Formale Systeme Prof. Dr. ernhard eckert Fakultät für Informatik Universität Karlsruhe (TH) Lineare Temporale Logik Winter 2008/2009 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 1 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 2 / 18 Einfaches Modell eines Telefonteilnehmers Einfacher utomat einer Telefonvermittlung Dial Idle offhook onhook usy digits tpc?acm tpc?digits tpc?offhook Wait Idle Z 2 tpc?anm tpc?rlc tpc?offhook usy Connect Z 1 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 3 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 4 / 18
Nachrichtenvokabular eispielabläufe tpc?xxx bedeutet Nachricht xxx wird von Kanal tpc empfangen tpc!xxx bedeutet Nachricht xxx wird über Kanal tpc geschickt 1) Nachricht offhook onhook digits iam acm rel anm rlc edeutung Hörer wurde abgehoben Hörer wurde aufgelegt Nummer wurde gewählt initial address message address complete message Einleitung des Verbindungsabbaus (release) End-zu-Endverbindung hergestellt Quittierung des Verbindungsabbaus 2) Idle Dial Wait Connect usy Idle Idle Dial Wait Connect Z 1 Idle Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 5 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 6 / 18 Omega-Strukturen Eine omega-struktur R = (N, <, ξ) für eine aussagenlogische Signatur P besteht aus der geordneten Menge der natürlichen Zahlen LTL Lineare Temporale Logik (N, <) interpretiert als Menge abstrakter Zeitpunkte und einer Funktion ξ : N 2 P mit der Intention p ξ(n) in R ist p zum Zeitpunkt n wahr Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 7 / 18 ξ n steht für das bei n beginnende Endstück von ξ: ξ n (m) = ξ(n + m) Inbesondere gilt ξ 0 = ξ. Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 8 / 18
LTL-Formeln: LTLFor LTL-Semantik Σ eine Menge aller L-tome. LTLFor wird definiert durch 1. Σ LTLFor 2. 1, 0 LTLFor 3. Liegen, in LTLFor, dann auch alle aussagenlogischen Kombinationen von und. 4. für, LTLFor gilt auch 4.1 LTLFor und 4.2 LTLFor und 4.3 U LTLFor 4.4 X Die Symbole,, X und U heißen temporale Modaloperatoren. Sei R = (N, <, ξ) eine omega-struktur und eine LTL Formel. ξ = p gdw p ξ(0) (p ein L tom) ξ = op(, ) für L-Kombinationen op(, ) von und wie üblich ξ = gdw für alle n N gilt ξ n = ξ = gdw es gibt ein n N mit ξ n = ξ = U gdw es gibt n N mit ξ n = und für alle m mit 0 m < n gilt ξ m = ξ = X gdw ξ 1 = Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 9 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 10 / 18 Visualisierung der LTL-Semantik Reduktion auf U und 1 Szenarium für Szenarium für Szenarium für U 1 U (1 U ) Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 11 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 12 / 18
Zusätzliche Operatoren Visualisierung von V Szenarien für V ξ = U w gdw für alle n N gilt ξ n = ( ) oder es gibt n N mit ξ n = und für alle m mit 0 m < n gilt ξ m = ξ = V gdw ξ = und für alle n N gilt falls ξ n = dann gibt es ein m mit 0 m < n und ξ m = Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 13 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 14 / 18 Lemma eispiel Sei p ein aussagenlogisches tom. Gesucht ist eine LTL-Formel 2p, so daß für jedes ξ gilt 1. U ( U w ) 2. U w U ( ) 3. V ( U ) 4. U ( ( X ( U ))) 5. V ( ) ( X ( V )) ξ = 2p gdw (n ist gerade p ξ(n)) 2p = p X p (p X X p) Erstaunlicherweise gibt es keine LTL-Formel mit ξ = 2p gdw (n ist gerade p ξ(n)) Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 15 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 16 / 18
eispiele aus Mustersammlungen eispiele aus Mustersammlungen REQUIREMENT: When a connection is not made to the server, report an error and reset network component to initial state. REFINEMENT: fter OpeningNetworkConnection, an ErrorMessage will pop up in response to a NetworkError PTTERN: Response SCOPE: fter PRMETERS: Propositional LTL: [](OpenNetworkConnection -> [](NetworkError -> <>ErrorMessage)) SOURCE: Jeff Isom \cite{isom:98} DOMIN: GUI REQUIREMENT: When a connection is made to the SMTP server, all queued messages in the Outox mail will be transferred to the server. REFINEMENT: efore QueuedMailSent, SMTPServerConnected PTTERN: Existence SCOPE: efore lternte: Global Precedence PRMETERS: Propositional LTL: <>QueuedMailSent -> (!QueuedMailSent U SMTPServerConnected) SOURCE: Jeff Isom \cite{isom:98} DOMIN: GUI Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 17 / 18 Prof. Dr. ernhard eckert Formale Systeme Winter 2008/2009 18 / 18