Komplexe Zahlen Einführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Komplexe Zahl Unter dem Zahlenkörper der komplexe Zahlen C versteht man die Elemente von R 2 folgenden Rechenoperationen: mit Bemerkungen: { x, y x, y R } a, c, d = a c, d a, c, d = a c d, a d c Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenereich der reellen Zahlen, dass die Gleichung x 2 = 1 lösar wird. Dazu definieren wir die imaginäre Einheit als die Zahl i = 0, 1, deren Quadrat 1 ergit als Lösung der Gleichung x 2 = 1. i 2 = 1 oder i = 1 Alle komplexe Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem vielfachen von i darstellen: z = a + i woei a, reellen Zahlen sind und i die Imaginär Einheit ist. Realteil von z : Re(z) = a Imaginärteil von z : Im z = Mit komplexe Zahlen rechnet man wie mit reellen Zahlen, man hat nur i 2 = 1 zu erücksichtigen i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) Die Menge C = { z z = a + i mit a, R } heißt Menge der komplexen Zahlen. M. Komasi 1
Rechnen in der algeraischen Form a) Addition Zwei komplexe Zahlen = a i und z 2 = c d i werden addiert, indem man ihre reellen und imaginären Anteile jeweils getrennt voneinander addiert: z 2 = a i c d i = a c d i ) Sutraktion Zwei komplexe Zahlen = a i und z 2 = c d i werden sutrahiert, indem man ihre reellen und imaginären Anteile jeweils getrennt voneinander sutrahiert: z 2 = a i c d i = a c d i Grundgesetze der Addition von komplexen Zahlen: Existenz der Summe: Je zwei komplexen Zahlen C ist genau eine komplexe Zahl + z 2 C zugeordnet. Kommutativgesetz: C gilt: + z 2 = z 2 + Assoziativgesetz:, z 3 C gilt: + ( z 2 + z 3 ) = ( + z 2 ) + z 3 Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elements: Es git in C genau eine komplexe Zahl n, so dass für alle z C gilt: z + n = z. Existenz und Eindeutigkeit der inversen Elemente: Zu jeder komplexen Zahl z C git es genau eine komplexe Zahl z ' C mit z + z ' = 0. z ' = z c) Multiplikation Zwei komplexe Zahlen = a i und z 2 = c d i werden miteinander multipliziert, indem man die Rechenregeln der Algera anwendet und daei eachtet, dass i 2 = 1 : z 2 = a i c d i = a c d a d c i d) Division Zur Division einer komplexen Zahl = a i durch eine komplexe Zahl z 2 = c d i erweitern wir zunächst den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners: z 2 = a + i c + d i = a + i c + d i c d i c d i = a c + d c 2 + d 2 + c a d c 2 + d 2 i M. Komasi 2
Grundgesetze der Multiplikation von komplexen Zahlen: Existenz der Summe: Je zwei komplexen Zahlen C ist genau eine komplexe Zahl z 2 C zugeordnet. Kommutativgesetz: C gilt: z 2 = z 2 Assoziativgesetz:, z 3 C gilt: ( z 2 z 3 ) = ( z 2 ) z 3 Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elements: Es git in C genau eine komplexe Zahl e, so dass für alle z C gilt: z e = z. Existenz und Eindeutigkeit der inversen Elemente: Zu jeder komplexen Zahl z C git es genau eine komplexe Zahl z ' C mit z z ' = e. z ' = z 1 = 1 z 1) Sind = 3 + 2i = 7 + 5i, so erhält man: a) + z 2 = (3 + 2i ) + (7 + 5i ) = 10 + 7i ) z 2 = (3 + 2i ) (7 + 5i ) = 4 3i c) z 2 = (3 + 2i) (7 + 5i ) = 21 + 15i + 14i + 10 i 2 1 = 11 + 29i d) z 2 = 3 + 2i 7 + 5i 7 5i 7 5i = 1 21 15i + 14i 10 i2 49 + 25 = 31 74 1 74 i M. Komasi 3
Komplex konjugierte Zahl Ist z C mit z = a i und a, R, dass ezeichnet man z z quer ẕ = a i als die zu z konjugiert komplexe Zahl. Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils einer komplexes Zahl z = a i um, so erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl z = a i. Beispiele: 1) = 3 + 2i ẕ 1 = 3 2i 2) z 2 = 3 + 2i ẕ 2 = 3 2i 3) z 3 = 3 2i ẕ 3 = 3 + 2i 4) z 4 = 3 2i ẕ 4 = 3 + 2i Rechenregeln für die Konjugation Für alle z, C gilt: z = z z z = (Re z) 2 + (Im z) 2 0 z + z = 2 (Re z) z z = 2 (Im z)i + z 2 = + z 2 z 2 = z 2 Komplexe Zahleneene Alle reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf einem Zahlenstrahl darstellen. Bei komplexe Zahlen reicht ein Zahlenstrahl nicht mehr aus,man raucht jetzt eine Zahleneene. Der Realteil einer komplexen Zahl wird auf der Waagerechten, Imaginärteil auf der Senkrechten Achse agetragen. M. Komasi 4
Betrag einer Komplexe Zahl Der Astand r einer Zahl z vom Ursprung o heißt: Betrag von z : z nach Pythagoras: z 2 = a 2 2 z = a 2 + 2 Unter dem Betrag z der komplexen Zahl negative reelle Zahl. z = a i mit a, R versteht man die nicht Eigenschaften: Für alle z, C gilt: z = z z z 0 für alle z = 0 z = 0 z = a 2 2 z C i) Re z z ii) Im z z z = z = z z 2 = z 2 z 2 z 2 Beispiele: 1) = 1 3i = 1 2 3 2 = 10 2) z 2 = 1 3i z 2 = 1 2 3 2 = 10 3) z 3 = 1 3i z 3 = 1 2 3 2 = 10 4) z 4 = 1 3i z 4 = 1 2 3 2 = 10 Darstellungsformen einer komplexen Zahl I) Algeraische oder kartesische Form Die komplexe Zahlen lassen sich als algeraische Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären Zahl i darstellen: z = a + i Diese Darstellungsform heißt algeraisch oder kartesische Form. M. Komasi 5
II) Trigonometrische Form: Aus der Veranschaulichung einer komplexen Zahl z = a i in der Gaußschen Zahleneene können wir die trigonometrische Darstellung aleiten. Wenn man nur den Winkel φ und den Betrag z kennt, kann man mit trigonometrischen Funktionen den real-und den Imaginärteil von z ausrechnen cosφ = a r sin φ = r Re(z) = a = r cos φ Im (z) = = r sin φ z = a + i z = r cosφ + r i sin φ z = r (cos φ + isin φ) Man ezeichnet diese Darstellung von z trigonometrische Form von z r : Betrag von z φ : Argument von z Das Argument φ kann man aus tan φ = a estimmen. Daei ist auf die korrekten Quadranten zu achten. 0 a 0 a = 0 a 0 φ = a) π 2 a) + π = 0 φ = 0 φ = π 0 a) + 2π φ = 3π 2 a) + π M. Komasi 6
a) z Liegt im I. Quadrant: a > 0, 0 und 0 φ < π 2 tan φ = a a) 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) = arctan ( 1 1) = π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( π 4) + i sin ( π 4)] ) z Liegt im II. Quadrant: π a < 0, 0 und 2 < φ π tan α = a α = arctan ( φ = π α a) + π a) = arctan ( a) 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) + π = arctan ( 1) 1 + π = π 4 + π = 3 π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( 3 π 4 ) + i sin ( 3π 4 )] M. Komasi 7
c) z Liegt im III. Quadrant: a < 0, < 0 und π φ < 3 π 2 tan α = a = a α = arctan ( a) φ = π + α a) + π 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) + π = arctan ( 1) + π = π 4 + π = 5π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( 5 π 4 ) + i sin ( 5π 4 )] d) z Liegt im IV. Quadrant: a > 0, < 0 und tan α = a 3 π 2 < φ < 2 π α = arctan ( a ) = arctan ( a) φ + α = 2 π φ = arctan( a) + 2π 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) + 2 π = arctan ( 1 1 ) + 2 π = π 4 + 2 π = 7π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( 7 π 4 ) + i sin ( 7 π 4 )] M. Komasi 8
Multiplikation zweier komplexer Zahlen in der trigonometrischen Darstellung Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert. (cos φ 1 + isin φ 1 ) z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) z 2 (cosφ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) r 2 [ cos φ cosφ + icos φ sin φ + isin φ cosφ + 1 2 1 2 1 2 i2 r 2 [ cosφ 1 cos φ 2 sin φ 1 sin φ 2 cos(φ 1 + φ 2 ) 1sin φ 1 sin φ 2] + i( cosφ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cosφ 2 z 2 r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + i (sin(φ 1 + φ 2 ))] sin (φ 1 + φ 2 ) )] Division zweier komplexer Zahlen in der trigonometrischen Darstellung Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente sutrahiert. (cos φ 1 + isin φ 1 ) = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) (cos φ 1 + isin φ 1 ) z 2 r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) cosφ isin φ 2 2 cosφ 2 isin φ 2 cosφ 1 cos φ 2 cos φ 1 i sin φ 2 + isin φ 1 cos φ 2 i 2 sin φ 1 sin φ 2 r 2 cos 2 φ 2 + sin 2 φ 2 r 2 [ cosφ 1 cos φ 2 + sin φ 1 sin φ 2 cos(φ 1 φ 1 ) 1 + i( cosφ 1 sin φ 2 sin φ 1 cosφ 2 sin (φ 1 φ 2 ) )] z 2 r 2 [cos(φ 1 φ 2 ) + i (sin(φ 1 φ 2 ))] 1) Berechnen Sie z = z = 18 (cos14 + isin 14 ) 3 (cos46 + i sin 46 ) 6 (cos58 + i sin 58 ) 18 (cos14 + isin 14 ) 3 6 [cos(46 + 58 ) + isin (46 + 58 )] 0 1 z = cos(14 104 ) + i sin(14 104 ) = i M. Komasi 9
Potenzieren einer komplexen Zahl in der trigonometrischen Darstellung Es sei z C mit z = r (cos φ + isin φ) Dann erhalten wir: z 2 = r (cosφ + i sin φ ) r (cosφ + isin φ ) = r 2 [cos(2φ) + i sin(2φ)] z 3 = z 2 z = r 2 [cos(2φ) + i sin(2φ)] r (cosφ + i sin φ) = r 3 [cos(3φ) + i sin(3φ)] z n = r n [cos(n φ) + i sin(n φ)] Die n te Potenz einer komplexen Zahl kann man estimmen, indem man den n fachen Phasenwinkel φ nimmt und den Betrag z, der eine reelle Zahl ist, zur n ten Potenz nimmt. 1) z = 3 2 3 2 i, z 6 =? r = z = a 2 2 = 3, z = r (cos φ + isin φ) = 3 [ cos ( π 6 ) + i sin ( π 6)] z n = r n [cos(n φ) + i sin(n φ)] z 6 = ( 3) 6 a) = arctan ( 3/ 2 3/ 2 ) = π 6 [ ( cos 6 π6 ) + i sin( 6 = 27 π6)] Radizieren Es sei z C. Jede komplexe Zahl z, die der Gleichung z n = z 0 genügt, heißt n te Wurzel von z 0 z = n z 0 Es sei z 0 = r 0 (cosφ 0 + isin φ 0 ) und z n = r n [cos(n φ) + i sin(n φ)] z n = z 0 r n [cos(n φ) + isin (nφ)] = r 0 [ cosφ 0 + i sin φ 0 ] Durch Vergleich der Beträge und Argumente ergit sich wegen der vieldeutigkeit der Argumente von z 0 r n = r 0 r = n r 0 n φ = φ 0 + k 2 π φ = φ 0 + k 2 π n Die Gleichung z n = z 0 mit z 0 = r 0 (cos φ 0 + isin φ 0 ) esitzt die n Lösungen. Z k+1 = n r 0 [ ( cos φ + k 2π 0 n ) ( + isin φ + k 2 π )] 0 n M. Komasi 10
1) Alle Lösungen von z 3 = i sind zu erechnen. z 3 = i z 0 = i r 0 = a 2 2 = 1 a = 0, > 0 und φ 0 = π 2 z 0 = r 0 (cosφ 0 + isin φ 0 ) = cos( π 2) + i sin ( π 2) Z k+1 = n r 0 [ ( cos φ + k 2π 0 n ) ( + isin φ + k 2 π )] 0 n k = 0 Z 1 = cos( π 2 + 0 2 π 3 ) + isin ( π 2 + 0 2 π 3 ) = 3 2 + 1 2 i k = 1 Z 1 = cos( π 2 + 1 2 π 3 ) + i sin ( π 2 + 1 2 π 3 ) = 3 2 + 1 2 i k = 2 Z 1 = cos( π 2 + 2 2π 3 ) + isin ( π 2 + 2 2π 3 ) = i III) Exponentielle Darstellung von z Unter Verwendung der Eulerschen Formel e i φ = cosφ + i sin φ ergit sich aus der trigonometrischen Form z = r (cos φ + i sin φ) die als Exponentialform ezeichnete Darstellungsform z = r e i φ Durch die Exponentialform von z wird nicht nur die Schreiweise kürzer,auch die Multiplikation, die Division, das Potenzieren und das Radizieren werden formelmäßig einfacher. Multiplikation: z 2 e i φ 1 r 2 e i φ 2 r 2 e i (φ 1 + φ 2 ) Division: z 2 ei φ1 r 2 e i φ 2 r 2 e i (φ 1 φ 2) Potenzieren: z n = r n e i n φ Radizieren: n ( z = r n e i φ + k 2 π n ) M. Komasi 11
Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl ist unendlich vieldeutig: ln z = ln (r e i (φ + k 2 π) ) ln z = ln r + ln (e i (φ + k 2π) ) z = r e i (φ + k 2 π) mit r > 0 und 0 φ < 2π ln z = ln r + i(φ + k 2π)ln e 1 ln z = ln r + i(φ + k 2π) Der Hauptwert wird für k = 0 angenommen: ln z = ln r + i φ 1) z = 1 Wir stellen z zunächst in der Exponentialform dar: r = a 2 2 = 1 a < 0, = 0 und φ = π z = r e i (φ + k 2 π) i(φ + k 2π) = e ln z = ln r + i(φ + k 2π) = ln 1 + i (π + k 2π) = i (π + k 2π) Der Hauptwert von ln z ist damit k = 0 ln z = i π M. Komasi 12