Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017 Serie 7 Abgabe: Dienstag, 25. April 12 00 Kennlinie = characteristic (curve, line) Strom = (electric) current Der Widerstand = the resistor Knotenregel = current law Halbleiter = semiconductor Driftgeschwindigkeit = drift speed/velocity Spannung = voltage Stromstärke = current, amperage Widerstand(-wert) = resistance (value) Maschenregel = voltage law Isolator = insulator Leitfähigkeit = conductivity Allgemeine Fragen 1. Was besagt das Ohm sche Gesetz und für welche Materialien gilt es nicht? Zeichne die Kennlinie V (I) für einen Ohm schen und für einen nicht Ohm schen Widerstand. Georg Simon Ohm fand für viele Leiter einen linearen Zusammenhang zwischen Strom I und Spannung V : I V oder als Ohm sches Gesetz V = R I. (0.1) Das Ohm sche Gesetz ist zwar gut erfüllt für Metalle und Elektrolyte bei konstanter Temperatur, jedoch in den meisten Fällen stellt es nur einen, wenn auch bedeutenden, Spezialfall dar und gilt nicht für Elemente mit nichtlinearer Strom-Spannungs-Kennlinie. Diese Kennlinie stellt den Zusammenhang zwischen der Spannung als Ursache für den Ladungstransport und der Stromstärke als Wirkung dar und ist in Abbildung 1 für einige elektronische Elemente dargestellt. Dabei folgen nur die ersten zwei Kennlinien dem Ohm schen Gesetz. Abbildung 1: Kennlinien verschiedener elektronischer Bauteile (aus Wikipedia). 2. Vergleiche die Definition der elektrischen Stromstärke I und der Stromdichte j e mit den entsprechenden Definitionen aus der Hydrodynamik. Die Definition der Stromstärke und der Stromdichte lautet: I = dq dt = j e da. (0.2) Der elektrische Strom kann als bewegte Ladung gesehen werden. Im Vergleich zum Teilchenstrom: dn dt = j T da. (0.3) A A 1

3. Was besagt das Kirchhoff sche Gesetz und wie wird es angewendet? Knotenpunktsatz (Knotenregel) In einem Knotenpunkt eines elektrischen Netzwerkes ist die Summe der zufliessenden Ströme gleich der Summe der abfliessenden Ströme. Es herrscht also Ladungserhaltung in einem Knoten. n I k = 0. (0.4) k=1 Abbildung 2: Knotenregel: die Summe der Ströme I 1 bis I 6 ergibt 0 (Achtung, Vorzeichen beachten). Maschensatz (Maschenregel) Alle Teilspannungen eines Umlaufs bzw. einer Masche in einem elektrischen Netzwerk addieren sich zu null. Wir haben also Energieerhaltung. n V k = 0. (0.5) k=1 Abbildung 3: Maschenregel: die Summe der Spannungen V 0 bis V 5 ergibt 0 (Achtung, Vorzeichen beachten). Die Maschenrichtung sollte immer miteingezeichnet werden, damit die Vorzeichen der Spannungen richtig gewählt werden. Dabei ist es egal, in welche Richtung die Maschen aufaddiert werden. 4. Versuche mikroskopisch zu erklären, wie Joule sche Wärme zustande kommt. Freie Ladungen im Leiter werden beschleunigt, wenn eine Spannung angelegt wird. In einem vereinfachten Bild betrachtet bewegt sich die Ladungen gegen eine Reibungskraft, welche proportional zu ihrer Geschwindigkeit ist. Sie stossen dabei gegen andere Ladungen und gegen Atomrümpfe (Random Walk) und werden gebremst, was als Reibungskraft gesehen werden kann. Dabei wird kinetische Energie übertragen, die Joule sche Wärme. Sie ist sozusagen der Verlust an kinetischer Energie der Elektronen, welche mittels Energieerhaltung berechnet werden kann: Q J = q V 1 2 m qv 2 D. (0.6) 2

5. Wie gross ist die Joule sche Wärmeleistung in einem gegebenen Widerstand R, ausgedrückt nur in Funktion des Stromes, bzw. nur in Funktion der Spannung? P = V I = I 2 R = V 2 6. Was passiert mit den freien Elektronen in einem Leiter wenn eine Spannung angelegt wird? Wieso werden die Ladungsträger im elektrischen Feld nicht auf beliebig hohe Geschwindigkeiten beschleunigt? Auf freie Elektronen in einem Leiter wirkt, wenn eine Spannung angelegt wird, eine Kraft und damit eine Beschleunigung: a = e V m e. (0.8) Die Geschwindigkeit der Elektronen ist durch die Spannung begrenzt, was mittels Energieerhaltungssatz leicht nachvollziehbar ist: 2eV v =. (0.9) m e Zusätzlich werden die Elektronen durch den Widerstand gebremst. Ähnlich wie bei der Reibungskraft, ist die Kraft des Widerstandes proportional zur Geschwindigkeit. Im Gleichgewicht der Kräfte bewegen sich die Elektronen mit der Driftgeschwindigkeit v D O(mm/s). 7. Diskutiere die Leitfähigkeit und ihre Temperaturabhängigkeit von Metallen, Halbleitern, Isolatoren und Supraleitern. - Metalle gehören zur Gruppe der Kaltleiter. Ihr Widerstand erhöht sich bei hohen Temperaturen. - Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern ist auch stark temperaturabhängig. In der Nähe des absoluten Temperaturnullpunkts sind Halbleiter Isolatoren. Die elektrische Leitfähigkeit von Halbleitern nimmt mit steigender Temperatur zu, sie gehören damit zu den Heissleitern. -Isolatoren leiten im Allgemeinen nicht. Erst bei sehr hohen Temperaturen ist der Widerstand gering genug, damit Strom fliessen kann. - Supraleiter sind Materialien, deren elektrischer Widerstand beim Unterschreiten der sogenannten Sprungtemperatur auf Null abfällt. Sie gehören damit zu der Klasse der Kaltleiter. Hochtemperatur Supraleiter haben eine Sprungtemperatur von bis zu 133 K (der momentane Rekordhalter bei 133 K und Normaldruck wurde 1993 von Andreas Schilling et al. (http://dx.doi.org/10.1038/363056a0 ) entdeckt). 8. Vergleiche die Leitungsmechanismen in Metallen und die Ionenleitung in Flüssigkeiten. Wie unterscheiden sie sich? Wie hängen die Leitfähigkeiten in beiden Fällen von der Temperatur ab? In Metallen tragen die freien Elektronen zum Strom bei. Wie schon erwähnt, gehören Metalle zu den Kaltleitern. In Flüssigkeiten tragen alle geladenen Teilchen, auch die positiven, zur Leitfähigkeit bei. Dabei tragen positive und negative Ladungen im Allgemeinen unterschiedlich zur Leitfähigkeit bei (Grössenunterschied der Ionen). In Gasen, en und Elektrolyten ist der Widerstand stark temperaturabhängig, da dort die Beweglichkeit der Ionen und die Anzahl der Ladungsträger mit steigender Temperatur stark zunimmt. In der Regel steigt die Ladungsträgerbeweglichkeit wegen der Abnahme der Viskosität des smittels mit der Temperatur (Leitfähigkeit ist proportional zur Ladungsbeweglichkeit). Der Widerstand wird kleiner weil die thermische Energie der Ionen bei steigender Temperatur zunimmt und es weniger zusätzliche Energie braucht um die Ionen räumlich zu trennen. R (0.7) 3

Aufgaben 1 Ladung der Erde [1P] Die Erde ist bei wolkenlosem Himmel nahe ihrer Oberfläche von einem elektrischen Feld der Grösse E 150 V/m umgeben, das an jedem Punkt nach innen zeigt (Durchschlagsfestigkeit von Luft ist 3 kv/mm). Bei Gewitter entstehen aufgrund der Ladungstrennung in den Wolken höhere Felder bis 35 kv/m. Wie gross ist die gesamte Ladung auf der Erde bei wolkenlosem Himmel und bei Gewitter (Annahme: es herrsche auf der ganzen Erde blauer Himmel oder Gewitter)? Antwort als Formel und in Zahlen. Wir lösen die Aufgabe mit dem Satz von Gauß. E da = E dv = S V V ρ Q dv = (1.1) ε 0 ε 0 mit S als geschlossene Kugelfläche. Diese Wahl führt aus Symmetriegründen einerseits dazu, dass das elektrische Feld senkrecht zur Kugelschale, aber antiparallel zum Flächenelementsvektor da, verläuft und andererseits, dass die Feldstärke konstant über S ist. Somit folgt: E ε 0 da = E ε 0 4π RErde 2 = Q (1.2) S Das negative Vorzeichen kommt durch die Antiparallelität zustande. Mittels Einsetzen der Variablen (R Erde = 6 378 195 m) erhalten wir: Q wolkenlos = 6.78 10 5 C, Q Gewitter = 1.58 10 8 C. Die Erde hat somit nahe der Oberfläche gemäss dieser Betrachtung eine negative Netto-Ladung. Die Erde verfügt über einen gigantischen Vorrat an leicht beweglichen Elektronen. Dadurch wird jeder Ladungsunterschied unmittelbar ausgeglichen und ein elektrisches Aufladen der Erde, selbst bei Kontakt mit grösseren Ladungsmengen, ist unmessbar klein. Die Erde kann daher stets als elektrisch neutral betrachtet werden. 2 Potentielle Energie im Plattenkondensator [2P] Leiten Sie die potentielle Energie, die in einem mit Q 0 geladenen Plattenkondensator gespeichert ist, als Funktion von Q 0 und der Kapazität C her. Berechnen Sie zuerst die notwendige Energie um eine kleine Ladung dq vom einen Pol zum anderen hinaufzustossen. Setzen Sie dabei das elektrische Feld E in Funktion der Gesamtladung Q ein. Integrieren Sie dann das Resultat von Q = 0 bis Q = Q 0. Das elektrische Feld eines Plattenkondensators ist E = V d, wobei V die Spannung und d der Abstand zwischen den beiden Platten ist. Laut Definition gilt für die Kapazität eines Plattenkondensators C = Q V. Dies ergibt für das elektrische Feld und die Kraft auf eine Testladung q: E = Q C d F = q E = q Q C d. (2.2) Da nun aber die Testladung q genau die Ladung ist, die von einer Platte zur anderen geschoben wird, gilt q dq. Für die Arbeit wissen wir, dass dw = F d s gilt. Der zurückgelegte Weg der Ladung ist der Abstand d zwischen den beiden Kondensatorplatten. Also ist (2.1) W q=dq = F d = Q C dq. (2.3) 4

Dies ist aber erst die gespeicherte Energie für EINE Teilladung dq. Wollen wir die gesamte Ladung berücksichtigen, müssen wir die Arbeit noch über die gesamte Ladung integrieren und erhalten wie erwartet: E pot = W = Q0 0 Q C dq = 1 2 Q2 0 C. (2.4) 3 Batterie [2P] (a) (b) [1P] Wie lange brauchen die Elektronen, um von einer Autobatterie zum Motoranlasser zu kommen und welcher Elektronen-Driftgeschwindigkeit entspricht dies? Wir nehmen an, dass der Anlasserstrom I = 300 A beträgt und die Elektronen durch eine Kupferleitung (Dichte ρ Cu = 8.9 g/cm 3, Molmasse M Cu = 63.54 g/mol, spez. Widerstand ρ spez = 1.6 10 8 Ωm) mit Querschnitt A = 0.21 cm 2 und Länge x = 0.85 m fliessen. Weiter nehmen wir an, dass jedes Kupferatom ein freies Elektron besitzt, das zur elektrischen Leitung beiträgt. [1P] Wie gross ist der Betrag der Feldstärke E entlang des Drahtes? Wieviel Energie wird innerhalb eines Startvorganges von t = 5 s Dauer in thermische Energie E therm umgewandelt? (a) Wir verwenden die Formel 0.2 um einen Ausdruck für die Zeit zu bekommen, welche die Elektronen brauchen: I = dq dt. (3.1) Daraus folgt: t = Q I = n e x A. (3.2) I Wobei n die Ladungsträgerdichte ist. Mit der Annahme, dass jedes Kupferatom ein freies Elektron besitzt, wird die Ladungsträgerdichte wie folgt berechnet: Eingesetzt in Formel 3.2 ergibt sich: t = n e x A I n = ρ Cu M Cu N A. (3.3) = ρ Cu N A e x A M Cu I = 804 s. (3.4) Ein Elektron braucht also über 13 Minuten um von einem Ende des Kabels zum anderen Ende zu gelangen. Natürlich braucht der Einschaltvorgang nicht so lange (siehe auch allgemeine Frage 6.). Die Driftgeschwindigkeit ergibt sich zu: v D = x t 1 mm/s, (3.5) was mit der Angabe in den allgemeinen Fragen übereinstimmt. (b) Das elektrische Feld kann aus dem Gradienten des Potentials bestimmt werden E = V = (RI) = ( x ) ρ spez A I. (3.6) Daraus lässt sich der Betrag des elektrischen Feldes bestimmen: E = ρ spezi = 0.23 V/m. (3.7) A Die Energie kann aus der Leistung während den 5 s bestimmt werden: E therm = P t = I 2 R t = I 2 ρ spezx t = 291.5 J. (3.8) A 5

4 Der Akkumulator [2P] Beim Entladen eines Akkus (wiederaufladbare Batterie) ist die Klemmspannung V k kleiner als die Leerlaufspannung V 0, beim Aufladen muss sie grösser sein. (a) [0.5P] Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild eines Akkumulators. (b) [0.5P] Wie gross sind Innenwiderstand R i und Leerlaufspannung V 0 eines Akkus, der bei einer Stromentnahme von I 1 = 1 A eine Klemmspannung V k,1 = 5.8 V zeigt, bei I 2 = 3 A noch V k,2 = 5.2 V? Wie gross ist in beiden Fällen der angeschlossene Lastwiderstand R a und welcher Bruchteil der vom Akku abgegebenen Leistung wird zu dessen Erwärmung verbraucht? (c) [0.5P] Wie gross ist der Kurzschlussstrom I k? (d) [0.5P] Wie gross muss der Widerstand R a eines an den Akku angeschlossenen Gerätes sein, damit seine aufgenommene Leistung maximal wird? Wie gross sind dann die Entladungsstromstärke I, die Klemmspannung V k und die vom Gerät aufgenommene Leistung P a? (a) Abbildung 4: Akkumulator mit Leerlaufspannung V 0 und Innenwiderstand R i. Der angeschlossene Verbraucher R a sieht die Klemmspannung V k = V 0 V Ri und gehört nicht mehr zum Akkumulator. (b) Man benutze die Kirchhoffschen Regeln und erhält: Man erhält z.b. durch Einsetzen: Die Lastwiderstände errechnen sich zu: V 0 = R i I 1 + V k,1 (4.1) V 0 = R i I 2 + V k,2. (4.2) R i = V k,1 V k,2 = 0.3 Ω I 2 I 1 (4.3) V 0 = 6.1 V. (4.4) R a,1 = V k,1 I 1 = 5.8 Ω (4.5) R a,2 = V k,2 I 2 = 1.73 Ω. (4.6) 6

Der Akkumulator wird über die im Innenwiderstand dissipierte Leistung aufgeheizt: Bei I 1 = 1 A : Bei I 2 = 3 A : 2 P A,1 R i I 1 = P 2 A,1+a,1 (R i + R a,1 )I = 1 = 4.9% (4.7) 1 1 + Ra,1 R i P A,2 1 = = 14.8%. (4.8) P A,2+a,2 1 + Ra,2 R i (c) Bei einem Kurzschluss ist der Lastwiderstand 0 Ω. Somit ist der Kurzschlussstrom I k = V0 R i = 20.3 A. (d) Die dissipierte Leistung im Lastwiderstand ist P a = R a I 2 mit I = V 0 /(R i + R a ). Also: P a = R av0 2 (R i + R a ) 2 (4.9) dp a 2 R i R a! = V 0 dr a (R i + R a ) 3 = 0 (4.10) R a = R i. (4.11) Wird der Lastwiderstand gleich gewählt wie der Innenwiderstand (R i = R a ), nennt man dies Leistungsanpassung. Andere Anpassungen sind die Spannungsanpassung (R i R a ) und die Stromanpassung (R i R a ). Wir erhalten: Entladestromstärke I = V 0 /(2R i ) = 10.2 A, (4.12) Klemmspannung V k = 1 2 V 0 = 3.05 V, (4.13) Leistung P a = V 0 2 /(4R i ) = 31.0 W. (4.14) 5 Motoren [1P] Betrachte zwei identische Elektromotoren, die in ein Elektroauto für den Antrieb der Vorderräder eingebaut werden sollen. Die beiden Motoren sind mechanisch in Serie geschaltet (beide Motoren greifen auf die gleiche Achse). Wie können sie elektrisch beschaltet werden, um möglichst viele verschiedene Antriebsleistungen zu erhalten? Welche elektrische Gesamtleistung wird bei den unterschiedlichen Beschaltungen verbraucht (wir vernachlässigen jegliche mechanische Verluste sowie den Innenwiderstand der Batterie)? Berechne die Verhältnisse zwischen den einzelnen Leistungsschritten. Der ohmsche Widerstand eines Motors sei R M. Die beiden Motoren können in vier verschiedene Schaltungen beschaltet werden: - kein Motor angeschlossen: kein Antrieb (Leerlauf), P 0 = 0 - Serieschaltung der Motoren: Leistung P 1 - nur ein Motor angeschlossen: Leistung P 2 - Parallelschaltung der Motoren: Leistung P 3 Die entsprechende Leistungen berechnen sich wie folgt: P 1 = V 2 2R M (5.1) P 2 = V 2 R M (5.2) P 3 = V 2 1 2 R. (5.3) M 7

Die Verhältnisse sind dann: P 2 : P 1 = 2 (5.4) P 3 : P 2 = 2. (5.5) Die Umschaltung von Serienschaltung zu Einzelantrieb zu Parallelschaltung ergibt jeweils eine Leistungssteigerung um den Faktor 2. Früher wurde bei elektrischen Gleichstromtrams die Leistung der beiden Fahrmotoren unter anderem dadurch reguliert, indem man die Motoren entweder parallel oder in Serie an die Fahrspannung schalten konnte. 6 Taschenlampe [1P] Eine Taschenlampe wird von einer Batterie betrieben. Nach einiger Zeit zeigt die Batterie Verbrauchserscheinungen, und die ursprüngliche Spannung ist um 20% abgefallen. Wie stark werden Strom und Leistung in der Lampe reduziert (Annahme: Widerstand der Lampe = konstant). Die Spannung V ist um 20% kleiner als V 0 : V 0 = I 0 R 0.8 V 0 = IR I = 0.8 I 0. (6.1) P 0 = V 0 I 0 P = 0.8 V 0 0.8 I 0 = 0.64 P 0. (6.2) Der Strom fällt also auch um 20% ab, während die Leistung um 36% abfällt. 7 Widerstand I [3P] Jeder in der nachfolgenden Schaltung gezeichnete Widerstand hat 1 Ω. Ein Strom von 1 A fliesst durch den letzten Widerstand in der Widerstandskette. (a) (b) [1P] Wie gross ist die Spannung V an der Spannungsquelle? [1P] Wie gross ist der Ersatzwiderstand der Schaltung? (c) [1P] Wie ändert sich der Ersatzwiderstand, wenn ein bzw. zwei weitere Widerstandselemente dazuaddiert werden? Wie gross wäre der Ersatzwiderstand, wenn die Widerstandskette unendlich lang wird? Bemerkung: Beachte Gesetzmässigkeiten ( Folgen). (a) Betrachte ein Widerstandselement (siehe Bild) mit Eingansspannung V n+1 : 8

V n I n I n-1 V n-1 Für die Spannungsabfälle gilt nach der Maschenregel: V n+1 = V n + V n 1, n > 0. (7.1) Analog gilt für die Ströme durch die einzelnen Widerstände, da R = 1 Ω immer gleich ist: I n+1 = I n + I n 1, n > 0 (7.2) mit I 0 = 1 A und V 0 = I 0 R = 1 V. Die Folgen V n und I n nehmen also die Werte der Fibonacci-Folge an: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... Die Spannung an der Spannungsquelle ergibt sich demnach aus V = V 7 + V 6 = V 8 = 34 V. (b) Der Strom I, den die Quelle liefert, ist gleich dem Strom durch Widerstand R 7, somit ist der Ersatzwiderstand für die gesamte Schaltung: R G = V/I = V 8 /I 7 = 1.619 Ω. (7.3) (c) Fügt man einen zusätzlichen Widerstand R 0 1 hinzu, hat man eine Parallelschaltung aus R G und R 0 1 und der neue Ersatzwiderstand ist: ( 1 R G,+1 = + 1 ) 1 = 0.63 Ω. (7.4) R G R 0 1 Fügt man noch einen weiteren Widerstand R 0 2 dazu, bekommt man analog zu (b): R G,+2 = V 0 /I 0 2 = 1.6182 Ω. (7.5) Allgemeiner: das (n + 1)te Glied dividiert durch das nte Glied einer Fibonacci-Folge ist im Limes für unendlich grosse n gleich dem goldenen Schnitt. Somit gilt für eine gerade Anzahl Widerstände: V n+1 R G, = lim = 1 + 5 n I n 2 Ω. (7.6) Für eine ungerade Anzahl Widerstände wird das Ergebnis von R G, gerade zum Kehrwert 2/(1 + 5) Ω. 10. April 2017 9