Licht und Strahlung Wir haben im vergangenen Semester die Wärmestrahlung kennengelernt und dabei festgestellt, dass es sich dabei um eine Form von Licht handelt Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen dieser Form von Licht und der als elektromagnetische Strahlung bezeichneten Form von Licht? Wärmestrahlung einer Lampe Schwarzer Körper Photonengas
Wärmestrahlung eines schwarzen Körpers Intensität I = σt 4 Strahlungsleistung [W/(m 2 Hz)] T = 500 K T = 1000 K T = 1500 K T = 2000 K T = 2500 K Frequenzabhängig Wiensches Verschiebungsgesetz 0 1 2 3 4 5 6 Frequenz ν [10 14 Hz]
0,5-0,5-1 0 π/2 π 3π/2 Schwarzkörperstrahlung Mit dem nun erworbenen Wissen 1 wollen wir uns die Strahlung eines schwarzen Körpers noch einmal überlegen Auf einem Leiter 0 würde ein elektrisches Feld sofort ausgeglichen und verschwinden Eine elektromagnetische Welle muss also an der Oberfläche eines Leiters E = 0 aufweisen Die auftretenden Knoten definieren also die erlaubten Wellen im Innern des Hohlköpers In einem fiktiven eindimensionalen Hohlkörper der Länge a folgt mit ν = c/λ und 2a/λ = n gerade ν = cn/2a Im Frequenzintervall dν sind also gerade N(ν)dν = 4a c dν,
Wellen erlaubt, wobei der zusätzliche Faktor 2 aufgrund der Polarisation der Wellen auftritt In einem dreidimensionalen Körper müssen wir uns ebenfalls überlegen, wieviele verschiedene Wellen darin Platz haben Wenn wir für jede Wellenzahl n in x, y und z Richtung eine Zahl n x, n y und n z notieren, so spannen diese wiederum einen Körper auf, in dessen Volumen wir die Anzahl Wellen leicht bestimmen können Sie ist gerade das Volumen der Kugelschale (in der Figur links zwischen der schwarzen und der roten Kugel) Eine Welle braucht in diesem Körper ein Volumen von (c/2a) 3, also müssen wir das Volumen der Kugelschale durch diesen Wert di-
vidieren ( ) 3 2a N(ν)dν = 4πν 2 dν c Nun haben wir aber das Volumen nur in einer Richtung berechnet, es gibt deren aber acht, also lautet das korrekte Resultat N(ν)dν = 8πa3 c 3 ν2 dν wenn wir die Polarisation auch wieder berücksichtigen
Energie im schwarzen Körper Wieviel Energie steckt nun im schwarzen Körper? Wir haben bereits gesehen, dass in der elektromagnetischen Strahlung die Energie sowohl im Magnetfeld wie auch im elektrischen Feld steckt In beiden steckt die Energie kt/2, so dass jede Welle im Durchscnitt einen Energiebeitrag kt liefert Damit ist der spezifische Energieinhalt eines schwarzen Strahlers (Energie pro Kubikmeter) ρ(ν)dν = 8πν2 kt c 3 dν, das Resultat von Raleigh-Jeans In der Wärmelehre (V12) hatten wir gesehen, dass dies zur sog Ultraviolett-Katastrophe führt, der Energiegehalt über alle Frequenzen integriert wird unendlich!
Die Lösung Die Lösung dieses Dilemmas haben wir in der Wärmelehre bereits kurz besprochen, siehe V12 Ein Quantisieren der Energie einer Welle führt zu einer Formel, die auch für kleine Frequenzen endlich bleibt, ρ(ν)dν = 8πν2 c 3 hν e hν/kt 1 dν, das Plancksche Schwarzkörperspektrum Eine Herleitung ist in V12 diskutiert und soll hier nicht wiederholt werden
Das Wiensche Verschiebungsgesetz 10000 K λ max = b/t 5000 K log J [au] 2000 K 1000 K 500 K Rayleigh-Jeans Näherung 200 K 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 Wellenlänge [Å]
Na und? Eine der Konsequenzen der Quantisierung der Energie müsste doch nun sein, dass Licht eine ganz bestimmte Energie hat, die nur von seiner Frequenz oder Wellenlänge und nicht von seiner Intensität abhängt! Bei der Beleuchtung von Körpern wird nun festgestellt, dass diese Elektronen emittieren können Genauere Untersuchungen haben ergeben, dass die kinetische Energie dieser Photoelektronen nicht von der Lichtintensität, sondern von der Frequenz abhängt Nicht jedes Licht vermag Photoelektronen zu erzeugen, es braucht eine Schwellenfrequenz, bzw Schwellenenergie, die sog Austrittsarbeit Die Photoelektronen werden prompt emittiert, was darauf hin deutet, dass das Licht nicht nur energetisch quantisiert ist, sondern auch örtlich Das Licht besteht aus Teilchen!
Der Photoelektrische Effekt 10 05 E kin,max [ev] 15 E max = hν w 0 Der soeben besprochene Tatbestand, der photoelektrische Effekt, erlaubt eine Bestimmung von h Mit E max = hν w 0 erhalten wir h als Steigung der Geraden Millikan hat h mit verschiedenen Stoffen bestimmt und h = 657 10 34 Js erhalten Dieser Wert stimmte gut mit dem von Planck aus Spektren von schwarzen Strahlern bestimmten Wert und dem heutigen Wert 0 2 4 6 ν [10 14 Hz] h = 6626 10 34 Js überein Der Effekt wurde von A Einstein theoretisch erklärt, wofür er 1921 den Nobelpreis erhielt
Alte Übungen Magnetspule Eine Spule mit Induktivität 2 H und Widerstand 10Ω sei wie in der dazugehörenden Figur gezeichnet an eine (widerstandslose) Batterie mit Spannung 100 V angeschlossen a) Der Schalter S befinde sich in Position A Wie groß ist der Endstrom in der Spule, sowie die im Magnetfeld gespeicherte Energie? [10 A, 100 J] b) Nun wird der Schalter in Position B gekippt, was einem Kurzschließen der Spule gleichkommt Nach wie langer Zeit ist der Strom auf 37 % seines ursprünglichen Wertes abgeklungen? [02 s] c) Zeichne den zeitlichen Verlauf des Stromes für beide Fälle auf
U 0 = 100 V A B Schalter S Figur zu Magnetspule R = 10Ω L = 2 H Verschiebungsstrom An einem kreisförmigen Plattenkondensator mit Radius R = 50 mm wird ein elektrisches Feld sehr schnell geändert ( de dt = 1012 V/ms) Das rasch ändernde E-Feld induziert analog zum Gesetz von Faraday ein B-Feld Wir schreiben
analog d l B = α d dt Φ E a) Wie groß ist α? Das Vorzeichen ist positiv (Tip: Dimensionsanalyse) [α = µ 0 ε 0 ] b) Wie lautet der Ausdruck für das induzierte B-Feld innerhalb und ausserhalb des Kondensators? Wo ist B maximal? [B = µ 0ε 0 2 rde dt, B = µ 0ε 0 R 2 de 2 r dt, r = R] c) Wie groß ist der Verschiebungsstrom? Dies ist auch der Strom der in der Zuführung fliesst Wie gross ist das B-Feld an der Oberfläche des Zuführungsleiters (Annahme r = 1mm)? [70 ma, 14 µ T] d) Nun, wieso hat es so lange gedauert, bis die Notwendigkeit des Verschiebungsstromes eingesehen wurde?
Bohrsches Magneton a) Berechne das magnetische Moment eines Elektrons auf einer Kreisbahn mit Radius r [IA = e 2m e l ] b) Nach den Gesetzen der klassischen Quantenmechanik (Bohr sches Atommodell) ist der Drehimpuls l quantisiert: mvr = n h Berechne den Wert des Bohr schen Magnetons µ B (n = 1) Stimmen die Einheiten? [µ B = 927 10 24 J/T] c) Mit Reineisenpermanentmagneten können magnetische Induktionen von bis zu 2 T erzielt werden Wieviele Elektronen pro Atom tragen zu dieser
Magnetisierung bei, wenn man annimmt, ein Elektron könne ein Bohr sches Magneton beitragen? [n 2] RCL Schaltung a) Berechne die totale Impedanz für die in der dazugehörenden Figur abgebildete Schaltung [Z = R + i(ωl 1 ωc )] b) Resonanzfrequenz? [w r = 1 LC ] c) Es ist nützlich, die dimensionslose Grösse ω = ω ω r einzuführen Phasenwinkel als Funktion von ω? [Φ = arctan L/C 1 R (w 1 ω )] d) Den Faktor L/C 1 R im vorigen Resultat schreiben wir als Q = L/C 1 R Stelle für Q = 1, 3, 10, 30 Φ(ω ) und R/ Z graphisch dar Wieso heisst Q oft Qualitätsfaktor?
gur zu RCL-Schaltung 0 Bandpass Die in der dazugehörenden gezeichnete Schaltung ist eine Kombination eines Hoch- und eines Tiefpassfilters
a) Welches Verhältnis V = U 2 U 1 haben die Ausgangsspannung U 2 und die Eingangsspannung U 1 beim gezeichneten Vierpol in Abhaängigkeit von der Frequenz f? b) Bei welcher Frequenz wird V maximal? Wie groß ist V max? [ 500 Hz, 05] 1 = 100kΩ 1 = 1 µf gur zu Bandpass = 10 pf 2 = 100kΩ 1 2