texte zur mathematischen forschung und lehre

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1 texte zur mathematischen forschung und lehre 41

2 texte zur mathematischen forschung und lehre 41 Frauke Kesting Mathematisches Vorwissen zu Schuljahresbeginn bei Grundschülern der ersten drei Schuljahre eine empirische Untersuchung Verlag Franzbecker

3 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Bibliographic information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data is available in the Internet at < ISBN Frauke Kesting Mathematisches Vorwissen zu Schuljahresbeginn bei Grundschülern der ersten drei Schuljahre eine empirische Untersuchung Inaugural-Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades des Doktors in den Erziehungswissenschaften an der Westfälischen Wilhelms-Universität M ü n s t e r Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, insbesondere die der Vervielfältigung und Übertragung auch einzelner Textabschnitte, Bilder oder Zeichnungen vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Zustimmung des Verlages in irgendeiner Form reproduziert werden (Ausnahmen gem. 53, 54 URG). Das gilt sowohl für die Vervielfältigung durch Fotokopie oder irgendein anderes Verfahren als auch für die Übertragung auf Filme, Bänder, Platten, Transparente, Disketten und andere Medien by Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin

4 GLIEDERUNG 1 EINLEITUNG AUSWERTUNG DER LITERATUR Untersuchungen im Bereich der Arithmetik Frühe Untersuchungen Spiegel R. Schmidt S. Schmidt/ Weiser Aktuelle Untersuchungen van den Heuvel-Panhuizen Selter Hengartner/ Röthlisberger Grassmann et al Hosepesová/ Kurina/ Tichá Schipper Spiegel Bönig Hasemann Weitere Untersuchungen Untersuchungen im Bereich der Größen S. Schmidt/ Weiser Hengartner/ Röthlisberger Untersuchungen im Bereich der Geometrie Kurina/ Tichá/ Hospesová Grassmann Höglinger/ Senftleben Rosin Problemlöseprozesse von Kindern Zur Division Carpenter et al Kouba Murray Zur Addition...44

5 Carpenter Briars/ Larkin De Corte/ Verschaffel Zählkompetenz und Zahlkonzepte Fazit UNTERSUCHUNGSVORHABEN Ziel der Untersuchung Entwicklung der Tests Konstruktionsprinzipien Methodische Vorarbeiten und Modifikation Tests - 1. Schuljahr Rahmengeschichte Testaufgaben K Tests - 2. Schuljahr Rahmengeschichte Testaufgaben K Tests - 3. Schuljahr Rahmengeschichte Testaufgaben K Durchführung der Untersuchung Ort der Durchführung Interviewverlauf Datenkomprimierung Erstellung der Transkripte Konzeption des Verlaufsdiagramms Verlaufsdiagramm Ebene 1: Schriftliche Antworten Ebene 2: Typen schriftlicher Antworten Ebene 3: Vermutete mögliche Strategien Ebene 4: Typen mündlicher Begründungen Regelung der Einordnung Festlegung der interessanten Interviews...94

6 4 STATISTISCHE AUSWERTUNG Fragestellung Allgemeine Diskussion der Aufgaben Geschlechtsspezifische Differenzen Exkurs zu themengleichen Untersuchungen Auswertung der Ergebnisse Treten Leistungsunterschiede auf? Wie fallen diese Differenzen aus? Hypothesengenerierung Hypothesenüberprüfung Gibt es Beziehungen zu vorhandenen Studien? Vergleich zwischen den verschiedenen Klassen Exkurs zu themengleichen Untersuchungen Auswertung der Ergebnisse Vergleich der Bereiche Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen Fazit AUSWERTUNG UND INTERPRETATION Methodisches Vorgehen Kategorien der Verlaufsdiagramme Breite Streuung Starke Tendenz Extremes Übergewicht Profile der Schuljahre Klasse 1 versus Klasse Klasse 1 versus Klasse Klasse 2 versus Klasse Zusammenfassung Beschreibung der Tendenzen Begründungsverhalten im dritten Schuljahr Rückgriff auf sichere Operation Rückgriff auf die Inhaltsebene Mathematisierung der Erklärung...145

7 5.5 Strategisches Verhalten Strategien zur Division Literarischer Aufriss Transfer zu Aufgabe K2-A Strategien zur Addition Literarischer Aufriss Transfer zu Aufgabe K1-A Ausführliche Interpretationen Johann Lara Marie Strategien zur Bestimmung einer Zeitspanne Strategien zur Fortführung eines Musters SCHLUSSFOLGERUNGEN LITERATURVERZEICHNIS ANHANG...212

8 1 1 Einleitung Kinder kommen nicht als tabula rasa in die Schule. Vor allem bei Schulanfängern fällt es auf, dass viele schon über Zahlenkenntnisse, Zahlverständnis und Zählvermögen verfügen. Auch können schon einige Kinder einfache Rechnungen durchführen. Schulanfänger wollen aus eigenem Antrieb zählen und rechnen lernen, um alltägliche Situationen zu meistern. Aber auch ältere Grundschüler beherrschen zum Teil schon mathematische Inhalte, die in der Schule noch nicht thematisiert wurden. Für eine gelungene schulische Erziehung ist es unumgänglich, diese mathematischen Vorkenntnisse und Fähigkeiten zu ermitteln und den Unterricht darauf aufbauend zu organisieren, um den heterogenen Bedürfnissen der Schüler gerecht zu werden, um Unter- und Überforderung zu vermeiden und um fehlerhaften Vorstellungen der Kinder entgegenzuwirken. Häufig überraschen Schüler aber auch durch ihre mannigfaltigen informellen Lösungsstrategien bei der Bearbeitung von zum Teil noch unbekannten Problemstellungen. Diese gilt es, zusammen mit den Schülern zu sammeln und auf ihre Effektivität hin zu bewerten. Um die mathematischen Vorkenntnisse der Schüler zu ermitteln, ist ein umfangreiches Material vonnöten. Die vorliegende Arbeit stellt von mir entwickelte Testreihen für das erste bis dritte Schuljahr vor, die den mathematischen Schulstoff des jeweiligen Schuljahres thematisieren, und beschreibt und wertet eine auf diesen Testaufgaben basierende Untersuchung aus. Zuerst werden im theoretischen Teil der Arbeit (Kapitel 2) ausgewählte Studien zu Vorkenntnissen von Kindern in der Mathematik zusammengefasst. Sowohl in der Arithmetik als auch im Bereich der Größen und der Geometrie werden Untersuchungen vorgestellt und Ergebnisse beschrieben. Neben reinen Vorkenntnissen von Schülern werden zudem in verschiedenen Studien beobachtete Problemlöseprozesse von Kindern beleuchtet. Im Zentrum stehen bei der Bearbeitung von Aufgaben verwendete Strategien. Hinsichtlich der Zählkompetenz von Kindern und ihren frühen Vorstellungen zu Zahlkonzepten werden abschließend bedeutende Studien zusammengefasst. Anschließend wird das eigene Untersuchungsdesign im dritten Kapitel vorgestellt und Fragestellungen formuliert. Neben den Testaufgaben wird das methodische Vorgehen bei der halbstandardisierten Interviewführung und bei der Erstellung der

9 2 Transkripte vorgestellt. Darüber hinaus werden Verlaufsdiagramme entwickelt, in die die einzelnen Transkripte einge-ordnet werden. Durch diesen methodischen Schritt wird ermöglicht, dass das umfangreiche Datenmaterial komprimiert dargestellt wird. Anhand der Verlaufsdiagramme kann dann übersichtlich abgelesen werden, ob hinsichtlich einer Aufgabe die schriftliche Antwort eines Kindes korrekt war, welchem Typ schriftlicher Antworten die Lösung des Kindes zugeordnet wird, welche beobachtbare Strategie das Kind wahrscheinlich bei seinem Lösungsprozess angewendet hat und wie es im Nachhinein sein Vorgehen verbalisiert. Ziel dieses methodischen Vorgehens ist, interessante Interviewverläufe herauszusuchen und sie detaillierter zu interpretieren. Problemlöseprozesse der Kinder, die ohne Komplikationen verlaufen, sind nicht von Bedeutung. Dazu gehören z.b. Bearbeitungssequenzen, bei denen die Kinder eine richtige Antwort schreiben, eine nachvollziehbare Strategie bei der Lösungsfindung verwenden und diese im Rahmen des Interviews auch noch verbalisieren. Interessanter sind z.b. Fälle, bei denen die mündliche Begründung nicht mit der verwendeten Strategie übereinstimmt. Die Evaluation der vorliegenden Studie erfolgt in den nächsten beiden Kapiteln quantitativ sowie qualitativ. In einer statistischen Auswertung werden im vierten Kapitel zum einen die Leistungen der Kinder insgesamt, zum anderen die Resultate ganzer Klassen bei einzelnen Aufgaben, aber auch global in den drei mathematischen Bereichen Arithmetik, Geometrie und Sachrechnen aufgelistet. Es werden geschlechtsspezifische Unterschiede ermittelt und Signifikanzen mit Hilfe des χ 2 -Tests errechnet. Mit Bezug auf die theoretischen Grundlagen werden die Ergebnisse verglichen und diskutiert. In Kapitel 5 werden die Produkte der Kinder kategorisiert und in Verlaufsdiagrammen gebündelt und interpretiert. Das Begründungs-verhalten sowie das strategische Vorgehen der Grundschüler werden beleuchtet und durch Schülerlösungen veranschaulicht. Im dritten Schuljahr kann im Vergleich zum ersten und zweiten ein aktiveres Begründungsverhalten festgestellt werden. Da es sich bei den Testaufgaben um Probleme handelt, die die Kinder noch nicht aus der Schule kennen, stellen auch die Begründungen ihrer Lösungsprozesse eine große Anforderung an die Schüler dar. Es konnte während der Untersuchung beobachtet werden, dass viele Drittklässler während der Interviews ihre Begründungen ändern. So greifen sie bei erneuter Aufforderung seitens der Interviewerin häufig auf sichere Operationen zurück, die

10 3 weder zu ihrer ersten Erklärung noch zu ihrer schriftlichen Lösung passen. In einigen Fällen beziehen sich die Kinder im zweiten Begründungsansatz auch auf den Sachzusammenhang der Aufgabe oder mathematisieren ihre Erklärung, indem sie Zahlensätze nennen. Hinsichtlich des strategischen Vorgehens bei der Bearbeitung der Probleme stellt sich heraus, dass Drittklässler seltener beobachtbare Strategien anwenden als Erstklässler oder Zweitklässler. Schulanfänger verdeutlichen ihren Problemlöseprozess in der vorliegenden Studie häufig durch Handeln und Reden. Anhand ausgewählter Transkripte werden Strategien zur Division (im zweiten Schuljahr), zur Addition (im ersten Schuljahr), zur Bestimmung einer Zeitspanne (im dritten Schuljahr) und zur Fortführung eines Musters (im ersten Schuljahr) herausgearbeitet und aus dem Blickwinkel der theoretischen Grundlagen erörtert. Dafür werden die Transkripte detailliert interpretiert. Im fünften und letzten Teil der Arbeit werden auf der Basis der empirisch gewonnenen Erkenntnisse und der theoretischen Ausführungen abschließende Schlussfolgerungen gezogen.