MATERIALIEN REALITÄTSBEZOGENEN MATHEMATIKUNTERRICHT. Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe. Band 8. Herausgeber: Hans-Wolfgang Henn Katja Maaß diverlag

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1 Schriftenreihe der ISTRON-Gruppe MATERIALIEN FÜR EINEN REALITÄTSBEZOGENEN MATHEMATIKUNTERRICHT Band 8 Herausgeber: Hans-Wolfgang Henn Katja Maaß diverlag franzbecker

2 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data is available in the Internet at < ISBN ISTRON, Band 8 Hans-Wolfgang Henn, Katja Maaß (Hrsg.) Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

3 Inhaltsverzeichnis III Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Was ist ISTRON? Hans-Wolfgang Henn und Katja Maaß Standardthemen im realitätsbezogenen Mathematikunterricht Heinrich Winter Mathematikunterricht und Allgemeinbildung Dietmar Scholz Prozentrechnung in Klasse 7 Gerald Wittmann Piktogramme, Schulstatistik, Umfragen Anwendungen zur Arithmetik und Bruchrechnung Hans Humenberger Dreisatz einmal anders: Aufgaben mit überflüssigen bzw. fehlenden Angaben Jörg Meyer Leuchttürme und Umfangswinkelsatz Katja Maaß Landkarten nicht ohne Sinus und Kosinus! Peter Rasfeld Einführung in beschreibende Statistik mit den Techniken der Explorativen Datenanalyse Helmut Wirths Sind deutsche Autos anders als ausländische? Katja Krüger Ehrliche Antworten auf indiskrete Fragen Anonymisierung von Umfragen mit der Randomized Response Technik Harald Pietzsch 128 Ein Einstieg in die Differenzialrechnung über das Auswerten von Straßensteigungen Johannes Schornstein 139 Simultane realitätsnahe Einführung der Differenzial- und Integralrechnung Johannes Schornstein 150 Anpassung eines Funktionsgraphen Henning Körner 155 Modellbildung mit Exponentialfunktionen Katja Maaß 178 Sicher durch die Lüfte Geraden und Ebenen, die sich nicht schneiden dürfen Zuordnung der bisherigen Beiträge der ISTRON-Reihe zu Klassen- und Schulstufen 203 III IV

4 IV Was ist ISTRON? Was ist ISTRON? Die Schriftenreihe Materialien für einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht wird von der Gruppe ISTRON herausgegeben, und die Herausgeberinnen und Herausgeber der einzelnen Bände gehören dieser Gruppe an. Im Jahre 1990 hat sich in Istron Bay auf Kreta eine internationale Gruppe konstituiert mit dem Ziel, durch Koordination und Initiierung von Innovationen insbesondere auch auf europäischer Ebene zur Verbesserung des Mathematikunterrichts beizutragen. Diese Gruppe, die sich nach dem Gründungsort genannt hat, besteht aus acht Mathematikern und Mathematikdidaktikern aus Europa und USA, darunter als deutsches Mitglied der Verfasser dieser Zeilen. Schwerpunkt der Aktivitäten soll sein, Realitätsbezüge des Mathematikunterrichts zu fördern. Konstitutiv dabei ist die Netzwerk-Idee: Die Verbindung von Aktivitäten und der sie tragenden Menschen auf lokaler, regionaler und internationaler Ebene (hieran soll auch das auf der Titelseite abgedruckte Logo erinnern). Seit 1991 gibt es als Teil dieses Netzwerks eine deutsch-österreichische ISTRON-Gruppe. Sie gibt diese Schriftenreihe heraus. Ihr gehören derzeit etwa sechzig Personen an: Lehrende aus Schulen und Hochschulen, Curriculumsentwickler, Schulbuchautoren, Lehrerfortbilder, Zeitschriftenherausgeber. Die Gruppe hat ganz im Sinne der Netzwerk-Idee wechselseitige Verbindungen sowohl mit Lehrenden auf lokaler und regionaler Ebene als auch mit der internationalen ISTRON-Gruppe. Zu den Aktivitäten der Gruppe gehören (neben dieser Schriftenreihe) die Dokumentation und Entwicklung von schulgeeigneten Materialien zum realitätsorientierten Lehren und Lernen von Mathematik sowie alle Arten von Anstrengungen, solche Materialien in die Schulpraxis einzubringen durch Lehreraus- und fortbildung, über Schulbücher und Lehrpläne sowie natürlich vor allem durch direkte Arbeit vor Ort mit Lernenden. Für weitere Informationen und die Kontaktmöglichkeit sei auf die Homepage der ISTRON-Gruppe verwiesen: Werner Blum im Namen der ISTRON-Gruppe

5 Standardthemen im realitätsorientierten Mathematikunterricht 1 Standardthemen im realitätsbezogenen Mathematikunterricht Hans-Wolfgang Henn, Dortmund, und Katja Maaß, Stuttgart Forderungen nach der Integration von Anwendungen und Realitätsbezügen begegnen den Unterrichtenden immer wieder: In Aufsätzen über TIMSS und PISA, in Zeitungsartikeln über den Mathematikunterricht, in Erlassen und Lehrplänen. Dabei bleiben für die Unterrichtenden jedoch häufig viele Fragen offen, die im Folgenden diskutiert werden sollen. Warum sollten Anwendungen im Mathematikunterricht thematisiert werden? Ein verständiges Umgehen mit Anwendungen der Mathematik und mathematischen Modellierungen muss Teil der Allgemeinbildung sein, die wir unseren Schülerinnen und Schülern ins Leben nach der Schule mitgeben (vgl. auch den Beitrag von Heinrich Winter in diesem Band S. 6 15). Die Ergebnisse von TIMSS und PISA weisen aber darauf hin, dass der Mathematikunterricht insbesondere diese Kompetenz kaum vermittelt (vgl. auch Henn&Kaiser, 2001). Dabei sollen die Schülerinnen und Schüler später als mündige Bürger zu fundierten eigenen Urteilen kommen, kritisch zu mathematischen Modellierungen Stellung nehmen, mathematische Ergebnisse verstehen und gegebenenfalls selbstständig reale Probleme modellieren können. Zwar werden nur wenige von ihnen später selbst komplexe mathematische Modelle entwerfen. Die Kompetenzen im Modellieren können jedoch auch bei Problemen des Alltags hilfreich sein. Wer sich ein Haus kaufen möchte, ist gut beraten, wenn er sich nicht vorschnell auf ein Angebot einer Bank einlässt, sondern selbst modelliert, welche Finanzierungsart unter den gegebenen persönlichen Rahmenbedingungen die beste ist. Auch wer selbständig eine Familienfeier für 100 Personen plant, muss wenn auch auf einfachem mathematischen Niveau geeignet modellieren, wenn nicht bereits um 20 Uhr alle Vorräte verbraucht sein sollen bzw. Reste noch für mehrere Wochen übrigbleiben sollen. Alle Menschen werden in irgendeiner Weise mit den Modellierungen anderer konfrontiert: Der Fußgänger, der über eine Brücke geht, vertraut der Modellierung der Baustatiker, die Astronautin vertraut ihr Leben den Modellierungen der Techniker und Ingenieure an. Wir alle treffen in Zeitungen und Nachrichten auf Modelle, die es zu verstehen und kritisch zu hinterfragen gilt. Die nötige Kompetenz dazu kann nur dann aufgebaut werden, wenn die Schülerinnen und Schüler während ihrer Schulzeit selbständig eigene Modellierungen durchgeführt haben und somit über die nötigen Erfahrungen verfügen. Ein weiteres wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts ist es, den Schülerinnen und Schülern ein angemessenes und stimmiges Bild von Mathematik als Wissenschaft zu vermitteln, wie es der ehemalige DMV-Präsident Stroth einmal gefordert hat. Ein wesentlicher Aspekt ist dabei die Re-

6 2 H.-W. Henn & K. Maaß levanz von Mathematik für die Gesellschaft, die allerdings in der Öffentlichkeit und von den Lernenden häufig nicht wahrgenommen wird. Die Meinungen, dass Mathematik etwas Abstraktes, Lebensfremdes nur für kluge Köpfe ist und man Mathematik im richtigen Leben nicht benötigt, sind in der Öffentlichkeit und unter den Lernenden weit verbreitet. Der dänische Mathematiker Mogens Niss spricht in diesem Zusammenhang vom relevance paradox: Auf der einen Seite dringt Mathematik immer mehr in alle Bereiche des Lebens ein, auf der anderen Seite wird diese Tatsache immer weniger von der Öffentlichkeit wahrgenommen. Welche Jugendlichen wissen schon, wie viel Mathematik in ihrem Handy steckt? Mathematische Anwendungen müssen also in den Mathematikunterricht integriert werden, um den Schülerinnen und Schülern die nötigen Kompetenzen im Modellieren und Anwenden sowie ein umfassendes Bild von der Relevanz der Mathematik für die Gesellschaft zu vermitteln. Diese Zielsetzung erfordert mehr als die Behandlung von Textaufgaben, die die üblichen Mathematikaufgaben nur einkleiden und teilweise die Realität verzerren. Der mathematischen Modellierung realistischer Problemfragen kommt in diesem Zusammenhang ein hoher Stellenwert zu. Schließlich soll auch die Fähigkeit erworben werden, kritisch und reflektiert mit den Modellierungen anderer umzugehen. Was sind mathematische Modellierungen? Mathematische Modellierungen sind Lösungen von realen Problemen mit Hilfe von Modellen. Dabei ist die Lösung im Allgemeinen keinesfalls eindeutig; zu einem speziellen Problem mag es viele verschiedene Modellierungsansätze geben, die mehr oder weniger geeignet sind. Jede Modellierung ist auch durch das subjektive Wollen des Modellierers beeinflusst. Unter einem Modell verstehen wir hier eine vereinfachende, nur gewisse, einigermaßen objektivierbare Teilaspekte berücksichtigende Darstellung der Realität, die unterschiedlichen Zwecken dienen kann. Es gibt insbesondere - Modelle, die vorhersagen (z.b. die Wettervorhersage), - Modelle, die erklären (z.b. warum der Bumerang zurückkommt), - Modelle, die beschreiben (z.b. die Kettenlinie), - Modelle, die vorschreiben (z.b. der Einkommensteuertarif). Mathematische Modellierungen dienen der Lösung von komplexen, realen Fragestellungen mit Hilfe der Mathematik. Im Gegensatz zu häufig in der Schule eingesetzten Textaufgaben ist der Lösungsweg weder vorgegeben noch ist er eindeutig. Oft sind zunächst Vereinfachungen der realen Fragestellung nötig, und zusätzliche Informationen müssen eingeholt werden. In übersichtlicher Form kann das Vorgehen beim Modellieren als Kreislauf dargestellt werden. Abb. 1: Modellierungsprozess (aus Kaiser, 1995, S. 68)

7 Standardthemen im realitätsorientierten Mathematikunterricht 3 Ausgangspunkt des Modellierens ist eine Situation in der Realität, die meistens aufgrund ihrer Komplexität zunächst vereinfacht, idealisiert und strukturiert werden muss. Dadurch entsteht das Realmodell, dessen Mathematisierung zum mathematischen Modell führt. Seine Bearbeitung durch heuristische Strategien und mathematische Methoden führt zur mathematischen Lösung. Diese muss im Hinblick auf die Realsituation interpretiert werden. Im Anschluss daran muss über das gesamte Vorgehen kritisch reflektiert und die Lösung etwa durch ein Hinzuziehen von geeigneten Vergleichswerten validiert werden. Dieser Kreislauf ist jedoch nicht als Schema anzusehen, das linear durchlaufen werden kann, vielmehr wechselt der Modellierer häufig zwischen den einzelnen Schritten. So erfolgt z.b. die Bildung des Realmodells häufig schon im Hinblick auf mathematischen Möglichkeiten, Realmodell und mathematisches Modell sind oft nur schwer von einander zu trennen. Bei der Modellierung gehen stets wesentliche Facetten der Realität verloren. Deshalb müssen manchmal verschiedene Modelle eines Sachverhaltes wertend verglichen werden. Erweist sich die gefundene Lösung oder das gewählte Vorgehen als der Realität nicht angemessen, so müssen einzelne Schritte oder auch der gesamte Modellierungsprozess erneut durchgeführt werden. Modelle müssen hierbei geeignet modifiziert werden, um sie dem Sachverhalt besser anpassen zu können. Die gewonnenen Ergebnisse müssen nicht nur mathematisch korrekt, sondern bezogen auf die reale Ausgangssituation geeignet sein. Die Entscheidung, welches Vorgehen als geeignet angesehen wird, liegt beim Modellierer, das Modellieren enthält somit wesentliche subjektive Komponenten. Können mathematische Modellierungen unter den gegebenen Rahmenbedingungen in den Schulalltag integriert werden? Die obigen Erläuterungen deuten an, dass Modellierungen zeitaufwändig sind und vom üblichen Vorgehen im Mathematikunterricht möglicherweise erheblich abweichen können. Häufig wird deshalb von Lehrerinnen und Lehrern die begründete Befürchtung geäußert, dass eine Integration von Modellierungen und Anwendungen in den Schulalltag unter den vorliegenden Rahmenbedingungen (Lehrplan, 45-Minuten Takt uvm.) nicht möglich ist. Dieser Frage wurde u.a. in einer neueren empirischen Studie nachgegangen (Maaß, 2002). Über 15 Monate wurden in zwei siebten bzw. achten Klassen von der Lehrerin 6 Unterrichtseinheiten integriert, in denen von den Schülerinnen und Schülern einfache und komplexe realistische Fragestellungen modelliert wurden. Die Unterrichtseinheiten umfassten zwischen 2 bis 10 Stunden und wurden so ausgewählt, dass die mathematischen Inhalte den Lehrplanvorgaben entsprachen oder Inhalte aus den vorherigen Klassenstufen wiederholten. Im Rahmen dieser Untersuchung wurde deutlich, dass die organisatorischen Rahmenbedingungen in der Schule kein Hindernis für die Integration von Realitätsbezügen darstellen müssen. Durch die gezielte Auswahl der Modellierungsbeispiele konnte der Lehrplan eingehalten werden, auch der 45-Minuten-Rhythmus behinderte die Integration nicht. Welche Konsequenzen kann die langfristige Integration von Anwendungen und Modellierungen in den Mathematikunterricht haben? Die Studie zeigte auch, dass bei einem Großteil der Schülerinnen und Schüler die Kompetenzen im Anwenden von Mathematik deutlich ausgeprägt wurden. Insbesondere gaben leistungsschwache Schülerinnen und Schüler oft an, durch die konkrete Sachanbindung mehr als sonst zu verstehen.