Lösungen zu den Arbeitsblättern: 1.) Die Weihnachtswunschzettel Antwort b) ist richtig!! Erklärungen: a): Hier darf man nicht die prozentualen Zahlen mit den absoluten Zahlen verwechseln. 42% der 11 000 000 deutschen Kinder sind 0,42 * 11 000 000 = 4 620 000 und etwa 63% der 67 000 isländischen Kinder sind nur 0,63 * 67 000 = 42 210 Kinder. Also wünschen sich absolut gesehen weniger Kinder in Island Bücher als in Deutschland. b): durch die mindestens - Aussage geht man vom ungünstigsten Fall aus: 66% der isländischen Kinder wünschen sich Spielzeug. Also wünschen sich 100% - 66% = 34% kein Spielzeug. Da sich 63% der isländischen Kinder Bücher wünschen, können diese nicht komplett zu den Kindern gehören, die sich kein Spielzeug wünschen (das sind ja nur 34%). Es bleiben dann 63% - 34% = 29% übrig, die sich mindestens beides wünschen. (es können natürlich auch mehr Kinder sein, die sich beides wünschen, aber die mindestens -Aussage stimmt auf alle Fälle!) c): Hier wird nicht berücksichtigt, dass man nicht wissen kann, inwiefern sich die 42% der deutschen Kinder, die sich Bücher wünschen, und die 46%, die sich Computer(-spiele) wünschen, überschneiden. Da sich 54% der deutschen Kinder keine Computer(-spiele) wünschen, könnten die 42% mit Bücherwunsch sogar komplett zu diesen Kindern gehören dann würde sich kein Kind, das sich ein Computer(-spiele) wünscht, auch ein Buch wünschen. d): auch hier kann man wieder nicht wissen, inwiefern sich die Wünsche überschneiden (siehe Erklärung bei c) nur mit anderen Prozentangaben) 2.) Einzelkinder Antwort c) ist richtig! Jedes vierte Kind ist Einzelkind, das sind 25% der Kinder. Jedes diese Kinder kommt aus einem Haushalt mit Einzelkind. Die restlichen 75% der Kinder sind keine Einzelkinder und haben somit mindestens ein Geschwisterkind und können deshalb aus höchstens halb so vielen Haushalten stammen. Nach unserer Annahme stammen 25 von 100 Kindern aus einem Haushalt mit nur einem Kind. Die anderen 75 Kinder leben mit mindestens einem Geschwisterkind in maximal 37 Haushalten zusammen, da 75 : 2 = 37,5 ist. Da diese Division nicht glatt aufgeht, müssen in mindestens einem Haushalt 3 (oder auch mehr) Kinder leben. Also wohnen 100 Kinder in maximal 25 + 37 = 62 Haushalten. Möchtest du nun den Anteil der Haushalte mit nur einem Kind bestimmen, musst du 25 Haushalte durch 62 haushalte teilen: (25 : 62) * 100% = 40,3%. Demnach haben über 40% der Haushalte mit Kindern nur ein Kind. In Wirklichkeit werden es noch mehr sein, weil auch etliche Haushalte mehr als zwei Kinder haben. Die 62 Haushalte wurden unter der Annahme berechnet, dass die 75 Kinder nur ein Geschwisterkind haben (und in einem Haushalt 3 Kinder wohnen). Aus Erfahrung weiß man aber dass es viele Haushalte mit mehr als zwei Kindern gibt.
3.) Der Hund Antwort b) ist richtig! Lösungsweg 1: Das Herrchen geht 20 Meter bis zum Haus. Während dieser Zeit rennt der Hund hin und her. Da er doppelt so schnell läuft wie sein Herrchen, muss er in derselben Zeit auch doppelt so weit laufen: etwa 40 Meter. Lösungsweg 2: Man kann den Weg des Hundes in einzelnen Abschnitten betrachten: Der Hund rennt bis zur Haustür, das sind 20 Meter. Zu diesem Zeitpunkt ist sein halb so schnelles Herrchen 10 Meter von der Haustür entfernt, das sind also (½) * 20m. Auf dem Weg vom Haus zurück zum Herrchen läuft der Hund immer noch doppelt so schnell wie sein Herrchen. Das Herrchen legt also einen Teil der 10 verbleibenden Meter zurück, der Hund zwei Teile. Das sind drei Teile. Das bedeutet, das Herrchen läuft ein Drittel und der Hund zwei Drittel des Weges, bevor sie sich treffen. Also legt der Hund bis zum ersten Treffpunkt vom Haus aus (2/3) * 10m = (1/3) * 20m = 6,666... Meter zurück. Insgesamt ist der Hund zu diesem Zeitpunkt also 20m + 6,666...m = (4/3) * 20m gelaufen. Sein Herrchen ist 10m + (1/3) * 10m =(4/3) * 10m = (2/3) * 20m, also genau die Hälfte gelaufen. Hier kann man die Überlegung abbrechen. Der Hund läuft auf diesem Abschnitt doppelt so schnell und damit doppelt so viel wie sein Herrchen. Man kann sich überlegen, dass das auf jeden weiteren Abschnitt so sein muss. Also muss es auch auf der ganzen Strecke so sein, das heißt der Hund läuft doppelt so viel wie sein Herrchen: 40 Meter. 4.) All you can drink Antwort a) ist richtig! Am besten kann man die Lösung nachvollziehen, wenn man sich den Füllvorgang in einzelnen Schritten vorstellt: Zu Beginn ist der Becher leer. Die Lehrerin füllt den Becher dann zur Hälfte. Die andere Hälfte bleibt leer. Diese Hälfte wird von der Lehrerin dann wieder halb gefüllt. Es kommt die Hälfte von einem halben Becher, also eine Viertelfüllung, hinzu, sodass der Becher insgesamt zu dreiviertel gefüllt ist. Das letzte Viertel bleibt leer. Dieses letzte Viertel wird von der Lehrerin dann wieder bis zu Hälfte gefüllt. Die Hälfte von einem Viertel ist ein Achtel, es kommt also eine Achtelfüllung hinzu und das letzte Achtel bliebt leer. Dieses letzte Achtel wird von der Lehrerin dann wieder bis zu Hälfte gefüllt. Die Hälfte von einem Achtel ist ein Sechzehntel, es kommt also eine Sechzehntelfüllung hinzu. Das letzte Sechzehntel bleibt leer. usw. Man kann hier ein Muster erkennen. Die Lehrerin füllt immer wieder die Hälfte vom verbleibenden Platz im Becher auf. So bliebt ein immer kleinerer Anteil des Bechers leer (erst die Hälfte, dann ein Viertel, dann ein Achtel, dann ein Sechzehntel, dann ein 32-stel usw.). Daher bleibt immer noch ein wenig Platz im Becher und der Becher wird theoretisch nie ganz voll. Auch praktisch wird die Menge Kakao, die die Lehrerin nach schüttet irgendwann so klein, dass sie praktisch keinen Kakao mehr nach schüttet. Ein Becher reicht also egal wie lange Maxi rechnet!
5.) Der letzte Schliff Antwort b) ist richtig! Wenn man die Ecken senkrecht zur Raumdiagonalen abschleift, kommt man sofort auf einen abgestumpften Oktaeder. Da an den Spitzen des Oktaeders 4 Kanten in gleichen Abständen und Winkeln zusammentreffen, wird die Fläche, die durch den Schliff erzeugt wird, quadratisch (siehe Bild links) Wenn man den abgestumpften Oktaeder so lange weiter schleift, bis sich die Ecken der quadratischen Fläche berühren, erhält man einen Kuboktaeder. Die dreieckigen Flächen sind Überreste der ursprünglichen Seitenflächen des Oktaeders (siehe Bild oben rechts) Wenn man vom Kuboktaeder weiter schleift, verkleinern sich die dreieckigen Seitenflächen. Irgendwann schrumpfen sie auf einen Punkt zusammen. Das ist der Eckpunkt des Würfels, der dann entsteht. (siehe Bild unten links) Wenn man weiter schleift, bliebt die Form immer ein Würfel. Der wird dann immer kleiner. Ein Dodekaeder kann auf diese Weise nicht hergestellt werden. Durch gleichmäßiges Abschleifen der Ecken eines Oktaeders kann keine fünfeckige Fläche erzeugt werden (siehe Bild unten rechts). 6.) Die Rede Antwort b) ist richtig! Antwort a) kann man grundsätzlich ausschließen, denn wenn man die Platte nur einmal umklappt, würde das Logo auf dem Kopf stehen. Ob es mit zweimaligen Umklappen funktioniert, kann man mit ein wenig Probieren lösen. Beispielsweise funktioniert es, wenn die Gehilfen die Platte erst über die Kante CD und dann über die Kante EF kippen:
Sie könnte aber beispielsweise auch über die Kante DE und anschließend über die Kante BC geklappt werden. Somit sind Antwort c) und d) falsch. (Anmerkung: Wenn man die Platte abstrakt als zweidimensionales Sechseck betrachtet, kann man das Umklappen der Platte auch als Spiegeln an einer Achse verstehen. So wird der Zusammenhang zwischen Drehung und Spiegelung deutlich: Offensichtlich bewirken zwei nacheinander ausgeführte Spiegelungen das selbe wie eine einzige Drehung.) 7.) Verpackung Antwort a) ist richtig! Da Susi bereits erkannt hat, dass die Quader in jedem Fall niedriger sind als die Zylinder, reicht es, wenn man im Folgenden nur die rechteckigen Flächen des Quaders und die kreisförmige Öffnung des Zylinders untersucht. Am Günstigsten ist es, wenn man die rechteckige Fläche des Quaders mittig in den Zylinder einführt. Die Diagonale ist die längste Strecke, die es in dem Rechteck gibt. Ist nun die Diagonale des Rechtecks kürzer als der Durchmesser des Kreises, passt die Box in den Zylinder. (siehe Bild) Ausschluss der anderen Lösungsmöglichkeiten: zu b)
zu c) siehe b) zu d) Ist völliger Blödsinn. Das Gewicht (die Masse) der quaderförmigen Box spielt für das Einpassen keine Rolle. Entscheidend ist nur die Form! 8.) Die Band Antwort d) ist richtig! Die folgende Tabelle führt die nach den Vorschlägen 1) bis 4) berechneten Ergebnisse für alle 5 Bands auf (bei 2) wurde gerundet), die jeweiligen Gewinner sind rot markiert. 1) 2) 3) 4) Band 1 21,5 7,64 9,5 7 Band 2 17,5 5,86 9,5 6 Band 3 21,5 7,21 10 7 Band 4 23 6,93 8 7,5 Band 5 21,5 6,79 8,5 8 Es ist offensichtlich stark von der Wahl des Wertungssystems abhängig, wer am Ende eine solche Wahl gewinnt. 9.) Mitternachtsrätsel Antwort c) ist richtig! Da es egal ist, ob x (die Anzahl der Tage bis zum Geburtstag von Onkel Norbert) vom 5.12. oder vom 6.12. aus gezählt wird, wählen wir für diese Rechnung das x vom 5.12. aus. Vom 5.12. aus gesehen sind es noch 19 Tage bis Weihnachten, dann gilt: x + y = 19. Außerdem muss x y eine Primzahl sein. Diese beiden Bedingungen lassen vier Zahlenpaare für x und y zu: x = 11 und y = 8, x y = 3 x = 12 und y = 7, x y = 5 x = 13 und y = 6, x y = 7 x = 15 und y = 4, x y = 11 Die Rechnung muss von beiden Tagen aus stimmen. Vom 6.12. aus gesehen sind es nur noch 18 Tage bis Weihnachten. Allerdings ist auch Onkel Norberts Geburtstag um einen Tag näher gerückt, also gilt: (x 1) + y = 18 oder anders geschrieben x + y = 19 und (x 1) y = (x y) 1 muss eine Primzahl sein. Diese beiden Gleichungen erfüllt nur ein Zahlenpaar der vier oben genannten, nämlich: x = 11 und y = 8, da (11 1) 8 = 2 und 2 ist eine Primzahl. Somit hat Onkel Norbert am 16.12. (11 Tage nach dem 5.12.) Geburtstag. Anmerkung:
Man kann übrigens schon an der Gleichung (x 1) y = (x y) 1 und der Bedingung, dass x y und (x 1) y Primzahlen sind, erkennen, dass als Primzahlen nur die Zahlen 2 und 3 in Frage kommen, denn die Primzahl vom 6.12. aus gezählt [(x 1) y = (x y) 1] ist um 1 kleiner als die Primzahl vom 5.12. aus gezählt [ x y ]. Außer den beiden Primzahlen 2 und 3 gibt es keine zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen, die beide Primzahlen sind, denn eine von beiden ist immer durch 2 teilbar. 10.) Raute Antwort d) ist richtig! Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. Sie besitzt zwei Diagonalen, die senkrecht zueinander stehen und sich mittig schneiden. Der Flächeninhalt einer Raute lässt sich entweder durch A = a * ha berechnen, wobei ha die Höhe auf a ist oder durch A = ½ * e * f, wobei e und f die beiden Diagonalen der Raute bezeichnen. Maximiert man das Produkt a * ha oder e * f, so erhält man den größten Flächeninhalt der Raute. Da man sich die den Antwortmöglichkeiten nur zwischen vier Rauten entscheiden musste, betrachten wir jetzt nur diese vier gegebenen Rauten und puzzeln die Restflächen für den Flächenvergleich zusammen: Die Flächen, die Franzi in den vier Fällen wegschneiden würde, sind hier bunt eingefärbt und werden nun unten im Bild zusammengeschoben: Man sieht hier, dass der Inhalt der blau umrandeten Restflächen bei der Raute a) ein halbes DIN- A4-Blatt groß ist und auch bei c) fast ein halbes DIN-A4-Blatt beträgt. Die Inhalte der Restflächen bei den Rauten b) und d) sind deutlich kleiner. Wenn man genau hinschaut oder misst, erkennt man, dass die Restfläche bei Raute d) kleiner ist als die Restfläche bei Raute b).