1 Darmerkrankung Das Robert-Koch-Institut in Berlin hat den Verlauf der Darmerkrankung EHEC untersucht. Die Zahl der Erkrankten kann näherungsweise durch folgende Funktionsgleichung dargestellt werden: f(x) = 1 250 x3 + 1 10 x2 Die Erfassung der Erkrankten beginnt zum Zeitpunkt x = 0, x ist die Zeit in Tagen. Es wird nur das Intervall betrachtet, auf dem f(x) > 0 ist. 1. Ermitteln Sie, wie viele Personen am zehnten Tag erkrankt sind. 2. Berechnen Sie, an welchem Tag die Epidemie vorbei ist. 3. Berechnen Sie den Tag, an dem die meisten Personen erkrankt sind. Wie viele Personen sind an diesem Tag erkrankt? 4. Berechnen Sie, an welchem Tag sich die Zahl der Erkrankten am stärksten änderte. Interpretieren Sie diesen Punkt mathematisch. 5. Ermitteln Sie wann die Erkrankungsrate 0,5 Erkrankte/Tag beträgt. 6. Der Verlauf einer anderen Erkrankung kann durch die Funktion f(x) = ax 3 +bx 2 + cx + d angegeben werden. Die Funktion berührt die x-achse bei x = 0 und hat den Wendepunkt W = (3 4). Geben Sie die Termdarstellung der Funktion an. 1
2 Schisrumpf Ein Schiskonstrukteur stellt für die Seitenansicht einer Jacht die Funktion f(x) = 1 6750 x4 1 75 x2 9 2 auf. Die Längenangaben werden in Metern gemessen. Das Deck wird durch die x-achse erfasst, die Wasserlinie durch die Gerade y = 1. Es wird nur das Intervall betrachtet, für das f(x) 0 ist. 1. Begründen Sie das Symmetrieverhalten des Grafen. 2. Ermitteln Sie die Länge des Schis. 3. Bestimmen Sie den maximalen Tiefgang 4. Die maximale Geschwindigkeit, die ein Schi der obigen Bauart durch Windkraft erreichen kann, hängt von der Länge des Schis entlang der Wasserlinie ab. Eine Faustformel zur Berechnung der maximalen Geschwindigkeit v in km/h lautet v = 4, 5 Länge des Schies in m entlang der Wasserlinie Berechnen Sie, wie lange die Jacht auf einer Regattastrecke von 500 Seemeilen mindestens unterwegs sein wird. (1 Seemeile 1852 m). 3 Sportwagen Ein Sportwagen, der in einem Zeitintervall von 40 Sekunden zwischen zwei Ampel beschleunigt und wiederabbremst, bewegt sich annähernd nach der Weg-Zeit-Funktion s(t) = t 2 t3 (s in m, t in s, 0 t 40). 60 t... Zeit in Sekunden (s) s(t)... zurückgelegter Weg in Metern (m) nach t Sekunden 2
1. Berechnen Sie die Strecke, die zwischen den Ampeln liegt. 2. Zeichnen Sie das Weg-Zeit-Diagramm. 3. Beschreiben Sie mithilfe des Weg-Zeit Diagramms, wie sich die Geschwindigkeit des Sportwagens während der Fahrt verändert. Lesen Sie insbesondere ab, zu welchem Zeitpunkt der Wagen die höchste Geschwindigkeit erreicht. 4. Ermitteln Sie die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion. Berechnen Sie mit deren Hilfe die maximale Geschwindigkeit des Wagens in km/h. 5. Zeichnen Sie das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm. Lesen Sie daraus ab, in welchem Zeitintervall der Sportwagen schneller als 54 km/h fährt. 6. Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit für das Zeitintervall aus (5). Erklären Sie Ihr Ergebnis aus mathematischer Sicht und im Sachzusammenhang. 7. Zeichnen Sie das Beschleunigungs-Zeit-Diagramm. 4 Ableitungsfunktion einer linearen Funktion In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer linearen Funktion f dargestellt. Zeichnen Sie die Ableitungsfunktion f der Funktion f ein. 3
5 Gleiche Ableitungsfunktion In der unten stehenden Abbildung ist der Graph der Funktion g dargestellt. Zeichnen Sie im vorgegebenen Koordinatensystem den Graphen einer Funktion f(f g) ein, die die gleiche Ableitungsfunktion wie die Funktion g hat! 4
6 Graph der ersten Ableitungsfunktion Gegeben ist der Graph der Funktion f. Welche der nachstehenden Abbildungen beschreibt den Graphen der ersten Ableitungsfunktion der Funktion f? Kreuzen Sie die zutreende Abbildung an! 5
7 Lokale Extrema Von einer Polynomfunktion f dritten Grades sind die beiden lokalen Extrempunkte E 1 = (0 4) und E 2 = (4, 0) bekannt. Welche Bedingungen müssen in diesem Zusammenhang gegeben sein? Kreuzen Sie die zutreenden Aussagen an! 8 Ermittlung einer Funktionsgleichung Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x 2 +bx+c mit b, c R. Der Graph der Funktion f verläuft durch den Ursprung. Die Steigung der Funktion im Ursprung hat den Wert null. Ermitteln Sie die Werte der Parameter b und c und geben Sie die Gleichung der Funktion f an! 6
9 Eigenschaften von Funktionen In der untenstehenden Abbildung ist der Graph einer Funktion f dargestellt. Der Punkt C ist ein Wendepunkt der Funktion f. Die Punkte A und E sind lokale Extrema. Kreuzen Sie die zutreende(n) Aussage(n) an! 7
10 Funktionseigenschaften Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f einer Polynomfunktion f. Kreuzen Sie die beiden zutreenden Aussagen an! 8