KOMPETENZHEFT ZUR KOMBINATORIK

KOMPETENZHEFT ZUR KOMBINATORIK. Aufgabenstellungen Aufgabe.. Beim Schach können zwei Türme einander schlagen, wenn sie in derselben Reihe oder in derselben Spalte stehen. Rechts siehst du eine Möglichkeit, wie 8 Türme auf ein Schachbrett gestellt werden können, damit keine zwei Türme einander schlagen können. Wie viele solche Möglichkeiten gibt es, 8 Türme auf einem Schachbrett zu platzieren? Aufgabe.2. Wie viele natürliche Zahlen mit den folgenden Eigenschaften gibt es? a b c d e f g h 8 7 6 4 3 2 Beachte dabei, dass zum Beispiel 042 keine dreistellige Zahl ist. a) 9 Stellen, wobei jede Ziffer von bis 9 genau einmal enthalten ist. b) Stellen, wobei alle Ziffern verschieden sind. Aufgabe.3. In einem Klassenzimmer befinden sich Tische mit jeweils 2 Sesseln. a) Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es für 24 Personen? Die Tische sind voneinander unterscheidbar. b) Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es für 24 Personen, wenn niemand alleine an einem Tisch sitzen soll? Aufgabe.4. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es... a)... für 0 Personen an einem runden Tisch mit 0 Sesseln? Wenn alle Personen um einen Platz weiterrutschen, ist es noch immer die gleiche Sitzordnung. b)... für 30 Personen an drei unterscheidbaren runden Tischen mit je 0 Sesseln? c)... für 30 Personen an drei nicht unterscheidbaren runden Tischen mit je 0 Sesseln? Aufgabe.. Du multiplizierst alle Klammern von (a + b) 8 = (a + b) (a + b)... (a + b) aus. Wie oft erhältst du dabei den Term a 3 b? Überlege, anstatt auszumultiplizieren. Datum: 7. Januar 208.

Aufgabe.6. Bei welcher Lotterie sind die Chancen besser, alle Zahlen richtig zu tippen: ) Spanien: 6 aus 49 oder 2) Finnland: 7 aus 39? Aufgabe.7. Wie viele verschiedene Ziehungen bei Lotto 6 aus 4 gibt es, die genau drei Zahlen von {3, 6, 23, 26, 44, 4} enthalten? Aufgabe.8. Eine Permutationsmatrix der Größe n besteht aus n Zeilen und n Spalten und erfüllt die beiden folgenden Bedingungen: ) Jeder Eintrag ist entweder 0 oder. 2) Die Ziffer kommt in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vor. Rechts siehst du eine Permutationsmatrix der Größe. Wie viele Permutationsmatrizen der Größe gibt es? Aufgabe.9. Wobei stehen die Chancen besser? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Dreimal hintereinander bei Lotto 6 aus 4 die richtigen 6 Zahlen tippen, oder 2) die 24 Türchen eines Adventkalenders blind in der richtigen Reihenfolge öffnen. Aufgabe.0. Jede Darstellung einer natürlichen Zahl n als Summe positiver natürlicher Zahlen nennen wir eine Komposition von n. n = a + a 2 + + a k, k, Die Zahl n = 3 hat zum Beispiel vier verschiedene Kompositionen: 3 = 2 + = + 2 = + + Die Zahl 3 selbst ist auch eine Komposition mit k = Summanden. a) Gib alle 8 Kompositionen von n = 4 an. b) Wie viele Kompositionen hat die Zahl n = 8? Hinweis: Es gibt eine allgemeine Formel in Abhängigkeit von n. Die Komposition 8 = 3 + + 2 + 2 kannst du auch so veranschaulichen: + + + c) Wie viele Kompositionen mit genau k = Summanden hat die Zahl n = 42? Hinweis: Auch hier gibt es eine Formel in Abhängigkeit von n und k.. 40 320.2 a) 362 880 b) 27 26.3 a) 368 406 749 739 4 248 0 984 000 000 = 3,684... 0 29 b) 282 304 022 788 623 944 908 800 000 = 2,823... 0 26.4 a) 362 880 b) 2,62... 0 29 c) 4,420... 0 28. 6 a 3 b.6 In Spanien gibt es 3 983 86 verschiedene Lottotipps, in Finnland 380 937. Die Chancen in Spanien sind also besser..7 82 780.8 20.9 ) zu,403... 0 20 2) zu 6,204... 0 23 Es ist also wahrscheinlicher, dreimal hintereinander einen Lotto-Sechser zu haben..0 a) 4 = 3 + = + 3 = 2 + + = + 2 + = + + 2 = + + + b) 28 c) 0 270 2

2. Schifferl versenken Wie viele Paare (,, ) mit, {A, B, C,..., Z} und {, 2, 3,..., 9} gibt es? Rechts siehst du ein Raster, in dem das Paar (C, 2) markiert ist. Erkläre, warum es 234 solche Paare gibt. 2 3. 9 A B C D W X Y Z.. Beispiel 2.. In der ersten Reihe sitzen Personen, in der zweiten und dritten Reihe sitzen jeweils 6 Personen und in der letzten Reihe sitzen 4 Personen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus jeder Reihe genau eine Person auszuwählen? Lösung. Wir können uns unabhängig voneinander in jeder Reihe für eine Person entscheiden. Es gibt also 6 6 4 = 720 verschiedene Möglichkeiten. Beispiel 2.2. Wie viele dreistellige natürliche Zahlen gibt es? Lösung. Leonas Lösung: Von bis 999 gibt es 999 natürliche Zahlen. Davon sind genau die Zahlen von bis 99 nicht dreistellig. Also gibt es 900 dreistellige natürliche Zahlen. Michael findet die Lösung so: Für die Hunderterstelle habe ich 9 Möglichkeiten (sie kann nicht 0 sein). Für die Zehner- und Einerstelle habe ich unabhängig davon jeweils 0 Möglichkeiten. Insgesamt gibt es für (H, Z, E) also 9 0 0 = 900 Möglichkeiten. Beispiel 2.3. Wie viele vierstellige natürliche Zahlen gibt es, die gerade sind? Lösung. Wir versuchen es mit Michaels Idee: Eine natürliche Zahl ist genau dann gerade, wenn die Einerziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. Es gibt also 9 0 0 = 400 vierstellige natürliche Zahlen, die gerade sind. Franz rechnet so: Es gibt 9000 vierstellige Zahlen. Jede zweite Zahl davon ist gerade. Bei manchen Abzählproblemen ist es geschickter, sich das Gegenteil zu überlegen, also wie viele Objekte eine bestimmte Bedingung nicht erfüllen. 3

Beispiel 2.4. Wie viele fünfstellige natürliche Zahlen gibt es, die mindestens einmal die Ziffer 3 enthalten? Lösung. Es gibt 9 0 0 0 0 = 90 000 fünfstellige Zahlen. Davon enthalten 8 9 4 = 2 488 die Ziffer 3 kein einziges Mal. Also gibt es 90 000 2 488 = 37 2 fünfstellige natürliche Zahlen, die mindestens einmal die Ziffer 3 enthalten. Anordnungen Wie viele Möglichkeiten gibt es, drei unterscheidbare Objekte in einer Reihe anzuordnen? Erkläre anhand des Baumdiagramms: Für die erste Position gibt es 3 Möglichkeiten. Unabhängig von der Wahl für die erste Position gibt es für die zweite Position 2 Möglichkeiten. Unabhängig von den ersten beiden Entscheidungen bleibt Möglichkeit für die dritte Position. Es gibt also 3 2 = 6 Möglichkeiten, um drei unterscheidbare Objekte in einer Reihe anzuordnen. Unabhängige Entscheidungen Es sind n voneinander unabhängige Entscheidungen zu treffen. Bei der. Entscheidung gibt es k verschiedene Möglichkeiten. Unabhängig davon gibt es bei der 2. Entscheidung k 2 verschiedene Möglichkeiten.. Unabhängig davon gibt es bei der n. Entscheidung k n verschiedene Möglichkeiten. Sobald man auch bei nur einer Entscheidung eine andere Möglichkeit auswählt, erhält man ein Gesamtergebnis, das sich von allen anderen Gesamtergebnissen unterscheidet. Erkläre: Die Anzahl möglicher Gesamtergebnisse beträgt dann k k 2... k n. 4

Faktorielle Es sollen n unterscheidbare Objekte in einer Reihe angeordnet werden. Für die Anzahl möglicher Anordnungen schreiben wir kurz n! = n (n )... 3 2, n. Sprechweise: n Faktorielle oder n Fakultät. Außerdem definieren wir 0! =. Du wirst bald sehen warum. Anordnungen mit Wiederholung Vor dir liegen 3 rote Kugeln, eine blaue Kugel und eine schwarze Kugel, die durchnummeriert sind. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? 2 3 4 Vor dir liegen wieder 3 rote Kugeln, eine blaue Kugel und eine schwarze Kugel. Diesmal sind die roten Kugeln aber nicht voneinander zu unterscheiden. Alle Anordnungen, die nur durch Umsortieren der roten Kugeln entstehen, sind jetzt also nicht mehr voneinander unterscheidbar. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es diesmal, die Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Wir stellen uns die Kugeln nochmal unterscheidbar vor. Auf wie viele Arten könnten wir dann die farbliche Anordnung erreichen? Erkläre: Die gesuchte Anzahl x erfüllt also x 3! =!. Damit ist x =! 3! = 4 = 20. 2 3 4 2 4 3 3 2 4 3 2 4 4 2 3 4 2 3 Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 rote und 2 grüne Kugeln in einer Reihe anzuordnen? Wenn alle Kugeln voneinander unterscheidbar sind, gibt es! verschiedene Anordnungen. Jede bestimmte farbliche Anordnung wie zum Beispiel können wir dann auf 3! 2! = 2 Arten erreichen. Die 3 roten Kugeln und 2 grünen Kugeln können wir ja unabhängig voneinander umsortieren. Die Anzahl möglicher Anordnungen von 3 roten und 2 grünen Kugeln in einer Reihe ist also! 3! 2! = 0. Anordnungen mit Wiederholung

8 Personen stehen in einer Reihe. Du möchtest eine Gruppe von 3 Personen auswählen. Dazu verteilst du 3 grüne Kugeln und rote Kugeln an die 8 Personen. Erkläre, weshalb es 8! 3!! = 6 verschiedene Möglichkeiten gibt, um eine Gruppe von 3 Personen aus 8 Personen auszuwählen. Auswahlproblem Binomialkoeffizient Die Anzahl der Möglichkeiten, um aus n unterscheidbaren Objekten eine Menge von k Objekten auszuwählen, ist ( ) n n! = k k! (n k)!, 0 k n. Beachte, dass bei einer Menge die Reihenfolge keine Rolle spielt. Den Ausdruck ( ) n k nennen wir auch den Binomialkoeffizienten n über k. Englisch: n choose k Beschreibe in eigenen Worten ein Abzählproblem mit der Lösung ( ) 8 8. Erkläre damit, warum ( ) 8 8 = sein muss, und rechne mit der Formel nach. Randfälle Auch deshalb wurde festgesetzt, dass 0! =. Eine nach der anderen Stefanie versucht auf einem anderen Weg die Möglichkeiten abzuzählen, um aus 8 Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen: Zuerst wähle ich eine der 8 Personen aus. Von den verbleibenden 7 Personen wähle ich eine zweite Person. Und zum Schluss wähle ich noch eine der verbleibenden 6 Personen. Also habe ich 8 7 6 = 336 Möglichkeiten. Welchen Fehler hat Stefanie gemacht? Erkläre, warum es tatsächlich nur 6 Möglichkeiten gibt. 6

Erkläre: Die Anzahl der Möglichkeiten, um aus n unterscheidbaren Objekten eine Menge von k Objekten auszuwählen, ist ( ) n = k k Faktoren {}}{ n (n )... (n k + ). k! Kombination ohne Zurücklegen Rechne nach, dass die beiden Formeln für den Binomialkoeffizienten tatsächlich übereinstimmen, also dass n (n )... (n k+) = n!. k! k! (n k)! Beispiel 2.. Beim Glücksspiel Lotto 6 aus 4 gibt es 4 Kugeln, die mit bis 4 durchnummeriert sind. Davon werden 6 Kugeln blind gezogen. Die Reihenfolge spielt keine Rolle. Zuvor kann ein Lottotipp abgegeben werden, welche 6 Zahlen gezogen werden. Wie viele verschiedene Lottotipps gibt es? Lösung. Aus den 4 unterscheidbaren Zahlen soll eine Menge von 6 Zahlen ausgewählt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ist also der Binomialkoeffizient ( ) 4 = 4! = 8 4 060. 6 6! 39! Warum gibt es gleich viele Möglichkeiten, um aus 00 Personen eine Gruppe von 480 Personen auszuwählen, wie eine Gruppe von 20 Personen auszuwählen? Erkläre, warum also ( ) ( ) 00 480 = 00 20. Symmetrie des Binomialkoeffizienten Allgemein hat der Binomialkoeffizient für natürliche Zahlen 0 k n die Symmetrie ( ) ( ) n n =. k n k 7

Woher kommt die Bezeichnung Binomialkoeffizient? Multiplizierst du (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) ohne zu vereinfachen aus, erhältst du 2 2 2 2 2 = 32 Summanden. Bei jeder Klammer kannst du dich unabhängig voneinander für a oder b entscheiden. Einer davon ist zum Beispiel a b a a b = a 3 b 2. Erkläre, warum der Summand a 3 b 2 insgesamt ( ) 2 = 0 Mal vorkommt. Erkläre damit die folgende Formel: ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a b 0 + a 4 b + a 3 b 2 + a 2 b 3 + 0 2 3 Binomischer Lehrsatz ( ) a b 4 + 4 = a + a 4 b + 0 a 3 b 2 + 0 a 2 b 3 + a b 4 + b. ( ) a 0 b Der Binomialkoeffizient ( ) n k ist also der Koeffizient von a n k b k beim Ausmultiplizieren des Binoms (a + b) n. Die Zahlen im Pascal schen Dreieck sind genau die folgenden Binomialkoeffizienten: ( 0 0) ( ) ( 0 ) ( 2 2 ) ( 2 ) ( 2 0 2) = ( 3 3 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 2 3) ( 4 6 4 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 0 2 3 4) ( 0 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 3 4 ) ) Erkläre, warum ( ( ) ) = und allgemein n n = gilt: Um aus Personen eine Gruppe von Personen auszuwählen, habe ich nur Möglichkeit, und zwar alle Personen auszuwählen. 2) Erkläre, warum ( ( ) 0) = und allgemein n 0 = gilt. Die Binomialkoeffizienten am Rand sind also wirklich. 3) Erkläre, warum ( ( ( ) 3) = 4 2) + 4 3 gilt: Um aus Personen eine Gruppe von 3 Personen auszuwählen, kann ich die erste Person auswählen oder nicht auswählen. Wenn ich sie auswähle, muss ich aus den verbleibenden 4 Personen... Wenn ich sie nicht auswähle, muss ich aus den verbleibenden 4 Personen... Allgemein bedeutet das: ( ) ( ) ( ) n k = n k + n k. Pascalsches Dreieck Jeder Binomialkoeffizient im Inneren ist also wie im Pascalschen Dreieck die Summe der beiden Nachbarn in der Zeile darüber. 8

Anordnungen mit Wiederholung 2 schwarze, 2 blaue, 3 rote und eine graue Kugel sollen in einer beliebig Reihe angeordnet werden. Erkläre in eigenen Worten, warum es dafür insgesamt 680 verschiedene Anordnungen gibt. Es sollen n Kugeln mit r verschiedenen Farben in einer Reihe angeordnet werden. Davon haben k Kugeln die Farbe, k 2 Kugeln die Farbe 2,..., k r Kugeln die Farbe r. Die Anzahl der möglichen Anordnungen ist dann k + k 2 + + k r = n. n! k! k 2!... k r!. Multinomialkoeffizient Beispiel 2.6. Ein Paket Schnapskarten enthält 20 Karten: Zehn, Bube, Dame, König, Ass jeweils in den 4 Spielfarben. Wir mischen die Karten zu einem Stapel. ) Wie viele verschiedene Anordnungen können die 20 Karten im Stapel haben? 2) Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es, wenn uns die Spielfarbe egal ist? Lösung. ) Alle 20 Karten sind voneinander unterscheidbar. Es gibt also 20 9... 2 = 20! = 2 432 902 008 76 640 000 = 2,432... 0 8 verschiedene Anordnungen. 2) Die 20 Karten sind aufgeteilt in Gruppen mit jeweils 4 nicht unterscheidbaren Karten. Es gibt also 20! 4! 4! 4! 4! 4! = 20! (4!) = 30 40 23 000 = 3,0... 0. verschiedene Anordnungen. Beispiel 2.7. Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, um Personen in drei gleich große Gruppen aufzuteilen? Lösung. Wir stellen die Personen in einer Reihe auf. Dann nehmen wir Karten und beschriften jeweils Karten mit Gruppe, Gruppe 2 und Gruppe 3. Erkläre: Für die Aufteilung der Karten gibt es dann!!!! 9 = 76 76

verschiedene Möglichkeiten. Warum ist das noch nicht das richtige Endergebnis? Wir zählen dabei jede Aufteilung in 3 Gruppen mehrfach: Ob alle Personen einer Gruppe eine Karte mit Gruppe oder alle eine Karte mit Gruppe 2 haben, ist für die Gruppenaufteilung ja nicht relevant. Jede der 3! = 6 Vertauschungen der kompletten Kartensets zwischen den Gruppen führt zu der gleichen Gruppenaufteilung. Es gibt somit 7676 = 26 26 3! verschiedene Möglichkeiten, um aus Personen drei Gruppen mit Personen zu bilden. Wie viele Summanden erhältst du, wenn du (x + y + z) 9 = (x + y + z) (x + y + z)... (x + y + z) ohne zu vereinfachen vollständig ausmultiplizierst? Erkläre, warum dabei kein Term x 3 y z 2 vorkommen kann. Erkläre, warum der Summand x 2 y 3 z 4 9! insgesamt = 260 Mal vorkommt. 2! 3! 4! Allgemein schreiben wir auch ( ) n! k! k 2!... k r! = n k, k 2,..., k r und nennen den Ausdruck einen Multinomialkoeffizienten. Multinomialkoeffizient Beispiel 2.8. An einem Wettrennen haben 42 Personen teilgenommen. Die Rangliste der ersten 0 Plätze wird veröffentlicht. Wie viele verschiedene mögliche Ranglisten gibt es? Lösung. Für den ersten Platz gibt es 42 Möglichkeiten. Unabhängig vom ersten Platz gibt es für den zweiten Platz 4 Möglichkeiten, für den dritten Platz 40 Möglichkeiten usw. Die Anzahl möglicher Ranglisten ist also Die Reihenfolge ist diesmal wichtig. 42 } 4 40 {{... 33 } = 339 72 260 422 400 =,339... 0. 0 Faktoren Erkläre: Die Anzahl der Möglichkeiten, um aus n unterscheidbaren Objekten eine Folge von k verschiedenen Objekten zu erstellen, ist k Faktoren {}}{ n (n )... (n k + ) = n! (n k)! = Beachte, dass es bei einer Folge auf die Reihenfolge ankommt. Variation ohne Zurücklegen ( ) n k!. k Im Gegensatz zur Menge. 0

Beispiel 2.9. Auf einem Wettschein soll der Ausgang von 3 verschiedenen Fußballpartien getippt werden. Bei jeder Partie muss man ankreuzen, welches der beiden Teams gewinnt oder ob die Partie Unentschieden ausgeht. Den Hauptpreis gewinnt man, wenn man bei allen 3 Partien auf den richtigen Ausgang tippt. Wie viele verschiedene Wettscheine muss man ausfüllen, um sicher den Hauptpreis zu gewinnen? Lösung. Es gibt n = 3 verschiedene Möglichkeiten bei jeder der k = 3 Partien. Bei jeder Partie können wir uns unabhängig von den bisherigen Entscheidungen für einen der 3 Ausgänge entscheiden. Die Anzahl verschiedener Wettscheine ist also } 3 3 {{... 3 } = 3 3 = 94 323. 3 Faktoren Erkläre: Die Anzahl der Möglichkeiten, um aus n unterscheidbaren Objekten eine Folge von k Objekten zu erstellen, ist n } n {{... n } = n k. k Faktoren Variation mit Zurücklegen Das gleiche Objekt darf auch mehrfach gewählt werden. Beispiel 2.0. Du würfelst viermal mit einem sechsseitigen Würfel und schreibst das Ergebnis als Folge an. Zum Beispiel (2, 6,, 2). Wie viele verschiedene Ergebnisse gibt es, bei denen mindestens eine Augenzahl mehrfach vorkommt? Lösung. Bei dieser Aufgabe ist es geschickter, sich das Gegenteil zu überlegen. Insgesamt gibt es 6 6 6 6 = 6 4 = 296 mögliche Ergebnisse. Also wie viele der möglichen Ergebnisse haben keine Augenzahl mehrfach? Dafür gibt es 6 4 3 = 360 verschiedene Möglichkeiten. Es gibt also 296 360 = 936 verschiedene Ergebnisse, bei denen mindestens eine Augenzahl mehrfach vorkommt.

Beispiel 2.. Vor dir steht ein Kasten mit n Fächern, die von bis n durchnummeriert sind. Gian-Carlo möchte wissen: Wie viele Möglichkeiten gibt es,... )... k unterscheidbare Bälle (nummeriert von bis k) auf die n Fächer zu verteilen, wenn beliebig viele Bälle in jedes Fach passen? 2)... k unterscheidbare Bälle (nummeriert von bis k) auf die n Fächer zu verteilen, wenn in jedes Fach höchstens ein Ball passt? 3)... k nicht unterscheidbare Bälle auf die n Fächer zu verteilen, wenn in jedes Fach höchstens ein Ball passt? 4)... k nicht unterscheidbare Bälle auf die n Fächer zu verteilen, wenn beliebig viele Bälle in jedes Fach passen? Lösung. ) Für jeden der unterscheidbaren Bälle gibt es unabhängig voneinander n Möglichkeiten. Die Anzahl der möglichen Verteilungen ist also n } n {{... n } = n k. k Faktoren 2) Für den ersten Ball gibt es n mögliche Fächer, für den zweiten Ball n mögliche Fächer usw. Die Anzahl der möglichen Verteilungen ist also n (n )... (n k + ) = }{{} k Faktoren n! (n k)! = ( ) n k!. k 3) Von den n Fächern müssen genau k Fächer ausgewählt werden, in die ein Ball gelegt wird. Die Anzahl der möglichen Verteilungen ist also ( ) n k. 4) Sehen wir uns zuerst als Beispiel n = 3 Fächer und k = Bälle an. Wir fügen den Bällen noch n = 2 Bälle hinzu und legen sie in eine Reihe. Diese zusätzlichen Bälle werden wir als Trennzeichen zwischen den Fächern verwenden. Wir wählen also aus den 7 Bällen wieder 2 Bälle aus: }{{} Fach 2 }{{} 2 Fach 2 }{{} Fach 3 Wählen wir dabei (wie links dargestellt) den dritten und den fünften Ball, dann entspricht das der Verteilung (2,, 2) auf die 3 Fächer. 2 Bälle ins erste Fach, Ball ins zweite Fach, 2 Bälle ins dritte Fach. Mit jeder Auswahl von 2 Bällen erhalten wir eine andere Verteilung der Bälle auf die 3 Fächer. } {{ } Fach 3 }{{} 0 2 Fach 2 }{{} Fach 3 Wollen wir zum Beispiel die Verteilung (3, 0, 2) auf die 3 Fächer, dann wählen wir (wie links dargestellt) den vierten und den fünften Ball in der Reihe. 2

Jede Verteilung der Bälle auf die 3 Fächer erfordert eine andere Auswahl von 2 Bällen. Die Möglichkeiten, Bälle auf 3 Fächer zu verteilen und die Möglichkeiten, 2 von 7 Bällen auszuwählen, entsprechen einander umkehrbar eindeutig. So eine : -Zuordnung heißt auch Bijektion. Es gibt also ( ) 7 2 = 2 verschiedene Möglichkeiten, nicht unterscheidbare Bälle auf 3 unterscheidbare Fächer zu verteilen. Erkläre: Die Anzahl der Möglichkeiten, um k nicht unterscheidbare Bälle auf n unterscheidbare Fächer zu verteilen, ist ( ) k + n. n Kombination mit Zurücklegen Beispiel 2.2. Ein Schatz von 30 (nicht unterscheidbaren) Goldmünzen soll auf den Kapitän und vier seiner Piraten aufgeteilt werden. Wie viele mögliche Aufteilungen gibt es, wenn... )... der Schatz beliebig aufgeteilt werden kann? 2)... jeder Pirat mindestens 2 Goldmünzen und der Kapitän mindestens Goldmünzen bekommen soll? 3)... jeder Pirat höchstens 2 Goldmünzen bekommen soll? 4)... der Kapitän 0 Goldmünzen, zwei (beliebige) Piraten 7 Goldmünzen und zwei (beliebige) Piraten 3 Goldmünzen bekommen sollen? )... der Kapitän 6 Goldmünzen, jeder Pirat mindestens 2 Goldmünzen, aber alle Piraten unterschiedlich viele Goldmünzen bekommen sollen? 6)... der Kapitän mindestens 28 Goldmünzen bekommen soll? Lösung. ) Wie zuvor geht es um eine Verteilung von nicht unterscheidbaren Objekten auf unterscheidbare Objekte: Der Kapitän und die Piraten entsprechen den n = unterscheidbaren Fächern. Die Goldmünzen entsprechen den k = 30 nicht unterscheidbaren Bällen. Es gibt also ( ) ( ) k+n n = 34 4 = 46 376 mögliche Aufteilungen der 30 Goldmünzen. 2) Wenn wir den Piraten und dem Kapitän jeweils die mindestens erforderlichen Goldmünzen geben, bleiben k = 30 4 2 = 7 Goldmünzen übrig, die wir beliebig auf die n = Personen aufteilen können. Die Anzahl verschiedener Aufteilungen ist also ( ) ( ) k+n n = 2 4 = 98. 3) Für jeden Piraten können wir unabhängig entscheiden, ob wir ihm 0, oder 2 Goldmünzen geben. Es sind genug Münzen vorhanden, damit jeder Pirat auch 2 Münzen erhalten kann. Die übrigen Münzen bekommt der Kapitän. 3

Dafür gibt es 3 3 3 3 = 3 4 = 8 Möglichkeiten. 4) Wir können nur entscheiden, welche zwei der vier Piraten 7 Goldmünzen bekommen sollen. Um eine Gruppe von 2 aus 4 Piraten auszuwählen, gibt es ( ) 4 2 = 6 Möglichkeiten. ) Für die vier Piraten bleiben 4 Goldmünzen übrig. Damit jeder Pirat mindestens 2 Goldmünzen, aber alle Piraten unterschiedlich viele Goldmünzen bekommen, müssen die Goldmünzen 2 + 3 + 4 + = 4 aufgeteilt sein. Wir können aber aussuchen, welcher Pirat Goldmünzen, welcher 4, welcher 3 und welcher Pirat 2 Goldmünzen erhält. Für den Pirat mit Goldmünzen haben wir 4 Möglichkeiten, unabhängig von dieser Auswahl bleiben 3 Möglichkeiten für die 4 Goldmünzen, und so weiter. Es gibt also 4 3 2 = 24 mögliche Aufteilungen. 6) Bekommt der Kapitän 28 Goldmünzen, können k = 2 Goldmünzen beliebig auf die n = 4 Piraten aufgeteilt werden. Dafür gibt es ( ) ( ) k+n n = 3 = 0 Möglichkeiten. Bekommt der Kapitän 29 Goldmünzen, können wir die eine verbleibende Goldmünzen einem der 4 Piraten geben, also 4 Möglichkeiten. Damit der Kapitän 30 Goldmünzen bekommt, gibt es nur eine Möglichkeit, und zwar allen Piraten keine Goldmünze zu geben. Insgesamt gibt es also 0 + 4 + = mögliche Aufteilungen, bei denen der Kapitän mindestens 28 Goldmünzen erhält. Oder wir teilen direkt k = 2 Goldmünzen auf n = Personen auf. Dafür gibt es ( ) ( ) k+n n = 6 4 = Möglichkeiten. Beispiel 2.3. Du befindest dich in Manhattan an der Kreuzung A. Wie viele verschiedene Wege mit kürzest möglicher Länge gibt es von Kreuzung A zu Kreuzung B? N B Lösung. Alle kürzest möglichen Wege bestehen aus 7 Bewegungsschritten, von denen 3 nach Norden führen und 4 nach Osten führen. Zum Beispiel (N, O, O, N, N, O, O). Zeichne ihn rechts ein. A O Wir müssen aus den 7 Schritten also eine Menge von 3 Schritten auswählen, die nach Norden führen. Im obigen Beispiel sind das die Schritte {, 4, }. Jeder kürzest mögliche Weg entspricht genau einer solchen Auswahl, und jede solche Auswahl entspricht genau einem kürzest möglichen Weg. Es gibt somit ( ) 7 3 = 3 verschiedene Wege mit kürzest möglicher Länge. Du merkst vielleicht schon, dass es kein allgemeingültiges Kochrezept für alle -Aufgaben gibt. Immer wieder muss man herumknobeln und einen geschickten Zugang zum Problem finden. Eine Besonderheit der ist, dass es leicht verständliche Problemstellungen gibt, die aber 4

nur sehr schwierig zu lösen sind. Aufgabe. wird zum Beispiel sehr viel schwieriger, wenn Damen statt Türmen am Schachbrett platziert werden sollen. Dann muss sich auch in jeder Diagonale genau eine Figur befinden. Bei manchen Aufgaben vermutet man vielleicht sogar eine einfache und richtige Abzählformel. Eine Begründung zu finden, warum sie tatsächlich stimmt, kann dann aber auch für Profis eine Herausforderung sein. Eine solche Aufgabe findest du auf der letzten Seite. Zumindest das folgende Kochrezept zum Lösen einfacher Anordnungs- und Auswahlprobleme ist aber immer wieder hilfreich. Anordnungsprobleme: n Objekte sollen in einer Reihe angeordnet werden. Dann beantworte die Frage: Sind alle Objekte unterscheidbar oder gibt es r Gruppen mit jeweils k, k 2,..., k r voneinander nicht unterscheidbaren Objekten? Auswahlprobleme: Sind alle Objekte unterscheidbar? n! Ja Nein n! k! k 2!... k r! Aus n unterscheidbaren Objekten sollen k Objekte (mehrfach) ausgewählt werden. Dann beantworte die beiden Fragen: ) Darf ich jedes Objekt höchstens einmal wählen oder ist eine Mehrfachauswahl erlaubt? 2) Kommt es auf die Reihenfolge an, in der ich die Objekte auswähle ( Folge ) oder ist die Reihenfolge nicht wichtig ( Menge )? Mehrfachauswahl erlaubt? Ja Kochrezept für elementare Abzählprobleme Nein Reihenfolge wichtig? Reihenfolge wichtig? n k Ja Nein ( k+n ) n Ja n (n )... (n k + ) = n! (n k)! = ( n k) k! Nein ( n k) Das sind genau die 4 verschiedenen Teilaufgaben in Beispiel 2.. Kannst du in eigenen Worten erklären, wie wir auf diese 6 Formeln gekommen sind?

3. Weitere Aufgaben Aufgabe 3.. Eine Alternierende Vorzeichenmatrix der Größe n besteht aus n Zeilen und n Spalten und erfüllt die folgenden 3 Bedingungen: ) Jeder Eintrag ist 0, oder. 2) Die Summe jeder Zeile und jeder Spalte ist. 3) In jeder Zeile und Spalte wechseln die Einträge ungleich 0 immer das Vorzeichen. (, 0,,, 0,, ) ist also keine erlaubte Zeile. Rechts siehst du eine Alternierende Vorzeichenmatrix der Größe. Gib alle Alternierenden Vorzeichenmatrizen der Größe 3 an. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Für n = 3 gibt es! 4! 7!! 4! 7! 0! = 7 Alternierenden Vorzeichenmatrizen. Für n = 4 sind es = 42. Siehst du das Muster? 3! 4!! 4!! 6! 7! Die allgemeine Formel wurde 983 vermutet. Erst 3 Jahre später konnte erstmals ein Beweis für die Formel veröffentlicht werden, der auf insgesamt 84 Seiten erklärt wird. Aufgabe 3.2. n Dominosteine sollen so angeordnet werden, dass ein Rechteck mit Höhe 2 und Breite n entsteht. Im Bild siehst du eine mögliche Anordnung mit n = Dominosteinen: a n ist die Anzahl verschiedener Anordnungen mit n Dominosteinen. a) Es ist a = und a 2 = 2: Wie groß ist a 3? Zeichne alle möglichen Anordnungen mit 3 Dominosteinen auf. b) Erkläre, warum a 4 = a 3 + a 2 = 3 + 2 = ist: Wie viele verschiedene Anordnungen gibt es also mit Dominosteinen? Fibonacci lässt grüßen... 3. 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.2 a) a 3 = 3 b) a = a4 + a3 = 8. Dieses Werk von Mathematik macht Freu(n)de unterliegt einer CC BY-NC-ND 4.0 Lizenz. http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at