Ferienkurs Analysis 1 1. März 010 Vorlesung: Natürliche Zahlen, Beweistechniken, Intervalle, Abbildungen und komplexe Zahlen Montag, 15.3.010 Marta Krawczyk, Andreas Schindewolf, Simon Filser Inhaltsverzeichnis 1 Vollständige Induktion 1.1 Vorgehensweise.................................................... Beweis 3 Intervalle und Intervallschachtellungen 3 3.1 Denition....................................................... 3 3. Bezeichnungen.................................................... 3 3.3 Intervallschachtelung................................................. 3 4 Abbildungen 4 4.1 Denitionen...................................................... 4 4. Eigenschaften von Abbildungen........................................... 4 4.3 Die Komposition von Abbildungen......................................... 5 4.4 Umkehrabbildung................................................... 5 5 Abzählbarkeit 5 5.1 Mächtigkeit...................................................... 5 5. Abzählbarkeit..................................................... 5 6 Supremum 5 6.1 Schranken....................................................... 5 6. Supremum und Inmum............................................... 5 7 Die komplexen Zahlen C 5 7.1 Denition (Addition und Multiplikation)..................................... 5 7. Konjugation, Betrag, Rechenregeln......................................... 6 7.3 Komplexe Ebene und Polardarstellung....................................... 6 1
1 Vollständige Induktion 1.1 Vorgehensweise Mit der vollständigen Induktion lässt sich eine Folge von Aussagen A(n), n N belegen basierend auf der Annahme, dass eine beliebige Aussage A(n) der Folge wahr ist und daraufhin die folgende Aussage A(n + 1) auch stimmen muss. 1. Induktionsanfang Der Induktionsanfang ist die erste Aussage A(1), die gelten soll. Diese bildet die Basis, auf der die anderen Aussagen aufbauen. Sie muss explizit gezeigt werden. In einzelnen Fällen ist es nötig, für den Induktionsanfang eine von der ersten Aussage verschiedene Aussage zu wählen (z. B. A()). In einem solchen Fall müssen die davor vorangehenden Aussagen separat gezeigt werden.. Induktionsvoraussetzung (auch Induktionsannahme) In der Induktionsvorraussetzung geht man davon aus, dass alle Aussagen bis einschlieÿlich zur Aussage A(n), n N gelten. 3. Induktionsschluss Im Induktionsschluss wird gezeigt, dass die Aussage A(n + 1) wahr ist. Dazu wird die aus der Induktionsvorraussetzung als geltend angenommene Aussage A(n) hergenommen. Beispiel 1: Geometrische Summenformel Die geometrische Reihe ist eine der wichtigsten Reihen. Daher soll die Herleitung ihrer Summenformel hier als Beispiel für einen Beweis durch vollständige Induktion hergenommen werden. Zu zeigen: 1 + x + x +... + x n = n+1 1. Induktionsanfang Zunächst wird geprüft, ob die Formel für n = 1 stimmt. für x 1, n N. (1) 1 + x = = ()(1 + x) = 1 + x. (). Induktionsvoraussetzung Die Induktionsvorraussetzung ist, dass die Formel für alle Fälle 1,..., n gilt. 3. Induktionsschluss Nun ist zu zeigen, dass die Formel, wenn sie schon bis n gilt, auch für n + 1 gültig ist. 1 + x + x +... + x }{{ n +x } n+1 = n+1 +xn+1 = n+1 + ()x n+1 = n+1 + x n+ n+ = n+. aus IV: = 1 xn+1 1 x (3) Beweis In vorherigem Kapitel wurde ein Verfahren dargestellt, mit dem man Beweise durchführen kann: vollständige Induktion. Die Tabelle 1 stellt 6 Standardmethoden vor, um Aussagen zu beweisen. Bezeichnung Beschreibung Direkter Beweis Man kombiniert schon bewiesene Aussagen. Indirekter Beweis Auch Widerspruchsbeweise genannt. Eine Aussage wird widerlegt, indem man zeigt, dass, wenn sie gelten würde, die schon bewiesenen Aussagen falsch wären. Konstruktiver Beweis Die Lösung wird explizit genannt. Nicht-konstruktiver Beweis Man benutzt bestimmte Eigenschaften, um zu zeigen, dass die Lösung existieren muss, ohne sie anzugeben. Vollständige Induktion s. o. Fallunterscheidung Man betrachtet Fälle, die insgesamt alle möglichen Fälle überdecken und von denen jeder eine einfachere Behandlung des Problems ermöglicht. Tabelle 1: Beweistechniken. Es gibt i.a. kein Kochrezept, das ermöglichen würde, jeden Beweis durchzuführen. Hier wird viel Praxis verlangt. Man kann beobachten, wie Leute, die sich auskennen, Beweise konstruieren und versuchen, sich diesen Prozess anzueignen. Das Bild 1 zeigt ein Beispiel dazu.
Abbildung 1: Beweistechniken. Erstmal kann man sich überlegen, ob die zu beweisende Aussage stimmt oder nicht (z.b. wenn die Frage in der Klausur lautet: beweisen Sie oder widerlegen Sie Folgendes...). Wenn sie wahrscheinlich nicht stimmt, dann überlegt man sich, warum und zeigt das (Widerspruchsbeweis). Wenn sie stimmt, versucht man es direkt zu beweisen. Klappt das nicht, kann man versuchen, die Aussage zu negieren und sie durch Widerspruch zu beweisen. Bei Aufgaben, in denen man zeigen muss, dass eine Lösung existiert, kann man die Lösung nden (konstruktiver Beweis). Manchmal bietet sich eine Möglichkeit an zu begründen, warum sie existieren muss (nicht-konstruktiver Beweis). 3 Intervalle und Intervallschachtellungen 3.1 Denition Ein Intervall ist eine Teilmenge einer geordneten Menge, die zwischen zwei Elementen {a,b} dieser Menge enthalten ist. 3. Bezeichnungen a und b heiÿen Randpunkte des Intervalls. Länge eines Intervalls I := b a a, b R, a < b heiÿt I = [a, b] := {x R: a x b} abgeschlossenes I =]a, b[:= {x R: a < x < b} oenes I = [a, b[:= {x R: a x < b} rechts halboenes I =]a, b] := {x R: a < x b} links halboenes Intervall 3.3 Intervallschachtelung Intervallschachtelung ist eine Folge (I n ) n N mit den Eigenschaften: a) I n := I n+1 I n, n N b) ε > 0 n N mit I n < ε Abbildung : Die ersten 4 Glieder einer Intervallschachtelung. 3
Auf dem Bild ist ein Beispiel für eine Intervallschachtelung zu sehen. Laut der Denition ist jedes Intevall I n+1 im Intervall I n enthalten und die Intervalle werden kleiner. R ist vollständig, weil das Intervallschachtelungsprinzip gilt, d.h. Durchschnitt von allen Intervallen nichtleer ist. Ausserdem gilt: ist (I n ) n N eine Intervallschachtelung, dann ist (I n ) einpunktig, d.h. es liegt nur eine reelle Zahl in allen Intervallen. In anderen Worten wenn man die Intervalle beliebig klein macht, konvergiert ihre Länge gegen Null und es gibt genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist. Intervallschachtelung wird gerne in Beweisen benutzt (siehe Übungen). 4 Abbildungen 4.1 Denitionen Seien X, Y Mengen. Eine Abbildung f von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem x X genau ein y Y zuordnet. Das dem x X zugeordnete y Y wird bezeichnet mit y = f(x) und heiÿt das Bild von x unter f. x heiÿt ein Urbild von y unter f. X heiÿt Denitionsbereich von f, Y Bildbereich von f. Achtung: Es muss nicht jedes y Y als Bild eines x X auftreten. n N Abbildung 3: Abbildung oder nicht. Sei X Menge. Die Vorschrift x x( x X)) deniert eine Abbildung X X. Sie heiÿt die Identität auf der Menge X, kurz id X. 4. Eigenschaften von Abbildungen Sei f : X Y eine Abbildung. f heiÿt injektiv genau dann, wenn zu jedem y Y höchstens ein x X existiert mit f(x) = y f heiÿt surjektiv genau dann, wenn zu jedem y Y mindestens ein x X existiert mit f(x) = y f heiÿt bijektiv genau dann, wenn zu jedem y Y genau ein x X existiert mit f(x) = y. a) b) c) Äquivalente Denitionen: f injektiv, wenn x, x Xf(x) = f(x ) x = x f surjektiv, wenn y Y x Xf(x) = y f bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv Abbildung 4: a) Injektivität b) Surjektivität c) Bijektivität. 4
4.3 Die Komposition von Abbildungen Seien f : X Y, g : Y Z Abbildungen. Die Vorschrift x g(f(x))( x X) (4) deniert eine Abbildung X Z, die mit g f bezeichnet wird und Komposition von f und g heiÿt. g f : X Z, (g f)(x) := g(f(x)). Im Allgemeinen gilt g f f g. 4.4 Umkehrabbildung Zu jeder bijektiven Abbildung f : X Y gibt es genau eine Abbildung g : Y X mit f g = id Y und g f = id X. g heiÿt die Umkehrabbildung von f und wird mit f 1. Auch f 1 ist bijektiv, und die Umkehrabbildung von f 1 ist f: (f 1 ) 1 = f (5) 5 Abzählbarkeit 5.1 Mächtigkeit Die Mengen X und Y sind gleichmächtig, wenn eine bijektive Abbildung f : X Y existiert. X hat eine gröÿere Mächtigkeit als Y, wenn Y gleichmächtig zu einer Teilmenge von X ist, dies aber umgekehrt nicht gilt. 5. Abzählbarkeit Die "Abzählung" einer Menge erfolgt durch die natürlichen Zahlen. Wenn jedem Element einer Menge eine andere natürliche Zahl zugewiesen werden kann, ist die Menge abzählbar. Genau dann, wenn eine bijektive Abbildung f : N Y existiert also wenn A und N gleichmächtig sind, ist A abzählbar unendlich. Besitzt A eine gröÿere Mächtigkeit als N, dann ist A überabzählbar (z. B. R). 6 Supremum 6.1 Schranken Eine Menge M R ist nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn sich ein s R nden lässt, für das gilt x s bzw. x s, x M. s ist dann eine obere bzw. untere Schranke. Gibt es für die Menge M ein obere und eine untere Schranke (oben und unten beschränkt) ist M beschränkt. Beispiel 1: M := [1, [ ist eine beschränkte Menge. Dabei sind alle s 1 untere Schranken und alle s obere Schranken. 6. Supremum und Inmum Die gröÿte untere Schranke in dem oberen Beispiel ist s = 1, da die Menge keine kleineren Elemente beinhaltet. Die kleinste obere Schranke ist s =, obwohl sie im Gegensatz zur gröÿten untere Schranke nicht selbst Element der Menge M ist. Dennoch lässt sich keine kleinere obere Schranke nden. Eine kleinste obere Schranke nennt man Supremum (sup M), eine gröÿte untere Schranke Inmum (inf M). 7 Die komplexen Zahlen C 7.1 Denition (Addition und Multiplikation) Eine komplexe Zahl (in karthesischer Darstellung) ist deniert als z = x + iy wobei x = Re(z) = R(z) den Realteil und y = Im(z) = I(z) den Imaginärteil bilden. Die Addition von komplexen Zahlen z 1 und z geschieht komponentenweise, also z 1 + z = x 1 + x + i(y 1 + y ) (6) 5
Abbildung 5: Komplexe Ebene Bei der Multiplikation ist zu beachten, dass die imaginäre Einheit i als 1 deniert ist, also i = 1 gilt. Deshalb ergibt sich für die Multiplikation: 7. Konjugation, Betrag, Rechenregeln z 1 z = (x 1 + iy 1 ) (x + iy ) = x 1 x y 1 y + i(x 1 y + x y 1 ) (7) Für das Rechnen mit komplexen Zahlen benötigt man sehr oft die komplexe Konjugation: z = x iy (8) Dabei wird das Vorzeichen des Imaginärteils umgedreht (in der Praxis dreht man vor jedem i das Vorzeichen um, egal wo es steht, insbesondere auch im Exponenten der e-funktion). Für komplexe Zahlen existiert auch ein Betrag, der ähnlich wie der Betrag von Vektoren im R als z = x + y deniert ist und sich auch durch das Produkt von z mit ihrem Konjugierten schreiben lässt: z = z z = (x + iy)(x iy) = ( x ( y ) + i(xy yx) ) = x + y (9) In der Praxis wird auch der Real- und Imaginärteil oft mit Hilfe des Konjugierten ausgedrückt: Re(z) = 1 (z + z) (10) Im(z) = 1 (z z) i Oft will man eine Zahl auch aufgeteilt in Real- und Imaginärteil darstellen, die ein Bruch mit komplexem Nenner ist. Dazu kann man den Nenner reell machen, indem man mit dem Konjugierten des Nenners erweitert: Beispiel 1: Nenner reell machen 3+4i 1 5i = (3+4i)(1+5i) (1 5i)(1+5i) = 3 0+i(15+4) 1+5 = 17 6 + 19i 6 7.3 Komplexe Ebene und Polardarstellung a x + iy = ax iay (x + iy)(x iy) = ax x + y i ay (11) x + y Da C ein dimensionaler Raum ist, lässt er sich wie der R mit einer Ebene darstellen. Dabei bildet üblicherweise der Realteil die x- und der Imaginärteil die y-achse. Analog zum R lassen sich auch auf der komplexen Ebene Polarkoordinaten einführen, nämlich der Betrag r und die Phase φ. Somit kann man jede Zahl als z = r e iφ (1) schreiben. Wenn man die komplexe e-funktion wieder durch ihren Real- und Imaginärteil ersetzt, ergeben sich genau die geometrischen Zusammenhänge, die man auch im Bild oben erkennen kann: x = r cos(φ) (13) y = r sin(φ) (14) 6
Nach gängiger Konvention wird der Polarwinkel so bestimmt, dass er im Intervall [0, π) liegt (häug ist auch die Konvention φ ( π, π] ), Winkel auÿerhalb dieses Intervalls werden durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von π angepasst, beispielsweise wird 3π zu π. Die Polardarstellung ist in der Praxis sehr hilfreich, besonders, wenn mit Potenzen oder Wurzeln gerechnet wird. Zur Berechnung des Polarwinkels φ verwendet man die Argumentfunktion, die aus dem Verhältnis von Real- und Imaginärteil den Winkel berechnet: arctan( y x ) für x > 0, y 0 arccos( x r ) für y 0 arctan( y x ) + π für x < 0 arg(z) = π arccos( x r ) für y < 0 arctan( y = x ) + π für x > 0, y < 0 (15) π für x = 0, y > 0 nicht definiert für r = 0 3π für x = 0, y < 0 nicht definiert für x = y = 0 Auch die Multiplikation vereinfacht sich jetzt zu z 1 z = r 1 r e i(φ1+φ) (16) Bemerkung: Mit Hilfe der Polardarstellung lässt sich der komplexe Logarithmus folgendermaÿen denieren: ln(z) = ln(r) + iarg(z) (17) Weil die Argumentfunktion nur Werte im Intervall [0, π) liefert, ist auch der Imaginärteil des Logarithmus nach dieser Denition darauf beschränkt. Man bezeichnet das als Hauptzweig des Logarithmus. Die Nebenzweige erhält man, wenn man Vielfache von πi addiert oder subtrahiert, die ja in der e-funktion nichts beitragen. (Bemerkung: oft wird der natürliche Logarithmus statt mit ln auch mit log bezeichnet) Beispiel : Sinus und Cosinus Aus der Darstellung der komplexen e-funktion durch trigonometrische Funktionen (Eulersche Identität) e ix = cos(x) + i sin(x) (18) Lässt sich die bekannte Darstellung von Sinus und Cosinus herleiten: Der Realteil der e-funktion ist der Cosinus, der sich als cos(x) = 1 (eix + e ix ) (19) schreiben lässt, der Imaginärteil entspricht dem Sinus: sin(x) = 1 i (eix e ix ) (0) Es mag am Anfang seltsam erscheinen, warum die e-funktion wirklich als Sinus und Cosinus geschrieben werden kann. Über die Reihendarstellung von e-funktion, Sinus und Cosinus kann man jedoch zeigen, dass beides tatsächlich identisch ist. Beispiel 3: Polardarstellung Die Polardarstellung einer komplexen Zahl kann man wie folgt bestimmen: 1 + 5i = 1 + 5 e iarg(1+5i) = 169e iarg(1+5i) = 13exp ( iarccos( 1 13 )) Beispiel 4: Potenz Über die Polardarstellung lassen sich auch Potenzen schneller berechnen: (1 + i) 10 = ( exp(i π 4 )) 10 10 = exp(10 i π 4 ) = 5 exp(i 10π 4 ) = 3exp(i π ) = 3i Im vorletzten Schritt wurde verwendet, dass exp(i 5π ) = exp(i π ) ist. 7
Beispiel 5: Wurzeln von komplexen Zahlen z = 4 + 4i z = ± 4 + 4i = ± 4 exp(i π 4 ) = ± 4 exp(i π 8 ) Man kann aber auch mit der algebraischen Darstellung rechnen: z = 8 + 6i x y + ixy = 8 + 6i An dieser Stelle verwendet man die lineare Unabhängigkeit von Real- und Imaginärteil, um Gleichungen zu erhalten: x y = 8, ^ xy = 6 Setzt man die Beziehung x = 3 y in die erste Gleichung ein, erhält man: 9 y y = 8 y 4 8y + 9 = 0 y = 4 ± 16 + 9 = { 1 9 y ist zwar der Imaginärteil, aber trotzdem nur eine reelle Zahl, deshalb muss das Quadrat positiv sein. Also ist y = ±1 und somit x = ±3. Das Ergebnis lautet damit: z = ±(3 + i). 8