Projektpraktikum Atomphysik zum Thema: Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums

Projektpraktikum Atomphysik zum Thema: Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums Manuel Frey, Maria Kegeler, Ilja Krüger, Natalie Schön, Timon Thomas, Moritz Zeidler 31. März bis 4. April 2014 1

Inhaltsverzeichnis 1 Zielstellung 3 2 Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums mit Gegenfeldmethode auf Grundlage des äußeren photoelektrischen Effekts 5 2.1 Vorbetrachtungen................................. 5 2.2 Versuchsaufbau und Durchführung....................... 7 2.3 Auswertung.................................... 10 2.4 Fehlerquellen und Bewertung der Methode................... 14 3 Bestimmung von h mittels Analyse der Röntgenbremsstrahlung 15 3.1 Grundlagen und Durchführung......................... 15 3.2 Auswertung.................................... 18 3.3 Bewertung der Methode............................. 30 4 Der Franck-Hertz-Versuch 32 4.1 Grundlagen und Durchführung......................... 32 4.2 Auswertung.................................... 34 4.3 Fehlerquellen................................... 38 4.4 Bewertung der Methode............................. 38 5 Wasserstoffspektroskopie und nachfolgende Bestimmung der Rydberg-Konstanten 39 5.1 Grundlagen.................................... 39 5.2 Versuchsdurchführung.............................. 42 5.3 Auswertung.................................... 44 5.4 Bewertung der Methode............................. 46 6 Fazit 48 2

1 Zielstellung Ziel dieser Projektarbeit war es, das Plancksche Wirkungsquantum h experimentell auf verschiedenen Wegen so genau wie möglich zu bestimmen. Das Plancksche Wirkungsquantum ist, neben der Gravitationskonstanten und der Lichtgeschwindigkeit, eine der fundamentalen Naturkonstanten. Es ist die Proportionalitätskonstante zwischen Energie und Frequenz eines Photons. Die Vorstellung von Atomen als kleinsten Bestandteilen der Materie ist alt. Bereits im 5. Jhd. v.chr. wurde von Leukipp die Existenz von nicht weiter teilbaren Teilchen postuliert, konnte jedoch nicht bewiesen werden. Im 19. Jhd. wurde dieses Modell wieder aufgegriffen, belegt und durch verschiedene Experimente präzisiert. Einige dieser historisch bedeutsamen Messungen haben wir zur Bestimmung von h benutzt: Wir haben h mit der Gegenfeldmethode bestimmt, die ursprünglich dazu diente, den äußeren Photoeffekt nachzuweisen. Dieser wurde erstmals in abgewandelter Form 1839 von Alexandre Edmond Becquerel beobachtet und ab 1886 genauer von Heinrich Hertz und Wilhelm Hallwachs studiert. Expizit tragen wir die Energien der Photoelektronen über der Frequenz des Lichtes auf und erhalten die sogenannte Einsteingerade. Der Anstieg entspricht dem Planckschen Wirkungsquantum. Eine weitere Möglichkeit bietet das Bremsspektrum von Röntgenstrahlung, deren Wellenlänge im Bereich der Gitternetzebenenabstände von einfachen Kristallen liegt. Die reflektierte Strahlung kann mittels Bragg-Bedingung spezifiziert werden. Somit ist eine Bestimmung der Wellenlänge möglich und h kann berechnet werden. Nach der klassischen Physik und dem Rutherfordschen Atommodell können Elementarteilchen alle Energiewerte annehmen. Allerdings ergaben Experimente, dass nur diskrete Energieniveaus zugelassen waren - nämlich ganzzahlige Vielfache von h. Dies wurde von Niels Bohr 1913 mit Hilfe eines neuen Atommodells erklärt. Insbesondere konnte man damit erstmalig das Linenspektrum von Wasserstoff erklären. Mithilfe der Messung der charakteristischen Spektrallinien von Wasserstoff können wir experimentell die Rydbergkonstante bestimmen, deren Berechnungsformel das gesuchte Plancksche Wirkungsquantum enthält. Ein weiterer Versuch zur Quantisierung von Energien wurde 1911 bis 1914 von James Franck und Gustav Hertz durchgeführt. In einer Röhre werden Elektronen beschleunigt und können dort Gasatome anregen. Fallen dessen angeregte Elektronen in den Grundzustand zurück, so werden dabei Photonen bestimmter Wellenlänge emittiert. Aus der Kenntnis dieser Wellenlänge lässt sich ein Wert für h errechnen. 3

Die vier experimentell ermittelten Werte für das Plancksche Wirkungsquantum h werden von uns mit den aktuell publizierten Werten der Datanbank Codata[6] verglichen. 4

2 Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums mit Gegenfeldmethode auf Grundlage des äußeren photoelektrischen Effekts 2.1 Vorbetrachtungen Unter dem äußeren photoelektrischen Effekt versteht man die Freisetzung von Elektronen aus einer Metalloberfläche bei Bestrahlung mit Licht. Erstmals wurde dieses Phänomen 1839 von Alexandre Edmond Becquerel beim sogenannten Becquerel-Effekt beobachtet. Der Einfluss von UV-Strahlen auf eine Metalloberfläche in einer Funkenstrecke und die Möglichkeit, eine elektrisch isolierte Metallplatte durch Bestrahlung mit Licht elektrisch aufzuladen wurde ab 1886 von Heinrich Hertz und Wilhelm Hallwachs systematisch untersucht (weswegen der Photoeffekt manchmal auch als Hallwachs-Effekt bezeichnet wird). 1899 konnte Philipp Lenard durch Ablenkung der freigesetzten Ladungsträger im Magnetfeld die spezifische Ladung bestimmen. Außerdem experimentierte er im Hochvakuum mit einer Photozelle und verwendete auch die von uns benutzte Gegenfeldmethode. Beim äußeren photoelektrischen Effekt muss das Licht, mit dem die Metalloberfläche bestrahlt wird, genügend große Energie besitzen, damit Elektronen herausgelöst werden können. Die Energie des Lichts wird als Austrittsarbeit W A benötigt, welche abhängig von der verwendeten Metallart ist. Es muss gelten W A E P h, also W A = h ν Gr (1) Ist E P h > W A, wird die zusätzliche Energie zur Beschleunigung der herausgelösten Elektronen verwendet. Es gilt die Einstein-Gleichung des äußeren lichtelektrischen Effekts: E P h = W A + E kin (2) Der Photostrom setzt spontan ein, d.h ohne zeitliche Verzögerung. Die Stärke des Photostroms ist proportional zur Intensität des Lichts, die kinetische Energie der Photoelektronen hingegen ist unabhängig davon. Erhöht man die Frequenz des Lichts, so erhöht sich auch die kinetische Energie der Photoelektronen. Weiterhin gibt es eine Grenzfrequenz ν Gr, unterhalb der keine Elektronen ausgelöst werden. Es gilt also folgender Zusammenhang: Mit Gleichung 2 folgt daraus E P h = h c λ = h ν (3) E kin = h (ν ν Gr ) (4) 5

Trägt man den Zusammenhang zwischen Frequenz ν des Lichtes und der kinetischen Energie E kin der Photoelektronen auf, so erhält man die Einsteingerade (siehe Abb. 2.1). E kin h = E kin ν ν Gr ν W A Abbildung 2.1: schematischer Verlauf der Einsteingerade Die kinetische Energie der Photoelektronen wird über die Gegenfeldmethode bestimmt. Dafür legt man an die Photozelle eine Bremsspannung U B an, die entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung der Elektronen ist, sodass diese negativ beschleunigt werden. Jeder Frequenz des einfallendes Lichts ist eine bestimmte Bremsspannung U B zugeordnet, bei der gerade kein Strom mehr fließt. Dies ist dann der Fall, wenn selbst die schnellsten Elektronen, die sich genau in Richtung der Anode bewegen, komplett durch das elektrische Gegenfeld abgebremst werden, sodass sie nicht die Anode erreichen. Es gilt also: Umstellen und Einsetzen von Gleichung 2 ergibt E kin = e U B (5) e U B = h ν W A (6) Damit kann man das Verhältnis h e bestimmen, wenn man für verschiedene Frequenzen ν die entsprechenden Bremsspannungen U B bestimmt. 6

2.2 Versuchsaufbau und Durchführung Für den lichtelektrischen Effekt verwenden wir eine eine Photozelle, die aus einem evakuierten Glaskolben besteht. Darin befindet sich eine Kathode, sowie einer Ringanode (Gerät der Lehrmittelfirma Phywe, schematischer Aufbau siehe Abb. 2.2). e U B A Abbildung 2.2: Aufbau einer Photozelle mit angelegtem Gegenfeld Die Kathode wird mit monochromatischem Licht bestrahlt. Dieses erhalten wir durch spektrale Auffächerung des Lichts einer Quecksilberdampflampe (die nur diskrete Wellenlängen emittiert) mit Hilfe eines Parallelprismas. Das Licht muss genügend große Energie haben, sodass Elektronen herausgelöst werden können. Diese haben nach Gleichung 4 kinetische Energie und bewegen sich in Richtung der Anode. Ist die Photozelle an eine Spannungsquelle angeschlossen, kann man die Photostromstärke messen (schematische Darstellung des Versuchsaufbaus siehe Abb. 2.3). 7

Sammellinse Abbildungslinse Geradsichtprisma Quecksilberdampflampe Spalt Sammellinse Drehbarer Spiegel Photozelle Abbildung 2.3: Versuchsaufbau Als erstes haben wir die genauen Wellenlängen des Linienspektrums der Quecksilberdampflampe mit dem Spektrometer getspec aufgenommen (siehe Abb. 2.4). Experimentieren konnten wir mit fünf verschiedenen Wellenlängen: gelb (578,0 nm), grün (546,0 nm), türkis (491,2 nm), blau (435,2 nm) und violett (405,0 nm). Da es sich praktisch als schwierig erweist, die genaue Bremsspannung U B zu messen, bei der der Photostrom I Null wird, haben wir stattdessen Messreihen der Stromstärken bei verschiedenen Gegenspannungen für alle fünf möglichen Wellenlängen des Lichts aufgenommen. 8

Abbildung 2.4: Linienspektrum der Quecksilberdampflampe 9

2.3 Auswertung Die Messreihe der Photostromstärke bei verschiedenen Gegenspannungen haben wir geplottet (Beispiel für λ = 578, 0 nm siehe Abb. 2.5). Abbildung 2.5: Photostrom I über Bremsspannung U B bei λ = 578, 0 nm Der Graph legt einen quadratischen Zusammenhang zwischen Bremsspannung U B und Photostrom I nahe. Zum Linearisieren trägt man I über U B auf und ermittelt die Regressionsgerade (Beispiel für λ = 578, 0 nm siehe Abb. 2.6). Als Geradengleichung kann man I = m U B + n ansetzen. Die Parameter m und n erhält man aus dem Plot. Für die Wellenlänge λ = 578, 0 nm ergibt sich beispielsweise die Regressionsgeradengleichung I = 0, 0055 U B + 2, 778 mv. Für die Grenzspannung U Gr, also die Bremsspannung U B, bei der der Photostrom I Null 10

wird, gilt: U B (I = 0) = U Gr = n m (7) Abbildung 2.6: Photostrom I über Bremsspannung U B bei λ = 578, 0 nm Wellenlänge und Frequenz hängen über die Gleichung ν = c λ zusammen. Mit Gleichung 7 kann man die Grenzspannung U Gr und mit Gleichung 5 die kinetische Energie E kin der Photoelektronen berechnen. Es folgen Beispielrechnungen mit den Messwerten bei der Wellelänge λ = 578, 0 nm: 11

ν = c λ = 2, 998 108 m s 578, 0 nm = 5, 187 10 14 Hz U Gr = n m = 2, 778 0, 0055 = 505 mv E kin = e U Gr = 1, 602 10 19 C 505 mv = 8, 09 10 20 ev Alle Ergebnisse der Messreihen, die nach obigem Beispiel berechnet wurden, sind in folgender Tabelle zusammengefasst: λ in nm ν in Hz U Gr in mv E kin in ev 578,0 5,187 10 14 500 8 10 20 546,0 5,491 10 14 620 10 10 20 491,2 6,103 10 14 870 1, 4 10 19 435,2 6,889 10 14 1100 1, 7 10 19 405,0 7,402 10 14 1300 2, 1 10 19 Die Einsteingerade bekommt man, indem man die kinetische Energie E kin über der Frequenz ν aufträgt (siehe Abb. 2.7). 12

Abbildung 2.7: Einsteingerade Der Anstieg der Regressionsgeraden entspricht nach Gleichung 4 dem Planckschen Wirkungsquantum h. h = E kin ν 2, 1 10 19 ev 8 10 20 ev = 7, 402 10 14 Hz 5, 187 10 14 Hz = (5, 874 ± 0, 3) 10 34 Js Den Fehler haben wir aus der Standardabweichung der Regression der Einsteingeraden berechnet. Unser für das Plancksche Wirkungsquantum h berechnete Wert weicht vom Literaturwert[6] um 11,3 % ab. Der Literaturwert liegt nicht im Konfidenzintervall, vermutlich, weil auch die kinetischen Energien, die in der Einsteingerade aufgetragen werden, Ergebnisse einer Regression sind, demzufolge ebenso bereits fehlerbehaftet sind. 13

2.4 Fehlerquellen und Bewertung der Methode Als Fehlerquelle ist zum einen die genaue Bestimmung der Grenzspannung U Gr zu nennen. Um den Messfehler zu verringern haben wir deshalb Messreihen der Photostromstärken bei verschiedenen Bremsspannungen für alle uns zur Verfügung stehenden Wellenlängen aufgenommen und daraus durch Regression die Grenzspannung ermittelt, anstelle eines einzelnen Messwertes der Grenzspannung. Zum anderen sind die systematischen Fehler zu nennen, die z.b. im Voltmeter und im Ampèremeter stecken. Schwierigkeiten bereitete uns vor allem das Ablesen des Photostroms, besonders bei großen Stromstärken, da der Zeigerausschlag stark schwankte. Im Bereich um I = 0 stabilisierte er sich dann aber meist. Weiterhin ist die Annahme eines quadratischen Zusammenhangs und die daraus angewendete Linearisierung nur bedingt richtig, wie man in Abb. 2.6 erkennen kann, sodass es auch dadurch zu Abweichungen von h vom Literaturwert kommt. 14

3 Bestimmung von h mittels Analyse der Röntgenbremsstrahlung 3.1 Grundlagen und Durchführung Röntgenstrahlung besteht aus elektromagnetischen Wellen mit einer Wellenlänge von 10 8 bis 10 12 m und Photonenenergie von ca. 1 bis 250 kev. Sie entsteht z.b. wenn Elektronen mit hoher kinetischer Energie stark abgebremst werden. Um Röntgenstrahlung zu erzeugen haben wir eine Röntgenröhre benutzt, die diesen Effekt ausnutzt. In einer Hochvakuumröhre werden Elektronen aus einer Glühkathode ausgelöst und mittels hoher Spannungen U B = 13 25 kv beschleunigt. Beim Eindringen in die Anode werden die Elektronen verzögert und emittieren dann Photonen. Die so erzeugte Strahlung wurde durch eine Apertur auf einen schmalen Strahl reduziert und auf einen drehbaren Kristall gelenkt. Der an den Gitterebenen des Kristalls reflektierte Strahl wurde detektiert. Das so aufgenommene Spetrum ist in Abb.3.1 dargestellt. Das typische Röntgenspektrum enthält zwei Charakteristiken. Zunächst erkennt man ein kontinuierliches Spektrum, daß offenbar einen festen Anfangspunkt besitzt und dann schnell bis zu einem Maximum anwächst bevor es sich wieder asymptotisch der Intensität null annähert. Ausprägung und Anfangswert hängen von der Beschleunigungsspannung ab. Außerdem sieht man diskrete Linien, die Informationen über das Anodenmaterial liefern und für die Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums irrelevant sind. Über die Bragg-Bedingung erhält man einen direkten Zusammenhang zwischen Frequenz (bzw. Wellenlänge) und Austrittswinkel eines reflektierten Strahls. Die scharfe obere Grenzfrequenz ν max erklärt sich dadurch, dass die Energie der Photonen (Index ϕ) nie höher sein kann, als die gesamte kinetische Energie der Elektronen (Index e), insofern sie diese in Form eines vollkommen elastischen Stoßes verlieren. E kin,e = 1 2 m ev 2 e = e U B! = hν max = E ϕ (8) Aufgrund der Beziehung ν = c λ entspricht eine maximale Frequenz einer minimalen Wellenlänge λ min. Die kinetische Energie E kin erhält das Elektron mit der Elementarladung e aus der Beschleunigungsspannung U B. Wir können also Gleichung 8 nach h umstellen. h = e U B λ min (9) c 15

Abbildung 3.1: typische Röntgenspektren bei verschiedenen Beschleunigungsspannungen Die Reflektion des Strahls an den Gitternetzebenen des verwendeten Kristalls erzeugt Interferenzen im reflektierten Strahl, ähnlich den beobachtbaren Effekten bei Doppelspaltexperimenten mit monochromatischen Lichtquellen. Die Bedingung für das Entstehen von konstruktiver Interferenz, also Intensitätsmaxima, hat William Lawrence Bragg 1912 aus geometrischen Gesichtspunkten hergeleitet (siehe Abb. 3.2). Er erkannte dabei den Zusammenhang zwischen den Gitternetzabständen und den daraus resultierenden Gangunterschieden zwischen den reflektierten Teilstrahlen. Die Bragg- Bedingung lautet nun 16

nλ = 2d sin θ (10) n ist eine natürliche Zahl und gibt die Ordungszahl der Interferenz an. Im Falle von λ = λ min ist n = 1. Abbildung 3.2: Geometrie zur Bragg- Bedingung [1] Mit Hilfe der Bragg-Gleichung findet man also einen alternativen Ausdruck für die Wellenlänge, die uns bei der verwendeten Strahlung auch nicht bekannt war. Eingesetzt in obige Beziehung für das Plancksche Wirkungsquantum ergibt sich unsere Bestimmungsgleichung für dieses Experiment: h = e U B c 2d sin θ min (11) Wir nutzen für die Elementarladung e und die Lichtgeschwindigkeit c verlässliche Literaturwerte[6] der internationalen wissenschaftlichen Datenbank CODATA. Der Gitterebenenabstand d beträgt laut Herstellerangaben 201 pm für Lithiumflourid und 329 pm für Kaliumbromid. Die Beschleunigungsspannung U B ist bekannt und der Winkel θ min wurde durch mehrere Messreihen interpoliert. Der prinzipielle Aufbau unseres Versuchs ist in Abbildung 3.3 dargestellt. 17

Abbildung 3.3: schematischer Versuchsaufbau zur Röntgenspektroskopie [2], 1 - Apertur, 2 - Kristall, 3 - Detektor 3.2 Auswertung 3.2.1 Genutzte Berechnungsmethoden von h Zur Bestimmung von h haben wir zwei verschiedene Berechnungswege genutzt. Für beide Methoden haben wir die Impulsrate in Abhängigkeit vom Einfallswinkel der Strahlung auf den Detektor gemessen. Methode 1 Als eine Möglichkeit, unsere Daten zu extrapolieren, haben wir mittels gnuplot TM sinnvolle Bereiche des Spektrums linear gefittet. Mit etwas Aufwand ist es so möglich, gute Werte für den minimalen Winkel θ min = x(f = 0) zu erhalten und das Plancksche Wirkungsquantum mit Gleichung 11 zu bestimmen. Da wir die Messungen für unterschiedliche Beschleunigungsspannungen durchgeführt haben, erhielten wir mehrere Werte für das Plancksche Wirkungsquantum und bildeten von diesen den Mittelwert. Wir mussten feststellen, dass die Genauigkeit der Regressionsgeraden stark schwankt und daher eine große Unsicherheit in den Messergebnissen liefert. Methode 2 Bei dieser Methode wurden alle gemessenen Werte (Impulsrate in Abhängigkeit vom Winkel) geplottet. Der Kurvenverlauf wurde per Hand durch eine nicht-lineare Interplolation idealisiert und anschließend im Bereich des Schnittpunktes mit der Abszissenachse linearisiert. Der zugehörige minimale Winkel θ min wurde abgelesen und mit der Formel 10 18

in eine Wellenlänge umgerechnet. Die grafischen Auswertungen dieser Methode wurden per Handzeichnung gemacht. Die Formel 8 lässt sich umstellen zu der Formel 12 (mit Wellenzahl ν). U B = h c e 1 λ = h c ν (12) e Trägt man nun auf der Ordinatenachse die eingestellten Beschleunigungsspannungen und auf der Abszissenachse die berechneten Wellenzahl auf, so erhält man als Anstieg m dieser Geraden den Term h c e (siehe Beispielsweise Abb.3.7). Die Lichtgeschwindigkeit und die Elementarladung sind bekannte Tabellenwerte [6]. Damit ergibt sich für die Berechnung des Planckschen Wirkungsquantums: h = m e c (13) Wir hatten zweimal den gleichen Versuchsaufbau zur Verfügung, diese waren jedoch minimal unterschiedlich eingestellt. Um die besten Ergebnisse zu erhalten, haben wir Vergleichsmessungen durchgeführt und uns letztendlich für den zweiten Platz entschieden. Exemplarisch wird hier einmal die Berechnung der Messergebnisse gezeigt, alle weiteren Berechnungen in diesem Kapitel wurden analog durchgeführt. Abbildung 3.4: Vergleich Versuchsaufbau 1 und 2 mit LiF (kleine Blende) Zunächst haben wir mit dem LiF Kristall und der Blende kleiner Apertur an dem 1. Versuchsaufbau mehrere Aufnahmen gemacht. Bereits während des Messvorgangen war ein sehr unruhiger Kurvenverlauf zu erkennen. Das strahlungspezifische Spektrum war 19

noch sichtbar, jedoch war ein starkes Rauschen im Verhältniss zu der Messgröße vorhanden. Wir haben die Messung für verschiedene Beschleunigungsspannungen durchgeführt (13 kv 25 kv, in 3 kv Abständen). Zum Vergleich haben wir die gleichen Messungen am Versuchsaufbau 2 durchgeführt. Es war eine wesentlich größere Intensität des Messsignals zu erkennen. Die maximale Impulsrate hat sich mehr als verfünffacht, von knapp 70 auf über 500 (Abbildung 3.4). Wir haben beide Messungen nach der Methode 2 ausgewertet (Ablesen der Winkel in den Tabellen 1, 2 aus den Abbildungen 3.5 und 3.6 für das Beispiel 25 kv, Anstiege für Gleichung 14 aus Abbildung 3.7), und erhielten für die Apparatur am Versuchsaufbau 1 einen Wert für das Plancksche Wirkungsquantum h = 5, 13 10 34 Js und für den Versuchsaufbau 2 h = 5, 24 10 34 Js (Gleichung 14). Dies entspricht einer negativen Abweichung von 22,6% bzw. 20,9% von dem Tabellenwert [6]. Abbildung 3.5: Graph zum Ablesen des minimalen Winkels, Versuchsaufbau 1 mit Gleichung 13 ergibt sich:h = 0, 98 103 V 1, 6 10 19 A s 3, 0 10 8 m s 1 10 9 m = 5, 24 10 34 Js (14) Die Naturkonstanten e und c 0 sind der Übersicht halber gerundet. 20

Abbildung 3.6: Graph zum Ablesen des minimalen Winkels, Versuchsaufbau 2, mit Abweichungen (siehe Tabelle3) U B in kv Winkel in Wellenlänge in nm Kehrwert Wellenlänge in 1 nm 13 12,5 0,09 11,5 16 10,8 0,08 13,3 19 9 0,06 15,9 22 7,5 0,05 19,1 25 6 0,04 23,8 Tabelle 1: Versuchsaufbau 1 LiF (Blende kleine Apertur) Demzufolge weichen nach der rechnerischen Auswertung die beiden Apparaturen nur sehr wenig von einander ab. Diese geringen Abweichungen sind nicht aussagefähig, da die Ungenauigkeit bei Ablesen der Achsenschnittpunkte größer ist (Kapitel 3.2.2). Wir haben jedoch für alle weiteren Messungen den Versuchsaufbau 2 genutzt, da dort die Intensität wesentlich höher und das Rauschen im Verhältnis zum Messsignal kleiner war, und somit der Achsenschnittpunkt besser abgelesen werden konnte. 21

U B Winkel in Wellenlänge in nm Kehrwert Wellenlänge in 1 nm 13 14,1 0,10 10,2 16 kv 11,3 0,08 12,7 19 kv 9,6 0,07 14,9 22 kv 7,6 0,05 18,8 25 kv 6,4 0,04 22,3 Tabelle 2: Versuchsaufbau 2 LiF (Blende kleiner Apertur) Abbildung 3.7: Versuchsaufbau 1 und 2 LiF (Blende kleiner Apertur) 3.2.2 Lithiumfluorid Blende mit kleinerer Apertur Zur Verbesserung der Genauigkeit unserer Ergebnisse mit Methode 2 haben wir weitere Beschleunigungsspannungen aufgenommen und den Bereich zwischen 13 kv und 25 kv in 1,5 kv Schritten untersucht. Das Ergebnis blieb jedoch annähernd das gleiche. Die berechneten Wellenlängen passten sehr gut in den Geradenverlauf, wodurch wir ein Bestimmtheitsmaß von 0,99 erreichten (Abbildung 3.8). Eine der größten Unsicherheiten bei unserer Messung liegt in der Ablesegenauigkeit der 22

Abbildung 3.8: LiF mit der Blende kleiner Apertur: Vergleich 3 kv Schritte und 1,5 kv Schritte minimalen Winkel. Deswegen haben wir für diese Messung einen Bereich bestimmt, in dem der Schnittpunkt mit der Achse gerechtfertigt werden könnte (Tabelle 3 und Abbildung 3.6), beispielsweise durch Einbeziehung von mehr oder weniger Messwerten. Mit diesen Werten wurde dann erneut U B ( ν) dargestellt und das Plancksche Wirkungsquantum bestimmt (Abbildung 3.9). Jedoch wurde dies nur in 3 kv Schritten bestimmt. Mit der maximalen Steigung erhält man h = 6, 73 10 34 Js und mit der minimalen Steigung erhält man h = 5, 08 10 34 Js. Dies entspricht einer positiven Abweichung von 1,6% beziehungsweise einer negativen Abweichung von 23,4% (Tabelle 6). Das ermittelte Ergebniss hat demzufolge eine Ungenauigkeit von 25%. 23

U B θ min in mit positiver Abweichung θ min in mit negativer Abweichung θ min in 13kV 14,1 14,1 14,3 16 kv 11,3 11,7 11,3 19 kv 9,6 9,7 10 22 kv 7,6 8,2 7,8 25 kv 6,4 7,2 6,4 Tabelle 3: Ableseungenauigkeiten LiF Blende kleiner Apertur Abbildung 3.9: LiF mit der kleinen Blende: Abweichung durch Ableseungenauigkeiten Ein Beispiel für die Auswertung mit Methode 1 ist in Abbildung 3.10 für Lithiumflourid bei einer Beschleunigungsspannung von 19kV dargestellt. Beispielhaft soll in Gleichung 15 der Wert für h bei einer Spannung von 19kV berechnet werden. 24

h = e U B c 0 2d sin(θ min,19kv ) = 1, 6 10 19 C 19kV 3, 0 10 8 m 2 201 10 12 m sin(9, 33 ) s = 6, 613 10 34 Js (15) Als Mittelwert erhält man h = 6, 5 ± 0, 7 10 34 Js. Abbildung 3.10: Beispiel zur linearen Regression von LiF In Tabelle 4 sind die berechneten Werte für das Plancksche Wirkungsquantum h für Lithiumfluorid mit der kleinen Blende sowie deren Mittelwerte mit gesamter Unsicherheit zusammengefasst. 25

Spannung U B in kv h LiF in 10 34 Js 13,0 6, 634 14,5 6, 094 16,0 6, 602 17,5 6, 301 19,0 6, 613 20,5 6, 543 22,0 6, 616 23,5 6, 472 25,0 6, 606 Mittelwert (6, 5 ± 0, 7) Tabelle 4: berechnete Werte von h für Lithiumfluorid 26

3.2.3 Lithiumfluorid Blende mit großer Apertur Beim Austausch der kleinen Blende gegen eine größere, erhält man für das Bremsspektrum ungefähr das verdoppelte Signal und bei den charakteristischen Peaks circa ein Drittel mehr (Abbildung 3.11). Berechnet man das Plancksche Wirkungsquantum nach Methode 2, erhält man h = 7, 16 10 34 Js, dies entspricht einer positiven Abweichung von 8,1%. Abbildung 3.11: LiF mit der Blende kleiner und großer Apertur 3.2.4 Kaliumbromid Blende großer Apertur Schlussendlich haben wir den Lithiumfluorid Kristall gegen ein Kaliumbromid Kristall ausgetauscht und die Messungen mit der großen Blende wiederholt. Auffällig war auch, dass die Schwankungen bei den Messergebnissen von Kaliumbromid besonders groß waren. Um auch bei geringen Beschleunigungsspannungen das Bremsspektrum besser vom Rauschen unterscheiden zu können, konnten wir hier nur die große Blende benutzen. Das Ablesen des Schnittpunktes mit der Winkelachse war bei den Graphen problematisch. Das Bremsspektrum ging in den vorhergehenden Peak über, welcher durch die ungestreute Röntgenstrahlung entstand, was das präzise Ablesen eines Schnittpunktes erschwerte. Nach 27

Abbildung 3.12: Wellenzahl in Abhängigkeit der Beschleunigungsspannung KBr (Blende großer Apertur) der Methode 2 erhält man h = 6, 52 10 34 Js (-1,6% Abweichung von dem Tabellenwert). Um den Einfluss des ungenauen Ablesens zu bestimmen haben wir erneut eine Abweichung berechnet wie bereits in Kapitel 3.2.2 beschrieben (Abbildung 3.12). Damit erhielten wir einen minimalen Wert von h = 5, 13 10 34 Js (-22,6% Abweichung von dem Tabellenwert) und einen maximalen Wert von h = 1, 39 10 33 Js (+109,7% Abweichung von dem Tabellenwert) (Tabelle 6). Damit erhalten wir eine wesentlich größere Abweichung als bei dem Lithiumfluorid Kristall. 28

Abbildung 3.13: Beispiel zur linearen Regression von KBr Ein Beispiel nach der Methode 1 ist in Abbildung 3.13 zu sehen. Exemplarisch soll hier der Wert für h bei einer Spannung von 13 kv berechnet werden: h = e U B c 0 2d sin(θ min,13 kv ) = 1, 6 10 19 C 13, 0V 3, 0 10 8 ms 1 2 329 10 12 m sin(8, 32 ) = 6, 610 10 34 Js In Tabelle 5 sind die berechneten Werte für das Plancksche Wirkungsquantum h nach Methode 1, sowie deren Mittelwerte mit gesamter Unsicherheit zusammengefasst. Als Mittelwerte erhalten wir h = 6, 6 10 34 Js. 29

Spannung U B in kv h KBr in 10 34 Js 13,0 6, 610 14,5 6, 483 16,0 6, 563 17,5 6, 713 19,0 6, 390 20,5 6, 621 22,0 6, 795 23,5 6, 524 25,0 6, 660 Mittelwert (6, 6 ± 1, 7) Tabelle 5: berechnete Werte von h für Kalium Bromid 3.3 Bewertung der Methode Fehlerquellen Methode 1 Die Standardabweichungen, die aus den Streuungen der Einzelberechnungen um den Mittelwert resultieren, betragen für Kaliumbromid 4, 399 10 36 Js und für Lithiumfluorid 8, 109 10 36 Js. Die hohen Messunsicherheiten ergeben sich aus den großen statistischen Abweichungen in den Regressionsgeraden, insbesondere beim Kaliumbromid. Die Messergebnisse würden zwar auch bei Auslassung dieser Abweichungen von der graphischen Regression den Literaturwert [6] bestätigen, allerdings zeigt die hohe Varianz deutlich, in welcher Art und Weise die Messwerte streuen und hilft uns daher am Ende bei einer Abschätzung, inwiefern dieses Experiment gut geeignet ist, das Plancksche Wirkungsquantum zu bestimmen. Fehlerquellen Methode 2 Die aufgetragenen Messwerte in den Diagrammen zur Beschleunigungsspannung in Abhängigkeit von der Wellenzahl weisen eine geringe Abweichung von der linearen Trendlinie ab. Beim Lithium Fluorid liegt das Bestimmtheitsmaß R 2 über 0, 95 und nur bei Kaliumbromid sinkt es auf 0, 8. Jedoch zeigen die Variationsmöglichkeiten beim Ablesen des minimalen Winkels die Ungenauigkeit beim Bestimmen des Planckschen Wirkungsquantums. Dies wurde besonders deutlich beim Kaliumbromid, wo der ermittelte Wert um 22,6 % zu niedrig im Vergleich zum Tabellenwert abgelesen werden konnte, aber auch um 109,7 % zu hoch. Bewertung der Methode Tabelle 6 fasst unsere ermittelten Werte und die dazugehörenden Abweichungen von dem Tabellenwert zusammen. Wir konnten h ermitteln, so dass es mit dem Tabellenwert [6] übereinstimmt, jedoch nur 30

mit sehr großen Standardabweichungen und Ableseungenauigkeiten. Würde uns h nicht bekannt sein, wäre es uns nicht möglich mit dieser Messmethode diese Naturkonstante präzise zu bestimmen. Durch eine empfindlichere Messtechnik könnte man vermutlich unsere Messwerte verbessern. Kristall (Blende) Methode h in 10 34 Js Abweichung vom Tabellenwert in% LiF (klein) 1 6,5-2 2 5,24-22,6 2 maximal 6,73 +1,0 2 minimal 5,08-23,4 LiF (groß) 2 7,16 +8,1 KBr (groß) 1 6,6-0,5 2 6,52-1,6 2 maximal 13,9 +109,7 2 minimal 5,13-22,6 Tabelle 6: alle ermittelten Werte für h 31

4 Der Franck-Hertz-Versuch Anfangs dachten James Franck und Gustav Hertz einen Wert für die Ionisierungsspannung von Quecksilber gefunden zu haben. Doch schnell wurde klar, dass es sich bei ihrem Versuch um ein Experiment handelte, welches die Bohrsche Theorie des Atommodells bestätigte. Für ihre Arbeit erhielten Franck und Hertz im Jahr 1925 den Nobelpreis für Physik. 4.1 Grundlagen und Durchführung Eine schematische Darstellung der von Franck und Hertz konzipierten Röhre ist in Abbildung 4.1 gegeben. In der Röhre befindet sich bei niedrigem Druck das zu untersuchende Gas. Aus der Glühkathode ausgelöste Elektronen werden im Coulombfeld zwischen der Glühkathode und der Gitteranode beschleunigt. Gelangen die Elektronen durch das Gitter, so werden sie in einem Gegenfeld zwischen Gitteranode und Messelektrode abgebremst. Die Elektronen, die noch die Messelektrode erreichen, werden dort mithilfe eines Ampèremeters als Stromfluss registriert. Glühkathode Gitter U heiz Messelektrode A U beschl U brems Abbildung 4.1: Schematische Darstellung der Franck-Hertz-Röhre Reicht die kinetische Energie der anfangs beschleunigten Elektronen aus, um auf ihrem Weg zwischen Glühkathode und dem Gitter einen inelastischen Stoß mit einem Hüllenelektron des Füllgases durchzuführen, so dass dieses in einen energiereicheren Zustand angehoben wird, so wird bei dieser Anregung eine diskrete Energiemenge absorbiert. Nach dem Stoß werden die Elektronen erneut im elektrischen Feld beschleunigt. Nun kann sich, je nach gewählter Beschleunigungsspannung, solch ein Stoßvorgang wiederholen. Da die Elektronen bei jedem Stoß kinetische Energie verlieren, kann es nach dem Durchschreiten des 32

Gitters geschehen, dass ihre kinetische Energie nicht mehr ausreicht um das Gegenfeld zu überwinden. Sie werden somit nicht mehr am Ampèremeter registriert. Trägt man die gemessene Stromstärke am Ampèremeter gegen die angelegte Beschleunigungsspannung auf, so erhält man schematisch den in Abbildung 4.2 dargestellen Graphen. Im Bereich 1 des Diagramms reicht die Energie der beschleunigten Elektronen nicht aus, um ein Hüllenelektron in ein höheres Energieniveau zu heben. Im Bereich 2 geschieht eben dies. Mit steigender Beschleunigungsspannung gelingt es immer mehr Elektronen, einmal mit einem Hüllenelektron zu interagieren. Dementsprechend gelangen weniger Elektronen durch das Gegenfeld, und so sinkt die gemessene Stromstärke in diesem Bereich. Erhöht man nun die Beschleunigungsspannung weiter, so können mehr Elektronen, die bereits ein Hüllenelektron angeregt haben, das Gegenfeld überwinden. Dies ist im Bereich 3 an der steigenden Stromstärke zu erkennen. Im Bereich 4 geschieht im Grunde dasselbe wie im Bereich 2, jedoch stoßen hier die Elekronen auf ihrem Weg zum Gitter zweimal mit Hüllenelektronen. Ab diesem Punkt wiederholt sich das grundlegende Verhalten des Graphen. I 1 2 3 4 U beschleu Abbildung 4.2: Schematische Verlauf einer Franck-Hertz-Kurve Die Spannungsdifferenz der einzelnen Maxima im Graphen, im Folgenden U genannt, 33

multipliziert mit der Elementarladung e, entspricht dem Energiewert E, der benötigt wird um ein Hüllenelektron anzuregen. Rekombinieren die durch den Stoß angeregten Elektronen und emittieren dabei ein Photon der Wellenlänge λ und der Frequenz f, so ergibt sich nach Einstein: wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. U e = E = h f = h c λ Misst man nun die Spannungsdifferenzen und kennt die Wellenlänge des emittierten Lichtes so ergibt sich h zu: h = U e λ c (16) Wir untersuchten in unserem Experiment Quecksilberdampf und Neon. Die Aufnahme der jeweiligen Stromstärken übernahm für uns ein Oszilloskop, welches die über einen Widerstand abfallende Spannung maß. 4.2 Auswertung Franck-Hertz-Röhre mit Quecksilberdampf Das bei der Abregung der Elektronen emittierte Licht besitzt vorrangig eine Wellenlänge von 253.7 nm [2]. Insgesamt wurden für die mit Quecksilberdampf gefüllte Franck-Hertz- Röhre 7 Messreihen aufgenommen, sowie 18 Spannungsdifferenzen bestimmt. Die Spannungen der Maxima wurden aus den interpolierten Messwerten numerisch berechnet. Die daraus bestimmten Differenzen sind in der Tabelle 4.2 zu finden. Da die einzelnen Messreihen bei geringfügig geänderten Betriebsparametern der Franck-Hertz-Röhre durchgeführt wurden, sei hier nur eine exemplarische Messreihe graphisch dargestellt (siehe Abb. 4.3). 34

12 10 Gemessene Spannung in V 8 6 4 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Beschleunigungsspannung in V Abbildung 4.3: Franck-Hertz-Kurve für Quecksilber # U in V # U in V # U in V 1 4,96 7 3,94 13 4,13 2 5,53 8 4,69 14 4,68 3 4,97 9 5,18 15 4,86 4 5,50 10 4,41 16 4,15 5 4,97 11 4,74 17 4,65 6 5,53 12 5,75 18 5,18 Tabelle 7: Spannungsdifferenzen Für die erste Spannungsdifferenz aus Abbildung 4.3 sei mittels Gleichung 16 beispielhaft 35

die Rechnung zur Bestimmung von h angegeben: h = 4.96 V 1.60 10 19 C 253.7 10 9 m 2.99 10 9 m s = 6.74 10 35 Js Aus den gemittelten Spannungsdifferenzen ergibt sich der Wert für h zu h = (6, 6 ± 0, 4) 10 34 Js Der angegebene Messfehler wurde allein aus dem statistischen Fehler der Messungen errechnet. Die Abweichung vom Literaturwert [6] beträgt 0, 3%. Franck-Hertz-Röhre mit Neongas Nahe beieinander liegende Energieniveaus des Neongas gestatten es nicht davon auszugehen, dass eine bestimmte Anregung stattfinden wird. Im Folgenden wird dies näher erklärt. Stößt ein Elektron mit einem Hüllenelektron eines Neonatoms, so ist es wahrscheinlich, dass ein Hüllenelektron aus dem Grundzustand in einem der ersten angeregten Zustände ( 16eV) angehoben wird. Die verschiedenen 3p Zustände des Neonatoms ( 18eV) liegen energetisch gesehen sehr nahe an diesen 3s Zuständen. Ein Elektron welches bereits ein Hüllenelektron vom Grundzustand in einen 3s Zustand angehoben hat kann nun in einem anderen, bereits angeregten, Atom ein Hüllenelektron aus dem 3s in einer der 3p Zustand anheben. Die Abregung der Hüllenelektronen findet auf dem gleichen Weg statt. Somit kann hier der Anregung nicht direkt eine Wellenlänge zugewiesen werden. Für die Rechnung wurde jedoch angenommen, dass die Anregung im Grunde einem Übergang von 73.9 nm entspricht. Dies ist die gemittelte Wellenlänge, die die Photonen bei einer Abregung aus einem der ersten angeregten Zustände in den Grundzustand besitzen [5]. Aufgenommen wurden 4 Messungen mit je 3 Maxima, was 8 gemessenen Energiedifferenzen entspricht. Auch hier sind diese in Tabelle 4.2 angegeben und eine Messung exemplarisch in Abbildung 4.4 graphisch dargestellt. # U in V # U in V 1 17,4 5 17,4 2 20,1 6 19,9 3 17,4 7 17,4 4 19,6 8 19,6 Tabelle 8: Spannungsdifferenzen 36

9 8 7 Gemessene Spannung in V 6 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 50 60 70 Beschleunigungsspannung in V Abbildung 4.4: Franck-Hertz-Kurve für Neon Für die erste Spannungsdifferenz aus Abbildung 4.4 sei mittels Gleichung 16 beispielhaft die Rechnung zur Bestimmung von h angegeben: h = 17.4 V 1.60 10 19 C 73.9 10 9 m 2.99 10 9 m s = 6.89 10 35 Js Aus den gemittelten Spannungsdifferenzen ergibt sich der Wert für h zu h = (7, 4 ± 0, 5) 10 34 Js Der angegebene Messfehler wurde allein aus dem statistischen Fehler der Messungen errechnet. Die Abweichung vom Literaturwert [6] beträgt 10.9%. 37

4.3 Fehlerquellen Bei Gasen mit mehreren möglichen Anregungsniveaus, wie beispielsweise dem Neon-Gas, tritt der Effekt verstärkt auf, dass sich die Maxima von mehreren Übergängen gegenseitig im Graphen überlappen und nicht mehr unterscheidbar sind. Dies ist aber ein durch den generellen Aufbau des Experiments bedingtes Problem. Nicht alle aus der Glühkathode ausgelösten Elektronen stoßen ab einer bestimmten angelegten Beschleunigungsspannung mit den Hüllenelektronen des Gases. Dies geschieht in einem Spannungsintervall, welches dafür sorgt, dass wir eine glatte Kurve erhalten. Auch sind die zur Rechnung angenommenen Wellenlänge bei Gasen mit mehreren möglichen Anregungszuständen nur Näherungen. Dieses konzeptionelle Problem trägt aber, im Gegensatz zur ersten Fehlerquelle, nur im geringen Maße zur Ungenauigkeit unserer Messwerte bei. 4.4 Bewertung der Methode Grundsätzlich bietet der Franck-Hertz-Versuch eine schnelle Möglichkeit, einen Wert für h zu bestimmen. Jedoch stößt er auch schnell an seine konzeptionell bedingte Grenze. Wie man beim Neongas gesehen hat, ist es bei Atomen mit mehreren verschiedenen Anregungsenergien nur schwer möglich, die benötigte eindeutige Wellenlänge exakt anzugeben. Nur unter Annahmen und Vereinfachungen kann man in solchen Fällen einen Wert für h bestimmen. Auch bedingen die eben diskutierten Fehlerquellen, dass der Versuch nicht für eine hochpräzise Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums geeignet ist. Eine mit Neongas gefüllte Franck-Hertz-Röhre ist komplett ungeeinget zur Ermittlung eines konkreten Zahlenwertes für h. 38

5 Wasserstoffspektroskopie und nachfolgende Bestimmung der Rydberg-Konstanten 5.1 Grundlagen Ziel dieses Versuches ist das Ermitteln des planckschen Wirkungsquantums h via Aufnahme und Analyse eines Wasserstoffspektrums. Insbesondere interessiert uns hier die Balmer- Serie, da diese teilweise im Bereich des sichtbaren Lichtes liegt (H α,h β,h γ, H δ ) und somit unserem Spektrometer zugänglich ist. Die Balmer-Serie ist eine Serie von Spektrallinien innerhalb des Wasserstoffspektrums. Eine erste Formel zur Berechnung der entsprechenden Wellenlängen lieferte Johann Jakob Balmer, Schweizer Physiker und Mathematiker, im Jahre 1885: ( ) n 2 λ n = A n 2 4, A = 364, 51nm, n {3, 4, 5, 6} (17) Eine Verallgemeinerung dieser Formel ist durch die Rydberg-Formel gegeben. Diese wurde von dem schwedischen Physiker Johannes Robert Rydberg im Jahre 1888, nur 3 Jahre nach der Balmer-Formel, entdeckt. Sie lautet: ( 1 1 = R λ n n 2 1 ) 1 n 2 2, R = 1, 0974 10 7 m 1, n 1, n 2 N, n 2 n 1 + 1 (18) und kann auch die Wellenlängen für Übergänge anderer Spektralserien vorhersagen. In der Tat kann Gl.(17) in Gl.(18) umgeschrieben werden, indem man n 1 = 2, n 2 = n und R = 4 A setzt. Obwohl die beschriebenen Formeln sehr genaue Ergebnisse liefern, wurden sie auf empirischem Wege gewonnen und konnten erst durch das Bohrsche Atommodell begründet werden. Aus den Bohrschen Postulaten folgt unter anderem die Quantisierung des Drehimpulses: L = n, n N. Unter der Annahme, dass sich gebundene Elektronen auf Kreisbahnen um den Atomkern bewegen, können wir formulieren (mit Z - Kernladungszahl, F Z - Zentripetalkraft, F el - Coulombkraft): F Z = m ev 2 r = e2 Z 4πε 0 r 2 = F el = v 2 = e2 Z 4πε 0 m e r (19) Desweiteren folgt aus der Drehimpulsbedingung: 39

L := m e vr = n = v 2 = n2 2 m 2 er 2 Gl.(19) = r = r n = 4πε 0 n 2 2 e 2 Zm e (20) Um eine Formel zu erhalten, welche die Energiedifferenzen zwischen verschiedenen Energieniveaus angibt, ist es sinnvoll, Energiebetrachtungen anzustellen: T := m e Gl.(19) v2 = e2 Z 2 8πε 0 r = 1 2 V = E = T + V = 1 2 V = e2 Z 8πε 0 r (21) Nun können wir durch das Bilden von E eine Formel finden welche der Gl.(18) entspricht. In diesem Falle ist die auftretende Konstante eine Kombination aus fundamentalen Naturkonstanten, welche mit der Rydberg-Konstanten identifiziert werden kann. Erst dieser Umstand ermöglicht uns die Bestimmung des Plankschen Wirkungsquantums durch die experimentelle Bestimmung der Rydberg-Konstante. Mit Gl.(20) gilt: E = E n2 E n1 = Z 2 m ee 4 8h 2 ε 2 0 ( 1 n 2 1 1 n 2 2 ) E=hν = 1 = Z 2 m ee 4 ( 1 λ n 8h 3 cε 2 0 n 2 1 ) 1 n 2 2 } {{ } =:R (22) Die Ähnlichkeit zur Rydberg-Formel ist offensichtlich und Anlass zur Identifizierung von R mit dem entsprechenden Ausdruck in Gl.(22). Die hier gemachte Annahme eines fixen Atomkerns 1 ist zwar eine gute Näherung und wirkt sich im Rahmen unserer Messungen nicht auf unsere Ergebnisse aus 2. Es ist jedoch erwähnenswert, das hier analog zur klassischen Mechanik die Einführung einer reduzierten Masse bzw. eines Korrekturfaktors die Ergebnisse weiter verbessert. Es wird in Gl.(18) R durch R ersetzt und es ist (mit m K -Kernmasse): R = R 1 + me m K = m e e 4 8cε 2 0 h3 (1 + me m K ) (23) Bei der Verwendung eines hinreichend spektral auflösenden Spektrometers ist es also sinnvoll, die Wasserstoffisotope Deuterium und Tritium zu verwenden, denn durch die erhöhte 1 m diese wäre nur im Grenzfall einer unendlichen Kernmasse exakt: R K mk 2 dies werden wir im Rahmen unserer Messungen verifizieren R 40

Kernmasse dieser Isotope rückt der Wert des Korrekturfaktors näher an die 1. Um nun R zu bestimmen, ist es zum einen möglich, durch die Identifizierung der ermittelten Emissionslinien mit den entsprechenden Übergängen die Gl.(18) zu nutzen, um R zu berechnen. Zum anderen ist aus Gl.(18) ersichtlich: 1 λ (n) 1 mit der Proportionalitätskonstanten n 2 R. Deshalb ist ein linearer Fit der Funktion 1 λ ( 1 ) eine vielversprechende Methode zur n 2 Bestimmung von R. Das Plancksche Wirkungsquantum h kann nun aus R (h) bestimmt werden: h = 3 m e e 4 8R cε 2 0 (24) 41

5.2 Versuchsdurchführung Kalibrierung Um das vorhandene Spektrometer und die dazugehörige Software getspec verwenden zu können, war es zunächst notwendig, eine Kalibrierung vorzunehmen. Abbildung 5.1: Regressionsgerade zur Kalibrierung der Spektrometersoftware Dazu wurden die Spektren von Neon und Quecksilber aufgenommen und die charakteristischen Linien mit den Literaturwerten [4] verglichen. Ein linearer Fit mittels gnuplot T M berechnete uns dann die entsprechende Korrekturgleichung (Gl. 25) für unsere Wellenlängen. λ(λ) = 0, 89841 λ + 22, 276 nm (25) Man erkennt an der sehr guten Übereinstimmung der Messpunkte zur Regressionsgeraden in Abbildung 5.1, dass die Kalibrierung sehr genau vorgenommen wurde. Das Bestimmtheitsmaß des Fits beträgt 0,99994 und kann daher in den Fehlerbetrachtungen sicher vernachlässigt werden. 42

Im Anschluß konnten nun die Spektren der Wasserstoff- und Deuteriumlampe aufgenommen werden. Wasserstoff und Deuterium Abbildung 5.2 zeigt das von uns aufgenommene Spektrum der H 2 O-Lampe. Die charakteristischen Wellenlängen sind aus der aufgenommenen Meßreihe bestimmbar und als diskrete Linien sichtbar. Dargestellt ist hier das unkalibrierte Spektrum. Die umgerechneten Wellenlängen sind entsprechend gekennzeichnet. n 2 λ in nm Literaturwert[4] in nm Abweichung in % 7 395,98 397,007 (H ε ) 0,26 6 409,19 410,174 (H δ ) 0,24 5 433,49 434,047 (H γ ) 0,13 4 485,89 486,133 (H β ) 0,05 3 658,72 656,272 (H α ) 0,37 Tabelle 9: Wellenlängen des Wasserstoffs n 2 λ in nm Literaturwert[4] in nm Abweichung in % 7 397,13 397,000 (D ε ) 0,18 6 409,48 410,200 (D δ ) 0,03 Tabelle 10: Wellenlängen des Deuteriums In den Tabellen 9 und 10 sind die von uns identifizierten Wellenlängen für Wasserstoff und Deuterium sowie ihre Abweichnungen zu Referenzwerten angegeben. Zwei Werte werden von uns dem schweren Wasserstoff zugeordnet; allerdings muss angemerkt sein, dass das verwendete Spektrometer grundsätzlich nicht in der Lage wäre, die Differenz λ zwischen den Wellenlängen von Wasserstoff und Deuterium aufzulösen. Die Wellenlängen werden von getspec auf zwei Nachkommastellen genau in einer fortlaufenden Tabelle ausgegeben, woran sich unsere angegebenen Ergebnisse orientieren. Wir haben laut Herstellerangaben jedoch eine D 2 O-Dampflampe benutzt und demzufolgen sind die entsprechenden Spektrallinien dem Deuterium zuzuordnen. Aufgrund der Tatsache, dass wir nur zwei Wellenlängen verwenden könnten, wird von einer weiteren Betrachtung von Deuterium abgesehen. 43

Abbildung 5.2: aufgenommenes Spektrum der Wasserdampflampe mit umgerechneten Wellenlängen λ 5.3 Auswertung 5.3.1 Graphische Analyse Um die gesuchte Naturkonstante berechnen zu können, nutzen wir die Beziehung in Gleichung 24. Die Kernladungszahl Z ist im Falle von Wasserstoff (im Folgenden Index H) 1. Wir haben für n 1 den Wert 2 eingesetzt, da die angeregten Elektronen auf das zweite Energieniveau zurückfallen und dabei Photonen emitieren. Es ergibt sich die Bestimmungsgleichung: h H = 3 mee 4 8R H cε 2 0, mit R H = 11127300 m 1 (26) Die Rydbergkonstante wurde graphisch ermittelt. Wie in Gleichung 22 ersichtlich, ist 44

( ( ) R der Anstieg einer Regressionsgeraden, wenn man 1 λ) über 1 4 1 aufträgt. Der n 2 2 Literaturwert[6] für die Rydbergkonstante ist R = 10973731, 568539 m 1 und ist mit einer relativen Unsicherheit von 5 10 12 die genaueste gemessene Naturkonstante überhaupt. Abbildung 5.3: lineare Regression H 2 O Unser Wert für die Rydbergkonstante mittels Wasserstoffspektroskopie weicht somit um 1, 3% vom Literaturwert[6] ab. Mit dem ermittelten Wert für die Rydbergkonstante können wir nun mit der Gleichung 26 h berechnen. Die übrigen Konstanten wurden der Literatur[6] entnommen. h H = 6, 595 10 34 Js (27) Das Ergebnis weicht um 0, 46% vom Literaturwert[6] h = 6, 626 10 34 Js ab. Die Unsicherheit in den Regressionen ist verschwindend gering. Als weitere Messunsicherheit kann nur die Ableseungenauigkeit der Wellenlängen im Spektrum angesetzt werden, die vom Auflösevermögen des Spektrometers abhängt. 45

5.3.2 Rechnerische Mittelung Eine weitere Methode zur Bestimmung von h ist die rechnerische Mittelung über die einzelnen Energieniveaus n 2. Wir berechnen also das plancksche Wirkungsquantum für jeden Übergang einzelnen und mitteln dann die Ergebnisse. Dazu verwenden wir die Gleichung 22, wobei die Rydbergkonstante durch die Beziehung 23 ausgedrückt werden soll, um der reduzierten Masse Rechnung zu tragen. Die Kernladungszahl ist für Wasserstoff 1 und wie bereits im vorhergehenden Abschnitt beschrieben ist n 1 in unserem Fall 2, da alle angeregten Elektronen auf das zweite Niveau zurückfallen. Als Bestimmungsgleichung finden wir somit: ( 1 h = λ 3 ζ 4 1 ) n 2, mit ζ = 2 1 1 + me m K mee4 8ε 2 0 c (28) Die Kernmasse m K entspricht bei der Berechnung mittels Wasserstoffspektrum der Masse eines Protons. Somit ergibt sich ein konstanter Wert für ζ: ζ = 3, 1916 10 93 J3 s 3 Die Naturkonstanten wurden wieder der Datenbank codata[6] entnommen. In Tabelle 11 sind die Ergebnisse unserer Rechnung zusammengefasst. n 2 λh in nm h in Js 7 395,979 6, 634 10 34 6 409,188 6, 625 10 34 5 433,494 6, 623 10 34 4 485,889 6, 620 10 34 3 658,719 6, 617 10 34 Mittelwert 6, 624 10 34 Standardabweichung 0, 003 10 34 m Tabelle 11: Berechnete Werte für h (29) 5.4 Bewertung der Methode Das Verfahren zeigt eine sehr geringe Messunsicherheit, die von der Auflösung des verwendeten Spektroskops, bzw. der verwendeten Analysesoftware, und möglichen Standardabweichungen durch Mittelungen abhängt. Sowohl die graphische Bestimmung, als auch die rein 46

rechnerische Mittelung können den Zielwert mit hoher Genauigkeit erreichen. Die Methode der Spektroskopie von Wasserstoff ist somit eine sehr gute Methode, um die Konstante h auf 2-3 Nachkommastellen genau zu bestimmen. 47

6 Fazit Vergleich der Methoden Ziel des Projekts war es, verschiedene Methoden kennenzulernen, mit denen man das Plancksche Wirkungsquantum h bestimmen kann. Wir verwendeten dafür vier verschiedene Versuche: das Röntgenspektrum, den Photoeffekt, den Franck-Hertz-Versuch und die Bestimmung der Rydbergkonstanten aus der Analyse des Wasserstoffspektrums. Die ungenaueste der Messmethoden war die Bestimmung von h mittels Reflektion von Röntgenstrahlung. Zwar konnten wir dem Literaturwert des Planckschen Wirkungsquantums sehr nahe kommen, allerdings ist dies verbunden mit einer sehr großen Standardabweichung. Durch geschickte Auswahl der zur Interpolation benutzten Messbereiche konnte man das erhaltene Ergebnisse um 140% variieren. Zur tatsächlichen Bestimmung einer Naturkonstante ist der Versuch daher eher nicht zu gebrauchen. Mit stärkeren Proben und einem daraus resultierenden günstigeren Verhältnis von Röntgenstrahlung zu Hintergrundrauschen wäre es aber prinzipiell möglich, auch genauere Werte zu erzielen. Der Photoeffekt ist einer der Klassiker unter den Atomversuchen. Eine exakte Möglichkeit zur Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums bot er, im Rahmen der Möglichkeiten des Grundpraktikums, jedoch auch nicht. Grund hierfür ist, dass die gemessenen Ströme im pa-bereich lagen. Daher ist es ohnehin schon erstaunlich, dass ein Messgerät zur Verfügung stand, das Ströme in dieser Größenordnung einigermaßen genau bestimmen konnte. Allerdings schwankte die Anzeige des (analogen) Messinstruments sehr stark und reagierte auch schon auf kleinste Störungen wie ein Wackeln am Kabel, weshalb die Werte teils mehr abgeschätzt als abgelesen wurden. Der Franck Hertz Versuch gab uns die Möglichkeit, einen historisch wertvollen Versuch nachzuvollziehen. Nach vorheriger Kenntnis der Elementarladung kann man in einem vereinfachten Modell das Plancksche Wirkungsquantum vergleichsweise schnell und dabei recht genau bestimmen. Leider kann der Versuch nur bis zu einem gewissen Maße ausgereizt werden, da es prinzipell nicht möglich ist, die genauen Spannungsdifferenzen der Maxima in den charakteristischen Franck-Hertz-Kurven zu ermitteln. Die Spektroskopie von Wasserstoff und Deuterium ist eine sehr genau Variante zur Bestimmung der Naturkonstanten h. Sobald das Spektroskop auf die Lichtquelle ausgerichtet ist, kann man am PC in Echtzeit das Spektrum beobachten und Standbilder zur Auswertung erstellen. Bei sorgfältiger Kalibrierung bestimmt man sehr exakt die charakteristischen Wellenlängen der verwendeten Leuchtmittel und kann damit genaue Werte mit minimaler Standardabweichung für h berechnen. 48

Schlusswort Wie auch die anderen Projektwochen ist das Atomprojekt eine sehr begrüßenswerte Alternative zum herkömmlichen Grundpraktikum. Man kann sich dadurch ausführlich mit dem Themenkomplex Plancksches Wirkungsquantum auseinandersetzen und versteht dadurch viel besser als sonst die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Experimenten und hat die Möglichkeit, die Eignung einzelner Versuche zur Bestimmung der Naturkonstanten abzuschätzen. Wir danken Dr. Harry Weigt für seine Unterstützung während der Woche, die für uns alle eine lehrreiche Erfahrung war. 49