Inhaltsverzeichnis Vorwort 3 Jens Gierke/ Die Sorgen des Feldherrn 4 Tom Jakobs Jonas Scherer Unser Internet-Tipp 7 Esther Hans/ 8 Anna Vilter Das Quadrat-Problem Hans Willkomm Mathequiz 13 Andreas Dixius/ Der Sierpinski-Prozess 14 Jonas Scherer Nachwort 19 Zum Titelbild: Knoten beschäftigen nicht nur Seeleute, sondern auch die Mathematiker. Ein paar Beispiele sollen die Schönheit solcher Knoten zeigen. Deshalb tauchen sie auch oft als Verzierung in Ornamenten auf.
Im Vorwort von unserem VIII. Mad Max möchten wir euch erstmal ein Zitat vom Mathematiklehrer R. Schneider präsentieren: Drei plus vier ist sieben, addiert ist ääh... sieben. (Kurz davor warf er der Klasse vor, die leichtesten Dinge nicht im Kopf rechnen zu können) Doch nun zu den Themen: Wir retten einen Feldherren und seine Mannschaft (Kreis-Sehnen-Problem), füllen Strecken mit Strecken, Quadrate mit Quadraten und Würfel mit Würfeln u.a. Natürlich haben wir auch Rätsel für euch. Mehr wollen wir noch nicht verraten. Euer Mathe-Team PS: Neue Mitglieder sind immer willkommen.
Ein Feldherr zog mit seinem Heer, genauer gesagt mit 10 Kohorten, in den Krieg. Ein gegnerisches Heer nahm ihn und sein Gefolge gefangen. Der König, zu dem er gebracht wurde, sagte zu ihm, dass er einen Teil der Männer freiließe. Dafür stellte er eine Bedingung: Ihr müsst mit dem Schwert Euren Schild fünfmal ritzen. Dabei entstehen auf dem Schild einzelne Bereiche. Die Anzahl der Bereiche, die Ihr schafft, ist gleich der Anzahl Eurer Männer, die ich frei lasse. Der arme Feldherr wollte so viele Männer wie möglich frei bekommen und bat um eine Nacht Bedenkzeit. Auf Pergament begann er mit seinen Überlegungen. 1. Sein erster Versuch ist nicht gerade das Beste für seine Mannen: 2. Der nächste Versuch lief schon besser! Er erkannte, dass durch Schneiden der ersten vier Sehnen mehr Bereiche entstehen, zehn Mann waren sicher frei:
3. Hastig zeichnete er neu: 14 Männer
4. Er hat die ideale Lösung gefunden! Nun bekommt er 16 Männer frei. Der Feldherr ist jedoch enttäuscht, dass er nur einen winzigen Teil des Heeres freibekommt, aber es gibt keine bessere Lösung. Der Kaiser war über die Leistung des Feldherrn sichtlich beeindruckt. Wenn Ihr mir noch eine Frage beantwortet, lasse ich eure restlichen Männer frei. Der Feldherr willigte ein, denn er wollte unbedingt sein ganzes Heer befreien. Wie viele Mannen kommen frei, wenn Ihr 8 Sehnen einritzen könntet? Der Feldherr wurde in ein Gemach gebracht und überlegte: Man erhält die höchste Anzahl an Bereichen, wenn jede neue Sehne alle anderen schneidet. Die erste Sehne liefert 2 Bereiche. Durch die zweite kommen 2, durch die dritte 3 Bereiche usw. hinzu.
Also hat man bei 5 Sehnen: N(s)=2+2+3+4+...+s =1+(1+2...+s) =1+s*(s+1) 2 Hier verwendet er eine Formel, die erst sehr viel später dem berühmten Mathematiker Carl-Friedrich Gauß (der auf dem 10-Markschein) wieder einfiel. Bei 8 Sehnen macht das 37 Bereiche und ein gerettetes Heer. Mit diesem Artikel wollen wir euch anregen, im Internet etwas über Mathematik herauszufinden. Ganz besonders gefiel uns die Seite: www. Mathespass.de/kinder/index.htm. Man kann dort mehr oder weniger schwierige Knobelaufgaben machen, Zahlenraten (u.a. Ostfriesenabitur ), man kriegt gezeigt, wie man ohne Taschenrechner geschickt rechnen kann und vieles mehr. Viel Spaß!!!!
Mathematiker lieben Rätselfragen, bei denen die offensichtliche Antwort falsch ist. Ein sehr beliebtes Rätsel ist z.b. die Frage: Wie viele Quadrate sieht man in diesem Bild? Bei diesem Beispiel antwortet man schnell 9. Andere kommen auch auf 10, wenn sie das große Quadrat (siehe unten) dazuzählen. Aber in Wirklichkeit sind es noch mehr: 9 kleine 4 mittlere 1 großes
Wenn man lange nachdenkt, kann man auch auf diese Lösung kommen, aber wie ist es mit einem größerem Quadrat? Natürlich könnte man auch jetzt wieder nachzählen, aber wir haben uns gedacht, dass es auch einfacher gehen muss. Deshalb fangen wir noch einmal ganz klein an: 1 1+4 1+4+9... Es ist auffällig, dass nur Quadratzahlen addiert werden.
1 + 4 + 9 + 16 = 1*1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 Das kann man für n Quadrate auch so schreiben: A=1 2 +2 2 +3 2 +... +(n-1) 2 + n n = i 2 i =1 Da das aber z.b. für n=100000000 etwas viel Arbeit wäre, suchte der Mathematiker nach einer Formel. Zum Glück mussten wir das nicht machen, da wir in einem Mathematikbuch der Oberstufe diese Formel fanden: n i 2 = n n 1 2n 1 6 i =1 Ein paar Proben: 1.Beispiel: n=5 Nach Formel: 5 5 1 2 5 1 6 55 = 25 5 10 1 6 = 330 6 =
von Hand : 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 = 1+4+9+16+25 = 55 2.Beispiel: n=10 Nach Formel: 10 10 1 2 10 1 6 2310 6 = 385 = 100 10 20 1 6 = von Hand : 1 2 +2 2 +3 2 +4 2 +5 2 +6 2 +7 2 +8 2 +9 2 +10 2 = 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 385 Ihr könnt (wenn ihr uns jetzt immer noch nicht glaubt) gerne noch weitere Proben machen! Doch alle, die jetzt gerne einen Beweis hätten können das mit Hilfe der vollständigen Induktion beweisen (fragt eure Mathelehrer).
Wir haben uns nun gedacht, dass das Prinzip auch in anderen Dimensionen funktionieren muss. Also gingen wir in die 1. Dimension. Hier lautet die Frage: Wie viele Strecken sind versteckt? 1 Strecke 1+2=3 Strecken n-teile 3 kurze 2 mittlere 1 lange 1+2+3=6 Strecken 1+2+... +n Man könnte natürlich auch 1 1 +2 1 +... +n 1 schreiben. Also: n A= i 1 i =1 Und weil das natürlich mit hohen Zahlen wie 10000000 o.ä. Nicht gut zu rechnen ist haben wir mit Hilfe einer Idee des Mathematikers Gauß (fragt noch einmal euren Mathelehrer) folgende Formel aufgestellt: n A= i 1 = n n 1 2 i =1
n Natürlich Funktioniert das Prinzip i x (wobei x jeweils i =1 für die Dimension steht) z.b. auch in der 3. Dimension! Viel Spaß beim ausprobieren!!!!!!!!
Mathequiz Vor einiger Zeit machte die Uni Ulm auf kleinen, gelben Kärtchen Werbung für den Fachbereich Wirtschaftsmathematik (www.mathematik.uni-ulm.de). Auf der Rückseite der Kärtchen gab es jeweils als Zugabe eine interessante Knobelaufgabe. Zwei davon wollen wir euch heute vorstellen, vielleicht hat ja jemand eine originelle Lösung, die wir dann im nächsten Heft abdrucken könnten. Problem 1: Du besitzt keine Uhr, aber zwei Zündschnüre. Von diesen ist bekannt, dass beide genau eine Stunde lang brennen, aber wahrscheinlich nicht homogen sind (also vielleicht anfangs schneller und später langsamer abbrennen). Wie kannst du allein durch Abbrennen beider Schnüre eine Zeitspanne von 45 Minuten abmessen? Problem 2: Eine junge Frau fährt auf einem kreisrunden See in einem Ruderboot, während eine furchteinflößende Gestalt sich am Ufer aufhält. Diese Gestalt kann viermal so schnell laufen, wie die Frau rudern kann. Sie ist allerdings sicher, dass sie, sobald sie das Ufer erreicht hat, schneller als ihr unheimlicher Kontrahent laufen kann. Welchen Ruderweg soll sie einschlagen, um sicher an Land zu gelangen? Genauer: Gibt es eine Strategie, die ihr gestattet, an irgendeiner Stelle des Ufers an Land zu gehen, an der sich die gefährliche Person in diesem Moment gerade nicht befindet?
+11 Bei einem unserer letzten Treffen schrieb Herr Willkomm folgende Zahlenreihe an die Tafel: 17,81,28,92,39 Er fragte uns, was uns dazu einfällt. Sebastian sagte, dass diesen Zahlen erst 1 hinzugefügt wurde und sie dann gespiegelt wurden. Tabelle: Zahl +1 Spiegeln 14 15 51 51 52 25 25 +11 26 62 62 Hier sieht man direkt, dass jeweils zwei Schritte durch eine Addition von 11 ersetzt werden könnten. +1 Uns interessierte natürlich sofort, ob es bei jeder Startzahl so ist. Als gute Mathematiker gingen wir systematisch vor, d.h. wir begannen bei 1-stelligen Zahlen. Hier sieht das ganze allerdings anders aus. Man könnte 1 addieren und es entsteht ein Zyklus: Zahl +1 Spiegeln 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 +1 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 01 1
+11 Anschließend haben wir die zweistelligen Startzahlen untersucht: Zahl +1 Spiegeln a) 10 11 11 11 +11 12 21 21 22 22 22 23 32 32 33 33 33 34 43 43 44 44 44 45 54 54 55 55 55 56 65 65 66 66 66 67 76 76 77 77 77 78 87 87 88 88 88 89 98 98 99 99 99 100 001 1 1 Zyklus b) 11 12 21 21 22 22 22...(siehe oben) c)
+11 12 13 31 31 32 23 +11 23 24 42 42 43 34 34 35 53 53 54 45 45 46 64 64 65 56 56 57 75 75 76 67 67 68 86 86 87 78 78 79 97 97 98 89 89 90 09 9 9 Zyklus Hier gilt offensichtlich wieder die 11er-Regel. Begründung für die Addition von 11, alle zwei Schritte: 73 74 (Einerstelle um 1 erhöht) 47 (Einerstelle wird in Sicherheit gebracht) 48 (Zehnerstelle (!) der ursprünglichen Zahl wird um 1 erhöht) 84 (Nach dem Spiegeln erhalten wir die ursprüngliche Zahl mit erhöhter 1er- und 10er-Stelle = Addition von 11) Im ersten Beispiel erkennt man, dass man bei 99, und damit im 1er-Zyklus landet. Dies gilt für alle 2-
stelligen Zahlen: Irgendwann wird die 1er-Stelle zu 9. Die Zehnerstelle sei a. Dann geschieht mit der Zahl a9 folgendes: a9 (a+1)0 0(a+1) Man erhält eine 1-Stellige Zahl. Jetzt interessierte uns natürlich, ob man, wenn man mit 3-stelligen Zahlen beginnt, auch im 1er-Zyklus landet, und welche Zahl man hier alle zwei Schritte addiert. Zahl +1 Spiegeln 101 102 201 201 202 202 202 +101 203 302 302 303 303 303 304 403 403 404 404 404 405 504 504 505 505 505 506 605 605 606 606 606 607 706 706 707 707 707 708 807 807 808 808 808 809 908 908 909 909 909 910 019 19 19 20 02 2 2 Zyklus Hier liegt aber keine Addition von 11, sondern eine von 101 vor. +101
Die Begründung hierfür ist, wie bei den 2-Stelligen Zahlen ganz banal: 101 102 (Die Einerstelle wird um 1 erhöht) 201 (Die Einerstelle wird in Sicherheit gebracht) 202 (Die 100er-Stelle (!) der ursprünglichen Zahl wird um 1 erhöht) 202 (Nach dem Spiegeln erhalten wir die ursprüngliche Zahl mit erhöhter 100er- und 1er-Stelle) Das Gleiche gilt bei 4-,5-,x-Stelligen Zahlen. Allgemein: 1-Stellig +1 +1 Zyklus 2-Stellig +11 +11...a9 (a+1) (einstellig) 3-Stellig +101 +101 ab9 (b+1)a (zweistellig)... Andreas Dixius & Jonas Scherer
Ganz zum Schluss wollen wir euch noch ein paar Zitate von H. Schneider präsentieren die gerade neu eingetroffen sind: 1) Er fasste zusammen: 27 27 X 4 27 X =31 27 (Upps, wo ist das X?) 2) Er kürzte: 7X 1 64 48 1 7X 1 = 3 4 1 (??? ) 3) And the best: 10 50 1 50 = 9 50 ääh 1 50 (Hmm?) Bis zum nächsten Mal, ;-) Mathe-Team! euer