Inhalt: Projektionen von geometrischen Objekten Überblick Hauptrisse Aonometrische Projektionen isometrisch dimetrisch trimetrisch Schiefwinklige Projektionen Kavalierprojektion Kabinettprojektion Perspektivische Projektionen Computergrafik, Ulf Döring, GP
Ebene geometrische Projektionen parallel perspektivisch rechtwinklig schiefwinklig Punkt 2 Punkt Hauptrisse Kavalier 3 Punkt aonometrisch Kabinett isometrisch dimetrisch trimetrisch Computergrafik, Ulf Döring, GP 2
Hauptrisse parallele & rechtwinklige Abbildungen Darstellung der wichtigen Ansichten eines Objektes Beispiele: quaderförmiger Grundkörper (hier wurden alle Ansichten als wichtig betrachtet) tetraederörmiger Körper Computergrafik, Ulf Döring, GP 3
Aonometrische Abblidungen parallele & rechtwinklige Abbildungen Projektionsrichtungen werden durch wei Winkel beschrieben, hier: θ Rotation um X Achse φ anschließende Rotation um Y Achse Die Projektionsrichtung ist stets senkrecht ur Projektionsfläche (rechtwinklige Abbildung). Der Offset der Projektionsfläche wirkt sich nicht auf die Projektion aus (da parallele Abb.). Unterscheidung nach der Anahl der Freiheitsgrade, d.h. nach Abhängigkeiten wischen φ und θ Beispielobjekt: B C A D (0,0) θ φ +φ +θ Die eingeeichnete Projektionsrichtung von (0,0) ergibt folgende Projektion: B C A D Computergrafik, Ulf Döring, GP 4
. Isometrisch kein Freiheitsgrad nur 8 mögliche Projektions richtungen Winkel der Projektionsrichtung u den Hauptachsen sind betragsmäßig gleich die Rotationswinkel für die 8 Projektionsrichtungen lauten: d d d θ φ. + + + 35.26 o +45 o 2. + + 35.26 o 45 o 3. + + +35.26 o +45 o 4. + +35.26 o 45 o 5. + + 44.74 o 45 o 6. + 44.74 o +45 o 7. + +44.74 o 45 o 8. +44.74 o +45 o 4. 8. 2. Z 7.. Y X 5. Die Fälle 5. 8. liefern in der Projektion auf die XY Ebene ein Linkssstem! Daher werden in einigen Literaturstellen nur die ersten 4 als gültig betrachtet. Durch die gleichen Winkel der Projektionsrichtung u den Hauptachsen werden Vererrungen von Strecken in Richtung der Hauptachsen vermieden, man spricht von Isometrie. Beispiel: φ= 45 o ; θ = 35.26 o Computergrafik, Ulf Döring, GP 5 B A D C
Herleitung der Rotationswinkel für θ = 35.26 o und φ = +45 o Y (,,) Gewünschte Richtung geht durch (,,) 3 X sinθ = / 3 θ θ = 35.26 o Schattenlänge = 2 Z Y 3 Seitenansicht der Drehung um die X Achse mit θ = 35.26 o X θ 2 3 Z + X 2 + Seitenansicht der Drehung um die Y Achse mit φ = +45 o Y φ 2 Z sinφ = / 2 φ = +45 o Computergrafik, Ulf Döring, GP 6
2. Dimetrisch ein Freiheitsgrad Durch die Festlegung: sin 2 φ = (Herleitung siehe.b. D. F. Rogers and J. A. Adams: "Mathematical Elements for Computergraphics") kann erreicht werden, daß wei Skalierungsfaktoren gleich sind, d.h. bei gleichen Längen (in den entsprechenden Richtungen) in der Abbildung kann auf gleiche Längen im Modell geschlossen werden (hier stets X und Y Richtung). Der 3. Skalierungsfaktor f (hier der für die Vererrung der Längen in Z Richtung) ist frei wählbar. Es gilt sin 2 θ = f 2 / 2 sin 2 θ sin 2 θ Beispiele: f = 0 f = /4 f = 3/8 f = /2 f = 5/8 f = 3/4 f = Computergrafik, Ulf Döring, GP 7
3. Trimetrisch wei Freiheitsgrade φ und θ frei wählbar Anmerkungen Für die Berechnung der Abbildung wird üblicherweise nicht die Projektionsrichtung rotiert, sondern die abubildenden Objekte. Hieru sind Reihenfolge und Voreichen der Winkel umukehren, d.h.:. Rotation um Y Achse mit φ ( R ) 2. Rotation um X Achse mit θ ( R ) 3. Projektion auf XY Ebene (sett =0) ( P ) Es ergibt sich dann für einen Objektpunkt O : O = P. R. R. O = M. O cosφ 0 sinφ 0 sinφ.sinθ cosθ cosφ.sinθ 0 mit M = 0 0 0 0 0 0 0 Sollen isometrische oder dimetrische Abbildungen ereugt werden, sind die entsprechenden Abhängigkeiten u beachten. Computergrafik, Ulf Döring, GP 8
Schiefwinklige Parallelprojektionen.B. Kabinett und Kavalierprojektion Gegenstück ur rechtwinkligen Projektion dort: Projektionsrichtung stets im rechten Winkel ur Projektionsfläche, d.h. im rechten Winkel ur & Achse (bw. u & v Achse) der Projektionsfläche) Hier: Ausrichtung der Projektionsrichtung wird durch 2 wählbare Parameter beschrieben.) Winkel ur Projektionsfläche (β) 2.) Winkel ihrer Abbildung in der Projektionsfläche ur Achse (α) β allein beschreibt unendlich viele Projektionsrichtungen, alle befinden sich auf einem Kegel. β β Ebene α legt fest, in welche Richtung Tiefeninformation dargestellt wird. α Computergrafik, Ulf Döring, GP 9
Wirkung von α (Verteilung der Tiefeninfo. auf versus ): α = 0 o α = 35 o α = 75 o α = 20 o Skalierung der Tiefeninformation mittels β: Skalierungsfakor sei f cot β = f / f = cot β β f f β Bsp.: f = 0.5 β = 63.43 o f =.0 β = 45 o Projektionsmatri: P PS = 0 f.cosα 0.f.cosα 0 f.sinα 0.f.sinα 0 0 0 0 0 ( =0) 0 0 0 Computergrafik, Ulf Döring, GP 0
Begründung für Voreichen: Warum f.cosα bw. f.sinα? α (0,0, ) (0,0,) Im Rechtssstem eigt die Achse um Betrachter hin. α ist also ur negativen Richtung definiert! Bei der (impliiten) Addition von 80 o wechseln sowohl für sin als auch für cos die Voreichen! negative Voreichen repräsentieren Rechtssstem Kavaliersprojektion: f = (b = 45 o ) keine Verkürungen α üblicherweise auch 45 o Kabinettprojektion: f = 0.5 (b = 63.43 o ) Halbierung α üblicherweise 30 o Computergrafik, Ulf Döring, GP
Perspektivische Projektionen.B. je nach Ausrichtung eines Würfels u den Koordinatenachsen: achsenparallel parallel u einer Achse parallel u keiner Achse Die Kanten des Würfels könnten auch die Hauptrichtungen eines kompleeren Objektes (.B. Häuserblock) sein. Entsprechend der Anahl der Fluchtpunkte dieser Haupt richtungen spricht man bei den obigen Beispielen auch von Punkt, 2 Punkt und 3 Punktprojektion. Bei Parallelprojektionen gab es nur eine Projektionsrichtung (definiert durch α & β), bei perspektivischen Projektionen ergibt sich für jeden einelnen Punkt die Projektionsrichtung entsprechend seiner Lage beüglich des Augpunktes. Bei Parallelprojektionen bleiben parallele Geraden des Modells auch in der Projektion parallel, bei perspektivischen Projektionen nur in Speialfällen. Computergrafik, Ulf Döring, GP 2 parallel perspektivisch
Gleiche Richtungen führen um gleichen Fluchtpunkt in der Projektionsfläche, bleiben also allgemein nicht parallel (.B. fluchten in der Abb. alle Kanten/Linien mit Richtung r in FP). FP2 FP FP3 r2 r r3 Körper sei achsenparallel positioniert Draufsicht Da in einem Modell beliebig viele Richtungen auftreten können, kann eine perspektivische Abbildung auch entsprechend viele Fluchtpunkte aufweisen. (In der obigen Abbildung sind das FP..FP3. Durch Muster auf Seitenflächen, würden noch mehr Fluchtpunkte erscheinen.) Richtungen r mit (d, d,d ), wo d = 0 ist, sind parallel ur Projektionsfläche (Annahme: Projektion erfolgt auf die XY Ebene). Sie haben keinen Fluchtpunkt. Sie bleiben somit parallel (Speialfälle). Beispiel: Alle Linien aus dem Muster der Vorderseite haben solche Richtungen, da diese Seite parallel ur XY Ebene ist (achsenparallele Ausrichtung!). Computergrafik, Ulf Döring, GP 3
Fluchtpunktbestimmung für alle Strecken mit Richtung r: Schnittpunkt der Geraden durch Augpunkt in Richtung r mit der Projektionsfläche. Speialfälle für Fluchtpunktlagen von r mit (d, d,d ): (Annahme: Punkt Proj., Augpunkt auf Achse) r = r (d = 0, d = 0, d.h. ist parallel ur Z Achse) Fluchtpunkt liegt im Ursprung (0,0) r habe ein d = 0 (d.h. ist parallel ur XZ Ebene) Fluchtpunkt liegt stets auf Achse ( FP,0) r habe ein d = 0 (d.h. ist parallel ur YZ Ebene) Fluchtpunkt liegt stets auf Achse (0, FP ) r habe ein d = 0 (d.h. ist parallel ur XY Ebene) Fluchtpunkt liegt stets im Unendlichen (d.h. man hat nicht den Eindruck, dass einer eistiert) Fluchtpunkte aller Richtungen in einer Fläche liegen auf einer Geraden! D.h. auch nach einem Kippen des Körpers bleiben die Fluchtpunkte auf einer Geraden. FP2 FP FP3 Verschieben von Körpern ändert war das Abbild, aber nicht die Lage der Fluchtpunkte (Richtungen bleiben konstant!) Computergrafik, Ulf Döring, GP 4
Projektionsmatrien für Zentralprojektionen auf Hauptebenen Probe: a 0 a 0. a. a 0 a a 0. a. a M = 0 0 0 0 0 0 0 a a 0 0 0 0 0 a a 0 0. a. a M = a 0 a 0. a. a 0 0 a a macht Normierung notwendig! a a 0 0. a. a 0 0 0 0 0 M = 0 a a 0. a. a 0 0 a a Für Augpunkte, die auf einer Hauptebene oder sogar auf einer Hauptachse liegen, ergeben sich einfachere Speialfälle der hier geeigten Projektionsmatrien. Zum Beispiel könnte der Augpunkt in M auf der Achse liegen, wodurch a = 0 und a = 0 wird. Computergrafik, Ulf Döring, GP 5
Beispiel für die Herleitung: Projektion auf die ZX Ebene Der Augpunkt A liegt für M ZX bei ( a, a, a ). X P A a Y a Z Nach dem Strahlensat ergibt sich: a = a a a =. a a. a a + a =. a a. a + a. a a. a =. a a. a vgl. mit Probe auf voriger Seite ( nach Normierung, so dass w= ) läst sich analog herleiten. Computergrafik, Ulf Döring, GP 6