21.02.2011 Klausur Grundlagen der Mechatronik Name: Matrikel-Nr.: Hinweise zur Bearbeitung: Die Klausur besteht aus 4 Aufgaben. Es sind alle Aufgaben zu bearbeiten. Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Bei jeder Aufgabe können maximal 30 Punkte erreicht werden, so dass die Gesamtpunktzahl 120 Punkte beträgt. Beschriften Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen und Ihrer Matrikelnummer, und nummerieren Sie die Lösungsblätter durch. Lösungsblätter ohne Beschriftung können nicht bewertet werden. Fangen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt an. Die Aufgabenblätter sind am Schluss der Klausur mit abzugeben.
Name: Matr.-Nr.: Seite 2 von 8 Aufgabe 1 Eine hochempfindliche Last soll mithilfe eines Gabelstaplers angehoben werden (siehe Bild 1-1). Die dazu erforderliche Kraft wird durch einen hydraulischen Differentialzylinder (d.h. die Kolbenflächen sind unterschiedlich: AA AB ) bereitgestellt. Sie wirkt auf eine Umlenkrolle, über die eine Kette läuft, welche mit der Gabel verbunden ist. Um die Last vor Erschütterungen zu schützen, ist ein Feder-Dämpfersystem zwischen Gabel und Last vorgesehen. Damit modellbasiert untersucht werden kann, wie die Druckverhältnisse im Hydraulikzylinder einzustellen sind, werden die Differentialgleichungen des Systems benötigt. Dazu soll zunächst das in Bild 1-1 dargestellte, vereinfachte System betrachtet werden. Bild 1-1: Prinzipskizze Bild 1-2: Mechanisches Ersatzsystem A A, A B Wirksame Kolbenfläche p A, p B Kammerdruck p Druckdifferenz: p =p A - p B q A, q B Volumenstrom V A, V B Volumen bei z Zyl = 0 β Kompressionsmodul q L Leckage Leckagebeiwert c L Bild 1-3: hydraulisches Teilsystem m L m G m K c d z L,z G z Zyl z d Masse der Last Masse der Gabel Kolbenmasse Federsteifigkeit Dämpfungskonstante Vertikale Positionen der Massen Auslenkung des Hydraulikzylinders Dämpferauslenkung Es soll lediglich der Hubvorgang in vertikaler Richtung betrachtet werden (siehe Bild 1-1). Bei dem Dämpfer ist eine quadratische Kennlinie zu verzeichnen, sodass sich seine Kraft zu Fd d z d z d berechnet, wobei z d die Auslenkung des Dämpfers bezeichnet. Gehen Sie außerdem davon aus, dass sich das System zum Zeitpunkt t 0 im eingeschwungenen Zustand befindet und für z z 0 Feder und Dämpfer entspannt sind. G L
Name: Matr.-Nr.: Seite 3 von 8 Hinweis: Masse und Trägheitsmoment der Umlenkrolle sowie die Masse und Steifigkeit der Kette sollen vernachlässigt werden. a) Schneiden Sie das mechanische Ersatzsystem (Bild 1-2) frei, und tragen Sie alle relevanten Kräfte ein. b) Stellen Sie für die freigeschnittenen Körper mithilfe der Impulsbilanz die Bewegungsgleichungen auf. c) Leiten Sie die Differentialgleichungen für die Bewegung der Kolbenmasse und den Druckaufbau ( p f q, z, z ) ) im hydraulischen Teilsystem her (Bild 1-3). Gehen ( A, B, L Zyl Zyl Sie dabei davon aus, dass sich der Zylinder zunächst in Mittelstellung befindet. Es gilt q ( t) c p( t) und L L qa, B, L( t) V A, B( t) p A, B( t). V ( t) Vereinfachen Sie die Gleichungen indem Sie anschließend annehmen, dass, z V gilt und dass bei z 0 beide Kammervolumen gleich groß sind. A A B Zyl A, B Zyl d) Charakterisieren Sie die entstandenen Differentialgleichungen aus Aufgabenteil b) und c) bzgl. Linearität, Zeitvarianz und Ordnung. A, B Ein anderes nichtlineares System wird durch folgende Differentialgleichung beschrieben: y t y t y t u t u t 3 ( ) ( ) 6 ( ) 8 tan( ( )) 2 ( ) e) Ermitteln Sie die Ruhelage des Systems für 1 u() t us. 4 f) Linearisieren Sie die Differentialgleichung mithilfe der Taylorreihenentwicklung (bis zur 1. Ordnung) um die Ruhelage. d 2 1 Hinweis: Die Ableitung des Tangens berechnet sich zu tan( x) 1 tan ( x) 2 dx cos ( x) g) Ermitteln Sie die Übertragungsfunktion des Systems.
Name: Matr.-Nr.: Seite 4 von 8 Aufgabe 2 2.1 Operationsverstärkerschaltung Gegeben sei folgende Operationsverstärkerschaltung, bei der der Operationsverstärker idealisiert betrachtet werden soll. Bild 2-1: OP-Schaltung a) Leiten Sie die beschreibenden Gleichungen für die in Bild 2-1 abgebildete Operationsverstärkerschaltung her. Wenden Sie dazu die Kirchhoffschen Knoten- und Maschenregeln an. b) Geben Sie die Übertragungsfunktion Ua() s Gs () = U () s im Laplace-Bereich an. e c) Um was für ein Übertragungsverhalten handelt es sich? Identifizieren Sie die charakteristischen Größen. d) Skizzieren Sie allgemein die Sprungantwort eines solchen Systems. 2.2 Digitale Signalverarbeitung Im Bild 2-2 ist ein zeitkontinuierliches Signal x(t) dargestellt, das sinusförmig ist. Bild 2-2: Sinusschwingung
Name: Matr.-Nr.: Seite 5 von 8 a) Zeichnen Sie das Spektrum des Signals in Bild 2-3 ein. Bild 2-3: Signalspektrum b) Für die digitale Weiterverarbeitung muss das Signal abgetastet werden. Wie ist die Abtastfrequenz zu wählen? Zeichnen Sie diese ebenfalls ein. c) Skizzieren Sie die Signalkette bei der digitalen Signalverarbeitung, bestehend aus Abtast-, Weiterverarbeitungs- und Ausgabevorgang. Charakterisieren Sie die jeweils vorliegenden Signale mit den Begriffen wert-/ zeitkontinuierlich und wert-/zeitdiskret. d) Was ist zu tun damit das Signal auch im Falle von hochfrequenten Störungen korrekt reproduzierbar bleibt? Bitte begründen Sie kurz ihre Antwort und zeichnen Sie die Maßnahme(n) in Bild 2-3 ein. Ein digitales Filter wird durch folgende Differenzengleichung beschrieben: y = 7u + 4u + 0,5u + 3u k k k- 1 k- 2 k- 3 e) Um welche Art von Filter handelt es sich? Begründen Sie ihre Antwort. f) Das digitale Filter werde mit folgender Eingangsfolge angeregt: ( u k ) = (1,0,1,1,0,0,...) Geben Sie die ersten vier Werte der Ausgangsfolge an.
Name: Matr.-Nr.: Seite 6 von 8 Aufgabe 3 3.1 Blockschaltbildumformung Ein mechatronisches System wird durch folgendes Blockschaltbild beschrieben. Bild 3-1: Blockschaltbild a) Bestimmen Sie durch geeignete Umformung und Vereinfachung die Übertragungsfunktionen für Ws () nach Ys (). Benennen Sie dabei die jeweilige Umformung (Parallel-/Reihenschaltung, Mit-/Gegenkopplung, Verlegen von Summationsund Verzweigungsstellen). Übertragungsfunktion: Ys () GF () s W() s b) Welches Übertragungsverhalten muss der mit einem Fragezeichen gekennzeichnete Block in Bild 3-1 haben, damit die Störübertragungsfunktion GS () s folgendermaßen aussieht? Y( s) H ( G F) I GS () s Z( s) 1 J 3.2 Bode-Diagramm Ein anderes System wird durch folgendes Blockschaltbild beschrieben: Bild 3-2: Blockschaltbild
Name: Matr.-Nr.: Seite 7 von 8 a) Zeichnen Sie das zugehörige Bode-Diagramm in das untenstehende Diagramm. Teilen Sie dazu die Übertragungsfunktionen in Standardübertragungsglieder auf und benennen Sie diese. b) Korrigieren Sie den Betragsverlauf an den Knickfrequenzen. Bild 3-3: Bode-Diagramm
Name: Matr.-Nr.: Seite 8 von 8 Aufgabe 4 4.1 Zeitantwort und Endwertsatz Ein dynamisches System kann durch folgende Übertragungsfunktionen Gs () beschrieben werden. 4s 3 G ( s) 3 2 s 7s 16s 12 Das System wird mit einem Einheitssprung angeregt. a) Ist das System sprungfähig? Begründen Sie Ihre Antwort ohne zu rechnen. b) Berechnen Sie die Sprungantwort im Zeitbereich mithilfe der Partialbruchzerlegung. c) Beurteilen Sie Schwingfähigkeit und Stabilität des Systems (Begründung). d) Untersuchen Sie den stationären Wert der Ausgangsgröße bei einer allgemeinen Sprunganregung der Höhe h mithilfe des Endwertsatzes. 4.2 Zeitantwort bei periodischer Anregung Gegeben sei ein anderes System mit der Übertragungsfunktion: 3 G ( s) s 2 Das System werde angeregt mit u( t) 3 sin(10t) 5 cos(0,5 t). Geben Sie die Ausgangsgröße im eingeschwungenen Zustand an.