Vorwort Seite 3. Das Geheimnis Seite 4 der Hüte. Die Abschneideregel Seite 6. Das Problem mit Seite 15 der Brücke. Die 1,3,2-Regel Seite 17 der Zahl 7

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1 Vorwort Seite 3 Das Geheimnis Seite 4 der Hüte Die Abschneideregel Seite 6 Das Problem mit Seite 15 der Brücke Die 1,3,2-Regel Seite 17 der Zahl 7 Nichttransitive Seite 28 Glücksräder Witze Seite 34

2 Und schon wieder ist ein halbes Schuljahr vergangen; es ist also wieder an der Zeit einen neuen MADMAX herauszubringen. Diesmal testen wir einige viele Zahlen auf ihre Teilbarkeit, werden von Inkas gefangen, versuchen unser Glück mit Rädern und bestanden viele weitere Abenteuer, die wir glücklicherweise überlebten. Ein kleines Rätsel soll eure grauen Zellen ebenfalls anregen. Weitere Rätsel dieser Art findet ihr übrigens unter Damit der Humor nicht zu kurz kommt, haben wir diesmal zum ersten Mal (abgesehen von den Schneiderwitzen der letzten Ausgabe) eine Witzeseite. Euer Matheteam P.S.: Schaut euch doch auch mal im Intranet unser neues Geometrieprogramm EuklidDynaGeo an.

3 Es waren einmal drei Schatzsucher, die auf der Suche nach der Goldenen Inkapyramide waren. Leider vielen sie den Inkas in die Hände. Da der Häuptling mit einem der Sucher verwandt war, stellte er sie auf die Probe: Ich habe hier drei rote und zwei gelbe Hüte. Jeder von euch bekommt heimlich einen Hut aufgesetzt, dann werdet ihr euch gegenüber gestellt und müsst erraten welchen Hut ihr auf habt. Ihr dürft allerdings kein Wort miteinander sprechen! Gesagt getan. Die Schatzsucher bekamen ihre Hüte auf. Sie überlegten eine Weile. Schließlich riefen alle wie aus einem Mund: Ich habe einen roten Hut auf! Richtig! Aber wie kamen sie darauf? Nun, um diese Aufgabe zu lösen muss man sich in die Lage der Forscher hineinversetzen. Was kann alles passieren? Person A sieht, dass Person B einen gelben Hut hat und C auch, dann muss A einen roten Hut haben. Dies trifft in unserem Fall aber nicht zu. A sieht, dass B einen gelben und C einen roten Hut auf dem Kopf hat. Nun überlegt sich A ganz richtig: Wenn ich einen gelben Hut auf dem Kopf hätte, dann müsste C ja je die beiden grauen Hüte bei mir und bei B sehen und sogleich verkünden, dass er selbst einen roten Hut trüge. Da C dies aber nicht tut, kann

4 A daraus schließen, dass er einen roten Hut trägt. Das trifft bei unserem Fall allerdings nicht zu. A sieht bei B und C rote Hüte. Wenn A einen gelben Hut trüge, müsste B, und natürlich auch C, die Überlegung der zweiten Möglichkeit anstellen, d. h. einer müsste behaupten einen roten Hut aufzuhaben. Da dies aber nicht geschieht, geht daraus hervor, das auch A einen roten Hut trägt. Der Inka-Häuptling hat also nur rote Hüte verwendet. Gut Ding braucht Weile Von Tom Jakobs & Jens Gierke

5 1.Einführung In unserer Klasse haben wir Teilbarkeitsregeln durchgenommen. Dabei ist uns aufgefallen, dass es keine Regel für die 7 gab. Es interessierte uns, warum es keine Regel für die 7 gibt. Unser Mathelehrer schaute dann im Internet nach. Dort fand er ein paar Regeln für die Zahl 7. Eine dieser Regeln wird in unserer Arbeit erklärt. 2.Regel und Beispiele Die Regel, die wir ausgewählt haben, nennen wir Abschneideregel, weil zuerst die beiden letzten Stellen abgeschnitten werden. Dann wird das, was übrig bleibt, mit 2 multipliziert. Anschließend werden die beiden abgeschnittenen Ziffern wieder dazu addiert.

6 Das kann man so lange machen, bis die Zahl nur noch 2 Stellen hat. Ist diese zweistellige Zahl durch 7 teilbar, so ist auch die Anfangszahl durch 7 teilbar. Alles klar? Nein? Dann machen wir ein paar Beispiele: =10 81 = also: =8 27 = also: = = =80 6 = " nicht also: nicht 3. Begründung der Regel Die Regel scheint zu funktionieren, aber sie war uns unverständlich. Zuerst haben wir uns deshalb gefragt, was das Abschneiden der letzten beiden

7 Ziffern bedeutet. Das sieht man, wenn man die Zahl zerlegt: 581= = Das erinnerte uns an den Beweis der Dreierregel. Dort haben wir die 100 in 99+1 zerlegt, weil die 99 durch 3 teilbar ist. Hiermüssenwir100=98+2schreiben,weil98 durch 7 teilbar ist. Also: 581= Dann wenden wir das Distributivgesetz an, also: Und da wir wissen, dass 7 die 98 teilt, können wir 5 98 weglassen, so dass wir nur noch untersuchen müssen. Und das ist ja genau wieder unsere Regel! Also lässt man einfach einen Teil weg, der ja durch 7 teilbar ist. Und da = 91 ist, und 7 91 weiß man, dass 581 auch durch 7 teilbar ist. Auch bei einer vierstelligen Zahl ist die Begründung die Gleiche. Als Beispiel haben wir uns die Zahl 4263 ausgesucht:

8 4263 = = = = können wir weglassen, da wir wissen, dass 98 durch 7 teilbar ist (s.o.). Also muss man wieder die beiden letzten Ziffern und das Produkt addieren. Ist diese Summe auch durch 7 teilbar, dann ist die ganze Zahl durch 7 teilbar. 4. Übertragung auf die Zahl 11 Außerdem haben wir uns gefragt ob diese Regel auch für die Zahl 11 gilt. Wegen 5621 = ist diese Zahl durch 11 teilbar und wir haben die Regel angewendet.

9 5621 = = =131 Pech: 131 ist nicht durch 11 teilbar. So funktioniert die Regel also nicht. Der Fehler liegt vielleicht bei der Multiplikation mit 2 und wir haben nachgesehen woher die 2 kommt. Es liegt an der Aufteilung der Hunderter: x 100=x 98 2, wobei wir die 98 hatten, weil sie durch 7 teilbar war. Hier brauchen wir eine Zahl, die durch 11 teilbar ist und das wäre die 99: x 100= x 99 1 = x 99 x 1 Wir müssen also mit 1 multiplizieren. Zweiter Versuch: =77 Die Regel ist für die 11 also noch einfacher: abschneiden und addieren.

10 5. Übertragung auf die Zahl 13 Nachdem es bei der Zahl 11 so gut funktioniert hat, haben wir uns überlegt ob die Regel auch bei 13 funktioniert. Wir müssen nur 100 = zerlegen, weil 91 durch 13 teilbar ist. 273= = = Und da wir wissen das 91 durch 13 teilbar ist, müssen wir 2 91 nicht mehr ausrechnen. Der Unterschied zur 11-Regel ist, dass man mit 9 anstatt mit 1 multiplizieren muss. Also: =18 73 =91 Da 91 durch 13 teilbar ist, ist auch 273 durch 13 teilbar. Das ganz hat einen Nachteil: Wegen der Multiplikation mit 9 können die Zahlen sehr groß werden. Wir wenden z.b. die Regel auf 7423 an:

11 = =689 Das ist viel Rechenarbeit. Idee: Statt 100=91 9 schreiben wir 100=104 4 und dann ändern wir die Regel: Leider können wir nicht rechnen und die Idee ist nicht brauchbar (Unser Lehrer hat uns aber erklärt, dass man hier mit Minuszahlen rechnen kann: = und da 273 durch 13 teilbar ist, gilt die Regel auch so). 6. Überprüfung auf weitere Primzahlen Nach unserer Erfahrung mit der 13 könnten bei der 17, der 19 usw. noch größere Zahlen auftreten. Bei

12 17 muss man statt wie bei der 13 mit 9 mit der 15 multiplizieren, weil die größte durch 17 teilbare Zahl unter 100 die 85 ist. Und da die Differenz von 100 und ist, muss man mit 15 multiplizieren. Wir machen jetzt mal ein Beispiel mit der 17 : = = = = =17 Und da 17 durch 17 teilbar ist 2992 ebenfalls durch 17 teilbar. 7. Schlusswort Es ist uns gelungen die Regel für die Zahl 7 zu beweisen und zu erklären. Darauf fragten wir uns ob diese Regel auch für andere Zahlen gilt. Wir benutzten die Regel für die Zahlen 11, 13 und 17.

13 Auch bei diesen Zahlen funktionierte die Regel bestens. Wir mussten sie nur anpassen. Es funktioniert bei allen Primzahlen. Die anderen natürlichen Zahlen müssen wir nicht überprüfen da es für diese Zahlen schon Regeln gibt.

14 1.Einführung Wir haben in der Schule mit unserem Mathelehrer Teilbarkeitsregeln behandelt und mussten feststellen, dass es keine Regel zur Teilbarkeit der Zahl 7 gibt. Zufällig hat unser Mathelehrer im Internet Regeln zur Teilbarkeit der Zahl 7 gefunden und da wir uns sofort dafür interessierten nannte er uns eine: Die 1,3,2-Regel. Wir verstanden sofort, warum wir sie nicht behandelt hatten: Sie ist sehr kompliziert. Da wir noch in einer Mathematik-AG mitarbeiten haben wir dann beschlossen, die Regel für Schüler experimentieren genauer zu untersuchen. 2. Die 1,3,2-Regel Man stellt fest ob eine 3-stellige Zahl durch die Zahl 7 teilbar ist, mit der folgenden Methode: Man multipliziert die letzte Ziffer mit 1, die vorletzte mit 3, die erste mit 2 und addiert alle Produkte. Ist die Summe durch 7 teilbar, dann auch die Anfangszahl. Die so bestimmte Summe wird ähnlich gebildet wie die Quersumme, aber die einzelnen Ziffern werden unterschiedlich stark gewichtet. Deshalb spricht man von einer gewichteten Quersumme. Beispiel 1: Die Zahl 693 soll untersucht werden. Wir berechnen zuerst die gewichtete Quersumme: = = 42 Die gewichtete Quersumme 42 ist durch 7 teilbar und nach der Regel dann auch 693 Probe: 693=99 7 Beispiel 2: Die Zahl 987 soll auch untersucht werden. Wir berechnen wieder zuerst die gewichtete Quersumme:

15 = = 49 = teilt 987 Die gewichtete Quersumme 49 ist durch 7 teilbar und nach der Regel dann auch 987. Ist eine Zahl nicht durch 7 teilbar, dann ist auch die gewichtete Quersumme nicht teilbar. Das zeigt das folgende Beispiel: Beispiel 3: 449= = =29 Wie man direkt sieht ist 29 nicht durch 7 teilbar und nach der Regel dann auch 449 nicht. 3. Begründung der Regel Als wir im Unterricht die Teilbarkeitsregeln für 3 und 9 besprochen haben, haben wir die Zahlen so zerlegt, dass ein Teil durch 3 oder 9 teilbar war. Der Rest war dann die Quersumme. Wenn die auch teilbar war, dann war es die ganze Zahl. Beispiel 4: 957 = = = = durch 9 Quersumme teilbare Zahl Weil bei der 7er Regel auch so etwas wie eine Quersumme auftritt, haben wir dasselbe probiert. Wir mussten statt 9, 99 oder 999 aber andere Zahlen wählen, die man durch 7 teilen kann. Das geht so wie im nächsten Beispiel. Beispiel 5:

16 983 = = = = durch 7 teilbare Zahl gewichtete Quersumme Bei der Zerlegung der Zahl kommt ein Teil heraus der durch 7 teilbar ist und ein anderer der die gewichtete Quersumme ist. Daher können wir einfach nach der Regel die gewichtete Quersumme bestimmen und prüfen, ob sie durch 7 teilbar ist. 4. Übertragung der Regel auf mehrstellige Zahlen Wir testen nun eine 4-stellige Zahl Bei diesem Beispiel haben eine Zahl genommen die durch 7 teilbar ist und versucht, ob man auch die Regel anwenden kann. Weil wir nun vier Stellen haben, müssen wir die Regel ändern: wir brauchen noch einen Faktor! Als erstes dachten wir, wir können wieder mit 1 beginnen ( Regel). Beispiel 6: = =37 Problem:7 teilt 37 nicht aber 7 teilt 8743! Leider lässt sich die Regel so leicht nicht übertragen. Deshalb haben wir nachgedacht und in unseren Beweis gesehen: wir müssen die 1000 auch zerlegen. Beispiel 7: = = = Hier ist die erste Klammer sicher durch 7 teilbar, weil 994, 98 und 7 durch 7 teilbar sind. Das heißt, dass die zweite Klammer entscheidet. Das heißt, dass die Regel erweitert werden muss zur 1,3,2,6, -Regel, wenn wir vierstellige Zahlen untersuchen wollen. Auch für fünf- und sechsstellige Zahlen mussten wir neue Faktoren suchen, wie die beiden nächsten Beispiele zeigen.

17 Beispiel 8: = = = teilbare Zahl gewichtete Q.S. Beispiel 9: = = = teilbare Zahl gewichtete Q.S. Also haben wir jetzt eine Regel. Beispiel 10: = = = teilbare Zahl gewichtete Q.S. Das ist umständlich. Aber dann hatten wir eine Idee: Statt 1000 = kann man auch 1000 = schreiben Genauso für = = Nach diesen Rechnungen haben wir direkt gesehen, dass wir nur eine 1,3,2-Regel brauchen. Wir müssen nur nach 1,3,2 mit 1,-3,-2 rechnen. Dann immer abwechselnd Plus und Minus. Für unser 4-stelliges Beispiel sieht das dann so aus:

18 Beispiel 11: 8743= = =29 8 =21 21 teilt 7 Beispiel 12: = =14 7 teilt"14 5. Übertragung auf die Zahl 11 Nachdem das mit der Zahl 7 so gut geklappt hat, dachten wir uns, man müsste die Regel doch eigentlich auch auf andere Zahlen übertragen können. Jetzt stellte sich die Frage, auf welche Zahl man die Regel übertragen könnte. Dann dachten wir an die Zahl 11. So war die Idee der Übertragung auf die Zahl 11 geboren. Wir haben als Beispiel die Zahl 847=11 77 untersucht. Wir zerlegen die Zahl wieder: 847= Hier sieht man gleich das Problem: die 11 ist größer als 10! Aber man kann 10 = 11 1 schreiben. Neuer Versuch: 847 = = Wir müssen nur die letzte Klammer untersuchen und die ist 11 und damit durch 11 teilbar. Für die anderen Zehnerpotenzen haben wir ebenfalls die Faktoren gesucht und in die folgende Tabelle geschrieben: 0 1 = 11-1

19 = = = = Daraus schließt sich : Es geht immer weiter : +1, -1, Beispiel: = = Test: = = = = durch 11 teilbare Zahl Q.S. durch 11 teilbar Übertragung auf die Zahl 13 Durch die Jury beim Jugend forscht - Regionalwettbewerb in Bitburg erhielten wir die Anregung, eine ähnliche Teilbarkeitsregel, wie die 1,3,2-Regel für die Zahl 7,nicht nur für die Zahl 11, sondern auch für die Zahl 13 zu erstellen. Dies haben wir versucht, anschaulich an der Zahl 871 (= 13x67) anschaulich darzustellen. Eine Übertragung der Regel kann dann folgendermaßen aussehen: 871 = = = = = = Durch 13 teilb. Zahl gew. Q.S. Begründung der Regel

20 Die Zahlen in der 1. Klammer sind durch 13 teilbar, da jeweils das Produkt ein vielfaches der Zahl 13 ist. Die 2. Klammer bildet die gewichtete Quersumme. In unserem Fall ist die Summe eine durch 13 teilbare Zahl, wie man auch in dieser Zeile sehen kann Somit können wir feststellen, dass die Übertragung der 1,3,2-Regel auch auf die Zahl 13 möglich ist. 6. Schlusswort Wir haben eine etwas merkwürdige Teilbarkeitsregel für die Zahl 7 untersucht. Wir haben sie an Beispielen getestet und begründet. Wenn die Zahlen mehr als drei Stellen hatten, konnte man die Regel nicht mehr anwenden und wir haben neue Faktoren gesucht, mit denen wir die neuen Ziffern multiplizieren mussten. Nachdem wir insgesamt 6 Faktoren gefunden hatten, ist es wieder bei 1 losgegangen und wir haben auch bemerkt, dass man nicht die Faktoren 1,3,2,6,4,5 benutzen muss, sondern dass man auch 1,3,2,-1,-3,-2 abwechselnd verwenden kann. Dann haben wir für die Zahl 11 noch eine ähnliche Regel gefunden. Für andere Primzahlen könnte man es auch versuchen. Aber im Prinzip wird es genauso gehen.

21 Bei einem unserer letzten Treffen zeichnete Herr Willkomm drei Kreise mit jeweils drei Zahlen (Glücksräder) an die Tafel. 1) 2) 1 3) Dann fragte er uns, welches Rad wir bei einem Spiel der drei Räder gegeneinander wählen würden, um zu gewinnen. Wir ließen jedes der drei Räder gegen die zwei anderen antreten, denn wir wollten wissen welches das Beste war. Bleibt z.b. Rad 1) bei 3 stehen und Rad 2) bei 5, hat natürlich Rad 2) gewonnen. Insgesamt gibt es 9 verschiedene Möglichkeiten, die alle gleich wahrscheinlich sind: (8;9), (8;5), (8;1), (4;9),..., (3;1) 1)gegen 2) 2 \ ) 1) 1) 5 1) 2) 2) 9 2) 2) 2) Wie die Tabelle zeigt, sind fünf der Möglichkeiten für Rad 2) günstig, aber nur 4 für Rad 1). Man sagt: Rad 1) gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 4, Rad 2) 9 mit einer Wahrscheinlichkeit von 5. D.h., dass im 9 Mittel Rad 2) in 5 von 9 Fällen der Sieger bleibt, kurz: Rad 2) gewinnt 5:4!

22 2)gegen 3) 3 \ ) 3) 2) 7 3) 3) 2) 2 3) 2) 2) Klarer Fall: 3) gewinnt gegen 2) und 2) gegen 1)! Also ist Rad 3) wohl das Stärkste, und schlägt Rad 1) wahrscheinlich locker!? 3)gegen 1) 1 \ ) 1) 1) 3 3) 3) 1) 4 3) 3) 1) Überraschung: 1) gewinnt 5:4 Das ist verblüffend, man stelle sich vor: Peter ist kleiner als Ralf, Ralf kleiner als Roman und Roman kleiner als Peter!? Die Glücksräder sind nicht transitiv (transitiv wären sie, wenn 2) gegen 1) gewinnen würde, 3) gegen 2) und deshalb 3) auch gegen 1) gewinnen würde). Es ist egal welches Glücksrad man nimmt, die Gewinn-/ Verlierchancen sind immer gleich (wobei gilt: 2)>1), 3)>2),1)>3);) Einem von uns fiel auf, dass jedes Glücksrad einer Spalte eines magischen Quadrates (für alle die nicht wissen was ein magisches Quadrat ist: bei einem magischen Quadrat sind die Summen von Zeilen, Spalten und Hauptdiagonalen identisch) der Größe 3x3 entspricht:

23 Hier spielen jetzt nicht Glücksräder gegeneinander, sondern Spalten eines magischen Quadrates. Nun interessierte es uns natürlich ob ein Zusammenhang zwischen den nicht transitiven Glücksrädern und den magischen Quadraten besteht. Also probierten wir das ganze mit einem magischen Quadrat der Größe 5x5: Ergebnis: : : : : :14 Also: Auch ein magisches Quadrat der Größe 5x5 kann man zur Bildung nichttransitiver Glücksräder nutzen. War diese Aussage zu verallgemeinern? Da wir für beliebige magische Quadrate keinen Ansatz fanden, haben wir uns auf magische Quadrate mit folgendem Konstruktionsverfahren konzentriert:

24 1) 1 Man fängt mit der 1 oben in der Mitte an. 2) 3) Nun setzt man die nächste Zahl nach oben rechts. Da das hier nicht möglich ist, geht man an das andere Ende der Zeile/Spalte. Hier das Gleiche: Oben rechts, an das andere Ende der Zeile/Spalte. 4) Wenn man bei der n x X-ten (bei einem Quadrat n x n) angekommen ist geht man ein Feld nach unten. 5) 1 Nun geht das Ganze wieder von Vorne los. 3 5 Hier funktioniert es mit oben rechts ) Wieder nach oben rechts, geht nicht, also ans andere Ende der Zeile/Spalte. 7)

25 ) ) Hier ebenfalls. Hier wieder ein Feld nach unten. Noch einmal. Jetzt ist es fertig!!! Die Frage war nun, ob aus dieser speziellen Konstruktionsmethode folgt, dass mit größerer Wahrscheinlichkeit von zwei benachbarten Spalten immer die linke gegen die rechte verliert (die letzte Spalte wird dabei zum linken Nachbarn der ersten ernannt). Jetzt gab Herr Willkomm uns den Tipp, die Methode einmal ohne Quadratbegrenzung auszuprobieren. Das ganze sieht dann folgendermaßen aus:

26 Mannschaft: Aber auch dieser Ansatz brachte uns nicht weiter, da das Schema zu komplex wird. Vielleicht könnt ihr uns ja weiterhelfen (wendet euch dann an H. Willkomm). Jonas Scherer & Andreas Dixius