J. Wolfart Sommersemester 2009 Übungen zur Zahlentheorie. Bestimmen Sie die größten gemeinsamen Teiler d der Zahlenpaare (a, b) = (0, 00), (000, 0000), (89, 44) und lösen Sie jeweils die Gleichung ax + by = d mit x,y Z. 2. Sei d der ggt von a,b Z und x,y Z seien spezielle Lösungen von ax + by = d. Wie sieht die Gesamtheit aller Lösungen aus? 3. Man bestimme durch Division mit Rest im Polynomring R[x] den ggt der beiden Polynome x 7 und x 4 + x 3 + x 2 + x +. 4. Zeigen Sie: Wenn d der ggt der natürlichen Zahlen m,n ist, dann ist x d der ggt der beiden Polynome x m und x n im Polynomring R[x]. 5. Man zeige: Wenn 2 n eine Primzahl ist, dann auch n. Gilt die Umkehrung? 6. Man zeige: Wenn 2 n + eine Primzahl ist, dann ist n eine Zweierpotenz. 7. Sei p eine Primzahl und ν p (a) die p Ordnung von a Q, also die Multiplizität von p in der Primfaktorzerlegung von a. Beweisen Sie: Wenn ν p (a) ν p (b) für a,b Q, dann ist ν p (a + b) = min{ν p (a),ν p (b)}. Bleibt diese Aussage auch für ν p (a) = ν p (b) richtig? 8. Verifizieren Sie, dass für alle Primzahlen p und alle n N gilt ν p (n!) = [ n p ] + [ n p 2] + [ n p3] +... (Gaußklammer [a] : größte ganze Zahl a ) und zeigen Sie als Anwendung: Für alle m,n N ist (m+n)! eine ganze Zahl. Bekommt man diese Aussage auch einfacher? m!n! 9. F p bezeichne den Körper mit p Elementen ( p Primzahl). Bestimmen Sie die Anzahl der Primpolynome in F p [x] vom Grad und vom Grad 2. 0. Beweisen Sie, dass der Polynomring F p [x] unendlich viele Primpolynome besitzt. Zur Klausur sind Sie zugelassen, wenn Sie etwa die Hälfte der Aufgaben richtig lösen regelmäßig und aktiv an den Übungen teilnehmen (Sonderregelungen nur nach Absprache). Bitte vormerken: Die Abschlussklausur wird am Dienstag, den 4. Juli 09, von 8.5 bis 9.45 Uhr im Hörsaal I geschrieben. Genauere Regeln für die Klausur werden noch bekanntgegeben. Vorlesung jetzt immer in H5!
. Beweisen Sie: a) Jedes fünfte Glied der Fibonacci Folge ist durch 5 teilbar. b) Für jedes m N ist die Fibonacci Folge periodisch modulo m. 2. Zeigen Sie, dass die Gleichungen x 4 3y 4 = 3 und 8x 6 2y 2 = 3 keine ganzzahligen Lösungen x, y besitzen. Tipp: Hätten sie ganzzahlige Lösungen, dann auch Lösungen in Z/mZ. Wie wär s mit m = 5 oder 7? 3. 7 chinesische Piraten haben eine Kiste mit Goldstücken erbeutet. Beim Versuch, jedem Piraten gleichviele Münzen zuzuteilen, bleiben drei Münzen übrig. Um diese entbrennt heftiger Streit, bei dem ein Pirat getötet wird. Ein erneuter Versuch, den Schatz nun in 6 gleiche Teile zu teilen, führt zu einem Rest von 5 Münzen; wieder geht im Streit einer der Piraten über Bord. Nun gelingt es endlich, die Goldstücke gleichmäßig auf die verbliebenen 5 Piraten zu verteilen. Wieviele Münzen waren es mindestens? 4. Finden Sie die inverse Abbildung von (Z/45Z) (Z/45Z) : a a 7. 5. Finden Sie alle natürlichen Zahlen n mit der Eigenschaft ϕ(n) = n/3. 6. Zeigen Sie lim ϕ(n) ϕ(n) = und lim n n = 0. Tipp: Beides folgt aus der Existenz unendlich vieler Primzahlen. Für die zweite Aussage nutzen Sie Eulers Idee zum Beweis der Unendlichkeit der Primzahlmenge, um einzusehen, dass das Produkt ( ) über alle Primzahlen gegen 0 konvergiert. p 7. Zeigen Sie: Zu jeder ungeraden Primpotenz p s gibt es ϕ(ϕ(p s )) Primitivwurzeln. 8. Beweisen Sie: Für jede Primzahl p ist (p )! mod p. 9. Zerlegen Sie das Polynom x 8 3 F 3 in Primfaktoren! 20. Bestimmen Sie die Periodenlänge der Dezimalbruchentwicklungen der Brüche 27, 29 und 0 n + für alle n. 2. Die natürliche Zahl n sei aus m verschiedenen ungeraden Primfaktoren zusammengesetzt, a Z sei zu n teilerfremd, und die Kongruenz x 2 a mod n besitze eine Lösung. Wieviele Lösungen hat die Kongruenz dann in Z/nZ? 22. p sei eine Primzahl > 2. Zeigen Sie, dass die Kongruenz x 4 mod p genau dann lösbar ist, wenn p mod 8 ist. 23. Beweisen Sie: Für alle Primzahlen p > 2 ist jede Primitivwurzel ein quadratischer Nichtrest. Unter welchen Bedingungen an p ist umgekehrt jeder quadratische Nichtrest gleichzeitig Primitivwurzel? Kennen Sie solche Primzahlen?
24. Fortsetzung: Sei p eine Primzahl von der Form 2 2n + (eine sogenannte Fermatprimzahl, vgl. Aufgabe 6), hier mit n > 0. Zeigen Sie, dass 3 dann eine Primitivwurzel für p ist! Randbemerkung: Für n = 0,...,4 sind es tatsächlich Primzahlen, für n > 4 sind alle bisher untersuchten Zahlen dieser Bauart zusammengesetzt. 25. p mod 4 sei eine Primzahl und p := 2p + sei ebenfalls eine Primzahl (ob es unendlich viele solcher Primzahlpaare gibt, ist schon wieder ein offenes Problem). Beweisen Sie, dass 2 eine Primitivwurzel mod p ist. Unter welchen Bedingungen an p ist auch 5 eine Primitivwurzel? 26. Seien wieder p und p Primzahlen mit p := 2p +, jetzt aber p 3 mod 4. Zeigen Sie 2 p mod p und leiten Sie daraus ab, dass 2 und 2 23 keine Mersenne Primzahlen sein können (vgl. Aufgabe 5). 27. Man zeige: Für jede Primzahl p > 3 ist 3 quadratischer Rest mod p genau dann, wenn p ± mod 2, und quadratischer Nichtrest genau dann, wenn p ±5 mod 2. 28. Berechnen Sie die Legendresymbole ( 69), 257 (200), ( 00 ), 257 65537 (000). 65537 29. Beweisen Sie, dass zur Berechnung eines Jacobisymbols ( a ) nur O(log n) Schritte n benötigt werden. 30. Zeigen Sie, dass Carmichael Zahlen quadratfrei sind (d.h. keine Quadrate > als Teiler besitzen) und mindestens drei Primfaktoren besitzen. 3. Die (inzwischen durch Mihailescu gelöste) Catalansche Vermutung besagt, dass die Gleichung x 2 y 3 = in den natürlichen Zahlen > 0 nur die Lösung (x,y) = (3, 2) besitzt. Zeigen Sie: Aus der Gültigkeit der abc Vermutung würde folgen, dass die Gleichung jedenfalls nur endlich viele Lösungen besitzen kann. 32. Gibt es nichtkonstante teilerfremde Polynome a(x), b(x), c(x) R[x], welche a 2 + b 2 = c 2 erfüllen? Und wenn ja, wie konstruiert man sie? 33. Man zeige: Wenn sich n und m N jeweils als Quadratsumme a 2 +b 2 in Z schreiben lassen, dann auch ihr Produkt nm. 34. Ermitteln Sie alle Primzahlen π des Rings Z[i] der ganzen Gaußschen Zahlen mit Betrag π < 0. Multiplikation mit ± oder ±i führt natürlich wieder auf Primzahlen, darum genügt es, Primzahlen mit Realteil > 0 und Imaginärteil 0 zu ermitteln. 35. Ein Nachtrag zu den multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen: µ bezeichne die Möbiusfunktion und ζ die Riemannsche Zetafunktion. Beweisen Sie ζ(s) = n= µ(n) n s für alle s >. Hinweis: Eulerprodukt ζ(s) = p ( p s ) 36. Sei p > 3 prim, n durchlaufe alle quadratischen Reste mod p. Man zeige n 0 mod p.
Tipp: Bedenken Sie, dass ein quadratischer Nichtrest m mod p existiert und berechnen Sie zunächst ( + m) n. 37. Gibt es Quadratzahlen c 2, c N, die sich in mehr als einer Weise als c 2 = a 2 + b 2 schreiben lassen? (Vertauschung von a und b oder Vorzeichenwechsel zählt nicht!) Wenn ja, finden Sie das kleinste solche c. 38. Benutzen Sie den Satz von Kronecker zu einem neuen Beweis dafür, dass rationale Zahlen periodische Dezimalbruchentwicklungen besitzen. Achtung! Wer aus den Hausaufgaben bis 34 noch keine 70 Punkte erwirtschaftet hat, wird für die letzten beiden Übungsblätter Aufgaben 35 bis 42 zu besonders großem Lösungseifer aufgefordert, sonst gibt s keine Klausurzulassung. Gegebenenfalls ist persönliche Rücksprache bei mir erforderlich. Klausur: Spielregeln Verboten ist die Verwendung von Mobiltelefonen, Laptops, Bücher und Skripten. Am besten gar nicht erst mitbringen! Wenn Sie den Tag nicht ohne Ihr Handy verbringen können, dann dieses ausschalten und tief in eine verschlossene Tasche versenken. Jeder Betrugsversuch hat Ausschluss aus der Klausur und Note 6 zur Folge. Jeder Teilnehmer muss bis zum Ende der Klausur auf seinem Platz bleiben. Toilettenbesuch nur einzeln und unter Zurücklassung allen Materials. Erlaubt ist ein eigenhändig handschriftlich hergestellter DIN A4 Spickzettel, beidseitig beschrieben (keine Kopie!). Mitzubringen sind mindestens zwei funktionsfähige Stifte als Schreibzeug sowie ausreichend Papier, am besten auch Bleistift und Radiergummi, ebenso Personalausweis, Studentenausweis oder Goethecard. Diese sichtbar auf den Tisch legen! Ein einfacher (nicht programmierbarer) Taschenrechner kann mitgebracht werden. Sitzordnung: Jede zweite Reihe bleibt frei, zwischen Ihnen und Ihren nächsten Nachbarn sind mindestens drei Plätze frei zu halten. Die Klausur wird aus sechs Aufgaben bestehen, jede Aufgabe bringt bei komplett richtiger Lösung 20 Punkte. In den ersten beiden Aufgaben sind nur die Ergebnisse anzugeben, und nur diese zählen, Rechenweg egal. Also einfach Resultat auf das Blatt eintragen, fertig. Bei den vier letzten ist eine Begründung bzw. ein Beweis gefragt, den Sie auf die Rückseite oder auf ein Extrablatt schreiben; bitte auf alle Blätter Ihren Namen!! Bewertung: Bis zu 20 Klausurpunkte können in der Klausur erreicht werden. Notenpunkte und Noten ergeben sich daraus wie folgt. Nicht bestanden ist die Klausur mit Klausurpunkten 0 5 6 25 26 35 36 40 4 45 Notenpunkten 0 2 3 4 Noten 6 5 5 5 5
Bestanden ist sie mit (Zeilen geben wieder Klausurpunkte, Notenpunkte, Note an) 46 50 5 55 56 60 6 65 66 70 7 75 76 80 8 85 86 90 9 95 96 20 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 4 4 3 3 3 2 2 2 Die Klausurergebnisse werden nach Korrektur an meiner Zimmertür Robert Mayer-Str. 6 8, 2. OG, Zi. 205 und auf meiner Homepage anonymisiert für ca. 0 Tage aushängen. Übungsscheine alter Art (z.b. für Studierende nicht-modularisierter Studiengänge) gibt es dann direkt bei mir, ebenso kann ich Modulbescheinigungen für L Studiengänge ausstellen (Vordruck ausgefüllt mitbringen, gibt es zum Herunterladen auf der ZPL Homepage); meine Sprechstunden sind an meiner Zimmertür bzw. in meiner Homepage zu finden. Modulbescheinigungen für Bachelors stellt Fr. Weiglhofer im Prüfungsamt der Mathematik aus (wie oben Zi. 25). Der wichtigste Tipp für die Klausur: Lesen Sie die Aufgaben genau! Nichts ist ärgerlicher, als wenn man nachher merkt, dass man die Aufgabe falsch verstanden hat und z.b. die falsche Richtung der Behauptung bewiesen hat... Bedenken Sie, dass viele Klausuraufgaben kleine Varianten alter Hausaufgaben sein werden! Gilt alles genauso für die Nachklausur, wenn diese denn stattfindet sie wird bei geringem Bedarf durch mündliche Prüfungen ersetzt. Ankündigung auf meiner Homepage folgt noch. Es sei darauf hingewiesen, dass sowohl in den Bachelor wie in den L3 Modulen maximal drei Prüfungsversuche möglich sind, dass diese aber innerhalb von 5 Monaten absolviert sein müssen. Das heißt nicht, dass es nächstes Jahr wieder eine Zahlentheorie Veranstaltung geben wird; für den letzten Versuch müssen Sie dann gegebenenfalls ein Modul mit anderem Inhalt nehmen. 39. log bezeichne ausnahmsweise mal den Zehnerlogarithmus. Beweisen Sie, dass a) für alle natürlichen Zahlen n mit Ausnahme der Zehnerpotenzen log n irrational ist, b) { log n n N} dicht im Einheitsintervall liegt. 40. Für alle natürlichen m > ist k m k! transzendent. Warum? 4. Die Untermenge M von {, 2,...,2n} besitze n+ Elemente. Zeigen Sie mit Hilfe des Dirichletschen Schubfachschlusses, dass in M zwei zueinander teilerfremde Zahlen liegen. (Geht auch per Induktion, ist aber mühsamer.) 42. Unter den gleichen Voraussetzungen wie in 4. beweise man, dass in M zwei Zahlen k m existieren mit k m. Wenn Sie die richtigen Schubfächer finden, ist s ganz einfach! Grübel, grübel... Die Lösungen der Aufgaben 39 bis 4 sind abzugeben vor der Vorlesung am Freitag, 3. Juli 09.