A3 Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen

A3 Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen Das in marktwirtschaftlichen Unternehmen dominierende betriebliche Entscheidungskriterium ist der Gewinn mit seinen beiden Komponenten Erlös und Kosten oder Ertrag und Aufwand. (Der Unterschied ist hier nebensächlich.) Deshalb wollen wir uns nun konkret mit einigen elementaren Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen beschäftigen, wobei insbesondere der Zusammenhang mit der Produktionsmenge (x) interessiert. Diese Funktionen werden uns in vielen wirtschaftlichen Themenbereichen immer wieder begegnen. Dabei geht es hier nicht so sehr um eine eingehende Betrachtung der dahinter stehenden ökonomischen Sachverhalte und Probleme, sondern in erster Linie um das Kennen lernen funktionaler Betrachtungsweisen, wie sie in den Wirtschaftswissenschaften üblich sind. Nach einem kleinen Ü- berblick zur besseren Orientierung folgen Einzelheiten. 1 Kosten, Erlös und Gewinn im Überblick: Die zentralen Aktivitäten von Unternehmen und ihre Verflechtungen mit der Umwelt lassen sich durch einige Variable und Funktionen ausdrücken. Sie sind sehr vereinfacht in der Abbildung 1 skizziert. Abbildung 1: Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen im Überblick Kernprozess von Unternehmen ist die Produktion von Gütern, meist um Gewinne zu erwirtschaften. Dazu beziehen sie von den Absatzmärkten zunächst einmal Mengen an Produktionsfaktoren (r), für die Preise (q) entrichtet werden müssen. Dabei wird die Einkaufsmenge (Nachfrage) wohl auch vom Faktorpreis abhängen: Faktor-Nachfragefunktion:...r = f(q) In der Produktion selbst werden in Abhängigkeit von der Menge (x) Produktionsmittel (r) eingesetzt, abgenutzt und verbraucht, wodurch Kosten (K) entstehen. Produktionsfunktion:...x = f(r) Kostenfunktion:...K = f(x) Die hergestellten Gütermengen (x) werden zu bestimmten Preisen (p) auf den Absatzmärkten verkauft. Dabei sind Verkaufspreise und Absatzmengen im Allgemeinen wechselseitig voneinander abhängig. Nachfragefunktion (oder Preis-Absatz-Funktion):...x = f(p) Aus dem Verkauf entstehen Erlöse (Umsätze). Zieht man von den Erlösen (E) die Kosten ab, so erhält man den Gewinn (oder auch einen Verlust). Beide Größen variieren mit der Menge. Erlösfunktion:...E = f(x) Gewinnfunktion:...G = f(x) = E(x) K(x) Alle untereinander verflochten Funktionen liefern in einer gemeinsamen Sichtweise ein erstes, einfaches Unternehmensmodell. 2 Kostenfunktionen Kostenfunktion beschreiben, wie sich Kosten mit der Produktionsmenge verändern. Kosten sind der (in Geld bewertete) Verzehr an Produktionsmitteln. Insofern kann man Kostenfunktionen auch aus Verbrauchsfunktionen (Produktionsfunktionen) in Verbindung mit den Preisen der eingesetzten Produktionsmittel herleiten. Darauf sei aber nicht weiter eingegangen. Wir gehen gleich zur Darstellung typischer Kostenverläufe über. Innerhalb der Kosten kann man zwischen den beiden Arten fixe Kosten (K f) und variable Kosten (K v) unterscheiden. Die fixen Kosten werden durch eine Parallele zur Mengenachse dargestellt. Die variablen Kosten können sich proportional, überproportional und unterproportional mit der Menge verändern. Aus der Kombination (Zusammensetzung) dieser Varianten können mehrere verschiedene Typen von Kostenverläufen konstruiert werden. Wir beschränken uns allerdings auf die zwei reinen Typen, und zwar den linearen Kostenverlauf und den ertragsgesetzlichen Kostenverlauf. Weitere Typen (Mischformen) sind beispielsweise die sprungfixen Kosten und der Fall der zuerst linear dann (in der Nähe der Kapazitätsgrenze) überproportional steigenden Kosten. 1a 1b

Abbildung 2: Fixe und variable Kosten Abbildung 3: Lineare Kosten Kosten Kosten überproportionale K. K = K f + K v K = a + bx K = 12 + 2x K f = a = 12 K v = bx = 2x k = k f + k v k = a/x + b k = 2 + 12:x k f = 12:x k v = K = 2 K = dk/dx K = b Abbildung 3a: Gesamtkosten fixe Kosten proportionale K. 35 Tabelle 3a 3 Beide Typen werden in den nachfolgenden Abbildungen und mit konkreten Zahlenbeispielen näher beschrieben. Dabei interessieren nicht allein die Gesamtkosten, sondern auch die Stückkosten (k) und nicht zuletzt die Grenzkosten (K ). K = K f + K v k = k f + k v K = dk : dx Menge K f = fixe Gesamtkosten k f = fixe Kosten pro Stück K v = variable Gesamtkosten k v = variable Kosten pro Stück K = Grenzkosten In grafischen Darstellungen kann man auf einen Blick sehr schnell einschätzen, ob bei einer bestimmten Menge die Grenzkosten oder Stückkosten höher sind und auch ob sie steigen oder fallen, und zwar durch Vergleich von zwei Winkeln. In einem Punkt auf der Kostenkurve werden die Grenzkosten durch die Steigung der Funktion wiedergegeben, und die Höhe der Stückkosten lässt sich anhand der Steigung eines Fahrstrahls aus dem Ursprung beurteilen. Typ A: Lineare Kosten unterproportionale K. Menge Lineare Kosten sind der einfachste Fall, und sie werden uns noch ausgiebig beschäftigen, insbesondere weil sie in der Praxis nahezu ausschließlich unterstellt werden (vgl. Abbildungen 3). Die totalen Stückkosten fallen hier stetig, weil sich die konstanten Fixkosten auf eine größere Menge verteilen (Kostendegression). An der Kapazitätsgrenze wird zu minimalen Stückkosten produziert. Die Grenzkosten K sind konstant und gleich den variablen Stückkosten k v. 12 12 1 12 2 14 2 12 4 16 3 12 6 18 4 12 8 2 5 12 1 22 6 12 12 24 7 12 14 26 8 12 16 28 9 12 18 3 1 12 2 32 Tabelle 3b x k f k v k 2, 1 12, 2, 14, 2 6, 2, 8, 3 4, 2, 6, 4 3, 2, 5, 5 24, 2, 44, 6 2, 2, 4, 7 17,1 2, 37,1 8 15, 2, 35, 9 13,3 2, 33,3 1 12, 2, 32, 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Abbildung 3b: Stückkosten 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2a 2b

Typ B: Ertragsgesetzliche Kosten Ertragsgesetzliche Kosten steigen zuerst unterproportional dann überproportional (Abbildung 4). Dieser Typ spielt in der Wirtschaftstheorie oftmals eine große Rolle. Er ist das Spiegelbild der ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion. Die Grenzkosten und auch die Stückkosten zeigen beide einen U-förmigen Verlauf, sie steigen also nach Überschreitung ihres Minimums wieder an. Zuerst wird das Grenzkostenminimum (GKM) erreicht (Wendepunkt der Kostenkurve). Anschließend schneidet die Grenzkostenkurve von unten zuerst die Kurve der variablen Stückkosten im Betriebsminimum (BM) und anschließend die Kurve der Stückkosten im Betriebsoptimum (BO). Abbildung 4: Ertragsgesetzliche Kosten K = K f + K v K = 54 + 24x - 24x 2 + x 3 K f = 54 K v = 24x - 24x 2 +x 3 k = k f + k v k = 54/x + 24-24x + x 2 k f = 54:x k v = 24-24x + x 2 K = dk/dx K = 24-48x + 3x 2 Abbildung 4a: Gesamtkosten 4 35 Tabelle 4a 3 Das Betriebsminimum (BM) ist das Minimum nur der variablen Stückkosten. Im Betriebsoptimum (BO) produziert das Unternehmen zu geringstmöglichen totalen Stückkosten. (Ob das Unternehmen dabei einen Gewinn erwirtschaftet oder gar Verluste erleidet, bleibt offen, denn dazu müssten die Umsätze einbezogen werden.) Zusammenfassung der wichtigsten Unterschiede beider Kostentypen: Lineare Kosten Ertragsgesetzliche Kosten Stückkosten fallen stetig verlaufen U-förmig Grenzkosten sind konstant verlaufen U-förmig x K f K v K 54 54 2 54 396 9 4 54 64 1.144 6 54 792 1.296 8 54 896 1.4 1 54 1. 1.54 12 54 1.152 1.656 14 54 1.4 1.94 16 54 1.792 2.296 18 54 2.376 2.88 2 54 3.2 3.74 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 3 Preis-Absatz- und Erlösfunktionen Bevor wir Erlöse (die Umsätze) behandeln müssen wir einen Zwischenschritt einlegen, denn zuvor müssen die funktionale Beziehung zwischen Preis und Menge als den beiden Erlöskomponenten klären. Solche Preis-Mengen-Zusammenhänge werden durch eine Nachfragefunktion (NE) und durch eine Preis-Absatz-Funktion (PAF) beschrieben. Eine Nachfragefunktion beschreibt den funktionalen Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der mengenmäßigen Nachfrage x nach diesem Gut unter sonst gleichen Umständen (Bedarfsstruktur, Einkommen usw.) NE: Nachfragefunktion:...x = f(p) oder auch: p = f(x) Umkehrfunktion Die Nachfragemenge ist die auf einem Markt von allen gewünschte Menge, also auch die von allen Unternehmen zusammen erreichte oder erreichbare Verkaufsmenge auf einem relevanten Markt. (Marktpotential/Marktvolumen). Diese NE hat im Normalfall eine negative Steigung. Nachfragefunktionen werden insbesondere in der VWL zur Erklärung von Preisbildungsprozessen verwendet. Tabelle 4b x k f k v k K 24 2 252, 198, 45, 156, 4 126, 16, 286, 96, 6 84, 132, 216, 6, 8 63, 112, 175, 48, 1 5,4 1, 15,4 6, 12 42, 96, 138, 96, 14 36, 1, 136, 156, 16 31,5 112, 143,5 24, 18 28, 132, 16, 348, 2 25,2 16, 185,2 48, Abbildung 4b: Stückkosten 3 25 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 GKM = Grenzkostenminimum bei x = 8, BM = Betriebsminimum bei x = 12, BO = Betriebsoptimum bei x = 13,4 3a 3b

Auch die PAF beschreibt einen funktionalen Preis-Mengen-Zusammenhang, und auf den ersten Blick sind weder in der algebraischen noch in der grafischen Darstellung irgendwelche Unterschiede feststellbar. Was also ist der Unterschied zwischen NE und PAF? Absatzmenge ist nur die von einem einzelnen Unternehmen geplante oder realisierte Verkaufsmenge (Absatzpotential/Absatzvolumen). Sie ist üblicherweise kleiner als die Gesamtnachfrage, zumindest sofern mehrere Unternehmen vorhanden sind. Nur im Monopol sind beide Größen identisch, und nur dann sind NE und PAF ebenfalls identisch. Konkreter: Fragt ein Unternehmen, welche Menge es absetzen kann, wenn es diesen oder jenen Preis fordert, so ist die Preis-Absatz-Funktion (PAF) relevant. Wir beschäftigen uns hier mit den individuellen betrieblichen Größen und legen daher die PAF zugrunde. (Das Mengensymbol x steht jetzt für die individuelle Absatzmenge einer Unternehmung.) Eine wichtige Orientierungsgröße für die Absatz- und Umsatzplanung eines Unternehmens ist sicherlich auch die Gesamtnachfrage (Marktanteil). Auch das Verhalten der Konkurrenten (bei Preissenkungen oder Preisanhebungen) wird eine Rolle spielen. Beide Faktoren haben Einfluss auf die Gestalt der PAF. Insofern kann eine PAF auch ganz merkwürdige Formen annehmen. So gibt es beispielsweise einfach geknickte und doppelt geknickte PAF. Hier behandeln wir nur die zwei folgenden E- lementartypen mit den daraus ableitbaren Erlösfunktionen. Das sind die horizontale PAF und die fallende PAF. Dahinter stehen zwei verschiedene Einschätzungen und Einstellungen einer Unternehmung zu einer eigenständigen Preispolitik. Ein Beispiell mag die unterschiedlichen Entscheidungssituationen verdeutlichen. Beispiel: Sie planen den Verkauf von Aktien. Wie kann der Zusammenhang zwischen Ihrer Verkaufsmenge und dem Preis (Aktienkurs) aussehen? Im ersten Fall besitzen Sie nur ein paar wenige Aktien einer AG. Sie können ruhig davon ausgehen, dass Ihre kleine Verkaufsmenge den Aktienkurs nicht beeinflusst. Also ist der Aktienkurs in Ihrer Planung eine von außen vorgegebene Größe (ein Datum), und Sie können lediglich entscheiden, welche Menge Sie zum herrschenden Kurs gerne verkaufen möchten (Mengenanpassung). Weil der Preis in Ihrer Planung eine konstante Größe ist, hat Ihre PAF im Diagramm einen horizontalen Verlauf (Abbildung 5 links-oben). Fortsetzung des Beispiels: Im zweiten Fall besitzen Sie ein sehr großes Aktienpaket einer AG. Sie müssen nun damit rechnen, daß Ihre Verkaufsmenge sehr wohl einen spürbaren Einfluss auf den Aktienkurs ausübt. Der Preis ist in Ihrer Planung kein Datum, sondern eine variable Größe, wobei Sie normalerweise unterstellen werden, dass eine größere Verkaufsmenge den Kurs drückt. Umgekehrt formuliert: Eine größere Menge werden Sie vermutlich nur zu einem geringeren Preis verkaufen können. Im Preis-Mengen-Diagramm zeigt Ihre PAF nun einen fallenden Verlauf. (Abbildung 6 oben). Typ I: Horizontale Preis-Absatz-Funktion Eine horizontale PAF drückt aus, dass ein Unternehmen den herrschenden Marktpreis als ein Datum betrachtet und die Strategie der Mengenanpassung betreibt (Abbildung 5 links). Bei einer höheren Preisforderung schwindet der eigene Absatz auf Null. Bei einem niedrigeren Preis kann die gesamte (winzige) Menge abgesetzt werden; dies ist aber auch zum herrschenden Marktpreis möglich. In diesem Fall ist die Erlösfunktion eine Ursprungsgerade mit dem Preis als Steigung (= Grenzerlös). Das Erlösmaximum liegt an der Kapazitätsgrenze. Typ II: Fallende Preis-Absatz-Funktion Eine fallende PAF drückt aus, dass ein Unternehmen davon ausgeht, dass es eine höhere Menge nur zu einem geringeren Preis absetzen kann. Stellvertretend für die vielen möglichen Funktionsverläufe unterstellen wir den einfachsten Fall; das ist eine linear fallende PAF. Dann ist die Erlösfunktion eine gleichseitige Parabel mit einem Maximum in der Mitte (Abbildung 5 rechts). Die Grenzerlösfunktion ist ebenfalls linear und hat dem absoluten Betrag nach eine doppelt so große Steigung wie die PAF. 4 Gewinnverlauf Eines der wichtigsten Ziele privater Unternehmen ist das Gewinnstreben. (Kostendeckung kann allenfalls ein Minimalziel darstellen.) Als relevante Entscheidungskriterien kommen der Gesamtgewinn (G) und der Stückgewinn (g) in Betracht. Sie ergeben sich als Differenz aus Erlös und Kosten bzw. Preis und Stückkosten. Ein Datum ist eine ökonomische Größe, die in der eigenen Planung als von außen vorgegeben und durch eigene Aktionen unbeeinflussbar angenommen wird. Alle Daten zusammen bilden den Datenkranz der Planung. (Selbstverständlich können sich Daten ändern.) G = E K g = p k G = g x Gewinn = Erlös Kosten Stückgewinn = Preis Stückkosten Gewinn = Stückgewinn Menge 4a 4b

Gewinnmaximum Das gewinnmaximale Menge (kurz: Gewinnmaximum) liegt dort, wo Grenzerlös und Grenzkosten übereinstimmen. Dies gilt unabhängig von der Gestalt der PAF. Aus G = E K folgt als notwendige Bedingung: G = E K = oder: E = K Aus der Kombination von zwei Kostenkurven (linear und ertragsgesetzlich) und zwei Erlöskurven (linear und parabelförmig) ergeben sich eigentlich vier Grundtypen. Die ertragsgesetzlichen Kosten wollen wir jetzt aber nicht weiter behandeln. So verbleiben nur noch die beiden zwei Fälle mit linearen Kosten. Kombination A-I: Lineare Kosten und horizontale PAF Die Kombination aus linearen Kosten und horizontaler PAF ist der einfachste Fall (vgl. Abbildungen 6). Bei kleinen Mengen müssen Verluste hingenommen werden, weil wegen der Fixkosten die Erlöse zunächst noch kleiner sind als die Gesamtkosten. Ab einer bestimmten Menge entstehen Gewinne. Diese Gewinnschwelle heißt Break-Even-Punkt (BEP) und wird etwas später noch ausführlicher behandelt. Das Erlösmaximum und auch das Gewinnmaximum liegen an der Kapazitätsgrenze. Kombination A-II: Lineare Kosten und fallende PAF Die Kombination aus linearen Kosten und linear fallender PAF sieht etwas komplizierter aus. Auch hier ergibt sich eine Gewinnschwelle. Die Gewinne erreichen aber später ein Maximum und nehmen dann wieder ab. Das Gewinnmaximum wird vor dem Umsatzmaximum erreicht. Es liegt bei jener Menge, wo sich Grenzerlös- und Grenzkostenkurve schneiden (Punkt C in Abbildung 7 unten). Dieser Punkt wird auch als COURNOT scher Punkt bezeichnet. Die gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination wird durch die Koordinaten von Punkt M auf der PAF repräsentiert. Rechenbeispiel (Abbildung 7) Gegeben sind: PAF: p = 2 2x Kosten: K = 14 + 4x Wir bestimmen zunächst E, danach E und K E = p x = 2x 2x 2 E = 2 4x K = 4 Aus der Bedingung für das Gewinnmaximum (E = K ) folgt 2 4x M = 4 x M = 4 Diese Menge in die PAF eingesetzt ergibt den gewinnmaximierenden Preis p M = 12 Aus dieser Preis-Mengen-Kombination lassen sich dann leicht die Höhe der Erlöse, der Kosten und der Gewinne (insgesamt und pro Stück) berechnen. Abbildung 6: Lineare Kosten - Horizontale Preis-Absatz-Funktion p = 4 (PAF) Abbildung 6a E = 4x 5 E = 4 K f = 12 K v = 2x 4 K = 12 + 2x Erlös k v = K = 2 3 k = 2 + 12:x Kosten G = -12 + 2x 2 g = -12:x + 2 Tabelle 6a 1 x E Kf Kv K G Gewinn 1 4 12 2 14-1 2 8 12 4 16-8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 3 12 12 6 18-6 4 16 12 8 2-4 -1 5 2 12 1 22-2 6 24 12 12 24-2 7 28 12 14 26 2 8 32 12 16 28 4 Abbildung 6b 9 36 12 18 3 6 1 4 12 2 32 8 Tabelle 6b x p E K k g 4 4, 2, 1 4 4, 2, 14, -1, 2 4 4, 2, 8, -4, 3 4 4, 2, 6, -2, 4 4 4, 2, 5, -1, 5 4 4, 2, 44, -4, 6 4 4, 2, 4,, 7 4 4, 2, 37,1 2,9 8 4 4, 2, 35, 5, 9 4 4, 2, 33,3 6,7 1 4 4, 2, 32, 8, 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-2 -3-4 Preis Grenzkosten Stückkosten Stückgewinn 5a 5b

Abbildung 7: Lineare Kosten - Fallende Preis-Absatz-Funktion p = 2-2x Abbildung 7a E = 2x - 2x 2 E = 2-4x 8 K f = 24 K v = 4x K = 24 + 4x k v = K = 4 k = 4 + 24/x 6 4 K G = -24 + 16x - 2x 2 g = -24:x + 16-2x 2 E Tabelle 7a x E K f Kv K G 24 24-24 1 18 24 4 28-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 32 24 8 32 3 42 24 12 36 6-2 G 4 48 24 16 4 8 5 5 24 2 44 6 6 48 24 24 48-4 7 42 24 28 52-1 8 32 24 32 56-24 Abbildung 7b 9 18 24 36 6-42 1 24 4 64-64 24 Tabelle 7b 2 x p E K k g 2 2, 4, 16 1 18 16, 4, 28, -1, PAF 2 16 12, 4, 16,, 12 3 14 8, 4, 12, 2, 4 12 4, 4, 1, 2, 5 1, 4, 88, 12, 8 k E' 6 8-4, 4, 8,, 7 6-8, 4, 74,3-14,3 4 8 4-12, 4, 7, -3, g 9 2-16, 4, 66,7-46,7 1-2, 4, 64, -64, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1-4 Abschließend sei noch einmal das Konstruktionsprinzip zur Bestimmung des Gewinnmaximums im Fall der linear fallenden PAF stichwortartig zusammengefasst. Schritte zur grafischen Ableitung des Gewinnmaximums Lineare PAF zeichnen Menge halbieren und Grenzerlösgerade E zeichnen. Grenzkostenkurve K einzeichnen. Schnittpunk von E und K ergibt die gesuchte Menge. Für diese Menge über die PAF (nicht über E!) den Preis bestimmen. Es wird zugleich deutlich, dass für das Gewinnmaximum allein der Schnittpunkt von Grenzerlös und Grenzkosten relevant ist. Wie etwa die Grenzkosten vorher oder nachher verlaufen ist dafür unerheblich. So kann man anstelle der linearen auch nichtlineare ( irgendwie steigende) Grenzkosten problemlos verwenden, also das Lösungsprinzip ohne Schwierigkeiten beispielsweise auf einen ertragsgesetzlichen Kostenverlauf übertragen: Man zeichnet im 3. Schritt einfach eine U-förmige Grenzkostenkurve, das ist alles. 2.4.5 Deckungsbeitrag Gewinnstreben und Kostendeckung können auch mit Hilfe des Begriffs Deckungsbeitrag formuliert werden. Grundlage ist die bekannte Trennung in fixe Kosten und variable Kosten. Mit Deckungsbeitrag wird die Differenz zwischen produktspezifischen Erlösen und den variablen Kosten bezeichnet. Der Deckungsbeitrag ist jener Betrag, der nach Abzug der variablen Kosten von den Erlösen übrig bleibt und damit einen Beitrag zur Abdeckung der fixen Kosten liefert. Er wird manchmal auch als Bruttogewinn bezeichnet. DB = E K v db = p k v DB = db x DB = Gesamt-Deckungsbeitrag db = Stück-Deckungsbeitrag Die Gleichungen für den Gewinn und Stückgewinn lassen sich dann wie folgt modifizieren: G = DB K f g = db k f Entspricht der DB genau den Fixkosten, so ist das Minimalziel der Kostendeckung erreicht. Gewinne entstehen erst, wenn der Deckungsbeitrag größer als die Fixkosten ist. 6a 6b

Beispiel: Die fixen Kosten betragen 5, die variablen Stückkosten 2. Bei einer Menge von 1. Stück ergeben sich variable Gesamtkosten von 2., und die fixen Kosten pro Stück liegen bei,5. Die totalen Kosten sind dann 2.5 und 2,5 pro Stück. Bei einem Verkaufspreis von 4 werden 4. Erlöse erwirtschaftet. Der Gewinn ist 1.5 insgesamt und 1,5 pro Stück. Der Deckungsbeitrag von 2. (2 pro Stück) ist größer als die Fixkosten. Die Differenz ist der Gewinn. E = 4. p = 4, K v = 2. k v = 2, DB = 2. db = 2, K f = 5 k f =,5 G = 1.5 g = 1,5 6 Break-Even-Menge Der Grundgedanke der Break-Even-Analyse ist recht einfach: Die Kosten, Erlöse, Deckungsbeiträge und der Gewinn sind von der Herstellmenge abhängig. Bei kleinen Produktionsmengen sind die Stückkosten im Allgemeinen höher als der Verkaufspreis, insbesondere weil die fixen Kosten auf eine geringe Produktionsmenge verteilt werden müssen. Die Deckungsbeiträge reichen noch nicht, den Fixkostenblock vollständig abzudecken; es entstehen Verluste. Mit steigender Menge verbessert sich die Situation, weil sich die fixen Kosten auf eine höhere Produktionsmenge verteilen. Die Stückkosten sinken unter den Verkaufspreis, es entstehen Gewinne. Welche Menge mindestens produziert (und verkauft) werden muss, damit kein Verlust eintritt. Diese kritische Menge ist der Break-Even-Punkt ( Gewinnschwelle ). Der Break-Even-Point (Gewinnschwelle) ist diejenige Gütermenge, die produziert und abgesetzt werden muss, um alle Kosten zu decken. Der Break-Even-Point ist jene Produktionsmenge, bei der sämtliche Kosten durch die Erlöse gedeckt werden und der Gewinn folglich gleich Null ist. Dann entspricht der Deckungsbeitrag genau den fixen Kosten. Grafisch liegt die Break-Even-Menge im Schnittpunkt von Erlös- und Kostenkurve, im Schnittpunkt von Gewinnkurve und Nulllinie (Mengenachse), im Schnittpunkt von Fixkosten- und Deckungsbeitragskurve. Die bekannteste Berechnungsformel lautet: Fixe Kosten Break Even Menge = Verkaufspr eis variable Stückkoste n K f x B = p k v Beispiel: Bei der Produktion von Leinentaschen fallen 5. fixe Kosten und,5 variable Stückkosten an. Der erzielbare Preis liegt bei,75. Der Deckungsbeitrag von,25 pro Stück führt dazu, dass bei einer Menge von 2. Leinentaschen die Gewinnschwelle erreicht wird. Abbildung 8: Break-Even-Menge Preis 16. 14. 12. 1. 8. 6. 4. 2. Menge 5 1 15 2 25-2. -4. Erlös Kosten Deckungsbeitrag Gew inn Fixkosten Gewinn Abbildung 8 zeigt die grafische Bestimmung der Break-Even-Menge anhand von konkreten Zahlen. Dabei ist unterstellt, dass die variablen Stückkosten und der Verkaufspreis jeweils konstant sind. In diesem Fall verlaufen die Kostenkurve und die Erlöskurve linear. Beispiel (Abbildung 8) Die fixen Kosten betragen K f = 2. und die variablen Stückkosten k v = 4. Der Verkaufspreis sei p = 6. Die Kosten- und Erlösfunktionen lauten somit. K = 2. + 4x und E = 6x Hieraus ergeben sich folgende Gleichungen für den Gewinn und den Deckungsbeitrag. DB = 2x und db = 2 G = 2x 2. Beim Stückdeckungsbeitrag von db = 2 und fixen Kosten von K f = 2. liegt die Break-Even-Menge bei x B = 1. 7a 7b

Übungsaufgabe 1 Gegeben sei die lineare Kostenfunktion: K = 3 + 8x Die Kapazitätsgrenze sei x max = 2. a) Bestimmen Sie die Gleichungen für die fixen Kosten, variablen Kosten, Stückkosten, fixen Stückkosten, variablen Stückkosten und Grenzkosten. b) Zeichnen Sie den Verlauf der Gesamtkosten (1. Diagramm) sowie der Stückkosten und Grenzkosten (2. Diagramm). c) Berechnen Sie für x = 5 und x = 15 die Höhe der in a) genannten Kostenarten. d) Berechnen Sie für x = 5 und x = 15 die Kostenelastizität. Übungsaufgabe 2 Die Funktion lautet: x = 6. Liter Heizöl/Tag. a) Interpretieren Sie diese Funktion als Nachfragefunktion und als Preis- Absatz-Funktion. Worin besteht der Unterschied? b) Zeichnen Sie die Funktion in ein Diagramm. Übungsaufgabe 3 Die Preis-Absatz-Funktion lautet: x = 5 2p. a) Zeichnen Sie die PAF in ein Diagramm. b) Ermitteln und zeichnen Sie die entsprechende Erlösfunktion E = f(x). c) Bestimmen und zeichnen Sie die Grenzerlös-Funktion. Übungsaufgabe 4 Kleinunternehmen G stellt Gartenzwerge her. Die fixen Kosten belaufen sich auf 2., die variablen Stückkosten auf 5. Pro Monat können maximal 1 Gartenzwerge produziert werden. Der Verkaufspreis von 1 ist von der Geschäftsleitung aus strategischen Gründen fest vorgegeben. Bei einem höheren Preis sind keine Gartenzwerge zu verkaufen, da die Kunden dann sofort bei der Konkurrenz bestellen, die gleichwertige Produkte zu 1 anbietet. Ein niedrigerer Preis würde von der übermächtigen Konkurrenz als Signal zu einem Preiskampf angesehen, was Kleinunternehmen G wahrscheinlich nicht überleben würde. a) Zeichnen Sie in ein Diagramm den Verlauf der Gesamtkosten, der Erlöse und der Gewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. b) Zeichnen Sie in ein weiteres Diagramm den Verlauf der PAF, der Grenzerlöse, der Stückkosten, der Grenzkosten und der Stückgewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. c) Bestimmen Sie das Gewinnmaximum und das Umsatzmaximum. Zeichen Sie diese Punkte in beide Diagrammen ein. d) Berechnen Sie algebraisch den Break-Even-Point (BEP), e) Es sei geplant, die Menge x = 7 herzustellen und zu verkaufen. Wie hoch sind Erlös, Kosten, Gewinn, Stückkosten, Stückgewinn und Umsatzrentabilität? f) Nehmen wir einmal an, der Preis falle auf p = 6. Welche Entscheidung soll das Unternehmen treffen, wenn 1) die Preise in absehbarer Zeit wieder steigen? 2) die Preise auf Dauer nicht wieder steigen? Übungsaufgabe 5 Tischlerei T produziert Tischbeine aus Holz. Die fixen Herstellkosten betragen 5.. Weiterhin fallen konstante variable Stückkosten in Höhe von 15 an. Die Kapazitätsgrenze liegt bei 1.8 Stück. Aus Marktuntersuchungen ist folgende Preis-Absatz-Funktion (PAF) bekannt: PAF: p = 4,25x a) Zeichnen Sie in ein Diagramm den Verlauf der Gesamtkosten, der Erlöse und der Gewinne. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. b) Zeichnen Sie in ein weiteres Diagramm den Verlauf der PAF, der Grenzerlöse und der Grenzkosten. Bestimmen Sie die entsprechenden Gleichungen. c) Berechnen Sie algebraisch das Gewinnmaximum und das Umsatzmaximum. Zeichen Sie diese Punkte in beide Diagramme ein. d) Wie hoch ist die Umsatzrentabilität jeweils im Umsatzmaximum und im Gewinnmaximum? Übungsaufgabe 6 Für die Herstellung von Teppichboden spezieller Abmaße und Güte betragen die fixen Kosten 2.. Die variablen Stückkosten betragen 12 /qm. Auf dem Markt wird ein Preis von 2 /qm erzielt. Bei welchem Absatz wird die Gewinnschwelle erreicht? Übungsaufgabe 7 Unternehmen M produziert Maskottchen aus Stahl. Die fixen Herstellkosten betragen 21. Weiterhin fallen konstante variable Stückkosten in Höhe von 2 an. Aus Marktuntersuchungen ist die Mengen-Preis-Funktion bekannt: x = 12,1p a) Bestimmen Sie algebraisch den Break-Even-Point. b) Welche Menge verkauft M zu welchem Preis, wenn der Gewinn maximiert wird? Bestimmen Sie algebraisch und grafisch die gewinnmaximale Preis- Mengen-Kombination. Hinweis: Zur grafischen Lösung reicht eine Darstellung mit der PAF, der Grenzerlös- und Grenzkostenkurve. c) Wie hoch sind bei x = 6 Grenzkosten und Grenzerlös. Welche Schlussfolgerung lässt sich aus dem Vergleich beider Werte ziehen? d) Gegenwärtig verkauft der Monopolist die Menge x = 3 zum Preis von p = 9. Welchen Wert hat in dieser Ausgangslage die Preiselastizität der Nachfrage? e) Wie hoch ist gegenwärtig die Umsatzrentabilität? 8a 8b