0 Wichtige Klassen reeller Funktionen Monotone Funktionen sind i.a. unstetig, aber man kann etwas über das Grenzwertverhalten aussagen, wenn man nur einseitige Grenzwerte betrachtet. Definition 0. : Sei f : (α, β R mit α < β. ( x (α, β: (bilde den Grenzwert von f (α,x gemäß Def. 9.4 f(x := x x f (α,x f(x + := x x f (x,β sofern die Limiten in R existieren. f(x, f(x + heißen einseitige Grenzwerte. andere Schreibweise: f(x = x x f(x, f(x + = x x f(x Bemerkungen: i x x f(x exist. x x f(x, x x f(x exist. und sind gleich. ii x Sprungstelle f(x ± existieren und sind
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 2 (2 β = + : f(x existiert in R : x für jede Folge x n (α, mit x n existiert n f(x n in R und hängt nicht von der Wahl der Folge {x n } ab. (3 α = : f(x exist. in R :...... x (4 x [α, β] (also auch u.u. ± : uneigentliche Konvergenz bei x gegen x f(x = ± x x : f(x n ± für jede Folge x n (α, β, x n x ; analoge Def. für x x f(x, x x f(x = ±, wenn x (α, β, so dass man von beiden Seiten gegen x laufen kann Beispiele: x ex = +, ln x =, x 0 x 0 x = +, x 0 x = x arctan x = π 2 Satz 0. : (Grenzwerte monotoner Funktionen Sei I ein Intervall R mit Randpunkten a < b. f sei monoton wachsend auf I. Dann existieren an jeder Stelle y I die einseitigen Limiten und erfüllen f(y = x y f(x = sup{f(x : x < y} f(y inf{f(x : x > y} = x y f(x = f(y+. In den Randpunkten a, b R {± } existieren die GW e eigentlich oder uneigentlich: f(a+ = inf{f(x : x > a}, f(b = sup{f(x : x < b}. Falls f monoton fällt, hat man analoge Aussagen.
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 3 Beweis: f monoton wachsen, a < y < b c := sup {f(x : x < y, x I} f(y < Mon. Def. des Supremums zu ε > 0 gibt es ein x < y mit f(x c ε x 0 y f monoton = f(x c ε x (x, y, und da natürlich f(x c gilt für diese x, hat man: f(x c ε x (y δ, y, δ := y x. = x y f(x = c. Alle anderen Fälle erledigt man analog. Satz 0.2 : Sei I R ein Intervall und f := I R monoton. Dann hat f höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen, und diese sind Sprungstellen. Beweis: Übung Nächste Klasse: Differenzen monotoner Funktionen f hat beschränkte Variation. Definition 0.2 : BV-Funktionen Sei [a, b] R. f : D R, D [a, b], heißt von endlicher Variation auf [a, b] (oder: von beschränkter Variation, falls - Va b (f <. { n Va b (f := sup f(t i f(t i : n N, i= } a = t < t, <... < t n = b Variation von f auf [a, b].
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 4 (Das Supremum wird gebildet über alle möglichen Zerlegungen von [a, b]. Bemerkungen: f monoton = f BV ([a, b], denn V b a (f = f(b f(a < 2 f : [a, b] R Lipschitz = f BV ([a, b] n n denn f(t i f(t i L t i t i = L (b a, d.h. i= V b a (f L (b a i= 3 Stetige Funktionen müssen nicht BV sein! Beispiel: f : [0, π ] R, f(x = { 0, x = 0 x cos x, x 0, stetig. Zerlegung t = 0, t k = (2m+ kπ, k =,..., 2m = 2m k= f(t k f(t k = 2mπ + 2m ( k=2 also V /π (f =. 2mπ = f(t f(0 (2m+ kπ + (2m+2 kπ 4 BV ist ein Vektorraum, denn V b a (λf + µg λ V b a (f + µ V b a (g 2m = 2 π k π k= m Satz 0.3 : (Charakterisierung von BV f : [a, b] R gehört zu BV f = g h mit monoton wachsenden Funktionen g, h : [a, b] R
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 5 Beweis: = klar; = Sei g(x := V x a (f. Dann gilt: g(y g(x = V y a (f V x a (f f(y f(x für alle a x < y b. Die Ungleichung sieht man so: Betrachte Zerlegung a = t < t <... < t n = x von [a, x] a = t < t <... < t n < t n+ = y Zerlegung von [a, y] Also: V y a (f n+ f(t k f(t k = f(y f(x + k= n f(t k f(t k Die Summe rechts kann man beliebig nahe an Va x (f wählen = Va y (f f(y f(x + Va x (f. k= Nach ist g wachsend. Sei h(x := g(x f(x. Dann folgt für y > x: h(y h(x = Va y (f Va x (f + f(x f(y f(y f(x + f(x f(y 0 also ist auch h wachsend. Korollar: Ist f BV ([a, b], so hat f nur abzählbar viele Umstetigkeitsstellen und diese sind Sprungstellen. Nächste Klasse: Funktionen mit monotonen Differenzenquotienten konvexe/konkave Funktionen Definition 0.3 : Sei I R ein Intervall. konvex: f : I R heißt ( f tx + ( ty t f(x + ( t f(y für alle 0 t, x, y I
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 6 streng konvex:...... mit = nur für t {0, }, x = y. (streng konkav: f (streng konvex
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 7 Geom. Interpretation: tf(x + ( tf(y f(tx + ( ty x y tx + ( ty konvex = Graph liegt unterhalb der Sekante Beispiele: x e x streng konvex auf R, ln streng konkav auf R + 2 x x n, n N gerade: streng konvex auf R n ungerade: x x n weder konvex noch konkav auf einem Intervall um 0. Beweis später mit Kriterien für Konvexität Differentialrechnung Konvexe Funktionen lassen sich durch Monotonie der Differenzenquotienten beschreiben, d.h. es gilt Satz 0.4 : f : I R (streng konvex f(y f(x y x f(z f(x z x f(z f(y z y (< (< für alle x < y < z aus I.
0. WICHTIGE KLASSEN REELLER FUNKTIONEN 8 Interpretation: die Sehnensteigung f(y f(x y x zwischen zwei Punkten (x, f(x, (y, f(x x < y im Graphen wächst, wenn man einen oder beide Punkte nach rechts verschiebt. Beweis: Übung Damit beweisen wir: Satz 0.5 : Sei f : I R konvex (konkav. Dann ist f auf dem Intervall I stetig. Bemerkung: Sind a < b die Grenzen von I, so kann man mit Satz 0.4 zeigen, dass f auf jedem Intervall [α, β] mit α > a und β < b eine Lipschitz Bedingung erfüllt, speziell also zur Klasse BV ([α, β] gehört. Beweis: Sei x (a, b, D := (a, b {x} und ϕ : D y f(y f(x. y x Nach Satz 0.4 ist ϕ auf D monoton wachsend = die einseitigen Grenzwerte ϕ(x± existieren. Speziell: ( y x f(y f(x = y x { } f(y f(x y x (y x so dass = ϕ(x y x (y x = 0, ( y x f(y f(x ( 0 = f(y f(x y x =... = 0,, was Stetigkeit bedeutet.