Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Merton-Modell und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell

Seminar: Grundlagen der Simulation und Statistik von dynamischen Systemen SS 2012 Maximum-Likelihood-Schätzung für das Black-Scholes-Merton-Modell und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Thema 10 Philipp Probst philipp.probst@tu-dortmund.de 19. Juni 2012 Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Statistische Modelle und Methoden 3 2.1 Die stochastische Differentialgleichung.................... 4 2.2 Das Black-Scholes-Merton-Modell....................... 4 2.3 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell......................... 5 2.4 Die Maximum-Likelihood-Schätzung..................... 5 2.5 Die ML-Schätzung bei stochastischen DGLs................. 6 3 Simulationen 7 3.1 Black-Scholes-Merton-Modell......................... 7 3.2 Cox-Ingersoll-Ross-Modell........................... 11 4 Zusammenfassung 13 A Anhang 15 Literatur 25

1 Einleitung 3 1 Einleitung Stochastische Integral- und Differentialrechnung spielen in den Wirtschaftswissenschaften eine immer größer werdende Rolle. Sie kann zum einen zur Modellierung von Finanzmärkten eingesetzt werden, zum anderen baut die moderne Zeitreihenökonometrie darauf auf. Das von Black und Scholes aufgestellte Modell zur Lösung einer stochastischen Differentialgleichung brachte den beiden sogar den Nobelpreis und fand Anwendung auf Aktienmärkten. Es sollte dabei nicht außer acht gelassen werden, dass Finanzmärkte sehr schwierig zu modellieren sind und bestimmte Annahmen wie die, dass die Fluktuationen normalverteilt sind, nicht mit der Realität übereinstimmen. Solche Fehlannahmen haben in der Vergangenheit zu großen Verlusten im Derivatenhandel geführt (Ball, 2004, S.251). Lösungen von anderen stochastischen Differentialgleichungen haben aber nicht nur Anwendungen in der Wirtschaft, das Cox-Ingersoll-Ross-Modell wird beispielsweise auch zur Modellierung von Bevölkerungswachstum oder Stickstoffoxidemissionen verwendet. In der folgenden Arbeit werden in Kapitel 2 zunächst das Black-Scholes-Modell, das Cox- Ingersoll-Ross-Modell sowie die Maximum-Likelihood-Schätzung vorgestellt. Daraufhin werden in Kapitel 3 jeweils konkrete Möglichkeiten zur Maximum-Likelihood-Schätzung der Parameter der beiden Modelle besprochen. Bei den darauf folgenden Simulationen zu den beiden Modellen soll vor allem die Genauigkeit der Schätzungen bei unterschiedlicher Anzahl an Realisierungen oder unterschiedlichen Zeitabständen der aufeinander folgenden Realisierungen ins Auge gefasst werden. Außerdem soll die asymptotische Normalverteilungsannahme der Maximum-Likelihood-Schätzung überprüft werden. In Kapitel 4 werden die wichtigsten Ergebnisse der Simulationen zusammengefasst. 2 Statistische Modelle und Methoden In diesem Kapitel werden die statistischen Modelle und Methoden vorgestellt, die bei den darauf folgenden Simulationen benutzt werden.

2 Statistische Modelle und Methoden 4 2.1 Die stochastische Differentialgleichung Die Differentialgleichung dxt dt = f(t, x) kann als Integralgleichung x t = x a + t a f(s, x(s))ds geschrieben werden (Kuo, 2006, S.185). Wird die Funktion durch eine brownsche Bewegung B t beeinflusst, so ergibt sich die Differentialgleichung dxt dt = f(t, X) + σ(t, X)B t. Diese kann umgeschrieben werden zu dx t = f(t, X)dt + σ(t, X)dB t, die als stochastische Integralgleichung X t = X a + t a f(s, X s)ds + t a σ(s, X s)db(s), a t b interpretiert werden kann. Lösungen X t dieser Gleichungen werden Diffusionsprozesse genannt. In den beiden folgenden Kapiteln werden zwei wichtige stochastische Differentialgleichungen vorgestellt, die sich aus der allgemeinen Form dx t = f(x t, θ)dt + σ(x t, θ)db(t) (1) ableiten lassen. θ Θ R p ist dabei ein unbekannter p-dimensionaler Vektor, der die Funktionen f und σ näher beschreibt und f : R Θ R und σ : R Θ (0, ) seien bekannt und so gewählt, dass (1) eine Lösung besitzt. 2.2 Das Black-Scholes-Merton-Modell Das Black-Scholes-Merton-Modell wird je nach Kontext auch Black-Scholes-Modell oder Modell der brownschen geometrischen Bewegung genannt. Es löst die spezielle stochastische Differentialgleichung dx t = θ 1 X t dt + θ 2 X t db t, X 0 = x 0, θ 1 R, θ 2 R +. (2) (vgl. Iacus, 2008, S.117f). Die zugehörige bedingte Dichtefunktion p θ (t,. x) zum Zeitpunkt t bei gegebenem Wert x ist logarithmisch normalverteilt mit Erwartungswert m(t, x) = xe θ 1t und Varianz v(t, x) = x 2 e 2θ 1t (e θ2 2 t 1). Daraus folgt die bedingte Dichte p θ (t, y x) = 1 θ 2 y 2πt exp { (log y (log x + (θ 1 1 } 2 θ2 2 )t))2. (3) 2θ2t 2

2 Statistische Modelle und Methoden 5 2.3 Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell Das Cox-Ingersoll-Ross-Modell löst die spezielle stochastische Differentialgleichung dx t = (θ 1 θ 2 X t )dt + θ 3 X t db t, X 0 = x 0 > 0, (4) (vgl. Iacus, 2008, S.119), wobei θ 1, θ 2, θ 3 R + sind. Im Falle von 2θ 1 > θ 2 3 ist der Prozess strikt positiv, ansonsten nur nichtnegativ. Die bedingte Dichte Y t Y 0 der Zufallsvariablen Y t = 2cX t mit c = 2θ 2 /(θ3(1 e 2 θ2t )) verhält sich wie eine nichtzentrale χ 2 -Verteilung mit 4θ 1 /θ3 2 Freiheitsgraden und Nichtzentralitätsparameter y 0e θ2t (Iacus, 2008, S.47). Daraus lässt sich leicht die bedingte Dichte von X t X 0 = x 0 berechnen. Das Ergebnis ist p θ (t, y x) = ce u v ( v u) q/2 Iq (2 uv), x, y R + (5) 2θ mit den Parametern c = 2, q = 2θ θ3 2(1 e θ 2 t) 1 1, u = cxe θ2t, v = cy. θ3 2 I q (.) ist dabei die modifizierte Bessel-Funktion ersten Grades q, die sich als I q (x) = ( x 1 k=0 2 )2k+q k!γ(k + q + 1), x R (6) aufschreiben lässt. Γ(.) bezeichnet die Gammafunktion Γ(z) = 0 x z 1 e x dx, z R. 2.4 Die Maximum-Likelihood-Schätzung Seien X 1,..., X n unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f(x 1,..., x n θ) = f(x 1 θ) f(x n θ). θ R k sei dabei ein Parametervektor, der eine bestimmte X 1,..., X n zugrunde liegende Verteilung charakterisiert. Bei einer Realisierung von Werten x 1,..., x n und unbekanntem Parametervektor θ kann die Dichte als eine Funktion in Abhängigkeit von θ aufgefasst werden. Diese Funktion L(θ) = f(x 1,..., x n θ) wird als Likelihoodfunktion bezeichnet (Fahrmeir et al., 1999, S.372f). Sinnvoll ist es dann als Schätzung für θ denjenigen Parameter ˆθ zu wählen, der die Likelihoodfunktion maximiert, also L(ˆθ) = max θ f(x 1,..., x n θ). Letztendlich liefert uns diese Funktion also für die

2 Statistische Modelle und Methoden 6 Zufallsvariablen X 1,..., X n denjenigen Parameter ˆθ, der am plausibelsten erscheint. Die Schätzfunktion ˆθ(x 1,..., x n ), die uns in Abhängigkeit der Realisierungen eine Schätzung für θ liefert, nennt man Maximum-Likelihood-Schätzer. Das Maximum dieser Funktion kann, falls die Funktion differenzierbar ist, durch partielles Ableiten nach θ 1,..., θ n und Nullsetzen der Ableitungen berechnet werden. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Likelihoodfunktion zunächst zu logarithmieren und diese dann zu maximieren, da die Terme oft einfacher abzuleiten sind und das Maximum einer Funktion wegen der strikten Monotonie des Logarithmus auch das Maximum seiner Logarithmierung ist. Diese Funktion l(θ) = ln L(θ) = n ln f(x i θ) wird Log-Likelihood-Funktion genannt. i=1 2.5 Die ML-Schätzung bei stochastischen DGLs Seien x 1,..., x n zeitdiskrete Beobachtungen eines stochastischen Prozesses, der über eine stochastische Differentialgleichung wie in (1) definiert ist. Sei außerdem für jede Beobachtung X 1,..., X n die auf die vorhergehende Beobachtung bedingte Dichtefunktion p θ (t, x i, x i 1 ) mit unbekanntem θ bekannt. Dann kann der Parametervektor θ der stochastischen Differentialgleichung mittels einer Maximum-Likelihood-Schätzung geschätzt werden. Aufgrund der Markov-Eigenschaft von X hat nur die Beobachtung x i 1 einen Einfluss auf x i und die Likelihoodfunktion ist dann gegeben durch n n L(θ) = p θ (t, x i, x 1,..., x i 1 )p θ (x 0 ) = p θ (t, x i, x i 1 )p θ (x 0 ). (7) i=1 i=1 Mittels Logarithmierung lässt sich daraus leicht die Log-Likelihoodfunktion l(θ) = ln(l(θ)) bilden. Problematisch ist hierbei der Wert p θ (x 0 ), da die Dichte zu diesem Zeitpunkt oft nicht gegeben ist. Für eine große Anzahl n an Beobachtungen wird der Einfluss von p θ (x 0 ) so gering, dass er vernachlässigt und auf 1 gesetzt werden kann. Um das Maximum zu erhalten können wie bei der normalen Maximum-Likelihood-Schätzung die partiellen Ableitungen nach θ 1,..., θ n gleich Null gesetzt werden. Unter bestimmten Bedingungen gilt, dass die Maximum-Likelihood-Schätzung konsistent und asymptotisch normalverteilt ist (Iacus, 2008, S.112). Statt die Bedingungen zu überprüfen kann man dies jedoch auch mittels Empirie feststellen. Bei bestimmten bedingten Dichten ist es nur schwer möglich

3 Simulationen 7 mittels analytischer Methoden ein Maximum zu finden. In diesen Fällen können numerische Verfahren wie das L BF GS B angewendet werden, das bereits im vorhergehenden Vortrag beschrieben wurde. 3 Simulationen In den folgenden Simulationen soll von Interesse sein, die Parameter der bedingten Dichten der stochastischen Differentialgleichungen bei gegebenen Realisierungen möglichst gut zu schätzen. Die Realisierungen eines bestimmten stochastischen Prozesse können mit der Funktion sde.sim in R (R Development Core Team 2012) aus dem Paket sde (Iacus, 2009) simuliert werden. Dazu müssen der Drift, der Diffusionskoeffizient und ein Simulationsschema oder die bedingte Dichtefunktion einer bestimmten stochastischen Differentialgleichung angegeben werden. Außerdem sollten noch die Anzahl an Realisierungen n und die Zeitabstände t zwischen zwei aufeinander folgenden Realisierungen angegeben werden. Anhand der simulierten Daten soll daraufhin eine Maximum-Likelihood-Schätzung (ML-Schätzung) durchgeführt werden, um die Parameter der stochastischen Differentialgleichungen zu schätzen. Als letztes soll evaluiert werden, wie gut die durchgeführten Schätzungen sind. Unter bestimmten Bedingungen ist die Konsistenz und die asymptotische Normalverteilung der ML-Schätzung gegeben. Ob die Schätzungen dies erfüllen, soll hier empirisch überprüft werden. Außerdem soll das Verhalten der Schätzer bei Variierung der Zeitabstände t untersucht werden. 3.1 Black-Scholes-Merton-Modell Zunächst wird das Black-Scholes-Merton-Modell betrachtet. Als erstes werden mit der Funktion sde.sim jeweils n 1 = 100, n 2 = 1000 und n 3 = 5000 Realisierungen einer geometrischen Brownschen Bewegung mit Parametern θ 1 = 0.5, θ 2 = 0.2 und Zeitabständen t = 0.01 erzeugt, der Anfangswert ist x 0 = 1. Es werden dann zwei Funktionen zur Berechnung des ML-Schätzers programmiert (vgl. Anhang). Es wird dazu die bedingte Dichte dieses Modells benutzt, sie ist lognormalverteilt mit Dichte wie in (3) auf Seite 4.

3 Simulationen 8 Jede Beobachtung wird dabei auf die vorhergehende Beobachtung bedingt. Allerdings ist das Maximum der Likelihoodfunktion von lognormalverteilten Zufallsvariablen analytisch nicht einfach berechenbar, weswegen die numerische Methode L-BFGS-B verwendet wird. Diese ist in der Funktion mle enthalten, die in R ohne Paketinstallation aufrufbar ist. Da diese standardmäßig das Minimum einer Funktion sucht, wird das Vorzeichen der Likelihood-Funktion umgedreht. Der Parametervektor ˆθ = (ˆθ 1, ˆθ 2 ) der möglichen Lösungen wird auf den Raum (0.01, 0.01) ˆθ (1, 1) beschränkt. Außerdem wird mit Hilfe der Hesse-Matrix die Standardabweichung sowie das 95%-Konfidenzintervall berechnet. Die jeweils erhaltenen Parameterschätzer sind in Tabelle 1 zu sehen. Für eine größer werdende Anzahl an Realisierungen liegen die Schätzungen immer näher am wahren θ = (0.5, 0.2). Die Konfidenzintervalle überdecken bei θ 1 immer den wahren Parameter, bei θ 2 wird er erst bei der letzten Schätzung mit n 3 = 5000 Beobachtungen überdeckt. Tabelle 1: ML-Schätzer, Standardabweichung und 95% Konfidenzintervalle für θ Anzahl Realisierungen ˆθ1 ˆθ2 n 1 = 100 ML-Schätzung 0.7311 0.2340 Standardabweichung 0.2340 0.0165 95%-Konfidenzintervall [0.2690, 1.1953] [0.2050, 0.2706] n 2 = 1000 ML-Schätzung 0.4493 0.2097 Standardabweichung 0.06632 0.0047 95%-Konfidenzintervall [0.3193, 0.5795] [0.2008, 0.2192] n 3 = 5000 ML-Schätzung 0.4704 0.2025 Standardabweichung 0.0286 0.0020 95%-Konfidenzintervall [0.4143, 0.5266] [0.1986, 0.2066] Um genauere Aussagen treffen zu können, werden für n = 100, 200, 300,..., 5000 Beobachtungen einer brownschen Bewegung mit gleichen Einstellungen wie bei obigen Schätzungen jeweils 1000 Prozesse simuliert. Für diese Prozesse wird jeweils eine ML-Schätzung durchgeführt. Von diesen ML-Schätzung wird das arithmetische Mittel sowie das 0.025 bzw. 0.975-Quantil gebildet. Das Ergebnis für ˆθ 1 ist in Abbildung 1 zu sehen, für ˆθ 2 ist eine analoge Grafik im Anhang zu sehen (Abbildung 3). Es ist erkennbar, dass bei θ 1 und θ 2 die Mittelwerte der ML-Schätzungen immer nahe an den wahren θ 1 und θ 2 liegen und die Abstände der 0.025 bzw. 0.975-Quantile immer enger werden. Es kann deshalb davon

3 Simulationen 9 ausgegangen werden, dass die Schätzungen im Mittel immer richtig sind und dass bessere Schätzungen resultieren, wenn die Anzahl der Beobachtungen erhöht wird, da sich dann der Abstand der 0.025-Quantilen zu den 0.975-Quantilen und damit auch die Varianz verkleinert. Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 0.2 0.4 0.6 0.8 ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantile wahrer Wert 0 1000 2000 3000 4000 5000 Anzahl Realisierungen Abbildung 1: Black-Scholes-Modell: Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML- Schätzungen von θ 1 bei wachsender Anzahl an Realisierungen Von Interesse ist außerdem, ob die asymptotische Normalverteilungsannahme richtig ist. Dafür werden für eine große Anzahl an Beobachtungen n (n = 5000) 1000 Wiederholungen einer ML-Schätzung für θ 1 und θ 2 durchgeführt, die restlichen Einstellungen bleiben gleich. Diese Schätzungen werden dann mittels QQ-Plots, die in Abbildung 2 zu sehen sind, auf Normalverteilung überprüft. Es ist hier keine markante Abweichung von einer Geraden erkennbar, weshalb von asymptotischer Normalverteilung ausgegangen werden kann. Darüber hinaus kann betrachtet werden, wie sich die ML-Schätzung verhält, wenn der Zeitabstand t zwischen den Beobachtungen verändert wird. Für t 0.3 ist die numerische Berechnung des ML-Schätzers nicht mehr möglich, da die geometrische Bewegung am Ende Werte erzeugt, die für R unendlich sind. Um das allgemeine Verhalten des ML- Schätzers bei verschiedenen Zeitabständen t zu betrachten, wird t < 0.3 variiert, die

3 Simulationen 10 Emprische Quantile 0.40 0.45 0.50 0.55 Emprische Quantile 0.194 0.198 0.202 3 2 1 0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 3 Theoretische Quantile Theoretische Quantile Abbildung 2: QQ-Plots der 1000 ML-Schätzungen für geometrische brownsche Bewegungen mit n = 5000 Realisierungen und θ 1 (links) und θ 2 (rechts) Grenzen der möglichen Lösungen werden neu gesetzt (( 6, 0.01) θ (1, 1)). Es werden für t = e 11.4, e 11.2, e 11,..., e 1.6 wieder jeweils 1000 Wiederholungen einer brownschen Bewegung mit n = 1000 Beobachtungen durchgeführt und das arithmetische Mittel sowie die 0.025 und 0.975-Quantile der ML-Schätzungen berechnet. Das Ergebnis ist in Abbildung 4 im Anhang zu sehen. Die x-achse ist logarithmiert, um eine bessere Übersicht über die Werte zu bekommen. Für θ 1 ist die Schätzung im Mittel immer richtig, mit größer werdenden Zeitabständen t wird die Schätzung immer besser, da der Abstand der Quantile, die den wahren Wert 0.05 einschließen immer kleiner wird. Für θ 2 dagegen sind die Schätzungen unabhängig von t überall gleich gut. Dies liegt vermutlich daran, dass θ 1 der Parameter für die deterministische Steigung ist. Diese wird bei größeren Zeitabständen offensichtlicher, da die Schätzung nicht mehr so stark durch den zufälligen Verlauf der Brownschen Bewegung beeinflusst wird. Der Parameter der brownschen Bewegung θ 2 ist im Gegensatz dazu unabhängig von den Zeitabständen gut berechenbar, da die Brownsche Bewegung auf beliebig kleinen Räumen die gleiche Struktur aufweist.

3 Simulationen 11 3.2 Cox-Ingersoll-Ross-Modell Als nächstes soll eine Schätzung der Parameter des Cox-Ingersoll-Ross-Modells (CIR- Modell) durchgeführt werden. Dazu wird auch hier die bedingte Dichte verwendet um eine Maximum Likelihood-Schätzung für θ durchzuführen. Problematisch ist hierbei die in der bedingten Dichte enthaltene Bessel-Funktion I q. Die in R implementierte Funktion besseli(x,q) führt zu Overflows bei großem x und q. Overflow, auch arithmetischer Überlauf genannt, bedeutet, dass das Ergebnis einer Rechnung für den gültigen Zahlenbereich (in R Absolutwerte von 2 10 308 bis 2 10 308 ) zu groß ist, um noch richtig interpretiert werden zu können. Ähnliche Probleme ergeben sich, wenn die χ 2 -Verteilung zur Likelihood-Schätzung benutzt wird, auch wenn hier seltener Overflows entstehen. Um bessere Ergebnisse zu erzielen, wird die exponentiell skalierte Bessel-Funktion e 2 uv I q (2 uv) verwendet, statt die normale in besseli(x,q) implementierte Funktion zu verwenden. Diese kann mittels asymptotischer Expansion berechnet werden (siehe expbes im Anhang). Die Log-Likelihood des CIR Modells ergibt sich zu l i (θ) = log c (u + v) + q ( ) v 2 log + log I q (2 uv). (8) u Um die exponentiell skalierte Bessel-Funktion anzuwenden wird der Rechte Term von log I q (2 uv) = log I q (2 uv) 2 uv + 2 uv = log(e 2 uv I q (2 uv)) + 2 uv (9) benutzt, der sich aus dem letzten Term der Loglikelihood ergibt. Trotz dieser Modifikation ist bei allen Alternativen die Berechnung des ML-Schätzers aufgrund numerischer Overflows oftmals nicht möglich. Im weiteren Verlauf wird deshalb sowohl die Variante mit der exponentiell skalierten Bessel-Funktion (CIR.lik) und die Variante mit der χ 2 -Verteilung (CIR.lik2) benutzt (vgl. Anhang). Generell kommt es wohl bei kleinen Beobachtungsanzahlen n und bei zu großen oder zu kleinen Zeitabständen t vermehrt zu Fehlermeldungen. Zunächst werden 1000 CIR-Prozesse mit N = 1000 Realisierungen, Parametern θ 1 = 0.2, θ 2 = 0.06 und θ 3 = 0.15 sowie Zeitabständen t = 0.01 simuliert. Der Parametervektor ˆθ = (ˆθ 1, ˆθ 2, ˆθ 3 ) der möglichen Lösungen wird

3 Simulationen 12 auf den Raum (0.01, 0.01, 0.01) ˆθ (1, 1, 1) beschränkt. Bei CIR.lik konnte genau wie bei CIR.lik2 132-mal keine Schätzung durchgeführt werden, da ein Fehler auftrat. Leider traten die Fehler jeweils bei den selben CIR-Prozessen auf. Bei anderen Einstellungen konnte es aber durchaus sein, dass eine Funktion ein Ergebnis lieferte und die andere nicht, weswegen dennoch beide Möglichkeiten im Auge behalten werden sollten. Ein Beispiel für eine dieser ML-Schätzungen mit den berechneten Werten, Standardabweichungen und Konfidenzintervallen ist in Tabelle 2 zu finden. Beide Schätzungen sind hier in etwa gleich, der Parameter θ 1 wird stark überschätzt. Tabelle 2: Maximum Likelihood-Schätzer für den Parameter θ Funktion ˆθ1 ˆθ2 ˆθ3 (CIR.lik) ML-Schätzung 0.2938 0.0991 0.1525 Standardabweichung 0.0699 0.0801 0.0034 95%-Konfidenzintervall [NA,0.4311] [-0.0579, 0.2563] [0.1461, 0.1595] (CIR.lik2) ML-Schätzung 0.2938 0.0991 0.1525 Standardabweichung 0.0699 0.0801 0.0034 95%-Konfidenzintervall [NA,0.4311] [-0.0579, 0.2563] [0.1461, 0.1595] Ein weiterer interessanter Aspekt ist die Dauer der Berechnungen. Einen Schätzung mittels der χ 2 -Verteilung zu berechnen benötigt mehr als zehnmal so viel Zeit wie die Funktion, welche die exponentiell skalierte Bessel-Funktion verwendet. Eine saubere Analyse der programmierten ML-Schätzungen ist wegen der häufig auftretenden Fehlermeldungen schwerlich möglich, da die Fehlermeldungen wohl bei einer speziellen Klasse von Daten auftreten. Dies kann anhand Abbildung 5 im Anhang nachvollzogen werden. Hier wurden mit der Funktion CIR.lik ML-Schätzungen für n = 100, 200, 300,..., 5000 jeweils 1000 mal durchgeführt, die Parameter wurden wie oben gewählt. Der Parametervektor wurde auf den Raum ( 2, 0.001, 0.001) ˆθ (1, 5, 1) eingeschränkt. Die arithmetischen Mittel und die 0.975-Quantile über die ML-Schätzungen von θ 1 und θ 2 bei kleinen n, die keine Fehlermeldung aufweisen (ca. 85%), liegen weit über dem wahren Wert. Dies könnte daran liegen, dass die Berechnung vor allem für Daten, die eine kleine ML-Schätzung ergeben würden, scheitert. θ 3 scheint dagegen für alle n erwartungstreu geschätzt werden zu können. Für größer werdende n werden die Schätzun-

4 Zusammenfassung 13 gen besser für alle θ, dies ist an der Konvergenz der Mittelwerte gegen die wahren Werte sowie den kleineren Abständen zwischen den Quantilen zu sehen. Auch die Anzahl an Fehlermeldungen reduziert sich, so tritt beispielsweise für n = 5000 keine Fehlermeldung mehr auf. Um wieder die asymptotische Normalverteilungsannahme zu überprüfen werden für die Ergebnisse bei n = 5000 für alle Parameter QQ-Plots erstellt, die im Anhang in den Abbildungen 6 und 7 zu finden sind. Da auch keine Fehlermeldungen auftreten, können Verzerrungen aus diesem Grund ausgeschlossen werden. Bei θ 1 und θ 2 sind leichte Krümmungen zu erkennen. Einzig die ML-Schätzung für θ 3 scheint die asymptotische Normalverteilungsannahme zu erfüllen. Auf eine grafische Analyse des Verhaltens bei unterschiedlichen Zeitabständen t wird, wegen der häufig auftretenden Fehlermeldungen bei zu großen und zu kleinen t, verzichtet. Diese machen eine Überprüfung der Erwartungstreue und Varianz der ML-Schätzer bei unterschiedlichen t unmöglich. 4 Zusammenfassung In dieser Ausarbeitung geht es darum, Methoden zur Schätzung von Parametern des Black-Scholes-Modells und des Cox-Ingersoll-Ross-Modells vorzustellen und zu bewerten. Beide Modelle bieten Lösungen zu speziellen stochastischen Differentialgleichungen. Die Dichten zu einer Realisierung, bedingt auf die vorhergehende Realisierung, bei bekannten Zeitabständen sind in beiden Fällen bekannt, weswegen die Parameter jeweils mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden können. Da eine analytische Berechnung des Maximums wegen der Unkenntnis der partiellen Ableitungen nicht möglich ist, werden numerische Methoden verwendet. Dazu muss der Lösungsraum des Parametervektors vorab beschränkt werden. Beim Black-Scholes-Modell werden mit dieser Methode für eine ausreichend große Anzahl an Beobachtungen recht gute Ergebnisse erzielt, die Schätzung für beide Parameter ist durchgehend erwartungstreu. Zusätzlich wird die ML-Schätzung bei wachsender Anzahl

4 Zusammenfassung 14 an Beobachtungen immer genauer. Für eine große Anzahl an Beobachtungen kann auch festgestellt werden, dass die ML-Schätzer normalverteilt um den wahren Wert θ streuen, dass also eine asymptotische Normalverteilung vorliegt. Bei konstant gehaltener Anzahl an Beobachtungen und größer werdenden Zeitabständen wird die Schätzung für den Steigungsparameter θ 1 immer besser. Die Schätzung für den Parameter der brownschen Bewegung θ 2 bleibt dagegen konstant gut. Die ML-Schätzung beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell ist problematischer. Bei Benutzung der normalen bedingten Dichte dieses Modells ergeben sich große Probleme bei der ML- Schätzung, da es zu numerischen Overflows kommt. Deshalb werden modifizierte Versionen dieser bedingten Dichte verwendet, die jedoch auch nicht immer einwandfrei funktionieren und oft zu Fehler führen. Um Fehler zu vermeiden sollte die Beobachtungsanzahl n ausreichend groß und der Zeitabstand in etwa um t=0.01 gewählt werden. Die Schätzungen für die deterministischen Parameter θ 1 und θ 2 sind nicht erwartungstreu, aber wenigstens konsistent. Auch die asymptotische Normalverteilungsannahme der Schätzer ist bei den beiden Parametern nicht sicher gewährleistet. Die Schätzung für θ 3 ist dagegen erwartungstreu und asymptotisch normalverteilt. Auf eine Analyse bei unterschiedlichen Zeitabständen t wird verzichtet, da eine zu große Variation von t nach oben oder nach unten zu einer großen Anzahl an Fehlermeldungen führt, welche die Analyse verzerrt. Weitergehende Untersuchungen könnten beim Cox-Ingersoll-Ross-Modell versuchen die Gefahr von numerischen Overflows bei der Maximum-Likelihood-Schätzung einzudämmen. Dazu existieren bereits einige Überlegungen, beispielsweise könnte die bedingte Dichte mittels einer Poisson mixing-gamma Charakterisierung approximiert werden (vgl. Iacus, 2008, S.121).

A Anhang 15 A Anhang A.1 Zusätzliche Grafiken und Tabellen Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 0.17 0.19 0.21 0.23 ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantile wahrer Wert 0 1000 2000 3000 4000 5000 Anzahl Realisierungen Abbildung 3: Black-Scholes-Modell:Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML- Schätzungen von θ 2 bei wachsender Anzahl an Realisierungen

A Anhang 16 Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 2 0 2 4 ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantil wahrer Wert 10 8 6 4 2 logarithmierte Zeitabstände Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 0.190 0.195 0.200 0.205 0.210 ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantil wahrer Wert 10 8 6 4 2 logarithmierte Zeitabstände Abbildung 4: Black-Scholes-Modell: Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML- Schätzungen von θ 1 (oben) und θ 2 (unten) bei wachsenden Zeitabständen

A Anhang 17 Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 0.2 0.3 0.4 0.5 0 1000 2000 3000 4000 5000 Anzahl Realisierungen ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantil wahrer Wert Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1000 2000 3000 4000 5000 Anzahl Realisierungen ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantil wahrer Wert Durchschnitt über 1000 Wiederholungen 0.135 0.145 0.155 0.165 0 1000 2000 3000 4000 5000 Anzahl Realisierungen ML Schätzung 0.025 und 0.975 Quantil wahrer Wert Abbildung 5: Cox-Ingersoll-Ross-Modell: Durchschnitt und 0.025 bzw. 0.975-Quantile der ML-Schätzungen von θ 1 (oben), θ 2 (mittig) und θ 3 (unten) bei wachsenden Zeitabständen

A Anhang 18 Emprische Quantile 0.15 0.25 0.35 Emprische Quantile 0.05 0.10 0.15 3 2 1 0 1 2 3 Theoretische Quantile 3 2 1 0 1 2 3 Theoretische Quantile Abbildung 6: QQ-Plots der 1000 ML-Schätzungen des Cox-Ingersoll-Ross-Modells mit n = 5000 Realisierungen für θ 1 (links) und θ 2 (rechts) Emprische Quantile 0.146 0.150 0.154 3 2 1 0 1 2 3 Theoretische Quantile Abbildung 7: QQ-Plot der 1000 ML-Schätzungen des Cox-Ingersoll-Ross-Modells mit n = 5000 Realisierungen für θ 3

A Anhang 19 A.2 R-Code # Black-Scholes Model dcbs <- function(x,t,x0,theta,log=true){ m1 <- log(x0) + (theta[1]-theta[2]^2/2)*t s1 <- sqrt(t)*theta[2] lik <- dlnorm(x,meanlog=m1,sdlog=s1,log=true) if(!log) lik <-exp(lik) lik } BS.lik <- function(theta1,theta2){ n <- length(x) dt <- deltat(x) -sum(dcbs(x=x[2:n], t=dt, x0=x[1:(n-1)], theta=c(theta1,theta2))) } #install.packages("sde") library(sde) # ex3.03.r set.seed(216) X <- sde.sim(model="bs", theta=c(0.5,0.2), delta=0.01) fit <- mle(bs.lik, start=list(theta1=1, theta2=1), method="l-bfgs-b", lower=c(0.01,0.01)) coef(fit) summary(fit) confint(fit) length(x)*deltat(x) set.seed(216) X <- sde.sim(model="bs", theta=c(0.5,0.2),n=1000, delta=0.01) fit <- mle(bs.lik,start=list(theta1=1, theta2=1), method="l-bfgs-b", lower=c(0.01,0.01)) coef(fit) summary(fit) confint(fit) length(x)*deltat(x) set.seed(216) X <- sde.sim(model="bs", theta=c(0.5,0.2), N=5000, delta=0.01) fit <- mle(bs.lik,start=list(theta1=1, theta2=1), method="l-bfgs-b", lower=c(0.01,0.01)) coef(fit) summary(fit) confint(fit) length(x)*deltat(x) #extra (KI s, Normalverteilung und Erwartungstreue) # Funktion set.seed(216) k <- seq(100,5000,100) e1 <- e2 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- numeric(length(k)) for (j in 1:length(k)){ f1 <- f2 <- numeric(1000) for (i in 1:1000){ X <- sde.sim(model="bs", theta=c(0.5,0.2), N=k[j], delta=0.01) fit <- mle(bs.lik,start=list(theta1=1, theta2=1), method="l-bfgs-b", lower=c(0.01,0.01)) f1[i] <- coef(fit)[[1]] f2[i] <- coef(fit)[[2]]} # Erwartungswert e1[j] <- mean(f1) e2[j] <- mean(f2) # Quantile q11[j] <- quantile(f1,0.025) q12[j] <- quantile(f1,0.975) q21[j] <- quantile(f2,0.025) q22[j] <- quantile(f2,0.975) } setwd("/media/data/studium/6. Semester/Nichtlineare dynamische Systeme") # save(list(e1,e2,q11,q12,q21,q22,f1,f2),file="realisationsanzahl.rdata") load("realisationsanzahl.rdata")

A Anhang 20 # Erwartungswerte # theta1 par(mfrow=c(1,1)) plot(k,a[[1]],type="l",ylim=range(c(a[[1]],a[[3]],a[[4]])),main="",xlab="anzahl Realisierungen", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(k,a[[3]],col="blue") lines(k,a[[4]],col="blue") lines(k, rep(0.5,50),lty="dashed") legend(1000,0.32,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantile","wahrer Wert"),col=c("red","blue", "black"),lty=c(1,1,2)) #theta2 plot(k,a[[2]],type="l",ylim=range(c(a[[2]],a[[5]],a[[6]])),main="",xlab="anzahl Realisierungen", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(k,a[[5]],col="blue") lines(k,a[[6]],col="blue") lines(k, rep(0.2,50),lty="dashed") legend(1000,0.189,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantile","wahrer Wert"),col=c("red","blue", "black"),lty=c(1,1,2)) # asymptotisch normalverteilte Daten? (laut Buch) par(mfrow=c(1,2)) qqnorm(f1,main="",ylab="emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile") qqline(f1) qqnorm(f2,main="",ylab="emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile") qqline(f2) # Bandbreitenveränderung # l muss kleiner als 0.3 sein set.seed(216) l <- exp(seq(-11.4,-1.6,0.2)) log(l) e1 <- e2 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- numeric(length(l)) for (j in 1:length(l)){ f1 <- f2 <- numeric(1000) for (i in 1:1000){ X <- sde.sim(model="bs", theta=c(0.5,0.2), N=1000, delta=l[j]) fit <- mle(bs.lik,start=list(theta1=1, theta2=1), method="l-bfgs-b", lower=c(-6,0.01)) f1[i] <- coef(fit)[[1]] f2[i] <- coef(fit)[[2]]} # Erwartungswert e1[j] <- mean(f1) e2[j] <- mean(f2) # Quantile q11[j] <- quantile(f1,0.025) q12[j] <- quantile(f1,0.975) q21[j] <- quantile(f2,0.025) q22[j] <- quantile(f2,0.975) } setwd("/media/data/studium/6. Semester/Nichtlineare dynamische Systeme") # save(list(e1,e2,q11,q12,q21,q22,f1,f2),file="bandbreiten.rdata") load("bandbreiten.rdata") # Erwartungswerte # theta1 par(mfrow=c(2,1)) plot(log(l),b[[1]],type="l",ylim=range(c(b[[1]],b[[3]],b[[4]])),main="",xlab="logarithmierte Zeitabstände",ylab="Durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(log(l),b[[3]],col="blue") lines(log(l),b[[4]],col="blue") lines(log(l), rep(0.5,50),lty="dashed") legend(log(l[20]),4,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"), col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2)) #theta2 plot(log(l),b[[2]],type="l",ylim=range(c(b[[2]],b[[5]],b[[6]])),main="", xlab="logarithmierte Zeitabstände",ylab="Durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red")

A Anhang 21 lines(log(l),b[[5]],col="blue") lines(log(l),b[[6]],col="blue") lines(log(l), rep(0.2,50),lty="dashed") legend(log(l[20]),0.207,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"), col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2)) ############################ Cox-Ingersoll-Ross model ###################################### expbes <- function(x,nu){ mu <- 4*nu^2 A1 <- 1 A2 <- A1*(mu-1)/(1*(8*x)) A3 <- A2*(mu-9)/(2*(8*x)) A4 <- A3*(mu-25)/(3*(8*x)) A5 <- A4*(mu-49)/(4*(8*x)) A6 <- A5*(mu-81)/(5*(8*x)) A7 <- A6*(mu-121)/(6*(8*x)) 1/sqrt(2*pi*x)*(A1-A2+A3-A4+A5-A6+A7) } dccir <- function(x, t, x0, theta, log=false){ c <- 2*theta[2]/((1-exp(-theta[2]*t))*theta[3]^2) ncp <- 2*c*x0*exp(-theta[2]*t) df <- 4*theta[1]/theta[3]^2 u <- c*x0*exp(-theta[2]*t) v <- c*x q <- 2*theta[1]/theta[3]^2-1 lik <- (log(c)- (u+v)+q/2*log(v/u)+log(expbes(2*sqrt(u*v),q))+2*sqrt(u*v)) if(!log) lik <- exp(lik) lik } CIR.lik <- function(theta1, theta2, theta3){ n <- length(x) dt <- deltat(x) -sum(dccir(x=x[2:n],t=dt,x0=x[1:(n-1)],theta=c(theta1,theta2,theta3),log=true)) } # inefficient version based on noncentral chi^2 density dccir2 <- function(x,t,x0,theta,log=false){ c <- 2*theta[2]/((1-exp(-theta[2]*t))*theta[3]^2) ncp <- 2*c*x0*exp(-theta[2]*t) df <- 4*theta[1]/theta[3]^2 lik <- (dchisq(2*x*c,df=df,ncp=ncp,log=true)+log(2*c)) if(!log) lik <- exp(lik) lik } CIR.lik2 <- function(theta1,theta2,theta3){ n <- length(x) dt <- deltat(x) -sum(dccir2(x=x[2:n], t=dt, x0=x[1:(n-1)], theta=c(theta1,theta2,theta3),log=true)) } # Simulationen CIR # Fehlersuche set.seed(216) f1 <- f2 <- f3 <- f21 <- f22 <- f23 <- numeric(1000) for (i in 1:1000){ X <- sde.sim(x0=0.1, model="cir", theta=c(0.2,0.06,0.15),n=1000,delta=0.01) try(fit <- mle(cir.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1))) try(fit2 <- mle(cir.lik2, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1))) f1[i] <- coef(fit)[[1]] f2[i] <- coef(fit)[[2]]

A Anhang 22 f3[i] <- coef(fit)[[3]] f21[i] <- coef(fit2)[[1]] f22[i] <- coef(fit2)[[2]] f23[i] <- coef(fit2)[[3]]} for (i in 2:1000){ if((is.na(f1[i]) is.na(f1[i-1]))==f){ if(f1[i]==f1[i-1]){ f1[i] <- NA f2[i] <- NA f3[i] <- NA }}} for (i in 2:1000){ if((is.na(f21[i]) is.na(f21[i-1]))==f){ if(f21[i]==f21[i-1]){ f21[i] <- NA f22[i] <- NA f23[i] <- NA }}} setwd("/media/data/studium/6. Semester/Nichtlineare dynamische Systeme") # c <- list(f1,f21) # save(c,file="fehlercir.rdata") load("fehlercir.rdata") length(which(is.na(c[[1]]))) length(which(is.na(c[[2]]))) which(is.na(c[[1]]))==which(is.na(c[[2]])) set.seed(216) X <- sde.sim(x0=0.1, model="cir", theta=c(0.2,0.06,0.15),n=1000,delta=0.01) fit <- mle(cir.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1)) coef(fit) summary(fit) confint(fit) length(x)*deltat(x) set.seed(216) fit2 <- mle(cir.lik2, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1)) coef(fit2) summary(fit2) confint(fit2) length(x)*deltat(x) system.time(fit <- mle(cir.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1))) system.time(fit <- mle(cir.lik2, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(0.001,0.001,0.001),upper=c(1,1,1))) #extra (KI s, Normalverteilung und Erwartungstreue) # Funktion set.seed(216) k <- seq(100,5000,100) e1 <- e2 <- e3 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- q31 <- q32<- numeric(length(k)) for (j in 1:length(k)){ f1 <- f2 <- f3 <- numeric(1000) for (i in 1:1000){ X <- sde.sim(x0=0.1, model="cir", theta=c(0.2,0.06,0.15),n=k[j],delta=0.01) try(fit <- mle(cir.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(-2,0.001,0.001),upper=c(1,5,1))) f1[i] <- coef(fit)[[1]] f2[i] <- coef(fit)[[2]] f3[i] <- coef(fit)[[3]]} for (i in 2:1000){ if((is.na(f1[i]) is.na(f1[i-1]))==f){ if(f1[i]==f1[i-1]){ f1[i] <- NA f2[i] <- NA f3[i] <- NA

A Anhang 23 } }}} # Erwartungswert e1[j] <- mean(f1,na.rm=t) e2[j] <- mean(f2,na.rm=t) e3[j] <- mean(f3,na.rm=t) # Quantile q11[j] <- quantile(f1,0.025,na.rm=t) q12[j] <- quantile(f1,0.975,na.rm=t) q21[j] <- quantile(f2,0.025,na.rm=t) q22[j] <- quantile(f2,0.975,na.rm=t) q31[j] <- quantile(f3,0.025,na.rm=t) q32[j] <- quantile(f3,0.975,na.rm=t) setwd("/media/data/studium/6. Semester/Nichtlineare dynamische Systeme") d <- list(e1,e2,e3,q11,q12,q21,q22,q31,q32,f1,f2,f3) # save(d,file="realisationsanzahlcir.rdata") load("realisationsanzahlcir.rdata") # Erwartungswerte par(mfrow=c(3,1)) # theta1 plot(k,d[[1]],type="l",ylim=range(c(d[[1]],d[[4]],d[[5]])),main="",xlab="anzahl Realisierungen", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(k,d[[4]],col="blue") lines(k,d[[5]],col="blue") lines(k, rep(0.2,50),lty="dashed") legend(3000,0.53,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"), col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2)) #theta2 plot(k,d[[2]],type="l",ylim=range(c(d[[2]],d[[6]],d[[7]])),main="",xlab="anzahl Realisierungen", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(k,d[[6]],col="blue") lines(k,d[[7]],col="blue") lines(k, rep(0.06,50),lty="dashed") legend(3000,1,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),col=c("red","blue","black"), lty=c(1,1,2)) #theta3 plot(k,d[[3]],type="l",ylim=range(c(d[[3]],d[[8]],d[[9]])),main="",xlab="anzahl Realisierungen", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(k,d[[8]],col="blue") lines(k,d[[9]],col="blue") lines(k, rep(0.15,50),lty="dashed") legend(3000,0.17,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"), col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2)) # asymptotisch normalverteilte Daten? (laut Buch) par(mfrow=c(1,2)) qqnorm(d[[10]],main="",ylab="emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile") qqline(d[[10]]) qqnorm(d[[11]],main="",ylab="emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile") qqline(d[[11]]) par(mfrow=c(1,1)) qqnorm(d[[12]],main="",ylab="emprische Quantile",xlab="Theoretische Quantile") qqline(d[[12]]) # Bandbreitenveränderung set.seed(216) l <- exp(seq(-12,-2.2,0.2)) #l <- exp(seq(-10,-0.2,0.2)) e1 <- e2 <- e3 <- q11 <- q12 <- q21 <- q22 <- q31 <- q32<- numeric(length(l)) for (j in 1:length(l)){ f1 <- f2 <-f3 <- numeric(1000) for (i in 1:1000){ X <- sde.sim(x0=0.1, model="cir", theta=c(0.2,0.06,0.15),n=1000,delta=l[j]) try(fit <- mle(cir.lik, start=list(theta1=0.1,theta2=0.1,theta3=0.3),method="l-bfgs-b", lower=c(-2,0.001,0.001),upper=c(1,5,1))) f1[i] <- coef(fit)[[1]]

A Anhang 24 } f2[i] <- coef(fit)[[2]] f3[i] <- coef(fit)[[3]]} for (i in 2:1000){ if((is.na(f1[i]) is.na(f1[i-1]))==f){ if(f1[i]==f1[i-1]){ f1[i] <- NA f2[i] <- NA f3[i] <- NA }}} # Erwartungswert e1[j] <- mean(f1,na.rm=t) e2[j] <- mean(f2,na.rm=t) e3[j] <- mean(f3,na.rm=t) # Quantile q11[j] <- quantile(f1,0.025,na.rm=t) q12[j] <- quantile(f1,0.975,na.rm=t) q21[j] <- quantile(f2,0.025,na.rm=t) q22[j] <- quantile(f2,0.975,na.rm=t) q31[j] <- quantile(f3,0.025,na.rm=t) q32[j] <- quantile(f3,0.975,na.rm=t) setwd("/media/data/studium/6. Semester/Nichtlineare dynamische Systeme") e <- list(e1,e2,e3,q11,q12,q21,q22,q31,q32,f1,f2,f3) # save(e,file="bandbreitencir.rdata") load("bandbreitencir.rdata") # Erwartungswerte # theta1 plot(log(l),e[[1]],type="l",ylim=range(c(e[[1]],e[[4]],e[[5]])),main="theta_1",xlab="bandbreite", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(log(l),e[[4]],col="blue") lines(log(l),e[[5]],col="blue") legend(100,0.19,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"), col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2)) #theta2 plot(log(l),e[[2]],type="l",ylim=range(c(e[[2]],e[[6]],e[[7]])), main="theta_2",xlab="bandbreite",ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(log(l),e[[6]],col="blue") lines(log(l),e[[7]],col="blue") legend(100,0.19,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"),col=c("red","blue","black"), lty=c(1,1,2)) #theta3 plot(log(l),e[[3]],type="l",ylim=range(c(e[[3]],e[[8]],e[[9]])),main="theta_3",xlab="bandbreite", ylab="durchschnitt über 1000 Wiederholungen",col="red") lines(log(l),e[[8]],col="blue") lines(log(l),e[[9]],col="blue") legend(100,0.19,c("ml-schätzung","0.025 und 0.975 Quantil","wahrer Wert"), col=c("red","blue","black"),lty=c(1,1,2))

A Anhang 25 Literatur Ball, P. (2005): Critical Mass: How one thing leads to another, Arrow Books, London. Fahrmeir, L., Künstler, R., Pigeot, I. und Tutz, G. (1999): Statistik - Der Weg zur Datenanalyse, 2. Auflage, Springer, Berlin. Iacus, S. M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations, Springer, New York. Iacus, S. M. (2009): sde: Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations, R package version 2.0.10. URL: http://cran.r-project.org/package=sde Kuo, H.-H. (2006): Introduction to Stochastic Integration, Springer, New York. R Development Core Team (2012): A Language and Environment for Statistical Computing, R Foundation for Statistical Computing, Wien, URL: http://www.r-project.org/.