen in mehreren Variablen Vorlesung Jonas J. Funke 30.08.2010-03.09.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen in mehreren Variablen 3 2 Partielle Differentiation 3 2.1 Differenzierbarkeit........................ 3 2.2 Totale Differenzierbarkeit..................... 4 2.3 Satz von Schwarz......................... 4 2.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace Operator....... 4 2.5 Kettenregel............................ 5 2.6 Richtungsableitung........................ 5 3 Taylorentwicklung 6 3.1 Skalarfeld............................. 6 3.2 vektorwertige Funktionen..................... 8 4 Extremstellenbestimmung 9 4.1 Kritische Punkte......................... 9 4.2 Kategorisierung von kritischen Punkte............. 9 4.3 Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung (NB)...... 11 4.3.1 Direkte Methode..................... 11 4.3.2 Parametrisierung..................... 11 4.3.3 Lagrange-Methode.................... 12 5 Implizite Funktionen 13 5.1 Aufloesbarkeit........................... 14 5.2 Ableitungen und Taylorentwicklung............... 14 5.3 Verallgemeinerung........................ 15 1

INHALTSVERZEICHNIS 2 6 Anhang 16 6.1 Talylorentwicklung: Herleitung.................. 16

1 FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN 3 1 Funktionen in mehreren Variablen Funktionen die von mehreren Variablen x 1,..., x n abhängen und deren Wertebereiche mehrdimensional seien können, sind Funktionen in mehreren Variablen. Im allgemeinen gilt also: Man unterscheidet: f : R n D R m (1) x 1 f 1 (x) x =. f(x 1,..., x n ) =. (2) f m (x) x n ˆ Kurven im R m, d.h. n=1 und somit f : R D R m ˆ Skalarfelder, d.h. m=1 und somit f : R n D R ˆ vektorwertige Funktionen, d.h n,m beliebig 2 Partielle Differentiation 2.1 Differenzierbarkeit Die partielle Differentiation einer Funktion in mehreren Variablen betrachtet die Änderung dieser Funktion nach nur einer Variablen. Anschaulich ist dies die Richtungsableitung längs den Koordinatenachsen. Es gilt also voellig analog zur Differentiation in einer Dimension: f(x) x i := lim t 0 f(x 1,..., x i + t,..., x n ) f(x1,..., x i,..., x n ) t (3) Andere Schreibweisen sind: f x i = xi f = i f = f xi Eine Funktion f heißt partiell differenzierbar (bzw. stetig partiell differenzierbar), wenn alle ihre partiellen Ableitungen f xi existieren (und stetig sind). f heißt zweimal (k-mal) partiell differenzierbar, wenn alle zweiten partiellen ( ) f x i x j Ableitungen (alle k-ten Ableitungen f xi...x k ) exisitieren. Sind alle Ableitungen stetig heißt die Funktion k-mal stetig partiell differenzierbar. Man schreibt:

2 PARTIELLE DIFFERENTIATION 4 C k (D, R) := {f : D R; Für k=0 ist f stetig. f k-mal stetig partiell differenzierbar} 2.2 Totale Differenzierbarkeit Siehe Vorlesung am Freitag 2.3 Satz von Schwarz Satz 1 (Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen). Für jede C 2 -Funktion f : D R, D R n offen, gilt: ( ) f = ( ) f (4) x i x j x j x i Achtung! Die Funktionen müssen 2-mal stetig partiell differenzierbar sein, sonst gilt der Satz von Schwarz i.a. nicht. 2.4 Gradient, Divergenz, Rotation, Laplace Operator Der Gradient fasst die partiellen Ableitung fuer f : R n D R zusammen: gradf(x) = f(x) := f(x) x 1. f(x) x n R n (5) Er zeigt in Richtung des groessten Anstiegs. Die Divergenz ist fuer ein vektorwertiges Feld v : R n D R n definiert als: divv(x) = v(x) = v 1 (x) + + v n (x) (6) x 1 x n Der Laplace Operator ist fuer f : R n D R definiert als: f(x) = 2 f (x) + + 2 f (x) = x 2 1 x f(x) (7) 2 n Nur im R 3 ist die Rotation fuer ein vektorwertiges Feld v : R 3 D R 3 gegeben durch: rotv(x) = x2 v 3 x3 v 2 v = x3 v 1 x1 v 3 (8) x1 v 2 x2 v 1

2 PARTIELLE DIFFERENTIATION 5 2.5 Kettenregel Hängt der Vektor x von einem kontinuierlichem Parameter t - also x = x(t) - ab, so beschreibt dies eine Kurve im R n. Die Änderung der Funktion f entlang dieser Kurve lässt sich wie folgt berechnen: Satz 2 (Die Kettenregel). Für jede C 1 -Funktion f : D R, D R n offen, und für jedes Kurvenstück x : R [a, b] D gilt d dt f(x(t)) = f x 1 (x(t)) x 1 (t) +... + f xn (x(t)) x n (t) = f(x(t)) ẋ(t) (9) Mit der Kettenregel kann man zeigen, dass der Gradient immer senkrecht auf Niveauflächen steht. Die Niveauflächen einer Funktion f sind definiert durch: N c := {x D R n ; f(x) = c} ; c R sind die Niveauflaechen Kugelober- Beispiel. Fuer f(x) = 1 1 = x 2 x 2 +y 2 +z 2 flaeche mit Radius R = 1 c : f(x) = 1 x 2 + y 2 + z 2 = c x2 + y 2 + z 2 = 1 c = R2 (10) Für alle Kurven x = x(t), die in der Niveaufläche N c liegen gilt: d dt f(x(t)) = d c = 0 = f ẋ(t) dt D.h. der Gradient von f ist orthogonal zu allen Kurventangenten, die in der Nievaeuflaeche liegen und somit ist der Gradient orthogonal zu der Niveaufläche N c. 2 In unserem Beispiel also gradf = x = 2 x. Der Gradient ist (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 x 4 also senkrecht zu den Tangentialebenen an Kugeloberflaeche. 2.6 Richtungsableitung Wie wir eben festgestellt haben beschreibt die partielle Ableitung einer Funktion f(x) x i die Änderung der Funktionswerte entlang der Koordinatenachse e i. Möchte man die Änderung bzgl. einer bestimmten Richtung v berechnen benötigt man die Richtungsableitung. Mit h(t) = f(x + tv) ist d h(0) diese dt Richtungsableitung und mithilfe der Kettenregel ergibt sich:

3 TAYLORENTWICKLUNG 6 Satz 3. Für jede auf der offenen Menge D R n total differenzierbare Funktion f insbesondere für f C 1 (D, R) und für jeden Vektor v R n, v 0, gilt: n v f(x) = f(x) v = f xi (x) v i (11) Mit v = 1 stellte (11) die Richtungsableitung (bzw. den Anstieg) von f an der Stelle x in Richtung v dar. 3 Taylorentwicklung 3.1 Skalarfeld Die Taylorentwicklung im R n laesst sich auf die Taylerentwicklung in einer Dimension zurueckfuehren (Herleitung im Anhang). Man erhaelt: Satz 4 (Taylorformel für n Variablen). Ist D R n ein konvexes Gebiet, f C k+1 (D, R), x D, dann gilt: i=1 f(x) =f(x 0 ) + gradf(x 0 ) (x x 0 ) + 1 2! (x x 0) T H f (x 0 )(x x 0 ) +... + 1 k! k x x 0 f(x 0 ) + R k (x, x 0 ) (12) mit dem Restglied R k (x, x 0 ) = 1 (k + 1)! k+1 v f(x + ξ k (x x 0 )) un einer Zahl ξ k zwischen 0 und 1. Ausserdem ist H f (x) ist die symmetrische HESSE-Matrix: f x1 x 1 (x 0 )... f x1 x n (x 0 ) H f (x 0 ) =. = f xnx1 (x 0 )... f xnxn (x 0 ) von f am Punkt x 0. ( x x0 = n i=1 (x x 0) i x 0,i ) ( x 1 f(x 0 ),..., ) f(x 0 ) x n (13)

3 TAYLORENTWICKLUNG 7 Beispiel. Taylorentwicklung von f(x, y) = x 2 xy 2 bis zur zweiten Ordnung um x 0 = (1, 1) T. Mit f(1, 1) = 0, x f = 2x y 2, y f = 2xy, xx f = 2, yy f = 2x und xy f = yx f = 2y ergibt sich: ( ) ( ) 1 x 1 f(x) = + 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 x 1 y 1 2 y 1 2 2 2 y 1 ( + O x 1 ) 3 (14) y 1 Bemerkung: Meistens wird die Taylorentwicklung in Pruefungen nur bis zur zweiten Ordnung abgefragt. Es ist jedoch wichtig zu wissen, dass das Restglied in diesem Fall mit x x 0 3 geht. Da Ihr jedoch in der Klausur bis zur 3. Ordnung entwickeln musstet, hier nochmal die allgemeine Formel: Satz 5 (Allgemeines Taylorreihe). Die Taylorreihe um den Punkt a der Funktion f fuer n Variablen: (x 1 a 1 ) k 1... (x n a n ) kn f(x 1,..., x n ) = k 1!... k n! k 1 =0 k n=0 Beispiel. Gegeben ist f C 4 (R 2 ) mit : k 1 x k 1 1... kn x kn n f(a) (15) f(0) = 3, 2 1f(0) = 1 2 f(0) = 2 1 f(0) = 2 3 2 = 2 1 2 f(0) = 1 2 1 f(0) = 2 2 1f(0) = 1 (16) Man soll die Taylorreihe bis zur 3. Ordnung um 0 (d.h. a = 0) angeben. Da f = f(x, y) gibt es also zwei Indices k x und k y ueber die wir summieren, wobei wir beachten muessen, dass wir nur bis k x + k y = 3 summieren. Nun koennen wir schreiben:

3 TAYLORENTWICKLUNG 8 f(x, y) = k x=0 k y=0 x kx y ky k x!k y! kx x y ky f(0, 0) k y = 0 k y = 1 k y = 2 k y = 3 y k x = 0 f(0)+ y y f(0)+ 2 2! 2 y yf(0)+ 3 3! 3 yf(0)+ = k x = 1 x x f(0)+ xy 1!1! x y f(0)+ xy2 1! 2! x yf(0)+ 2 k x = 2 x2 2! 2 xf(0)+ x2 y 2! 1! 2 x y f(0)+ x k x = 3 3 3! xf(0) = 3 + y3 3! 2xy x2 + 1 2 x2 y Mit ein wenig Uebung geht das dann relativ schnell: (17) 0.Ordnung = 3 (18) 1.Ordnung = 0 (19) 2.Ordnung = 2xy 2 x2 2! 3.Ordnung = y3 3! + x2 y 2! 1! 3.2 vektorwertige Funktionen (20) (21) Um die vektorwertige Funktion v : R n D R m zu entwickeln, entwickelt man einfach jede Komponente separat: v 1 (x 0 ) gradv 1 (x 0 ) (x x 0 ) v(x) =. +. +... v m (x 0 ) gradv m (x 0 ) (x x 0 ) (22) (gradv 1 (x 0 )) T = v(x 0 ) +. (x x 0 ) +... (gradv m (x 0 )) T Also: v(x) = v(x 0 ) + J v (x 0 ) (x x 0 ) +... (23)

4 EXTREMSTELLENBESTIMMUNG 9 Hier ist J v (x 0 ) die Jacobi-Matrix am Punkt x 0 : x1 v 1 (x 0 )... xn v 1 (x 0 ) J v (x 0 ) =.. = ( x1 v(x 0 )... xn v(x 0 ) ) x1 v m (x 0 )... xn v m (x 0 ) (24) Beispiel. Das vektorwertige Feld v(x, y) = (3x 3 y, 2xy) T soll an x 0 = (1, 1) T linear approximiert werden. Man erhaelt: ( ) ( ) ( ) 3 9 3 x 1 v(x, y) + 2 2 2 y 1 (25) 4 Extremstellenbestimmung 4.1 Kritische Punkte Mithilfe der Taylorentwicklung (bzw. der Tangentialebene) können nun lokal Extremstellen berechnet werden. Eine lokale Extremstelle am Punkt a D liegt dann vor, wenn es eine r-umbegung U r (a) = {x R n ; x a < r} mit: f(x) f(a) bzw. f(x) f(a) Für z = f(x, y) bedeutet dies, dass die Tangentialebene parallel zur x-y- Ebene ist. Damit eine Extremstelle vorliegt, muss also die Änderung der Funktion nach allen Koordinatenachsen verschwinden, d.h. Satz 6 (Lokale Extrema im Inneren von D). Ist f auf U r (a), a R n, eine C 1 -Funktion, so gilt a ist lokale Extremstelle von f gradf(a) = 0 (26) f(a) = 0 ist also notwendige Bedingung, dass ein inneres Extremum vorliegt und a nennt man stationären oder kritischen Punkt 4.2 Kategorisierung von kritischen Punkte Um nun zu untersuchen, ob es sich um ein Maxima, Minima oder Sattelpunkt handelt betrachtet man die nächste Ordnung der Taylorenwicktlung - d.h. die Hesse-Matrix. Am stationären Punkt gilt: f(a) = f(a) + gradf(a) (x a) + (x a) T H }{{} f (a)(x a) +... =0

4 EXTREMSTELLENBESTIMMUNG 10 Und man erhält in der Umgebung von a unter vernachlaessigung hoeherer Ordnungen: f(x) f(a) = (x a) T H f (a)(x a) Da H f (a) nach dem Satz von Schwarz symmetrisch ist, lässt sie sich mit einer orthogonalen Transformation diagonalisieren: H f (a) = O Λ O T (mit Λ diagonal). Mit der Koordinatentransformation z = O T (x a) (bzw. z T = (x a) T O) erhält man: f(x) f(a) = (x a) T O Λ O T (x a) }{{}}{{} =z T =z { = λ 1 z1 2 +... + λ n zn 2 strikt > 0 = strikt < 0 Minima Maxima (27) Sind alle EW e positiv ( H f (a) ist positiv definit), folgt f(x) f(a) > 0, d.h in der Umgebung unseres Entwicklungspunktes a sind alle Werte der Funktionen groesser als am Punkt selbst - a ist ein lokales Minima. Entsprechend formuliert man für negativ definit und indefinit: Satz 7 (Extremstellen-Test für n Variablen). Ist U R n offen, a U ein stationärer Punkt einer Funktion f C 2 (U, R) und H f (a) die Hesse-Matrix von f in a, dann gilt: (a) H f (a) positiv definit a ist lokales Minimum (b) H f (a) negativ definit a ist lokales Maximum (c) H f (a) indefinit a ist Sattelpunkt Im R 2 kann man das durch die Determinante ausdrücken: Nur für n=2 gilt: (a) deth f (a) > 0, f xx (a) > 0 a ist lokales Minima (b) deth f (a) > 0, f xx (a) < 0 a ist lokales Maxima (c) deth f (a) < 0 a ist Sattelpunkt (d) deth f (a) = 0 keine Aussage möglich Zusammenfassend geht man wie folgt vor:

4 EXTREMSTELLENBESTIMMUNG 11 Extremwertberchnung für U R n und f C 2 (U, R): 1. Stationäre Punkte a i berechnen: f(a i ) = 0 a i 2. Stationäre Punkte durch H f (a i ) charakterisieren (siehe oben). 3. Falls nach globalen Extrema gefragt wurde, muessen weiterhin Extrema auf Rand und Eckpunkten bestimmt und mit den lokalen Extrema verglichen werden. 4.3 Extremwertbestimmung mit Nebenbedingung (NB) Oft will man Extremstellen unter bestimmten Bedingungen ermitteln. Dies kann man sich am folgendem Beispiel klar machen: Beispiel. Auf einer Landkarte sind oft Hoehenlinien, also eine Hoehenfunktion h(x, y) = x 2 y 2, die jedem Punkt eine Hoehe zuordnet gegeben. Ausserdem kennen wir die Form einer Strasse gegeben durch g(x, y) = 0. Die Aufgabe besteht darin den hoechsten (niedrigsten) Punkt auf der Strasse zu finden. h(x, y) = max NB g(x, y) = 0 (28) 4.3.1 Direkte Methode Falls die Nebenbedingung sich trivial nach einer Variablen aufloesen laesst, kann man den erhaltenen Zusammenhang direkt einsaetzen und nur noch die verbliebenen Variablen betrachten: Beispiel. Sei g(x, y) = x + y 1 = 0. Wir loesen z.b. nach y(x) auf y = x + 1 und setzen ein: h(x, y(x)) = x 2 (x + 1) 2 = f(x). Haben wir das Problem auf eine Variable reduziert und koennen wie gewohnt vorgehen. 4.3.2 Parametrisierung Aehnlich zur direkten Methode kann man vorgehen, wenn sich die Nebenbedingung durch Parametrisierung darstellen laesst

4 EXTREMSTELLENBESTIMMUNG 12 Beispiel. Sei g(x, y) = ( x 2 ( 2) + y 2 ( ) 1) 1 = 0. Durch einsetzen der Parametrisierung x(t) = ist die NB automatisch erfuellt: 2 cos(t) sin(t) ( ) 2 ( ) 2 2 cos(t) sin(t) g(2 cos(t), sin(t)) = + 1 = 0 (29) 2 1 Einsetzen in die Hoehenfunktion ergibt: h(x(t), y(t)) = 4 cos 2 (t) sin 2 (t) = f(t) (30) Wieder ist das Problem auf eine Variable reduziert und man kann wie gewohnt nach t maximieren (minimieren). Oft kann man dieses Verfahren gut nutzen um Extremstellen auf Raendern zu bestimmen. 4.3.3 Lagrange-Methode Sollte die NB nicht in einer einfachen Form gegeben sein, kann die Lagrange- Method verwendet werden. Anschaulich nutzt diese Methode, dass der Gradient des Hoehenfeldes parallel zu dem Gradient der NB sein muss, und man loest das Gleichungssystem: x h(x) = λ x g(x) (31) g(x) = 0 (32) mit λ R. Dies kann man zusammenfassen und geht wie folgt vor (hier nur fuer R 3 dargestellt, aber trivial erweiterbar): Gegeben sind f(x, y, z) und g(x, y, z) = 0. 1. Bilde Lagrange-Funkion: 2. Loese das Gleichungssystem: L (x, y, z, λ) = f(x, y, z) + λ g(x, y, z) (33) x L (x, y, z, λ) = 0 (34) y L (x, y, z, λ) = 0 (35) z L (x, y, z, λ) = 0 (36) λ L (x, y, z, λ) = g(x, y, z) = 0 (37) Die letzte Gleichung reproduziert wieder die einfache NB.

5 IMPLIZITE FUNKTIONEN 13 Liegen mehrere NBen vor so fuerht man einfach mehrere Lagrange-Mulitplikatoren ein: L = f + λ 1 g 1 + λ 2 g 2 +.... Man muss dann natuerlich auch nach allen Multiplikatoren differenzieren, um alle NBen zu reproduzieren: x L = 0,..., z L = 0, λ1 L = 0, λ2 L = 0,.... Beispiel. Als einfaches Beispiel (welches man auch mit der direkten Methode loesen koennte) betrachten wir wieder g(x, y) = x + y + 1 = 0 und erhalten als Lagrange-Funktion: L = x 2 y 2 +λ ( x+y+1). Man erhaelt folgendes Gleichungssystem: x L = 2x λ = 0 x = λ 2 (38) y L = 2y + λ = 0 y = λ 2 (39) λ L = x + y + 1 = 0 (40) λ 2 + λ 2 + 1 = 0 λ = 1 (41) x = λ 2, y = λ 2 (42) 5 Implizite Funktionen Oft sind Funktionen in Form von impliziten Zusammenhaengen gegeben. Ein typisches Beispiel ist die Magnetisierung M(H) in Abhaenigigkeit des auesseren magnetischen Feldes H fuer das 2 dimensionale Ising-Modell in der Mean Field Naeherung. Man erhaelt z.b. die implizite Gleichung: ( ) H + 4JM M = tan (43) k B T Hier ist H das aussere Magnetfeld, J eine Wechselwirkungskonstante, k B die Boltzmann konstante und T die Temperatur. Gleichung 43 kann man nicht explizit nach M(H) aufloesen und M(H) ist somit nur implizit gegeben. Die Fragen, die uns hier beschaeftigen werden sind: 1. Kann man implizite Gleichungen wie Gleichung 43 lokal (also nur in einer kleinen Umgebung) explizit aufloesen (also lokal M(H) angeben)? 2. Wenn man lokal aufloesen kann, ist es moeglich die Taylorentwicklung, also partielle Ableitungen (z.b. M(H) ) anzugeben? H Punkt 2 ist gerade in der Thermodynamik wichtig, wo z.b. die Suszeptibilitaet gegeben ist durch χ T = M(H) und aus der obigen impliziten Gleichung H bestimmt werden kann.

5 IMPLIZITE FUNKTIONEN 14 5.1 Aufloesbarkeit Satz 8 (Satz ueber implizite Funktionen). Gegeben sei eine implizite Gleichung f(x) = f(x 1,..., x n ) = 0, mit f : R n D R stetig partiell differenzierbar. Gilt im Punkt x = x 0 : 1. f(x 0 ) = 0 (Also erfuellt der Punkt die implizite Gleichung) und gleichzeitig 2. xi f(x 0 ) 0 so ist f(x) = 0 lokal (also in einer Umgebung) im Punkt x 0 nach x i = x i (x 1,..., x i 1, x i+1,..., x n ) aufloesbar. Beispiel. fuer R 3 : Gegeben ist die implizite Gleichung f(x, y, z) = sin(x) + xy + e z2 e 1 = 0. Nach welchen Funktionen x = x(y, z), y = ỹ(x, z), z = z(x, y) ist f = 0 im Punkt x 0 = (0, 0, 1) T aufloesbar? f(x 0 ) = f(0, 0, 1) = 0 + 0 + e 1 e 1 = 0 (44) x f(0, 0, 1) = cos(x 0 ) + y 0 = 1 0 x = x(y, z) moeglich (45) y f(0, 0, 1) = x 0 = 0 y = ỹ(x, z) nicht moeglich (46) z f(0, 0, 1) = 2z 0 e z2 0 = 2/e 0 z = z(x, y) moeglich (47) (48) Wir sehen: Der Punkt erfuellt die implizite Gleichung. Und die implizite Gleichung ist lokal nach x = x(y, z) und z = z(x, y) aufloesbar. 5.2 Ableitungen und Taylorentwicklung Ist die implizite Gleichung nach einer Variable lokal aufloesbar, so existieren die partiellen Ableitungen. Am Beispiel von oben f(x, y, z) = 0 mit z(x, y) folgt (wir differenzieren total): d f(x, y, z(x, y)) = 0 (49) dx d d f(x, y, z(x, y)) = dx dx 0 = 0 = xf + z f d z dx d z dx = xf z f (50) (51)

5 IMPLIZITE FUNKTIONEN 15 Analog folgt d z = yf. dy zf Sind nun alle partiellen Ableitungen bekannt, kann man die Taylorentwicklung der Funktion z(x, y) am Punkt x 0 angeben: ( xf z(x, y) = z 0 + (x ) ( ) ( zf 0, y 0, z 0 ) x x0 yf (x + O zf 0, y 0, z 0 ) y y 0 x 0 2) (52) y 0 Beispiel. Mit dem Beispiel von oben folgt fuer den Gradienten: ( cos x 0 +y 0 ) ( ) e/2 grad z(x 0, y 0 ) = = 0 2z 0 e z2 0 x 0 2z 0 e z2 0 (53) Nun kann man die Taylorentwicklung am Punkt x 0 = (0, 0) angeben: ( ) ( ) ( e/2 x 0 z(x, y) = 1 + + O 0 y 0 x 0 2) (54) y 0 Man kann natuerlich auch hoehere partielle Ableitungen berechnen, indem man Gleichung 50 erneut total differenziert. (Siehe Uebung) 5.3 Verallgemeinerung Ist f kein Skalarfeld, sondern eine vektorwertige Funktion f : R n D R m, kann der Satz ueber implizite Funktionen verallgemeinert werden. Hierzu betrachten wir das folgende Beispiel: Beispiel. Gegeben sind zwei implizite Gleichungen, die von den Variablen x, y, u, v abhaengen: ( ) ( ) f1 (x, y, u, v) 0 f(x, y, u, v) = = (55) f 2 (x, y, u, v) 0 Angenommen wir wollten nach u = ũ(x, y) und v = ṽ(x, y) aufloesen. Dies sollte nur moeglich sein, wenn wir die partiellen Ableitungen x ũ(x, y), y ũ(x, y), x ṽ(x, y), y ṽ(x, y) angeben koennen. Um diese partiellen Ableitungen zu bestimmen, gehen wir aehnlich wie vor - wir differenzieren total aber komponentenweise nach z.b x: d f(x, y, u, v) = dx ( ) ( ) ( ) 0 x f = 1 u f + 1 x u + v f 1 x v 0 x f 2 u f 2 x u + v f 2 x ( ) ( ) ( ) 0 u f = = 0 x f + 1 v f 1 x u u f 2 v f 2 x v }{{} J f (56)

6 ANHANG 16 wobei die Jacobi-Matrix J f auftaucht. Um nun die partiellen Ableitungen zu bestimmen, muss das lineare Gleichungssystem geloest werden und man findet: ( ) x u(x, y) x v(x, y) = (J f ) 1 ( x f 1 x f 2 Die Jacobi-Matrix muss also invertierbar sein! Dies ist allgemein gueltig: ) (57) Satz 9. Sei v : R n R m R m, also v = v(x 1,..., x n, y 1,..., y m ). Gilt am Punkt (x 0, y 0 ): v(x 0, y 0 ) = 0 (58) v y (x 0, y 0 ) = ( y1 v,..., ym v) = D y v = J v invertierbar (59) So ist v lokal nach y = ỹ(x) um (x 0, y 0 ) aufloesbar. Die partiellen Ableitungen sind gegeben durch: ( ) 1 y v (x 0, y 0 ) = x i y (x 0, y 0 ) v(x xi 0, y 0 ) = (D y v(x 0, y 0 )) 1 xi v(x 0, y 0 ) (60) Mit der Jacobi-Matrix: y1 v 1... ym v 1 D y v(x 0, y 0 ) = ( y1 v(x 0, y 0 ),..., ym v(x 0, y 0 )) =.. y1 v m... ym v m (61) 6 Anhang 6.1 Talylorentwicklung: Herleitung Die Tayloerentwicklung von Funktionen einer Variablen ist bereits bekannt. Diese lässt sich auf Funktionen in mehreren Variablen verallgemeinern. Hierzu betrachtet man für ein x 0 D R n und v R die Funktion einer reellen Veränderlichen h(t) := f(x 0 + tv) mit 0 < t < 1 und setzt vorraus, dass

6 ANHANG 17 D konvex ist (d.h. D ist offen und jede Gerade durch zwei Punkte die in D liegen, liegt auch in D). Wir entwickeln nun die Funktion h(t) um t 0 = 0. Wir werden nur den Term erster Ordnung berechnen, der Term zweiter Ordnung etc. folgt analog. Zunächst bilden wir die Ableitung nach t: ḣ(t) = = f (x 1 + tv 1 ) d(x 1 + tv 1 ) dt f (x 1 + tv 1 ) v f 1 + (x 2 + tv 2 ) v 2 +... ḣ(0) = f x 1 v 1 + f x 2 v 2 +... = f(x 0 ) v + f (x 2 + tv 2 ) d(x 2 + tv 2 ) +... dt (62) Werten wir h nun an der Stelle 1 aus ergibt sich: h(1) = h(0) + ḣ(0) 1 +... Und mit h(1) = f(x 0 + v), h(0) = f(x 0 ) und ḣ(0) = gradf(x 0) v ergibt sich: f(x 0 + v) = f(x 0 ) + gradf(x 0 ) v +... Mit v = x x 0 kann man die Taylorentwicklung einer Funktion angeben (siehe oben).