Tutorium Mathematik in der gymnasialen Oberstufe 9. Veranstaltung: Kreis und Kugel 30. Januar 013 1. Kreisgleichungen Kreisgleichung in Vektorschreibweise Sei k ein Kreis mit dem Radius r in der Koordinatenebene. Bezeichne überdies m den Ortsvektor des Mittelpunktes M und x den Ortsvektor eines beliebigen Punktes X des Kreises. Dann gilt: X k x m r. 1. Aufgabe: Begründen Sie die obige Aussage! Abb. 1: Kreisgleichung in Vektorschreibweise (In: [1], S 19) Setzt man in die Kreisgleichung in Vektorschreibweise die Koordinaten des Mittelpunktes bzw. des Kreispunktes ein, erhält man die Kreisgleichung in Koordinatenschreibweise: x m 1 1 r. Aufgabe: Geben Sie eine weitere Begründung für die Kreisgleichung in Koordinatenschreibweise mithilfe des Satzes des Pythagoras an! Fertigen Sie hierzu eine entsprechende Abbildung an! 3. Aufgabe: Geben Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r an! Berechnen Sie die Schnittpunkte des Kreises mit den Koordinatenachsen! a.) M(;3) r=5 b.) M(-;3) r=5 c.) M(-;-3) r=5 d.) M(0;0) r=5 4. Aufgabe: Ermitteln Sie eine Gleichung des Kreises mit dem Mittelpunkt M(4;5), der a.) die x-achse b.) die y-achse c.) die Gerade g: x 3y 1 berührt! 5. Aufgabe: Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt der Kreise, die durch folgende Gleichungen angegeben sind: a.) x y 16 c.) x 6x y 8y 0 b.) ( x 1) ( y ) 11 d.) x 10x y y 17 40
6. Aufgabe: Untersuchen Sie, ob durch die folgenden Gleichungen Kreise beschrieben werden! Formulieren Sie anhand Ihrer Erfahrungen ein allgemeines Kriterium für eine Kreisgleichung! a.) x 8x y y 0 b.) x y 8x y c.) x y 8x y 7. Aufgabe: Der Kreis k geht durch die Punkte A(7;9), B(14;) und C(;10). Bestimmen Sie evtl. unter Verwendung eines CAS die Gleichung des Kreises! 8. Aufgabe: Betrachten Sie den Kreis k mit der Gleichung: k: ( x ) y 36 und die Punkte P(1;3), Q(-;6) und R(3;4). Überprüfen Sie ohne Abbildung/Zeichnung, welcher der Punkte auf der Kreislinie, im Inneren des Kreises bzw. außerhalb des Kreises liegt! Formulieren Sie anschließend ein allgemeines Kriterium für die Ermittlung der Lagebeziehung zwischen Punkt und Kreis!. Kreis und Gerade 9. Aufgabe: Bestimmen Sie die Schnittpunkte des Kreises k: ( x 3) ( y 1) 50 mit den Geraden f, g und h! Fertigen Sie eine entsprechende Zeichnung an und interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch! f : x y 6 g : x y 8 h : x y 10 10. Aufgabe: Begründen Sie analytisch, warum ein Kreis und eine Gerade entweder zwei, einen oder keinen Punkt gemeinsam haben! 11. Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis k: ( x 4) ( y 3) 5, die den Kreis k im Punkt P(7;1) berührt! 1. Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis k: ( x 3) ( y 6) 0, die durch den Punkt P(-7;4) geht! Berechnen Sie auch die Koordinaten des Berührungspunktes! 13. Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der durch die Punkte A(;-4) und B(-8;0) geht und den Radius r 58 hat! 14. Aufgabe: Ermitteln Sie, für welche t R die Gerade g: y x t Tangente, Passante oder Sekante des Kreises k: x y 16 ist! 15. Aufgabe: Ermitteln Sie die Gleichung der Schnittgeraden von k 1 : ( x 4) ( y 4) 10 und k : ( x 1) ( y 1) 40!
*16. Aufgabe: Welche Lagebeziehung besteht zwischen den Kreisen k 1 : 1 ( x 4) ( y 3) r und k : ( x 4) ( y 3) 5, falls r 1 =5 ist? Geben Sie einen Wert für r 1 an, sodass a.) k 1 und k keinen gemeinsamen Punkt haben, b.) k 1 und k zwei Schnittpunkte haben (berechnen Sie diese), c.) k 1 von k innen berührt wird (berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes), d.) k im Innern von k 1 liegt! 3. Kugelgleichungen Kugelgleichung in Vektorschreibweise Sei k eine Kugel mit dem Radius r. Bezeichne überdies m den Ortsvektor des Mittelpunktes M und x den Ortsvektor eines beliebigen Punktes X der Kugel. Dann gilt: X k x m r. 17. Aufgabe: Begründen Sie die obige Aussage! Abb. : Kugelgleichung in Vektorschreibweise (In: [1], S. 194) Setzt man in die Kugelgleichung in Vektorschreibweise die Koordinaten des Mittelpunktes bzw. des Kreispunktes ein, erhält man die Kugelgleichung in Koordinatenschreibweise: x m 1 1 3 3 r 18. Aufgabe: Geben Sie eine weitere Begründung für die Kugelgleichung in Koordinatenschreibweise mithilfe des räumlichen Satzes des Pythagoras an! Fertigen Sie hierzu eine entsprechende Abbildung an! 19. Aufgabe: Geben Sie eine Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r an! Berechnen Sie die Schnittpunkte der Kugel mit den Koordinatenachsen! a.) M(;3;1) r=5 b.) M(-;3;-1) r=5 c.) M(-;-3;1) r=5 d.) M(0;0;0) r=5 0. Aufgabe: Ermitteln Sie eine Gleichung der Kugel mit dem Mittelpunkt M(4;5;), der a.) die xy-ebene c.) die xz-ebene b.) die yz-ebene d.) die Ebene E: x 3y 1 berührt!
1. Aufgabe: Bestimmen Sie Radius und Mittelpunkt der Kugeln, die durch folgende Gleichungen angegeben sind: a.) x y z 16 b.) ( x 1) ( y ) ( z 3) 11 c.) x 6x y 8y z 0 d.) x 10x y y z 6z 11 40. Aufgabe: Untersuchen Sie, ob durch die folgenden Gleichungen Kugeln beschrieben werden! Formulieren Sie anhand Ihrer Erfahrungen ein allgemeines Kriterium für eine Kugelgleichung! a.) x y z 8x y 3 0 b.) x y z 8x y 5z c.) x y z 8x y 5z 3. Aufgabe: Die Kugel k geht durch die Punkte A(-1;;7), B(1;3;6), C(4;0;6) und D(3;-;5). Bestimmen Sie evtl. unter Verwendung eines CAS die Gleichung der Kugel! 4. Aufgabe: Betrachten Sie die Kugel k mit der Gleichung: k: ( x ) ( y 3) ( z 4) 5 und die Punkte P(-;-1;-1), Q(1;1;1) und R(-;6;0). Überprüfen Sie ohne Abbildung/Zeichnung, welcher der Punkte auf der Kugeloberfläche, im Inneren der Kugel bzw. außerhalb der Kugel liegt! Formulieren Sie anschließend ein allgemeines Kriterium für die Ermittlung der Lagebeziehung zwischen Punkt und Kugel! 4. Kugel und Ebene 5. Aufgabe: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Kugel k: x y z 16 mit den Ebenen E, F und G! Fertigen Sie eine entsprechende Zeichnung an und interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch! E : z 3 F : z 4 G : z 5 6. Aufgabe: Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel k: ( x ) ( y 4) ( z 6) 41, die die Kugel k im Punkt P(6;1;10) berührt! Gleichungen der Tangentialebene Ist k eine Kugel mit dem Mittelpunkt M (m 1 ; m ; m 3 ) und dem Radius r sowie P(p 1 ; p ; p 3 ) ein Punkt von k, dann ist ( x m) ( p m) r die vektorielle Gleichung und ( x m r 1 )( p1 m1 ) ( y m )( p m ) ( z m3 )( p3 m3 ) die Koordinatengleichung der Tangentialebene an k im Punkt P. Abb. 3: Tangentialebene (In: [1], S. 199)
7. Aufgabe: Geben Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Kugel k: x y z y 4z 0 durch den Punkt P(1;0;5) an! 8. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Ebene E: 5 1 x 1 0 s 0 r 1 die Kugel k: 7 7 1 x ( y 1) ( z ) 5 schneidet, bestimmten Sie den Mittelpunkt und den Radius des Schnittkreises! 9. Aufgabe: Ermitteln Sie die Gleichung der Schnittebene von k 1 : x y z x z 14 0 und k : x y z 6x 10y z 9 0! *30. Aufgabe: Welche Lagebeziehung besteht zwischen den Kreisen k 1 : 1 ( x 4) ( y 3) z r und k : ( x 4) ( y 3) z 5, falls r 1 =5 ist? Geben Sie einen Wert für r 1 an, sodass a.) k 1 und k keinen gemeinsamen Punkt haben, b.) k 1 und k sich in einem Kreis schneiden, c.) k 1 von k innen berührt wird (berechnen Sie die Koordinaten des Berührungspunktes), d.) k im Innern von k 1 liegt! Literatur: [1] Bossek, H./Heinrich, R. (007): Lehrbuch Analytische Geometrie. Gymnasiale Oberstufe. Berlin/Frankfurt: Duden Paetec, S. 181-06. [] Schmid, A./Schweizer, W. (Hrsg.) (1999): Ls Mathematik. Analytische Geometrie mit Linearen Algebra. Grundkurs. Stuttgart: Klett. S. 10-144- [3] Bürger, A. et. al. (1991): Mathematik Oberstufe. Wien: Hölder-Pichler-Tempsky Verlag. S. 149-168.