Geometrische Brownsche Bewegung und Brownsche Brücke Korinna Griesing Dozentin: Prof. Dr. Christine Müller 17. April 2012 Korinna Griesing 1 (26)
Inhalt Motivation Statistische Methoden Geometrische Brownsche Bewegung Verschiebung der Brownschen Bewegung Brownsche Brücke Simulationen, Untersuchungen und Beispiele Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung Untersuchung der geometrischen Brownschen Bewegung Simulation der Brownschen Brücke Ähnlichkeit der Pfade mit gleichen Parametern Zusammenfassung Korinna Griesing 2 (26)
Motivation Brownsche Bewegung ungeeignet für Simulation von Aktienwerten Modifikation nötig, die nur posivite Werte annimmt Verlauf eines dynamischen Vorgangs zwischen zwei festgelegten Punkten Ziel: Vorstellung und Untersuchung der geometrischen Brownschen Bewegung und der Brownschen Brücke Korinna Griesing 3 (26)
Geometrische Brownsche Bewegung negative Werte der Brownschen Bewegung möglich wegen Normalverteilung von Zuwächsen stationäre Zuwächse unabhängig vom aktuellen Wert der Zufallsvariable nicht immer gerechtfertigt Korinna Griesing 4 (26)
Verwendung: Simulation des Kursverlaufs von Aktien Definition: S(t) = x exp[(r σ2 )t +σw(t)], t > 0 2 Startwert S(0) = x, x R Volatilität σ > 0 Drift r Korinna Griesing 5 (26)
Zuwächse von S: S(t+ t) = S(t) exp[(r σ2 2 )(t+ t t)+σ(w(t+ t) W(t))] = S(t) exp[(r σ2 2 ) t +σ tz] Z normalverteilt mit Erwartungswert 0 und Varianz 1 Korinna Griesing 6 (26)
Generalisierte geometrische Brownsche Bewegung geometrische Brownsche Bewegung, die bei x zum Zeitpunkt s beginnt Formel: Z s,x (t) = x exp[(r σ2 )(t s)+σ(w(t) W(s))], t s 2 Z 0,S(0) (t) = S(t) Korinna Griesing 7 (26)
Verschiebung der Brownschen Bewegung Brownsche Bewegung, die zum Zeitpunkt t 0 bei dem Wert x beginnt Formel: W t0,x(t) = x + W(t) W(t 0 ) Transformation durch Verschiebung um x nach oben entlang der y-achse und um W(t 0 ) nach unten entlang der y-achse als bedingte Wahrscheinlichkeit: W t0,x = {W(t), t 0 t T W(t 0 ) = x} es gilt: W 0,W(0) (t) = W(t) Korinna Griesing 8 (26)
Brownsche Brücke Beschreibung von dynamischem Vorgang, der fast sicher bei einem bestimmten Wert beginnt und fast sicher bei einem bestimmten Wert endet Simulation der Brownschen Bewegung zwischen zwei Punkten Korinna Griesing 9 (26)
Formel: W T,y t 0,x (t) = x + W(t t 0 ) t t 0 T t 0 (W(T t 0 ) y + x) Brownsche Bewegung, die bei x zum Zeitpunkt t 0 beginnt, bei y zur Zeit T, T > t 0 endet als bedingte Wahrscheinlichkeit: {W(t), t 0 t T W(t 0 ) = x, W(T) = y} Korinna Griesing 10 (26)
Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung Simulation der Brownschen Bewegung Transformation gemäß Definition mit Schleife oder vektorweise Parameter: Volatilität σ, Drift r, Ende des Intervalls, Startwert, Anzahl Schritte Funktion BM im Paket sde Korinna Griesing 11 (26)
1. Möglichkeit der Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung set.seed(123) r <- 1 sigma <- 1 x <- 1 N <- 100 T <- 1 Delta <- T/N W <- numeric(n+1) t <- seq(0,t,length=n+1) for(i in 2:(N+1)) { W[i] <- W[i-1] + rnorm(1) sqrt(delta) } S <- x exp((r-sigma 2 /2) t + sigma W) Korinna Griesing 12 (26)
Simulation der Brownschen Bewegung BM <- function(x=0, t0=0, T=1, N=100){ if(t<= t0) stop("wrong times") dt <- (T-t0)/N t <- seq(t0,t, length=n+1) X <- ts(cumsum(c(x,rnorm(n) sqrt(dt))), start=t0, deltat=dt) return(invisible(x)) } Korinna Griesing 13 (26)
2. Möglichkeit der Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung GBM <- function(x, r=0, sigma, T=1, N=100){ tmp <- BM(T=T, N=N) S <- x exp((r-sigma 2 /2) time(tmp)+sigma as.numeric(tmp)) X <- ts(s, start=0, deltat=1/n) return(invisible(x)) } Korinna Griesing 14 (26)
Veränderung der Brownschen Bewegung zur geometrischen Brownschen Bewegung Wert 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung: Ein Pfad der normalen Brownschen Bewegung (gestrichelte Linie) und der daraus berechnete Pfad der geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift r=1 und Volatilität σ=1 (durchgehende Linie) Korinna Griesing 15 (26)
Untersuchung der geometrischen Brownschen Bewegung Wert 0 5 10 15 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung: Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung mit Volatilität σ=0.5 (durchgehende Linie), σ=2 (gestrichelte Linie) und σ=5 (gepunktete Linie Korinna Griesing 16 (26)
Wert 0 5 10 15 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung: Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung mit Drift r=1 (durchgehende Linie), r=0 (gestrichelte Linie) und r=-1 (gepunktete Linie) Korinna Griesing 17 (26)
Simulation der Brownschen Brücke Simulation ähnlich zu der Simulation der geometrischen Brownschen Bewegung Simulation der Brownschen Brücke Transformation gemäß Definition Vektorweise oder mit Schleife Parameter: Start- und Endpunkte, Anzahl der Schritte Funktion BBridge im Paket sde Korinna Griesing 18 (26)
1. Möglichkeit der Simulation der Brownschen Brücke set.seed(123) N <- 100 T <- 1 Delta <- T/N W <- numeric(n+1) t <- seq(0,t, length=n+1) for(i in 2:(N+1)){ W[i] <- W[i-1] + rnorm(1) * sqrt(delta) } x <- 0 y <- -1 BB <- x + W - t/t * (W[N+1] - y + x) Korinna Griesing 19 (26)
2. Möglichkeit der Simulation der Brownschen Brücke BBridge <- function(x=0, y=0, t0=0, T=1, N=100){ if(t<= t0) stop("wrong times") dt <- (T-t0)/N t <- seq(t0, T, length=n+1) X <- c(0, cumsum(rnorm(n)*sqrt(dt))) BB <- x + X - (t-t0)/(t-t0)*(x[n+1]-y+x) X <- ts(bb, start=t0, deltat=dt) return(invisible(x)) } Korinna Griesing 20 (26)
Wert 1.5 0.5 0.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung: Ein Pfad der normalen Brownschen Bewegung (gestrichelte Linie) und der daraus berechnete Pfad der Brownschen Brücke, der bei 0 beginnt und bei -1 endet (durchgehende Linie) mit einer Markierung des gesetzten Endwertes (gepunktete Linie) Korinna Griesing 21 (26)
Wert 5 10 15 20 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung: Drei Pfade der geometrischen Brownschen Bewegung mit gleichen Parametern Korinna Griesing 22 (26)
Wert 1.5 0.5 0.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Zeit Abbildung: Drei Pfade der Brownschen Brücke mit gleichen Parametern Korinna Griesing 23 (26)
Zusammenfassung geometrische Brownsche Bewegung geeignet für Simulation von Aktienwerten, kann mit zwei Parametern gut eingestellt werden Brownsche Brücke gut für Simulation von dynamischem Prozess zwischen zwei festgelegten Punkten verschiedene Simulationen der geometrischen Brownschen Bewegung mit gleichen Parametern führen zu sehr unterschiedlichen Verläufen unterschiedliche Simulationen der Brownschen Brücke lassen möglichen Bereich einschätzen, in dem Pfade liegen können Korinna Griesing 24 (26)
Ausblick Untersuchung der Ähnlichkeiten zwischen verschiedenen Pfaden einer Simulation mit gleichen Parametern für bessere Voraussage Gründe dafür untersuchen, dass Pfad mit höherer Volatilität eher an die x-achse rückt Vereinigung der beiden Verfahren zum Simulieren von Aktienwerten mit zwei bekannten Punkten Korinna Griesing 25 (26)
Literatur Henking, A., Bluhm, C., Fahrmeir, L. (2006): Kreditrisikomessung: Statistische Grundlagen, Methoden und Modellierung, 1. Auflage, Springer, Berlin. Iacus, S. M. (2008): Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations: With R Examples, 1. Auflage, Springer, New York. Iacus, S. M. (2009): sde: Simulation and Inference for Stochastic Differential Equations, R package version 2.0.10. Meintrup, D. und Schäffler, S. (2005): Stochastik: Theorie und Anwendungen, 1. Auflage, Springer, Berlin. R Development Core Team (2011): R 2.13.0: A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, Wien, Österreich, URL http://www.r-project.org/. Korinna Griesing 26 (26)