Gliederung 1. Einleitung (Antje Swart) 2. Begriffsdefinitionen (Antje Swart) 2.1 Optionsgeschäft 2.1.1 Vier Grundpositionen von Optionsgeschäften 2.1.1.1 Kauf einer Kaufoption (Long Call) 2.1.1.2 Verkauf einer Kaufoption (Short Call) 2.1.1.3 Kauf einer Verkaufsoption (Long Put) 2.1.1.4 Verkauf einer Verkaufsoption (Short Put) 2.1.2 Rechte und Pflichten von Käufern und Verkäufern von Optionen 2.1.3 Innerer Wert einer Option 2.2 Prämiengeschäfte 3. Put-Call-Parität bei Stoll (1968) (Antje Swart) 3.1 Annahmen 3.2 Duplikation 3.3 Arbitrage 3.3.1 Beispiel zur Ausnutzung von Optionspreisdifferenzen 3.3.2 Perfect Hedge 3.4 Put-Call-Parität 4. Allgemeine Deckungsgeschäfte, Bronzin (1908) (Anja Hochstein) 4.1 Zwei zentrale Konzepte 4.2 Begriffsverwendung 4.3 Die Deckung bei normalen Geschäften 4.3.1 Ausgangslage 4.3.2 Definition Deckung 4.3.3 Ermittlung allgemeiner Deckungsgesetze 4.4 Äquivalenz von normalen Geschäften 4.4.1 Konstruktion äquivalenter Geschäfte 4.5 Beurteilung von Bronzins Theorie 5. Umwandlung von Prämiengeschäften, Sommerfeld (1926) (Anja Hochstein) 5.1 Beispiel 1: Kombination eines Prämiengeschäfts mit einem festen Geschäft 5.2 Mathematische Herleitung des Vorprämienkurses 5.3 Beurteilung von Sommerfelds Theorie? 5.4 Verhältnis von Vorprämie zur Rückprämie 1/25
2. Begriffsdefinitionen 2.1 Optionsgeschäft Optionen sind standardisierte, börsenmäßig gehandelte Vereinbarungen, die dem Käufer das Recht, aber nicht die Verpflichtung geben, eine bestimmte Menge eines bestimmten Basiswerts innerhalb eines festgelegten Zeitraums (Optionsfrist) oder zu einem festgesetzten Zeitpunkt (Optionstermin) zu einem Vertragsabschluss festgelegten Preis (Basispreis) zu kaufen (Call) zu verkaufen (Put). 1 1 Grill, Perczynski, Wirtschaftslehre des Krediwesens, 33., überarb. Auflage, Bad Homburg vor der Höhe 1999, S. 302. 2/25
2.1.1 Vier Grundpositionen von Optionsgeschäften 2.1.1.1 Kauf einer Kaufoption (Long Call) - Erwartung steigender Kurse des Basiswertes während der Laufzeit - Verlustrisiko ist auf bezahlten Optionspreis begrenzt Gewinn Basispreis Break-Even-Point Kurs des Basiswertes Verlust Verlustzone Gewinnzone Quelle: Grill, Perczynski, S. 303 2.1.1.2 Verkauf einer Kaufoption (Short Call) - Erwartung gleich bleibender oder leicht fallende Kurse des Basiswertes während der Laufzeit - Risiko den Basiswert liefern zu müssen Gewinn Gewinnzone Verlustzone Kurs des Basiswertes Verlust Basispreis Break-Even-Point Quelle: Grill, Perczynski, S. 304 3/25
2.1.1.3 Kauf einer Verkaufsoption (Long Put) - Erwartung fallender Kurse des Basiswertes während der Laufzeit - Verlustrisiko ist auf bezahlten Optionspreis begrenzt Gewinn Break- Even-Point Basispreis Kurs des Basiswertes Verlust Gewinnzone Verlustzone Quelle: Grill, Perczynski, S. 303 2.1.1.4 Verkauf einer Verkaufsoption (Short Put) - Erwartung gleich bleibender oder leicht steigende Kurse des Basiswertes während der Laufzeit - Risiko den Basiswert liefern zu müssen Verlustzone Gewinnzone Gewinn Kurs des Basiswertes Verlust Break- Even-Point Basispreis Quelle: Grill, Perczynski, S. 304 Verkäufer von Optionen = Stillhalter 4/25
Optionsart 2.1.2 Rechte und Pflichten von Käufern und Verkäufern von Optionen Kontraktposition Kaufoption Käufer Käufer einer Kaufoption: - zahlt die Optionsprämie - erhält das Recht auf den Bezug von Wertpapieren Verkaufsoption Käufer einer Verkaufsoption: - zahlt die Optionsprämie - erhält das Recht auf die Andienung von Wertpapieren Quelle: Tutoriumsunterlagen Finanzmanagement 05/06 Verkäufer Verkäufer einer Kaufoption: - erhält die Optionsprämie - Stillhalter in Wertpapieren mit der Pflicht, diese ggf. zu liefern Verkäufer einer Verkaufsoption: - erhält die Verkaufsoption - Stillhalter in Geld mit der zu Pflicht, Wertpapiere ggf. kaufen 5/25
2.1.3 Innerer Wert einer Option abhängig vom Verhältnis zwischen Basispreis und aktuellem Kurs des Basiswertes 1. in the money Basispreis des Call liegt unter dem Kassakurs Basispreis des Put liegt über dem Kassakurs 2. at the money Basispreis und Kassakurs liegen dicht beieinander 3. out of the money Basispreis des Call liegt über dem Kassakurs Basispreis des Put liegt unter dem Kassakurs 6/25
2.2 Prämiengeschäft traditionelle Ergänzung des Fixgeschäfts Erfüllung am gleichen Tag wie Fixgeschäfte Vorprämien und Rückprämien Optionsart Vorprämie Rückprämie Kontraktposition Verkäufer Verkäufer der Vorprämie: - Pflicht zur Lieferung der Effekten - kein Rücktrittsrecht - Recht auf erhalt des Reugeldes (Prämie), bei Rücktrittserklärung des Käufers. Verkäufer der Rückprämie: - erhält das Recht per Ultimo Effekten zu einem vereinbarten Kurs liefern zu können - Pflicht zur Zahlung einer Prämie bei Nichtlieferung der Effekten Käufer Käufer der Vorprämie: - Pflicht zur Zahlung des Reugeldes (Prämie) beim Rücktritt vom Vertrag - Rücktrittsrecht unter Bezahlung eines Reugeldes (Prämie) - erwirbt das Recht Wertpapiere zu einem vereinbarten Preis zu erwerben Käufer der Rückprämie: (Stillhalter ohne Wahlrecht) - Recht zum Erhalt der Prämie bei Nichtlieferung der Effekten - Pflicht zur Abnahme der Effekten Quelle: eigene Ausarbeitung 7/25
3. Put-Call-Parität bei Stoll (1968) Definition: Die Put-Call-Parität stellt bei europäischen Optionen eine Beziehung zwischen einem Put und einem Call auf den gleichen Basiswert bei gleichem Basispreis und gleicher Laufzeit her. 3.1 Annahmen: - Ausübung der Option am Verfalltag (europäische Option), - gleicher Basispreis X bei Put und Call, - gleicher Verfalltag, - die Aktie wirft während der Optionsfrist keine Dividende ab, - keine Transaktionskosten und Transaktionssteuern, - offener Markt, - rationale Marktteilnehmer, - das Individuum hat per Annahme kein Anfangskapital. 8/25
3.2 Duplikation Definition: Bei der Duplikation wird ein Portfolio aus Handelsprodukten konstruiert, dass die Zahlungen des zu bewertenden Produktes genau nachbildet. I. Long Position + Short Position = Keine Position II. Long Call + Short Put = Long Position III. Long Position + Long Put = Long Call IV. Short Position + Long Call = Long Put Dieser beschriebene Mechanismus ist von neuem Kapital abhängig und beschreibt keinen Arbitragemechanismus, von der die Put-Call-Parität abhängig ist. 3.3 Arbitrage Im Arbitragegleichgewicht erzielt man nicht mehr als die Rendite auf eine entsprechende risikofreie Anlage, woraus folgt, dass die Preise von Put und Call nicht unabhängig voneinander sind. 1 1 Hartmut Schmidt: Wertpapierbörse, Aufl. 1, München 1988, S. 77. 9/25
3.3.1 Beispiel zur Ausnutzung von Optionspreisdifferenzen Basispreis = 50 Euro C = 6 Euro P = 3 Euro Ein Händler kauft eine zweimonatige Verkaufsoption über 100 Stück und kauft 100 Stück X-Aktien im fortlaufenden Handel zu 50, gleichzeitig verkauft er eine entsprechende Kaufoption über 100 Stück. - Kurse unter 50 Verluste aus dem Kassakauf und die Gewinne aus dem Kauf der Verkaufsoption bis auf einen Restverlust von 3 heben sich auf. - Kurse über 50 Gewinn von 6, den der Verlust des Optionspreises der Verkaufsoption auf 3 kürzt. Fazit: - Bezogen auf seinen Einsatz sind das 6,38 %, bei einer einfachen Verzinsung umgerechnet auf das Jahr 38,30% - In diesem Fall lohnt sich die arbitrageartige Transformation auch dann, wenn man die entgangenen Zinsen berücksichtigt. 10/25
3.3.2 Perfect Hedge C > P Short Call + Long Position + Long Put = Keine Position P > C Short Put + Short Position + Long Call = Keine Position 3.4 Put-Call-Parität Für die mathematische Herleitung der Put-Call-Parität führt Stoll folgende Variablen ein: V Aktienkurs im Zeitpunkt t P Der Preis einer Put Option C Der Preis einer Call Option i Zinssatz einer risikofreien Anleihe p, c P/V, C/V relative Put und Call Preise 1. Gewinngleichungen aufstellen V i C P = M 1 + i V i P + C = N 1 + i 2. M = N = 0, wenn ein Marktgleichgewicht besteht und keine Arbitragemöglichkeit gegeben ist 11/25
3. Aus der Annahme 2 folgt, dass die Differenz zwischen Put- und Call-Preisen gleichzusetzten ist mit dem Barwert der Zinskosten für eine risikolose Finanzierung. C V i P = 1+ i absoluter Wert i c p = i 1+ i relativer Wert - Stoll geht davon aus, dass der Unterschied zwischen relativen Put- und Call-Preisen ungefähr i beträgt. Annahmen: - Put- und Call-Preise sind in einer wettbewerbsfähigen Welt ohne Reibungsverluste mit i verbunden. - Jede Abweichung der Call-Preise erfolgt sofort und kann durch eine gleiche Veränderung der Put-Preise ausgeglichen werden. - Die Call-Preise übersteigen die Put-Preise immer um die Zinskosten, wenn die Zinskosten konstant sind. - Es besteht eine größere Wahrscheinlichkeit, dass eine Veränderung der Put- und Call-Preise zu einem Marktgleichgewicht führt, als eine Abweichung des risikolosen Zinssatzes i. Größe des Optionsmarktes Daraus schließt Stoll, dass i den relativen Unterschied zwischen Put- und Call-Preisen determiniert. 12/25
S T = Wertpapierkurs zum Zeitpunkt t K = Basispreis T = Ausübungszeitpunkt P = Preis für eine europäische Put-Option C = Preis für eine europäische Call-Option Auszahlung in t 0 Verkaufe den Call +C Kaufe den Put -P Kaufe das Wertpapier -S 0 Auszahlung in t = T S T < K S T > K 0 -(S T K) K S T 0 S T S T -K -K Leihe (1+r) -T K +(1+r) -T K Wert: C-P-S 0 -+(1+r) -T K 0 0 Quelle: modifiziert nach Klaus Sandmann, Einführung in die Statistik der Finanzmärkte, Berlin 2001, S. 39. 13/25
4. Allgemeine Deckungsgeschäfte, Bronzin (1908) 4.1 Zwei zentrale Konzepte Deckung Äquivalenz 4.2 Begriffsverwendung Wahlkauf Kauf mit Vorprämie Zwangsverkauf Verkauf mit Vorprämie Wahlverkauf Verkauf mit Rückprämie Zwangskauf Kauf mit Rückprämie Einfache Prämiengeschäfte: Der Kurs, zu dem ein Prämiengeschäft abgeschlossen wird, entspricht dem Tageskurs für feste Geschäfte. 14/25
4.3 Die Deckung bei normalen Geschäften 4.3.1 Ausgangslage Situation des Anlegers, der ein Wahlgeschäft eingeht: - Gewinn kann unbegrenzt wachsen - Verlust ist auf gezahlte Prämie begrenzt Situation des Anlegers, der ein Zwangsgeschäft eingeht: - Gewinn ist auf erhaltene Prämie begrenzt - Verlust kann unbegrenzt wachsen Folge: Anleger wird versuchen seine Geschäfte zu decken! 4.3.2 Definition Deckung Wir werden einen Komplex von Geschäften dann als gedeckt betrachten, wenn bei jeder nur denkbaren Marktlage weder Gewinn zu erwarten noch Verlust zu befürchten ist. 1 Kombination von Prämien- und Optionsgeschäft Frühe Formulierung des perfekten Hedge! 1 Vinzenz Bronzin, Theorie der Prämiengeschäfte, Leipzig 1908, S. 7. 15/25
4.3.3 Ermittlung allgemeiner Deckungsgesetze B = Terminkurs = Kassakurs ε = Kurssteigerung ŋ = Kursrückgang x = Anzahl der Wahlkäufe y = Anzahl der Wahlverkäufe P 1 = Prämien für Wahlkäufe P 2 = Prämien für Wahlverkäufe S T = Kurs der Aktie zum Zeitpunkt T T = Ausübungszeitpunkt z = Anzahl fester Käufe desselben Objekts G = Gewinn Auszahlung in t 0 Auszahlung in t = T S T = B + ε > B S T = B- ŋ B x Wahlkäufe x * P 1 x * ε 0 y Wahlverkäufe y * P 2 0 y * ŋ z feste Käufe z * ε z * ŋ Quelle: eigene Ausarbeitung x * P 1 y * P 2 x * ε + z * ε y * ŋ z * ŋ 16/25
1. Gewinngleichungen aufstellen bei einem Kursanstieg B + ε G 1 = (x + z) * ε x * P 1 y * P 2 bei einem Kursrückgang B ŋ G 2 = (y z) * ŋ x * P 1 y * P 2 2. G 1 = G 2 = 0, da Arbitragemöglichkeit ausgeschlossen wird (x + z) * ε x * P 1 y * P 2 = 0 (y z) * ŋ x * P 1 y * P 2 = 0 3. Notwendige Bedingungen x + z = 0 y z = 0 x + z = 0 4. Vereinfachung der Gleichungen unter 2. x * P 1 + y * P 2 = 0 aufgrund der dritten Bedingung ergibt sich: x * (P 1 P 2 ) = 0 5. x ungleich 0 P 1 = P 2 = 0 P 1 = P 2 17/25
6. Fazit 1. Wahlgeschäfte müssen in gleicher Anzahl wie Zwangsgeschäfte vorkommen; (x + y = 0, x + z = 0, y + ( z) = 0) 2. Anzahl der festen Verkäufe eines Objekts muss den Wahlkäufen entsprechen; (z = x) 3. Anzahl der festen Käufe eines Objekts muss den Wahlverkäufen entsprechen; (z = y) 4. Prämien für Wahlkäufe gleich Prämien für Wahlverkäufe; (P 1 = P 2 ) 4.4 Äquivalenz von normalen Geschäften Definition Äquivalenz: Zwei Systeme von Geschäften nennen wir nämlich dann einander äquivalent, wenn sich das eine aus dem anderen ableiten lässt, in anderen Worten, wenn dieselben bei jeder denkbaren Lage des Marktes einen ganz gleichen Gewinn resp. Verlust ergeben. 1 entspricht in der heutigen Optionstheorie der Duplikation von Positionen Der Zusammenhang zum Konzept der Deckung: 1 Bronzin, S. 10. 18/25
(...)daß wir sofort zwei Systeme äquivalenter Geschäfte erhalten, wenn wir nur in einem Komplexe gedeckter Geschäfte einige derselben mit entgegengesetzten Vorzeichen betrachten(...) 1 4.4.1 Konstruktion äquivalenter Geschäfte Komplex gedeckter Geschäfte ( Deckungsgleichungen) Herausnahme des gegebenen Geschäfts anschließend Geschäft mit entgegengesetztem Vorzeichen substituieren erste Gleichung nach unbekannten Größen auflösen erhaltene System ist äquivalent zu dem gegebenem System Beispiel: y = 200 x + 200 = 0 x + z = 0 Ergebnis: 1. x = 200, d.h. 200 Zwangsverkäufe 2. z = 200, d.h. 200 feste Käufe 3. y = 200, d.h. 200 Wahlverkäufe gedecktes System 1 Bronzin, S. 10. 19/25
Frage: Wie lassen sich die 200 festen Käufe durch normale Prämiengeschäfte ableiten (duplizieren)? x + y = 0 x 200 = 0 x = 200, y = 200 äquivalentes System Es gilt: Wahlverkauf + Zwangskauf = fester Kauf Wahlkauf + fester Verkauf = Wahlverkauf Wahlverkauf + fester Kauf = Wahlkauf 4.5 Beurteilung von Bronzins Theorie Keine explizite Einführung des Konzepts der Arbitrage Kassakurs = Terminkurs - Möglichkeit zur Arbitrage wäre gegeben - Arbitrageur wird Leerverkauf eingehen - gleichzeitiger Kauf des Vermögenswerts am Terminmarkt zum gleichen Preis - verzinsliche Anlage des Verkaufserlös, Zinsen entsprechen dem Gewinn 20/25
Keine Angabe über die Herkunft des notwendigen Kapitals. - Bei Eigenkapital würden Opportunitätskosten anfallen - Bei Fremdkapital würden Fremdkapitalkosten anfallen 5. Umwandlung von Prämiengeschäften, Sommerfeld (1926) Sommerfeld hat herausgefunden, 1. daß die Kombination eines Prämiengeschäfts mit einem festen Geschäft ein Prämiengeschäft ergibt, während die Kombination zweier Prämiengeschäfte (ein Stillhaltergeschäft + ein Geschäft mit Wahlrecht) ein festes Geschäft ergibt. 1 Duplikation 2. dass bei der Kombination eines Prämiengeschäfts mit einem Festgeschäft, die Basis des entstehenden Engagements gleich bleibt und die neue Prämie dem Ekart entspricht. 1 Sommerfeld, H.: Börsenverkehr und Börsengeschäfte, in: Die Handelshochschule- Lehrbuch der Wissenschaften, Bd. 1, Kapitel 7, Hrsg. F. Schmidt, Berlin 1926, S.1701. 21/25
5.1 Beispiel 1: Kombination eines Prämiengeschäfts mit einem festen Geschäft Abschluss eines Verkaufs mit Rückprämie zu 152 / 2 Entgegen der Erwartung steigen die Kurse Abschluss eines festen Kaufs des entsprechenden Basiswerts zu 155 Kurs am Fälligkeitsdatum ist 158 Vorgehensweise: 1. Zahlung der vereinbarten Prämie von 2% 2. Verkauf der zu 155 gekauften Wertpapiere zum Preis von 158 3. Restgewinn = 1% Entstehende Engagement entspricht einem Kauf mit Vorprämie zu 157 / 3-3% Prämie ergeben sich daraus, dass Anleger bei fallendem Kurs das Rückprämiengeschäft zu 152% erfüllen würde - Verkauf der zu 155% fix gekauften Wertpapiere Verlust auf 3% begrenzt Gewinnmöglichkeit bei steigenden Kursen unbegrenzt Schreibweise Sommerfeld: Vk Rp 152 / 2 + Kf fest 155 = Kf Vp 157 / 3 22/25
5.2 Mathematische Herleitung des Vorprämienkurses B = Prämienbasis aus dem Rückprämiengeschäft = 154 Q = Rückprämie = 2 R = Rückprämienkurs = 152 F = Fixkurs, zu dem der feste Kauf abgeschlossen wurde = 155 P = Vorprämie des entstehenden Engagements (= Ekart) = 3 V = Vorprämienkurs des entstehenden Engagements V = B + P B = R + Q P = F R V = R + Q + F R V = Q + F = 2 + 155 = 157 Auszahlung in t 0 Auszahlung in t = T S t > B S t B Verkauf mit Rückprämie 0 Q = 2 R = 152 Fester Kauf 0 F = 155 F = 155 Kauf mit Vorprämie 0 V = 157 P = 3 Quelle: eigene Ausarbeitung V = Q + F Q + F V = 0 P = F R F R P = 0 23/25
5.3 Beurteilung von Sommerfelds Theorie? Theorie wird konsequent auf das Termingeschäft angewandt Prämienzahlung erfolgt erst bei Fälligkeit und nicht bei Abschluss des Geschäfts keine Arbitragemöglichkeit zwischen Kassa- und Terminmarkt! Anleger muss nur Vor- und Rückprämien von Geschäften mit gleicher Basis vergleichen und das günstigere abschließen es wurde keine Beziehung zwischen Vorprämie und Rückprämie hergeleitet 24/25
Verhältnis von Vorprämie zur Rückprämie V = Q + F und V = B + P P = V B P = Q + F B Die Vorprämie entspricht der Rückprämie zzgl. dem Kurs für Festgeschäfte abzgl. der Prämienbasis. Annahme: B Kurs der Aktie in t 0 1 F = B * (1 + i) aufgezinster Basispreis P = Q + B * (1 + i) B P = Q + B * i Annahme: i = 0 P = Q Ergebnis, zu dem auch Bronzin gekommen ist! 1 Sommerfeld, S. 1689. 25/25