Physik für Mediziner und Zahnmediziner Vorlesung 12 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1
...der Kondensator Vorbereitung: der Kondensator (Ladungsspeicher) einfachste Realisierung: Plattenkondensator Ladung auf den Platten: +/- Q Schaltsymbol: Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 2
Elementarladung Tröpfchen werden statisch aufgeladen! Durch Messung der Steig- und Sinkgeschwindigkeit von geladenen Öltröpfchen. Für gleichgroße Öltröpfchen ergibt sich, daß nicht alle Geschwindigkeiten vorkommen. Es ergibt sich eine ganzzahlige Quantisierung. Die Tröpfchen sind also mit ganzzahligen Vielfachen der Elementarladung geladen. Diese ist: 1.602. 10-19 C (=Ladung des Elektrons) Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 6
Feldstärke im Kondensator Wie ändert sich die Feldstärke in Abhängigkeit vom Plattenabstand? Wir haben (Coulomb Gesetz): d Aber auch E ~ Q x Wir betrachten die Wirkung eines Teils des Feldes (Konus) auf einen Punkt x: Und vergrößern d E ~ 1/r 2, mit größerem d steigt r also: E nimmt ab Sowie Q ~ A (Fläche) und A ~ r 2 Also E ~ r 2, mit größerem d steigt r also: E nimmt zu Das gilt für jeden Konus also: Die Feldstärke ist nicht vom Plattenabstand abhängig! Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 7
Versuch: Spannung ist abhängig vom Abstand Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 8
Ladung und Spannung Das Feld bleibt gleich, aber beim Verschieben der Platten wird Arbeit geleistet: Arbeit ist Kraft mal Weg (hier parallel zueinander, Vektoren fallen weg): Definition: Spannung ist die Kraft, die bei der Verschiebung (Weg!) von Ladung aufgebracht werden muß. Also Spannung = Arbeit pro Ladung Intuitiv: Trennen von Ladung macht Arbeit. Wenn s geschafft ist haben wir die Ladungen von einander entfernt aufgehängt. Diese ziehen sich wie an einem gespannten Gummiband an: Spannung ist also entstanden. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 9
Nochmal kurz: Elementarladung Kräftegleichgewichte könnnen nun erstellt werden! Diese ist: 1.602. 10-19 C (=Ladung des Elektrons) Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 10
Die Kapazität (physiologisch bedeutsam!) Es gilt: Die Kapazität C gibt an wieviel Ladung pro Spannung (C=Q/U!) auf einem Kondensator gespeichert werden kann. Sie ist abhängig vom Abstand der Elektroden. Eng wickeln! hohe C Angegeben wir die Kapazität in Farad: 1 F = 1 As/V = 1 C/V Warnung: Nicht die Abkürzung C (Kapazität) mit der Einheit C (Coulomb) verwechseln! Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 11
Versuch: Spannung ist abhängig vom Dielektrikum Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 12
Kapazität (cont.) d Kapazität C eines Plattenkondensators ist materialabhängig insbesondere vom trennenden Medium ( Dielektrizitätskonstante) εε0 C = A d A: Fläche des Kondensators ε: Dielektrizitätskonstante ε 0 : absolute Dielektrizitätskonstante (=8.854 10-12 AsV -1 m -1 ) d: Abstand der Platten Vorgriff: Dies spielt eine wichtige Rolle bei Membranen. Man kann sie als Plattenkondensator auffassen. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 13
Einheiten: Zusammenfassung Strom: Ampere A = C/s Spannung: Volt V Ladung: Coulomb C Widerstand: Ohm Ω =V/A Leitfähigkeit: Siemens S =1/Ω Kapazität: Farad F =As/V Und also Product RC = V/A. As/V = s (Sekunden) nanu Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 14
Elektronische Bauelemente (just for fun) Widerstände Kondensatoren Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 15
Membranen als R-C Schaltkreise V U c U C A I 1: Aufladung 2: Entladung 1 2 R U R Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 16
Kondensator: Ent- und Beladung Experimente Beobachtung: Deutung: Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 17
...Aufladung: Wie verhält sich U C V U c In diesem Kreis sind Strom und Spannung nicht konstant! U C A I I. Kirchhoff Ohm 1 2 U R R Unter Verwendung der Stromdefinition Erhält man: II. Kirchhoff Damit: Für U C erstmal (Definition kapazitive Spannung): Lösen der DGL: U c ( ) ( t / RC t = U 1 e ) Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 18
...Entladung: Wie verhält sich U C V U c U 1 2 U R R C I A U c t / RC ( t) = U e 0 die Zeitkonstante τ der exponentiellen Auf- und Entladungskurven ist τ = RC Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 19
Kondensator Nebenstehende Abbildung zeigt den Verlauf der Kondensatorspannung U c bei Auf- und Entladung. 1.) Zeichnen Sie die Verläufe der am Widerstand abfallenden Spannung U R, des durch den Widerstand fließenden Stromes I sowie der Ladung Q auf dem Kondensator. U R V U c C U R A I 2.) Berechnen Sie den Widerstand R für den Fall, dass die Kapazität des Kondensators C=1µF beträgt. 3.) Wie groß ist die Batteriespannung U? Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 20
Kontrollfragen Nennen Sie die treibende Kraft für Diffusionsprozesse Nennen Sie die mikroskopische Ursache für Diffusionsprozesse Verknüpfen Sie Diffusionsstrom und Konzentrationsgradienten über eine Gleichung Von welchen Größen hängt der Diffusionskoeffizient (die Diffusionsgeschwindigkeit) ab? In welche Richtung erfolgt der Materialtransport bei Osmose? Berechnen Sie den osmotischen Druck in der Aufgabe zwei Seiten zuvor. Welche Ströme stehen bei der Osmose in Konkurrenz? Welche Größe wird als Permeabilität einer Membran bezeichnet? Was sind semi- und selektiv-permeable Membranen? Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 21
U c ( ) ( t / RC t U 1 e ) Ladevorgang eines RC-Gliedes t / RC = ( ) U c t = U 0 e 100 Für t = τ ergibt sich 100-37 0 37 U = 0.37. U 0 Ein Abfall auf 37% des Originalsignals. (Anstieg ist analog!) 0 τ 0 τ Alle Auf- oder Entladungsprozesse einer Membran werden durch die Zeitkonstante τ = RC bestimmt. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 22
Wasserstoff Bombe und Star Wars Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 23
Diffusion durch selektiv-permeable Membranen: Membranspannung Membranen weisen unterschiedliche Permeabilitäten für verschiedende Ionensorten auf Folge: mit dem Diffusionsstrom ist ein Transport elektrischer Ladungen verbunden und damit eine elektrische Spannung Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 24
Membranspannung Na + Cl - elektr. Feld Diffusionsstrom Membran sei semipermeable für Natrium aber nicht für Chlorid! Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 25
Membranspannung: stationärer Zustand Teilchenaustausch ist nun zufällig aber Ungleichgewicht bleibt erhalten! Feldstrom Diffusionsstrom Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 26
Membranspannung: stationärer Zustand Also im Mittel: elektr. Feld Diffusionsstrom Bei der Ladungstrennung bleiben die getrennten Ladungen nahe der Membran. Diese wirkt also wie ein Kondensator. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 27
Membranspannung: stationärer Zustand Feldstrom Diffusionsstrom im stationären Zustand sind Feldstrom und Diffusionsstrom entgegengerichtet und gleich groß die sich einstellende Spannung heißt Membranspannung U M sie ist durch die Nernst-Gleichung gegeben: U M = kbt ze ln c c a i k B : 1.38 10-23 J/K, Boltzmann-Konstant T: absolute Temperatur (in K) z: Wertigkeit des Ions e: Elementarladung (e=1.602 10-19 As) Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 28
Physiologische Konvention Die physiologische Messvorschrift vereinbart, dass U=φ i φ a, d.h. U ist das Zellpotential (φ i ) bezogen auf das extrazelluläre Potential (φ a ). Mit dieser Vereinbarung liefert die Nernst-Gleichung ein korrektes Vorzeichen von U. U Membran c a c i U = kbt ze ln c c a i Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 29
Nernstsche Gleichung I U Membran U: Membranspannung; k B : Boltzmann-Konstante; T: (absolute) Temperatur; e: Elementarladung; z: Wertigkeit der durchtretenden Ionen; c 1,c 2 : Ionen- Konzentrationen Die Auftragung U vs. c a /c i liefert folgenden Verlauf: c a c i U = kbt ze ln c c a i Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 30
Nernstsche Gleichung II U = kbt ze ln c c a i kbt A = ze Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 31
Nernstsche Gleichung III Als Alternative kann halblogarithmisches Papier benutzt werden: lineare Skalierung für die Membranspannung U sowie logarithmische Skalierung für das Konzentrationsverhältnis c 1 /c 2. Dem halblog. Papier liegt der Zehnerlogarithmus lg zugrunde. Die Nernst-Gleichung lautet dann: U = kbt ze ln c c a i k BT ca U = ln(10) lg ze ci Die Geradensteigung ist dann: kbt A = ln(10) ze kbt A = ln(10) ze ln(10) 2,3 A(310K) 61mV/Dekade Physik für Mediziner und Zahnmediziner
reale Membranen: endliche Permeabilität für K +, Na +, Cl - Membranaufbau: Doppellipidschicht mit eingelagerten Ionenkanälen Doppellipidschicht ist impermeabel Ionenkanäle besitzen veränderliche Permeabilitäten (steuerbar) Programm: Erarbeiten eines elektrischen Schaltkreises mit analogen Eigenschaften (Ersatzschaltbild) Berechnung der Ruhemembranspannung Überlegungen zur Dynamik wichtige Größenordnungen Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 33
die Zellmembran als Kondensator Q=0 Q=0 d Plattenkondensator als Modell der Zellmembran Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 34
die Zellmembran als Kondensator Plattenkondensator als Modell der Zellmembran d Man erhält: Kapazität C eines Plattenkondensators εε0 C = A d A: Fläche des Kondensators ε: Dielektrizitätskonstante ε 0 : absolute Dielektrizitätskonstante (=8.854 10-12 AsV -1 m -1 ) d: Abstand der Platten εε d F m C 12 0 8 8.54 10 As 3 = 6.8 10 0.7 µ = 8 2 A 10 m Vm F cm 2 Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 35
U c ( ) ( t / RC t U 1 e ) Ladevorgang einer Zellmembran t / RC = ( ) U c t = U 0 e 100 Für t = τ ergibt sich 100-37 0 37 U = 0.37. U 0 Ein Abfall auf 37% des Originalsignals. (Anstieg ist analog!) 0 τ 0 τ Alle Auf- oder Entladungsprozesse einer Membran werden durch die Zeitkonstante τ = RC bestimmt. Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 36
Kapazität einer Zellmembran 1. Berechnen Sie die Zahl der im Innern einer Zelle (Volumen V=10-9 cm 3, Oberfläche A= 5 10-6 cm 2 ) vorhandenen K + -Ionen, wenn die Konzentration c K =0.141mol/l beträgt 2. Zeigen Sie, dass die Kapazität dieser Zelle etwa C= 3.5 pf ist. 3. Berechnen Sie die Ladung Q auf den beiden Seiten der Membran, die die Nernst-Spannung von Kalium (=-90mV) einstellt. 4. Berechnen Sie die Zahl der Ionen, die dieser Ladung entsprechen. 1. N 10 11 Ionen 2.... 3. Q 10-13 As 4. N Q 10 6 Ionen Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 37
...reale Membranen Doppellipidschicht: Widerstand im GΩ- Bereich Leitfähigkeit über Ionenkanäle selektiv auf Ionensorte (K + -Kanäle, Na + -Kanäle,...) Permeabilität variabel (häufig: spannungsgesteuert) Ionenkanäle Doppellipidschicht Na-Kanal: Ansicht von oben Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 38
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...Kategorien aus: Schmidt/Thews Physiologie des Menschen aus: Klinke/Silbernagel Lehrbuch der Physiologie Grundlagen: notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten Wissenswertes: Informationen jenseits des Notwendigen Für Experten: Medzinische Physik... Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 41
Ursache der Diffusion: Brownsche Molekularbewegung thermische Zufallsbewegung führt zum diffusiven Transport kleiner Teilchen Mikroskopbild: Simulation: Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 42
...physikalische Einheiten und Konzentrationsmaße Teilchenkonzentration: N c = = V Zahl der Teilchen Volumen 1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das aus ebenso vielen Einzelteilchen besteht, wie Atome in 12g des Kohlenstoffnuklids 12 C enthalten sind (Avogadro- (oder Loschmidt-) Zahl N A =6 10 23 ) Stoffmenge: Angabe der Teilchenzahl in Mol n = N N A Stoffmengendichte: n c n = = V c N A die übliche Angabe von c n ist: mol/l und wird molar genannt Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 43
...der Kondensator Vorbereitung: der Kondensator (Ladungsspeicher) einfachste Realisierung: Plattenkondensator Ladung auf den Platten: +/- Q Spannung am Kondensator U c hängt mit der Ladung Q zusammen: Q = C C: Kapazität des Kondensators U c Schaltsymbol: C = Q U c [C] = [Q] [U ] c = As V = : F, Farad Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 44
Diffusion durch selektiv-permeable Membranen: Membranspannung Membranen weisen unterschiedliche Permeabilitäten für verschiedende Ionensorten auf Folge: mit dem Diffusionsstrom ist ein Transport elektrischer Ladungen verbunden und damit eine elektrische Spannung Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 45