Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 4 Erhöhtes Niveau

Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 4 Erhöhtes Niveau Lichterkettenproduktion Eine Firma stellt hochwertige Lichterketten für den Einsatz im Außenbereich her, die durch ihre spezielle Konstruktion, bei der die einzelnen Glühlampen im Volksmund auch Glühbirnen genannt fest eingelötet werden, jedem Wetter standhalten sollen. Die Ketten werden an die Abnehmer mit folgender Garantie verkauft: Wenn die Lichterkette nicht einwandfrei funktioniert, so erhält der Kunde 20 E als Entschädigung. Bei der Produktion sind zwei voneinander unabhängige Fehler möglich: Die Glühlampen können bereits vor dem Einlöten defekt sein. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühlampe defekt ist, beträgt erfahrungsgemäß 4 %. Der Zusammenbau der Kette kann fehlerhaft erfolgen, z. B. indem ein Kontakt (oder mehrere) nicht richtig gelötet wird. Die Wahrscheinlichkeit für fehlerhaften Zusammenbau einer Kette beträgt erfahrungsgemäß 5 %. Eine Lichterkette enthält 24 Glühlampen. Punkte a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lichterkette einwandfrei funktioniert. 10 b) Ein Kunde hat eine defekte Lichterkette reklamiert. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in dieser Kette alle Glühlampen heil sind und damit der Fehler nur im Zusammenbau liegt. 15 c) Es gehen gleich nach Verkaufsbeginn viele Garantieansprüche bei der Firma ein. Die hohen Kosten geben den Verantwortlichen zu denken. Daher beauftragen sie einen Stochastiker, um die Gründe zu klären. Dieser berechnet zunächst den Erwartungswert der Garantiekosten für 1 000 verkaufte Lichterketten. Berechnen auch Sie diesen Wert. 10 Anschließend wird in der Firma diskutiert, ob man nicht besser die einzelnen Glühlampen vor dem Zusammenbau oder auch die fertiggestellte Kette vor dem Verkauf kontrollieren sollte. Ein Mitarbeiter stellt die Kosten für die Kontrolle zusammen: Jede Funktionskontrolle einer Glühlampe kostet 0,06 E, die Kontrolle der Kette 0,40 E. Dabei hat er die Kosten für den Arbeitsplatz und die Arbeitszeit des Prüfers berücksichtigt. Nun soll die Summe der zu erwartenden Kontroll- und Garantiekosten für drei verschiedene Möglichkeiten berechnet werden (siehe Aufgabenteile d bis f ), und zwar für jeweils 1 000 zum Verkauf kommende Ketten. Die Gesamtkosten will man dann mit dem in Aufgabenteil c berechneten Erwartungswert vergleichen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 159

d) Fall 1: Es werden nur die Lampen kontrolliert. Bestimmen Sie die Zahl der durchschnittlich zu kontrollierenden Lampen, damit man 24 funktionierende Lampen erwarten kann. Da keine Kontrolle der Kette erfolgen soll, kommen dennoch defekte Ketten zum Verkauf. Bestimmen Sie für diesen Fall die Summe der zu erwartenden Kontrollund Garantiekosten. 15 e) Fall 2: Es werden nur die fertigen Ketten kontrolliert. Wenn die Ketten kontrolliert werden, kommen natürlich nur brauchbare Ketten in den Verkauf. Ermitteln Sie die Summe der zu erwartenden Kontroll- und Garantiekosten. 15 f) Fall 3: Es werden die Lampen und die Ketten kontrolliert. Bestimmen Sie die Summe der zu erwartenden Kontroll- und Garantiekosten, wenn sowohl die einzelnen Glühlampen als auch die fertigen Ketten kontrolliert werden. 15 g) Mit den so bestimmten Gesamtkosten ist der zuständige Betriebswirtschaftler nicht einverstanden. Er meint, dass man die Materialkosten und die Arbeitszeit für den Zusammenbau der Ketten ebenfalls berücksichtigen muss und zwar mit 3 E pro Kette, unabhängig davon, ob die Kette in den Verkauf geht oder bei einer Kontrolle aussortiert wird. Die Materialkosten für aussortierte Glühlampen will aber auch er vernachlässigen. Ermitteln Sie unter dieser Annahme das kostengünstigste Kontrollverhalten der Firma. 20 100 Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung 2006 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 160

Hinweise und Tipps Teilaufgabe a r p 1 = 0,04 sei die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Lampe, damit ist p 2 = 0,96 die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie Lampe. r p 3 = 0,05 sei die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerhafte Montage, damit ist p 4 = 0,95 die Wahrscheinlichkeit für einen fehlerfreien Zusammenbau. r Die Lichterkette ist genau dann fehlerfrei, wenn sowohl die Lampen als auch der Zusammenbau fehlerfrei sind. Teilaufgabe b r Rechnen Sie mit bedingten Wahrscheinlichkeiten. r Wählen Sie für A: Alle Glühlampen sind heil B: Die Lichterkette ist defekt. r Mit Teilaufgabe a können Sie dann P(B) ermitteln, denken Sie an das Gegenereignis. r Setzen Sie die Werte in die Formel von Bayes ein und berechnen die Wahrscheinlichkeit. r Alternativ können Sie mithilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Fehler nur beim Zusammenbau liegt. r Stellen Sie ein Baumdiagramm auf und bezeichnen Sie die einzelnen Pfade mit ihren Wahrscheinlichkeiten. Teilaufgabe c r Mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe a können Sie über das Gegenereignis die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Kette berechnen. r Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich mit: µ = E(X) = n p r Garantiekosten sind E(G) = E(X) Entschädigung pro defekter Lichterkette. r Berechnen Sie die zu erwartenden Garantiekosten. Teilaufgabe d r Berechnen Sie die Anzahl der zu prüfenden Lampen pro Kette, damit man 24 einwandfreie Lampen erwarten kann. r Berechnen Sie die Kontrollkosten für eine Kette und damit dann die Kontrollkosten für 1 000 Ketten. r 5 % der verkauften Ketten sind fehlerhaft. Berechnen Sie diese Anzahl und danach die Garantiekosten. r Die Gesamtkosten setzen sich dann aus der Summe von Kontroll- und Garantiekosten zusammen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 161

Teilaufgabe e r Die Wahrscheinlichkeit für fehlerfreie Ketten haben Sie in Teilaufgabe a berechnet. r Berechnen Sie die Anzahl der zu produzierenden Ketten, um 1 000 fehlerfreie Ketten erwarten zu können. r Anschließend berechnen Sie die Prüfkosten; Garantiekosten fallen nicht an, da alle verkauften Ketten fehlerfrei sind. Teilaufgabe f r Die 1 000 fehlerfreien Ketten entsprechen 95 %. Ermitteln Sie die Anzahl der zu prüfenden Ketten, damit man 1 000 fehlerfreie erwarten kann. r Anschließend berechnen Sie die Prüfkosten; Garantiekosten fallen nicht an, da alle verkauften Ketten fehlerfrei sind. r Beachten Sie, dass sich die Prüfkosten aus den Kosten für die Kontrolle der Lampen (siehe Teilaufgabe d) und den Kosten für die Kontrolle der Ketten zusammensetzt. Teilaufgabe g Kostengünstigstes Verhalten r Für jede zusammengebaute Lichterkette müssen zusätzlich 3,00 E berücksichtigt werden. r Berechnen Sie unter Berücksichtigung dieser Zusatzkosten die neuen Gesamtkosten für die Fälle 1 bis 3. r Berechnen Sie auch die Gesamtkosten für den Fall, dass keine Prüfung erfolgt. r Vergleichen Sie danach die Kosten und entscheiden, welches Prüfverfahren das günstigste ist. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 162

Lösung a) p 1 = 0,04 sei die Wahrscheinlichkeit für eine defekte Lampe. p 2 = 0,96 sei die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie Lampe. p 3 = 0,05 sei die Wahrscheinlichkeit für fehlerhaften Zusammenbau. p 4 = 0,95 sei die Wahrscheinlichkeit für fehlerfreien Zusammenbau. P( einwandfreie Lichterkette ) = 0,96 24 0,95 P( einwandfreie Lichterkette ) = 0,35664 Die Wahrscheinlichkeit für eine fehlerfreie Lichterkette beträgt etwa 35,7 %. b) Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten A sei Alle Glühlampen sind heil B sei Die Lichterkette ist defekt P(A B) P B (A) = P(A B) = P(B) 0,9624 0,05 P(A B) = P(B) Aus Teilaufgabe a folgt P(B) = 1 0,35664 P(B) = 0,64336 24 0,96 0,05 also P(A B) = = 0,029176 0,64336 Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler beim Zusammenbau liegt, wenn alle Lampen heil sind, beträgt etwa 2,9 %. Alternative Lösung: Es seien L alle Lampen heil L 1 Lampen defekt M Montage fehlerfrei M 1 Montage fehlerhaft 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 163

Damit gilt: 0,3754 0,05 P defekt ( nur Montage fehlerhaft ) = 0,3754 0,05 + 0,6246 0,05 + 0,6246 0,95 0,3754 0,05 P defekt ( nur Montage fehlerhaft ) = 0,3754 0,05 + 0,6246 0,01877 P defekt ( nur Montage fehlerhaft ) = 0,64337 P defekt ( nur Montage fehlerhaft ) = 0,029175 2,9 % Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler nur beim Zusammenbau liegt, beträgt etwa 2,9 %. c) Aus Teilaufgabe a folgt P( defekte Kette ) = 1 0,3566 = 0,6434 E(X) = n p E(G) seien die Garantiekosten, dann ist E(G) = E(X) 20 E E(G) = 1000 0,6434 20 E E(G) = 12 868 E Der Erwartungswert für die Garantiekosten von 1 000 verkauften Lichterketten beträgt 12 868 E. d) Fall 1: 4 % der Glühlampen sind defekt, d. h. 96 % der Lampen sind in Ordnung. Wie viele Lampen müssen geprüft werden, damit man 24 funktionierende Lampen erwarten kann? 96 % entsprechen 24 Lampen 100 % entsprechen 25 Lampen, da 100 24 = 25. 96 Es müssen also 25 Lampen geprüft werden. Damit sind die Kontrollkosten: 25 0,06 E = 1,50 E = 1,50 E Lampe Kette Die Kontrollkosten für 1 000 Lichterketten betragen somit 1 000 1,50 E = 1 500 E. Da die Lichterketten nicht geprüft wurden, können noch Garantieansprüche auftreten (Ursache fehlerhafter Zusammenbau). Bei 5 % Fehlerquote sind dies noch bei 1 000 verkauften Lichterketten = 0,05 1 000 = 50. Pro Kette fallen 20 E Garantiekosten an. Multipliziert mit der Anzahl der fehlerhaften Ketten erhält man 1 000 E Garantiekosten. An zu erwartenden Kontroll- und Garantiekosten fallen in diesem Fall 2 500 E an. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 164

e) Fall 2: Da die Lichterketten vor dem Verkauf kontrolliert werden, kommen nur fehlerfreie Ketten zum Verkauf. 1 000 fehlerfreie Ketten entsprechen 0,35664 (siehe Teilaufgabe a), x ist die Anzahl der Ketten, die produziert werden muss, um 1 000 fehlerfreie Ketten erwarten zu können: 1000 x 1000 = x = 0,35664 1,0 0,35664 x = 2 803,95 2 804 Die zu erwartenden Kontrollkosten belaufen sich somit auf 2 804 0,40 E = 1 121,60 E. Garantiekosten fallen nicht an, da alle verkauften Ketten fehlerfrei waren. f) Fall 3: In Teilaufgabe d wurden die Kosten für das Prüfen der Lampen mit 1,50 E pro Kette ermittelt. Da auch die Ketten selbst geprüft werden, müssen, damit 1 000 fehlerfrei in den Verkauf gehen, mehr als 1 000 geprüft werden. Die 1 000 fehlerfreien Ketten entsprechen 95 %, x ist die Anzahl der zu prüfenden Ketten. 1000 x 1 000 = x = = 1 052,63 0,95 1 0,95 Es sind also 1 053 Lichterketten zu kontrollieren. Damit betragen die Kontrollkosten 1 053 (1,50 E + 0,40 E) = 2 000,70 E. Garantiekosten fallen nicht an, da alle verkauften Ketten fehlerfrei waren. g) Für jede zusammengebaute Kette müssen jetzt Kosten in Höhe von 3 E zusätzlich berücksichtigt werden. Damit erhält man ohne Kontrolle 15 868 E, da bei 1 000 verkauften Ketten auch nur 1 000 zusammengebaut werden (12 868 E + 1 000 3 E). Im Fall 1 erhält man 2 500 E + 1 000 3 E = 5 500 E. Im Fall 2 werden 2 804 Ketten zusammengebaut, also betragen die Kosten jetzt 1 121,60 E + 2 804 3 E = 9 533,60 E. Im Fall 3 werden 1 053 Ketten zusammengebaut, also betragen die Kosten jetzt 2 000,70 E + 1 053 3 E = 5 159,70 E. Unter dieser Annahme ist es am günstigsten, alles zu prüfen (Fall 3). 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 165

Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 5 Erhöhtes Niveau Kugelschreiberproduktion Eine Firma stellt Kugelschreiber her, die die Abnehmer als Werbegeschenke für ihre Kunden nutzen. Bei der Produktion treten zwei voneinander unabhängige Fehler auf: defekte Mechanik (3 %) und defekte Mine (2 %). Punkte a) Ein Kugelschreiber wird zufällig der laufenden Produktion entnommen. (1) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kugelschreiber sowohl eine defekte Mechanik als auch eine defekte Mine hat. 5 (2) Zeigen Sie, dass der Kugelschreiber mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 95 % fehlerfrei ist. 5 (3) Ein Qualitätsprüfer prüft zehn zufällig der Produktion entnommene Kugelschreiber. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kugelschreiber fehlerhaft ist. 10 (4) Aus langer beruflicher Erfahrung meint der Qualitätsprüfer, dass er mindestens 100 Kugelschreiber prüfen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % auch mindestens einen defekten Kugelschreiber zu finden. Beurteilen Sie die Aussage des Qualitätsprüfers. 10 b) Die Kugelschreiber werden zu je 50 Stück in Schachteln verpackt. (1) Bestimmen Sie die durchschnittliche Anzahl defekter Kugelschreiber in einer Schachtel. 5 (2) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Durchschnittszahl nicht überschritten wird. 5 c) An einen Abnehmer liefert die Herstellerfirma Sendungen zu je 20 Schachteln. (1) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Sendung genau 50 defekte Kugelschreiber enthält. 10 (2) Interpretieren Sie Ihr Ergebnis unter Berücksichtigung der Bemerkung eines stochastischen Laien, dass die berechnete Wahrscheinlichkeit ihm sehr niedrig vorkommt (unter 10 %). 10 d) Die Herstellungskosten eines Kugelschreibers betragen 0,30 E. Der Herstellerbetrieb strebt einen Reingewinn von 10 % an. Die Abgabe der Kugelschreiber erfolgt für 0,40 E. Allerdings wird der Reingewinn dadurch verringert, dass sich der Betrieb den Abnehmern gegenüber verpflichtet hat, defekte Kugelschreiber zurückzunehmen und durch extra geprüfte zu ersetzen. Pro Ersatz entsteht 1 E an zusätzlichen Kosten. Beurteilen Sie, ob unter diesen Bedingungen der angestrebte Gewinn voraussichtlich erwirtschaftet werden kann. 15 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 166

e) Ein Großabnehmer dieses Herstellerbetriebes erhält ein Angebot eines Konkurrenten. Dieser beziffert den Anteil fehlerfreier Kugelschreiber in seiner Produktion auf mindestens 98 %. Da es sehr ärgerlich ist, defekte Werbegeschenke zu verteilen, beschließt der Großabnehmer mit einem Signifikanztest auf dem 5 %-Niveau, das Angebot des Konkurrenten zu prüfen, indem eine Probelieferung von 50 Kugelschreibern auf Fehlerfreiheit untersucht wird. Bei der Frage, wie das Ergebnis nach Durchführung des Tests auszuwerten sei, kommt es zu einem Streit zwischen zwei Mitgliedern der Geschäftsleitung: (1) A hat hohes Vertrauen in das Angebot des Konkurrenten und meint, man solle es nur ablehnen, wenn signifikant deutlich wird, dass das Versprechen des Konkurrenten nicht stimmt. 15 (2) B hält den Konkurrenten für unsolide und schlägt vor, das Angebot nur anzunehmen, wenn signifikant deutlich wird, dass der Konkurrent wirklich besser ist als die alte Lieferfirma. Beurteilen Sie, bei welchen Prüfergebnissen A und bei welchen Prüfergebnissen B den Hersteller wechseln würde. 10 100 Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung 2005 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 167

Hinweise und Tipps Teilaufgabe a Wahrscheinlichkeit für defekte Kugelschreiber r Erstellen Sie mit den Angaben in der Aufgabe ein Baumdiagramm. r Beachten Sie, dass es sich um ein zweistufiges Experiment ohne Zurücklegen handelt. r Wählen Sie beispielsweise für A: defekte Mechanik und B: defekte Mine. Mine und Mechanik sind defekt r Suchen Sie im Baumdiagramm diesen Pfad. r Berechnen Sie unter Verwendung der 1. Pfadregel die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Fehler vorhanden sind. Mindestens ein Kugelschreiber ist defekt r Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor: r Beachten Sie, dass P(X 1) = 1 P(X = 0) ist. r Wenn k = 0 P(X = 0) = (1 p) n r Bestimmen Sie nun die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kugelschreiber defekt ist. r Alternativ kann man auch die Wahrscheinlichkeit aus dem Tafelwerk ablesen. Aussage des Qualitätsprüfers r Ansatz: P(X 1) = 1 P(X = 0) 0,99 r Setzen Sie die Werte ein und lösen die Ungleichung. r Sie erhalten eine Exponentialungleichung (n ist Exponent). r Um die Ungleichung zu lösen, müssen Sie beide Seiten der Ungleichung logarithmieren. r Beurteilen Sie nun die Aussage des Qualitätsprüfers. Teilaufgabe b Erwartungswert defekter Kugelschreiber in einer Schachtel r Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße berechnet sich mit: µ = E(X) = n p r Bestimmen Sie aus der Aufgabenstellung n und p und geben die Anzahl für zu erwartende defekte Kugelschreiber an. Wahrscheinlichkeit, dass Durchschnittszahl nicht überschritten wird r Die Durchschnittszahl wird für X 2 nicht überschritten. r Berechnen Sie P(X 2) oder lesen Sie die Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle ab. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 168

Teilaufgabe c Genau 50 defekte Kugelschreiber r Bestimmen Sie n, k und p aus der Aufgabenstellung und berechnen Sie P(X = k). r Das Ergebnis lässt sich nicht mit dem Taschenrechner berechnen. Wie können Sie das Ergebnis nähern? r Da n sehr groß und p klein ist, kann man die Binomialverteilung durch die Poisson- Verteilung approximieren. Dabei ist µ = n p. r Berechnen Sie mit µ = n p die Wahrscheinlichkeit. Teilaufgabe d r Für die zu erwartenden Kosten bilden Sie das Produkt aus Einzelkosten und Wahrscheinlichkeit. r Die Gesamtkosten erhalten Sie durch Addition der Teilkosten für fehlerfreie und fehlerhafte Kugelschreiber. r Der Reingewinn ist der Verkaufspreis minus die Kosten. r Bilden Sie das Verhältnis aus Reingewinn und Kosten und vergleichen Sie mit dem geplanten Gewinn. Teilaufgabe e Einseitiger Hypothesentest r In beiden Fällen handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest über eine Binomialverteilung mit n = 50. A vertraut dem Angebot des Konkurrenten r Die Nullhypothese lautet H 0 : p 0,98 r Ermitteln Sie µ = n p und σ= n p (1 p). r σ < 3 bedeutet, dass eine Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung nicht möglich ist. r Bestimmen Sie mithilfe der Tabelle unter der Annahme p = 0,98 die Anzahl der fehlerfreien Kugelschreiber. r Entscheiden Sie, unter welchen Bedingungen A beim alten Lieferanten bleiben werde. B misstraut dem Konkurrenten r Seine Nullhypothese von B lautet H 0 : p 0,95. r Bestimmen Sie mithilfe der Tabelle unter der Annahme p = 0,95 die Wahrscheinlichkeit für die fehlerfreien Kugelschreiber. r Ermitteln Sie damit die Irrtumswahrscheinlichkeit und vergleichen diese mit dem 5 %-Niveau. r Geben Sie an, wie sich B entscheiden wird. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 169

a) Baumdiagramm: Es sei A: defekte Mechanik B: defekte Mine Lösung (1) P( beide defekt ) = 0,03 0,02 = 0,0006 Die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl die Mechanik als auch die Mine defekt sind, beträgt etwa 0,06 %. (2) P( fehlerfrei ) = 0,97 0,98 = 0,9506 Etwa 95 % der Kugelschreiber sind fehlerfrei (w. z. z. w) (3) n = 10, p = 0,05 Bernoulli-Experiment P(X 1) = 1 P(X= 0) = 1 10 0 10 ( ) 0,05 0,95 0 P(X 1) = 1 0,9510 = 0,40126 Die Wahrscheinlichkeit, dass von 10 ausgewählten Kugelschreibern mindestens ein Kugelschreiber defekt ist, beträgt etwa 40,1 %. Alternativ kann man auch die Wahrscheinlichkeit aus der Formelsammlung Tabelle Binomialverteilung mit n = 10 und p = 0,05 ablesen. Dort findet man für P(X = 0) = 0,5987, also P(X 1) = 0,4013. (4) P(X 1) 0,99 Mit P(X 1) = 1 P(X = 0) gilt 1 P(X= 0) 0,99 1 0,95n 0,99 0,95n 0,01 ln ln 0,95n ln 0,01 n ln0,95 ln0,01 :ln0,95 ln 0,01 n 89,78 ln 0,95 Schon ab 90 Kugelschreibern findet man einen defekten. Damit ist die Aussage des Qualitätsprüfers nicht wahr, der meinte, man müsse mindestens 100 Kugelschreiber prüfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % auch mindestens einen defekten zu finden. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 170

b) (1) Erwartungswert; n = 50; p = 0,05 E(X) = n p = 50 0,05 E(X) = 2,5 In einer Schachtel mit 50 Kugelschreibern sind etwa 3 Stifte defekt. (2) Gesucht ist P(X 2), da die Durchschnittszahl nicht überschritten werden soll. P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) P(X 2) = 0,9550 + 50 49 50 2 48 ( ) 0,05 0,95 + ( ) 0,05 0,95 1 2 P(X 2) = 0,54053 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 54,1 % sind zwei oder weniger Stifte pro Schachtel kaputt. Alternativ kann man die Wahrscheinlichkeit aus der Formelsammlung Tabelle für Binomialverteilung kumulativ mit n = 50 und p = 0,05 ablesen, dort findet man für P(X 2) = 0,5405. c) (1) 20 Schachteln zu je 50 Kugelschreiber n = 1 000, k = 50 p = 0,05 ( 1000 ) 50 950 P(X = 50) = 0,05 0,95 50 An dieser Stelle existiert ein Problem, denn der Taschenrechner kann das Ergebnis nicht berechnen. Da n sehr groß und p klein ist, kann man die Binomialverteilung durch die Poisson-Verteilung approximieren, wobei µ = n p ist: ( ) k P(X k) n p k (1 p) n k µ = = e µ k k! µ 50 50 50 P(X = 50) e µ = 0,056325 50! 50! e50 Bei einer Sendung von 20 Schachteln zu je 50 Kugelschreiber beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass genau 50 Kugelschreiber defekt sind, etwa 5,6 %. (2) Der Erwartungswert der Anzahl defekter Kugelschreiber in 20 Schachteln mit je 50 Kugelschreibern beträgt E(X) = n p = 1 000 0,05 = 50, aber es ist dennoch unwahrscheinlich, diesen genau zu treffen. Es ist sehr wahrscheinlich, in die Nähe zu kommen, z. B. in eine 2σ-Umgebung des Erwartungswerts. d) Die Zufallsvariable X beschreibe die Kosten, die für einen Kugelschreiber anfallen: E(X) = 0,30 E 0,95 + 1,30 E 0,05 E(X) = 0,35 E 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 171

Bei einem Verkaufspreis von 0,40 E pro Kugelschreiber beträgt der zu erwartende Gewinn 0,05 E. Der prozentuale Reingewinn ist also 0,05 q = 1 = 14,3 %. 0,35 q 7 Somit kann der Hersteller seine geplanten Vorgaben realisieren. e) In beiden Fällen handelt es sich um einen einseitigen Hypothesentest über eine Binomialverteilung mit n = 50. (1) A vertraut dem Angebot des Konkurrenten und verwirft die Nullhypothese H 0 : p 0,98 erst dann, wenn das Ergebnis der Stichprobe so klein ist, dass es im Ablehnungsbereich von H 0 liegt. Es ist µ = n p = 50 0,98 = 49 σ= n p (1 p) = 49 0,02 σ= 0,98 0,99 < 3 Die Laplace-Bedingung ist nicht erfüllt, das bedeutet, dass keine Approximation der Binomial- durch die Normalverteilung erfolgen kann. Damit muss mit der Tabelle der Binomialverteilung kumulativ mit n = 50 und p = 0,98 aus der Formelsammlung gearbeitet werden. Für die Anzahl der fehlerfreien Kugelschreiber ergibt sich: P(X 47) = 1 0,9216 P(X 47) = 0,0784 7,84 % P(X 46) = 1 0,9822 P(X 46) = 0,0178 1,78 % A wird also beim alten Lieferanten bleiben wollen, wenn die Lieferung weniger als 47 fehlerfreie Kugelschreiber hat. (2) B misstraut dem Konkurrenten. Er ist erst dann bereit, die Lieferfirma zu wechseln, wenn das Ergebnis der Stichprobe auf eine deutliche Qualitätsverbesserung hinweist. Seine Nullhypothese ist, dass die Qualität keineswegs besser als die des alten Lieferanten ist: H 0 : p 0,95 Mithilfe der Tabelle ergibt sich unter der Annahme p = 0,95 für die Anzahl der fehlerfreien Kugelschreiber: P(X = 50) = 1 P(X 49) P(X = 50) = 1 0,0769 P(X = 50) = 0,9231 Die Irrtumswahrscheinlichkeit beträgt also etwa 7,7 %. D. h.: Selbst wenn B die Hypothese H 0 erst dann ablehnt, wenn alle Kugelschreiber fehlerfrei sind, ist die Irrtumswahrscheinlichkeit immer noch größer als 5 %. Weiter ergibt sich, dass B durch kein mögliches Testergebnis davon abzubringen sein wird, den alten Lieferanten beizubehalten. Bemerkung: Um hier überhaupt zu signifikanten Ergebnissen zu kommen, müsste n erhöht werden, der Fehler 2. Art beträgt so übrigens 100 %. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 172

Hamburg Mathematik Stochastik Übungsaufgabe 6 Erhöhtes Niveau Rund um den HSV Der Hamburger SV trägt seine Heimspiele in der 57 000 Zuschauer fassenden Arena im Volkspark aus (siehe nebenstehende Abbildung). Arena des HSV a) In der ersten Reihe eines Sitzbereichs befinden sich 31 Plätze, von denen im letzten Saisonspiel 29 besetzt werden. (1) Berechnen Sie die Anzahl aller Möglichkeiten, wie sich die 29 (unterscheidbaren) Personen auf die 31 Plätze verteilen können. (2) Berechnen Sie die Anzahl aller Möglichkeiten, wie sich die freien Plätze verteilen könnten. Punkte b) Die Bundesligastatistik über viele Jahre weist aus, dass im Mittel etwa 3 Tore pro Spiel (Spieldauer: 90 Minuten) fallen. Ein Zuschauer verlässt während der Spielzeit für 3 Minuten seinen Sitzplatz, um die Toilette aufzusuchen. Auf dem Weg überlegt er sich, ob er bis zu seiner Rückkehr ein Tor verpasst haben wird. Sie sollen deshalb gleich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass ausgerechnet in diesen 3 Minuten mindestens ein Tor fällt. Bitte lesen Sie aber vorher den folgenden Hinweis. Hinweis: Nehmen Sie an, dass der Erwartungswert µ der Anzahl T der in einem fest ausgewählten Zeitintervall fallenden Tore während eines Bundesligaspiels nur von der Länge dieses Zeitintervalls abhängig ist und zu dieser proportional ist. Dann kann man für T die Poisson-Verteilung verwenden: k 1 µ P({T = k}) eµ k! (1) Bestimmen Sie das hier passende µ und ermitteln Sie nun damit die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ausgerechnet in der Toilettenpause mindestens ein Tor fällt. 5 (2) Untersuchen Sie auch, ob die Annahmen aus dem Hinweis realistisch sind. 10 10 5 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 173

Ein Busunternehmen aus Flensburg bietet den Transport zum Stadion an. Es setzt dazu zwei Busse mit insgesamt 92 Plätzen ein. Man kann einen Busplatz telefonisch oder per Internet buchen, braucht aber erst beim Fahrtantritt zu zahlen. Der Andrang bei Fußballspielen ist erfahrungsgemäß groß, und das Angebot ist stets ausgebucht. Allerdings werden im Mittel nur 90 % der gebuchten Plätze tatsächlich wahrgenommen. Wegen des Nichtwahrnehmens von gebuchten Fahrten bietet das Unternehmen deshalb 101 Plätze also mehr als vorhanden zur Buchung an. Nehmen Sie an, dass die Anzahl der nicht kommenden bzw. kommenden Bucher binomialverteilt ist. Für die folgenden Aufgabenteile c und d können Sie die Tabelle in der Anlage 1 zu Hilfe nehmen oder näherungsweise mit der Normalverteilung rechnen. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei Fahrtantritt mehr als 92 Fahrgäste erscheinen, dass also mindestens eine Person mit gebuchtem Platz abgewiesen werden muss. 10 d) Bestimmen Sie die Maximalzahl der Buchungen, die das Unternehmen zulassen kann, sodass es mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % zu keinen Überbuchungen kommt. 15 Das Busunternehmen will erreichen, dass der Anteil der Absagen sinkt. Deshalb ändert es seine Vertragsbedingungen dahingehend, dass schon gleich bei der Buchung eine Anzahlung von 5 E zu zahlen ist, die bei Nichterscheinen nicht zurückgezahlt wird. e) Während der nächsten 1 000 Buchungen soll untersucht werden, ob die neue Regelung zu einer Senkung der Absagerquote führt. Leiten Sie dazu eine Entscheidungsregel her. (Ermitteln Sie die Anzahl K von Absagen so, dass man gerade noch statistisch begründet behaupten kann, dass die Maßnahme erfolgreich war. Gehen Sie dabei von einem Signifikanzniveau von α = 5 % aus, d. h. die Irrtumswahrscheinlichkeit 1. Art soll höchstens 5 % sein.) 15 Für die Aufgabenteile f und g gehen Sie nun von folgenden Daten aus: Tatsächlich werden im Mittel nur noch 6 % der gebuchten Plätze nicht in Anspruch genommen. Der Fahrpreis beträgt 20 E. Ein gebuchter Kunde, der nicht kommt, bringt dem Unternehmer also eine Einnahme von 5 E ein, ein gebuchter Kunde, der mitfährt, bringt eine Einnahme von 20 E. f ) Berechnen Sie die erwarteten Einnahmen, wenn das Busunternehmen keine Überbuchungen zulässt. 10 g) Das Unternehmen lässt nun immerhin 5 Überbuchungen zu, nimmt also immer 97 Buchungen an. Kunden, welche die gebuchte Fahrt wegen Überbuchung nicht antreten können, bekommen die Anzahlung zurückerstattet und verursachen zusätzliche Entschädigungskosten von 25 E. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 174

(1) Ermitteln Sie je nachdem wie viele Absagen anfallen die maximal mögliche und die minimal mögliche Einnahme des Unternehmens für eine Fahrt zu einem HSV-Spiel. 10 (2) Um eine Bilanz aufzustellen, begründen Sie die folgenden Aussagen: Das Unternehmen hat sichere Einnahmen E 1 von 485 E. Stellen Sie sich vor, dass alle Bucher, die zur Fahrt erscheinen, zunächst die fehlenden 15 E bezahlen. Der Erwartungswert E 2 für diese Einnahmen beträgt dann 1 367,70 E. Erst kurz vor der Abfahrt erhalten diejenigen Kunden, die wegen Überbuchung nicht mitfahren können, ihre Fahrtkosten von 20 E zurück und außerdem 25 E Entschädigung. Der Erwartungswert dieser Auszahlungen beträgt: K = 45 E (5 B(97; 0,06; 0) + 4 B(97; 0,06; 1) + 3 B(97; 0,06; 2) + 2 B(97; 0,06; 3) + 1 B(97; 0,06; 4)) Dennoch lohnt es sich finanziell für das Unternehmen, die 5 Überbuchungen zuzulassen. 10 100 Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung 2008 Anlage 1: Aufgabenteil c k Tabellenauszug für akkumulierte Binomialverteilungswerte ( i ) p= 0,1 n p i (1 p) n i i = 0 n k 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 0 0,0001 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1 0,0007 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 2 0,0039 0,0036 0,0033 0,0030 0,0028 0,0025 0,0023 0,0021 0,0019 0,0018 0,0016 0,0015 3 0,0145 0,0134 0,0125 0,0115 0,0107 0,0099 0,0092 0,0085 0,0078 0,0072 0,0067 0,0062 4 0,0408 0,0382 0,0357 0,0334 0,0312 0,0291 0,0272 0,0254 0,0237 0,0221 0,0206 0,0192 5 0,0922 0,0870 0,0821 0,0775 0,0731 0,0689 0,0649 0,0612 0,0576 0,0542 0,0510 0,0479 6 0,1750 0,1667 0,1587 0,1511 0,1437 0,1366 0,1299 0,1234 0,1172 0,1112 0,1055 0,1000 7 0,2880 0,2767 0,2657 0,2550 0,2446 0,2345 0,2247 0,2152 0,2061 0,1972 0,1886 0,1803 8 0,4214 0,4081 0,3949 0,3820 0,3693 0,3568 0,3446 0,3326 0,3209 0,3094 0,2982 0,2872 9 0,5598 0,5459 0,5321 0,5184 0,5048 0,4912 0,4778 0,4645 0,4513 0,4382 0,4254 0,4126 10 0,6874 0,6746 0,6617 0,6488 0,6358 0,6227 0,6095 0,5963 0,5832 0,5700 0,5568 0,5437 11 0,7931 0,7825 0,7717 0,7607 0,7495 0,7381 0,7266 0,7149 0,7030 0,6910 0,6789 0,6667 12 0,8723 0,8644 0,8562 0,8478 0,8391 0,8301 0,8209 0,8115 0,8018 07919 0,7819 0,7716 13 0,9265 0,9211 0,9154 0,9095 0,9033 0,8969 0,8902 0,8833 0,8761 0,8687 0,8610 0,8531 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 175

Anlage 2: Aufgabenteil d Tabellenauszug für akkumulierte Binomialverteilungswerte p= 0,9 n k 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 90 0,9993 0,9964 0,9875 0,9666 0,9269 0,8634 0,7753 0,6674 0,5487 0,4300 0,3211 0,2284 91 0,9999 0,9994 0,9967 0,9885 0,9688 0,9311 0,8701 0,7848 0,6791 0,5618 0,4432 0,3333 92 1,0000 0,9999 0,9994 0,9970 0,9893 0,9709 0,9351 0,8766 0,7939 0,6906 0,5746 0,4563 93 1,0000 1,0000 0,9995 0,9972 0,9901 0,9728 0,9388 0,8828 0,8028 0,7018 0,5874 94 1,0000 1,0000 0,9995 0,9975 0,9908 0,9746 0,9424 0,8888 0,8114 0,7128 95 1,0000 1,0000 0,9996 0,9977 0,9915 0,9763 0,9458 0,8945 0,8197 96 1,0000 1,0000 0,9996 0,9979 0,9922 0,9779 0,9490 0,9000 97 1,0000 1,0000 0,9996 0,9981 0,9928 0,9794 0,9521 98 1,0000 1,0000 0,9997 0,9982 0,9933 0,9808 99 1,0000 1,0000 0,9997 0,9984 0,9938 100 1,0000 1,0000 0,9997 0,9985 Anlage 3: Aufgabenteil g n p (1 p) k Tabellenauszug für Binomialverteilungswerte ( ) k n k p= 0,06 n k 92 93 94 95 96 97 98 99 100 0 0,0034 0,0032 0,0030 0,0028 0,0026 0,0025 0,0023 0,0022 0,0021 1 0,0198 0,0188 0,0179 0,0170 0,0161 0,0153 0,0145 0,0138 0,0131 2 0,0575 0,0552 0,0530 0,0509 0,0489 0,0469 0,0450 0,0432 0,0414 3 0,1101 0,1069 0,1038 0,1008 0,0978 0,0949 0,0920 0,0892 0,0864 4 0,1564 0,1536 0,1508 0,1480 0,1451 0,1423 0,1394 0,1366 0,1338 5 0,1756 0,1745 0,1732 0,1719 0,1705 0,1689 0,1673 0,1657 0,1639 6 0,1626 0,1634 0,1640 0,1646 0,1650 0,1653 0,1656 0,1657 0,1657 7 0,1275 0,1296 0,1316 0,1336 0,1354 0,1372 0,1389 0,1405 0,1420 8 0,0865 0,0889 0,0914 0,0938 0,0962 0,0985 0,1008 0,1031 0,1054 9 0,0515 0,0536 0,0557 0,0579 0,0600 0,0622 0,0644 0,0666 0,0687 10 0,0273 0,0287 0,0302 0,0318 0,0333 0,0349 0,0366 0,0382 0,0399 11 0,0130 0,0138 0,0147 0,0157 0,0166 0,0176 0,0187 0,0197 0,0209 12 0,0056 0,0060 0,0065 0,0070 0,0075 0,0081 0,0086 0,0092 0,0099 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 176

Hinweise und Tipps Teilaufgabe a r Es handelt sich um ausgewählte k-tupel aus einer n-menge, bei der sich kein Element der k-tupel wiederholt. r Bestimmen Sie aus der Aufgabenstellung n und k und führen mithilfe der Formel die Berechnung durch. Teilaufgabe b Wahrscheinlichkeit mindestens ein Tor in der Toilettenpause r Ermitteln Sie den Erwartungswert µ der geschossenen Tore im Zeitintervall von 3 Minuten. r Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Tor während der Toilettenpause fällt mithilfe der Poisson-Verteilung. r Beachten Sie: P(T 1) = 1 P(T = 0) Argumentation bezüglich des Hinweises r Gehen Sie davon aus, dass die in dem Hinweis gemachten Annahmen nicht verallgemeinert werden können. r Zu beurteilen wären die Kondition, Zeitdruck, offensive bzw. defensive Spielweise, rote Karten, Torausbeute in den letzten Minuten usw. Teilaufgabe c r Das Busunternehmen bietet 101 Plätze mehr als die 92 vorhandenen Plätze an. Bei Fahrtantritt erscheinen mehr als 92 Fahrgäste, jedoch mindestens eine Person mit gebuchtem Platz wird abgewiesen. r Es liegt ein Bernoulli-Experiment vor. r Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X 8). r Alternativ können Sie die Wahrscheinlichkeit ohne Rechnung aus der Tabelle akkumulierte Binomialverteilung bestimmen. Teilaufgabe d r Verwenden Sie die Tabelle akkumulierte Binomialverteilung. r Bestimmen Sie den größten Wert für n, für den die Wahrscheinlichkeit 0,95 ist. Teilaufgabe e r Es ist ein einseitiger Hypothesentest erforderlich. r Notieren Sie die entsprechende Nullhypothese und Gegenhypothese. r p sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buchung abgesagt wird. r Die Testvariable X beschreibe die möglichen Anzahlen von Absagen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 177

r Es wird angenommen, dass diese Testvariable binomialverteilt ist. r Es ist also der größte Wert von k zu bestimmen, für den die kumulierte Wahrscheinlichkeit 5% ist. r Prüfen Sie, ob die Laplace Bedingung erfüllt ist. r Da die Laplace-Bedingung erfüllt ist, kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Teilaufgabe f Erwartungswert der Einnahmen ohne Überbuchungen r Wenn keine Überbuchungen vorhanden sind, dann ist n = 92. r Beachten Sie, dass jedoch 6 % der gebuchten Plätze nicht in Anspruch genommen werden. r Die Einnahmen setzen sich aus den Anzahlungen und den Restzahlungen (Summe aus beiden) zusammen. Teilaufgabe g Maximale und minimale Einnahmen r Die Gesamteinnahmen setzen sich aus dem Fahrpreis (20,00 E) und der Anzahlung (5,00 E) pro Person zusammen, vermindert um die Kulanzkosten (25,00 E). r Beachten Sie, dass die Einnahmen genau dann maximal wären, wenn genau 5 Personen absagen, und minimal, wenn keine Person absagt. r Beachten Sie auch den Fall, wenn mehr als 5 Personen absagen. Das ergibt die minimalen Einnahmen. Gesicherte Einnahmen r Die Gesamteinnahmen setzen sich aus der Summe von Anzahlungen und Restzahlungen, vermindert um die Kulanzkosten für abzuweisende Kunden zusammen. r Die Rechnung wird dabei einfacher, wenn man sich wie vorgeschlagen vorstellt, dass die abzuweisenden Kunden erst die (5 + 15) E zahlen und dann nicht (25 + 5) E, sondern 45 E zurückbekommen. r Beachten Sie, dass n = 97 ist. r Berechnen Sie die 5 Werte für die Kosten der Rückzahlungen der Binomialverteilung mithilfe der Tabelle. r Ermitteln Sie die Gesamteinnahmen und vergleichen diese mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe f. r Treffen Sie eine Aussage, ob es sich für das Unternehmen lohnen würde, wenn 5 Überbuchungen zugelassen werden. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 178

Lösung a) (1) Es handelt sich um Permutationen (Variationen) ohne Wiederholung, denn die zuerst ankommende Person hat 31 Plätze zur Auswahl, die zweite Person hat 30 Plätze, usw. und die letzte noch 3 Plätze. Damit ist n = 31 und k = 29. 29 31! 31! V 33 31 = = 4,11 10 (31 29)! 2! Zur Belegung gibt es 4 10 33 Möglichkeiten. (2) Jetzt werden die freien 2er-Teilmengen gesucht, dieses sind die Kombinationen ohne Wiederholung C2 31 = 31 ( ) = 465 2 Es gibt 465 Möglichkeiten für die Verteilung der freien Plätze. b) (1) Unter der Annahme, dass in festgewählten Spielzeitintervallen die geschossenen Tore proportional zur Länge der Zeitintervalle sind, gibt es entsprechend der Bundesligastatistik für ein Spiel von 90 Minuten den Erwartungswert von 3 Toren. Für ein Zeitintervall von 3 Minuten erhält man den Erwartungswert: 3 µ = 3 90 Das bedeutet dann für ein Zeitintervall von 3 Minuten: µ k Mit P(T = k) e µ ist k! P(T 1) = 1 P(T = 0) 0,10 0,1 1 P(T 1) = 1 e = 1 0! e0,1 P(T 1) 0,0951626 Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 1 Tor fällt, beträgt etwa 9,5 %. (2) Die Annahmen sind nicht unproblematisch: Handelt es sich um ein normales Bundesligaspiel, für das der erwartete Wert 3 Tore insgesamt beträgt? Sicher ist die erwartete Torzahl in gleich langen Intervallen auch nicht immer gleich, z. B. nehmen führende Mannschaften schon mal einen Gang heraus. Zum Spielende kann die Kondition nachlassen, andererseits fallen häufig in der letzten Spielminute noch Tore, weil die Konzentration der Verteidigung nachlässt oder weil eine Mannschaft unter Zeitdruck besonders offensiv spielt. Die erwartete Torausbeute kann auch zum Spielende abnehmen, weil eine Mannschaft sich schon mit einem Spielergebnis abgefunden hat oder weil eine Mannschaft unter Zeitdruck besonders offensiv spielt. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 179

c) Das Busunternehmen bietet 101 Plätze mehr als vorhanden (= 92) an. Bei Fahrtantritt erscheinen mehr als 92 Fahrgäste, jedoch mindestens eine Person mit gebuchtem Platz wird abgewiesen. 8 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist dann P(X k 101 k ( ) 8) 101 0,1 0,9. k k = 0 P(X = 0) = 101 ( ) 0,10 0,9101 0,0000239 0 P(X = 1) = 101 1 100 ( ) 0,1 0,9 0,0002683 1 P(X = 2) = 101 2 99 ( ) 0,1 0,9 2 P(X = 3) = 101 3 98 ( ) 0,1 0,9 3 0,0014904 0,0054648 P(X = 4) = 101 0,14 0,997 4 0,0148763 ( ) 101 ( 5 ) 101 ( 6 ) 101 ( 7 ) 101 ( 8 ) P(X = 5) = 0,15 0,996 0,0320667 P(X = 6) = 0,16 0,995 0,0570074 P(X = 7) = 0,17 0,994 0,0859636 P(X = 8) = 0,18 0,9 93 0,1122302 8 Es ist dann P(X 8) = P(X = i) 0,3093916. i = 0 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei Fahrtantritt mehr als 92 Fahrgäste erscheinen und mindestens eine Person mit gebuchtem Platz abgewiesen werden muss, beträgt etwa 30,9 %. Alternative Lösung (1): Mithilfe der Tabelle aus dem Anhang kann die Wahrscheinlichkeit ohne Rechnung bestimmt werden. Man liest in der Zeile k = 8 und der Spalte n = 101 den Wert P = 0,3094 ab; also P 31 %. Alternative Lösung (2): Wegen n p (1 p) = 101 0,9 0,1 = 9,09 > 9 (Laplace-Bedingung ist erfüllt), kann das Ergebnis mithilfe der Normalverteilung bestimmt werden: 8,5 10,1 P(X 8) Φ 9,09 Φ( 0,5306865) = 1 Φ(0,5306865) 1 Φ(0,53) = 1 0,7019 = 0,2981 P(X 8) 0,3 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 180

d) Es wird der größte Wert für n gesucht, für den der Ausdruck 92 P(X k n k ( ) 92) = n 0,9 0,1 k größer als 95 % ist. k = 0 In der Tabelle in der Anlage liest man in der Zeile k = 92 ab, dass für n = 97 die Wahrscheinlichkeit noch größer als 95 % ist. Damit es zu keinen Überbuchungen auf dem 95 % Niveau kommen kann, wäre die maximale Anzahl der Buchungen 97, die das Unternehmen zulassen kann. e) Es ist der Ablehnungsbereich eines einseitigen Hypothesentests über den Parameter p einer Binomialverteilung zu bestimmen. Nullhypothese H 0 : p 0,1; Gegenhypothese H 1 : p < 0,1 p sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine Buchung abgesagt wird. Wenige Absagen sprechen gegen H 0. Die Testvariable X beschreibe die möglichen Anzahlen von Absagen. Es wird angenommen, dass diese Testvariable binomialverteilt ist. Es ist also der größte Wert von k zu bestimmen, für den gilt: k B(1000; 0,1; i) 5 % i = 0 X sei binomialverteilt und die Laplace-Bedingung ist erfüllt, da n p (1 p) = 90. Damit kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Standardnormalverteilung angenähert werden. Mit n = 1 000; p = 0,1 und Tabelle für die Normalverteilung gilt: k + 0,5 1000 0,1 Φ 0,05 1000 0,1 0,9 k 99,5 Φ 0,05 90 k 99,5 1,645 90 90 k 99,5 1,645 90 + 99,5 k 83,894 Wenn also unter 1 000 Buchungen nur 83 oder weniger Absagen vorliegen, dann kann man von einer auf dem 5 %-Niveau signifikanten Senkung der Absagerquote ausgehen. f) Berechnung des Erwartungswertes der Einnahmen unter der Voraussetzung, dass keine Überbuchungen zugelassen werden (n = 92). Die Einnahmen setzen sich aus den Anzahlungen und den Restzahlungen zusammen: E 1 = 92 5,00 E = 460,00 E (Anzahlungen) E 2 = 92 0,94 15,00 E = 1 297,20 E (Restzahlungen) E 1 + E 2 = 1 757,20 E Wenn das Busunternehmen keine Überbuchungen zulässt, dann kann es mit einer Gesamteinnahme von 1 757,20 E rechnen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 181

g) Erwartungswert der Einnahmen mit 5 Überbuchungen (1) Bei 5 Absagen betragen die Einnahmen 92 20,00 E + 5 5,00 E 0 25,00 E = 1 865,00 E Bei 4 Absagen betragen die Einnahmen 92 20,00 E + 4 5,00 E 1 25,00 E = 1 835,00 E Bei 3 Absagen betragen die Einnahmen 92 20,00 E + 3 5,00 E 2 25,00 E = 1 805,00 E Bei 2 Absagen betragen die Einnahmen 92 20,00 E + 2 5,00 E 3 25,00 E = 1 775,00 E Bei 1 Absage betragen die Einnahmen 92 20,00 E + 1 5,00 E 4 25,00 E = 1 745,00 E Bei 0 Absagen betragen die Einnahmen 92 20,00 E + 0 5,00 E 5 25,00 E = 1 715,00 E Die Einnahmen sind genau dann maximal, wenn genau 5 Personen absagen (1 865,00 E), und minimal, wenn keine Person absagt (1 715,00 E). Interessant wäre noch der Fall, wenn mehr als 5 Personen bis zu 92 Personen (Extremfall, tritt wohl kaum ein) absagen: Es ist dann die Einnahme von 20,00 E pro Person durch 5,00 E pro Person zu ersetzen. Die gesicherte und damit die minimalste Einnahme ist 97 5,00 E = 485,00 E (theoretisch). Bemerkung: Abgesehen davon, dass dieser Fall praktisch unmöglich ist, wäre es natürlich noch schlimmer für das Busunternehmen, wenn nur eine Person nicht absagt, weil dann ein Bus fahren müsste. Ähnliches gilt, wenn so viele Personen absagen, dass man mit dem größeren Bus nicht auskommt, aber das sind Gewinnfragen, um die es hier nicht geht. (2) Die Gesamteinnahmen setzen sich aus der Summe von Anzahlungen und Restzahlungen, vermindert um die Kulanzkosten für abzuweisende Kunden zusammen. Die Rechnung wird dabei einfacher, wenn man sich wie vorgeschlagen vorstellt, dass die abzuweisenden Kunden erst die (5 + 15) E zahlen und dann nicht (25 + 5) E, sondern 45 E zurückbekommen. E 1 = 97 5,00 E = 485,00 E, E 2 = 97 0,94 15,00 E = 1 367,70 E 4 K = (5 i) B(97; 0,06; i) 45,00 = 24,60 E E i = 0 Die 5 Werte der Binomialverteilung können schnell aus der Tabelle für n = 97 entnommen werden, also K = (5 0,0025 + 4 0,0153 + 3 0,0469 + 2 0,0949 +1 0,1423) 45 E 24,60 E E = E 1 + E 2 k = 1 828,10 E. Der Vergleich mit Teilaufgabe f zeigt, dass es sich für das Unternehmen finanziell lohnt, die 5 Überbuchungen zuzulassen. 2012 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 182