Festkörperelektronik 4. Übung Felix Glöckler 23. Juni 2006 1
Übersicht Themen heute: Feedback Spin Drehimpuls Wasserstoffatom, Bohr vs. Schrödinger Wasserstoffmolekülion, kovalente Bindung Elektronen in Kristallen Variationsrechnung Quantenzahlen 2
Spin Drehimpuls - Elektronen haben Spin - Quantenzahl s hat Werte +1/2 und -1/2 Klassische Mechanik ω Drehimpuls L = r p = mr v Eigendrehimpuls = Spin 3
Spin Drehimpuls Elektrodynamik ω Bewegte Ladung verursacht Magnetfeld! Drehimpuls von Elektronen Dipolmoment 4
Spin Drehimpuls Quantenmechnik Alle Drehimpulse sind quantisiert! Stern und Gerlach: Elektronen haben einen Spin - Zwei antiparallele Richtungen möglich - Diskrete Werte 5
Wasserstoffatom Wie sieht die Wellenfunktion des H-Atoms aus? 1. Schrödingergleichung aufstellen e 1 (, ) (, ) (, ) 2m 2m 4 r 2 2 2 0 eψ re rk Kψ re rk ψ re rk e K πε V(r) = Wψ ( r, r ) e K 2. Lösen... recht schwierig - Born-Oppenheimer-Näherung - Kugelkoordinaten 6
Wasserstoffatom Lösung durch Separation (wie beim 3D-Quantenpunkt) Ansatz: ψ (, r θφ, ) = f() r Y(, θφ) Längliche Rechnerei... radialer Anteil f( r) = R ( r) nl, Winkelabhängigkeit Y, ( θ, φ) = P m (cos θ) ϕ ( φ) lm l m Drei Quantenzahlen: 1. Hauptquantenzahl n (natürliche Zahlen) 2. Bahnquantenzahl l (l<n) 3. Magnetische Quantenzahl m (m< l ) 4. (Spin s +1/2 oder -1/2) 7
Wasserstoffatom Ein Bild sagt mehr... l = 0 (s) l = 1 (p) l = 2 (d) l = 3 (f) n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 8
Größere Atome Pauliprinzip Zwei Elektronen in einem System dürfen nicht die gleichen Quantenzahlen besitzen Elektronen sind Fermionen (Protonen und Neutronen auch) Strategie zum Bestimmen der elektronischen Zustände eines Systems 1. Zustände berechnen 2. Vom Zustand niedrigster Energie an auffüllen Die Quantenzahlen des Wasserstoffatoms treten auch für andere Elemente auf 9
Wasserstoffmolekülion Schwer zu berechnen... r A Elektron m r B Idee: Zwei Potentialtöpfe an Position der Kerne M R AB M Proton A Proton B 1. Neue Wellenfunktionen 2. Energieniveaus der einzelnen W 0 Atome spalten in zwei Äste auf! 10
Wasserstoffmolekülion Ergebnisse für das Grundniveau (1s) Wellenfunktionen Energieniveaus W anti bindend W 1S bindend W[eV] 11
Wasserstoffmolekülion Was passiert für mehrere Atome? Ebenfalls Aufspaltung der Energieniveaus! 2 Atome W anti bindend W 1S bindend N Atome Energieband 12
Elektronen in Kristallen Was ist ein Kristall? Regelmäßige Anordnung von Bausteinen im Raum... Kristallgitter Anordnung im Raum (periodisch!) Basis Element auf Gitterpunkt 13
Elektronen in Kristallen Elektronische Zustände für den Kristall 1. Schrödingergleichung aufstellen e 1 ψ ψ ψ EINIGE 10 2m 2m 4 r 2 2 2 0 e1 K1 e1 K πε e1, K1 2 2 2 e0 1 ψ ψ ψ = Wψ( r, r ) 23 23 e10 K10 2m 23 2m 23 4πε r 23 23 e10 K10 e10, K10 NICHT LÖSBAR 23 TERME e K Näherungen gesucht! 14
Elektronen in Kristallen 1. Nur äußerste Elektronen...da fast nur die zu elektrischen und optischen Effekten beitragen Immer noch 10 23 Objekte... 2. Ein-Elektron-Näherung...Elektronen beeinflussen sich nicht 3. Effektives Potential...Kerne und Rumpfelektronen bilden eine Potentiallandschaft 15
Elektronen in Kristallen 4. Potentialkasten W...Kristall ist unendlicher Potentialtopf in 3D ganz gut für einige Probleme (Metalle) 5. Periodisches Potential...hat die gleiche Periode wie das Gitter 16
Elektronen in Kristallen Interessante Eigenschaften der Bandstruktur Verschiedene Energien für eine Wellenzahl Bandlücke keine erlaubten Zustände Periodizität in k 17
Elektronen in Kristallen Bandstruktur...enthält viele Informationen über die Elektronen im Kristall??? Karte der erlaubten Zustände (im k-raum!!!) 18