MATHEMATIK UND INFORMATIK (SOGYM)

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1 MATHEMATIK UND INFORMATIK (SOGYM) Kompetenzen am Ende der 5. Klasse Die Schülerin, der Schüler kann mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen: (1) mit Variablen, Termen, Gleichungen, Funktionen, Diagrammen, Tabellen arbeiten, Techniken und Verfahren im realen Kontext anwenden Abstraktions- und Formalisierungsprozesse, Verallgemeinerungen und Spezialisierungen erkennen und anwenden mathematische Werkzeuge wie Formelsammlungen, Taschenrechner, Software und spezifische informationstechnischen Anwendungen sinnvoll und reflektiert einsetzen mathematische Darstellungen verwenden: (2) verschiedene Formen der Darstellung von mathematischen Objekten aus allen inhaltlichen Bereichen je nach Situation und Zweck nutzen und zwischen ihnen wechseln Darstellungsformen analysieren und interpretieren, ihre Angemessenheit, Stärken und Schwächen und gegenseitigen Beziehungen erkennen und bewerten Probleme mathematisch lösen: (3) in innermathematischen und realen Situationen mathematisch relevante Fragen und Probleme formulieren für vorgegebene und selbst formulierte Probleme geeignete Lösungsstrategien auswählen und anwenden Lösungswege beschreiben, vergleichen und bewerten mathematisch modellieren: (4) technische, natürliche, soziale und wirtschaftliche Erscheinungen und Vorgänge mit Hilfe der Mathematik verstehen und unter Nutzung mathematischer Gesichtspunkte beurteilen Situationen in mathematische Begriffe, Strukturen und Relationen übersetzen, im jeweiligen mathematischen Modell arbeiten Ergebnisse situationsgerecht interpretieren und prüfen, Grenzen und Möglichkeiten der mathematischen Modelle beurteilen mathematisch argumentieren: (5) Situationen erkunden, Vermutungen aufstellen und schlüssig begründen, mathematische Argumentationen, Erläuterungen, Begründungen entwickeln Schlussfolgerungen ziehen, Beweismethoden anwenden, Lösungswege beschreiben und begründen kommunizieren und kooperieren: (6) mathematische Sachverhalte verbalisieren, begründen Lösungswege und Ergebnisse dokumentieren, verständlich und in unterschiedlichen Repräsentationsformen darstellen und präsentieren, auch unter Nutzung geeigneter Medien die Fachsprache korrekt und adressatengerecht verwenden, Aussagen und Texte zu mathematischen Inhalten erfassen, interpretieren und reflektieren gemeinsame Arbeit an innermathematischen und außermathematischen Problemen planen und organisieren über gelernte Themen der Mathematik reflektieren, sie zusammenfassen, vernetzen und strukturieren

2 Inhalte der 3. Klasse INHALTE 3. KLASSE GYMNASIUM Zahlen und Variablen Die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen begründen, den Zusammenhang zwischen Operationen und deren Umkehrungen nutzen. Der Bereich der reellen Zahlen, 6 Beherrschen der Potenzrechnung Beherrschen des Begriffes der n-ten Wurzel Potenzen mit negativen Exponenten; Potenzen mit rationalem Exponenten; n-te Wurzel Die qualitativen Eigenschaften verschiedener Funktionen beschreiben und für die grafische Darstellung nutzen Verschiedene Funktionstypen, 3, 4, 5, 6 Verschiedene Arten von Potenz-, Exponential-, Logarithmus-, und Trigonometrische Funktionen erkennen und zeichnen Die Verschiebungen dieser Funktionen zeichnen und ablesen Die Eigenschaften dieser Funktionen am Graphen ablesen und in korrekter Schreibweise wiedergeben Eigenschaften von Funktionen (am Bild ablesen) Definitions- und Wertebereich Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-achse Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte Symmetrie, Beschränktheit, Asymptoten Stetigkeit, Monotonie, Positivität, Krümmung Intervallschreibweise Potenzfunktionen Kurven n-ter Ordnung - Parabel - Hyperbel Wurzelfunktion Verschiebung Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Trigonometrische Funktionen (jeweils Funktionsgleichung, grafische Darstellung im Koordinatensystem und Eigenschaften) Gleichungen und Ungleichungen im Zusammenhang mit den jeweiligen Funktionen lösen Besondere Punkte von Funktionsgraphen 1, 3 Den Logarithmusbegriff verstehen Mit Logarithmus rechnen Einfache Exponential- Logarithmus-, und goniometrische Gleichungen lösen Gleichungen für Berechnungen an Funktionen und realistischen Prozessen anwenden Logarithmus, Logarithmengesetze Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen Goniometrische Gleichungen Eigenschaften von Funktionen (berechnen) Berechnung von Nullstellen, Schnittpunkt mit der Y-Achse, Definitionsbereich Wachstums- und Abnahmeprozesse In realen und innermathematischen Situationen geometrische Größen bestimmen Trigonometrische Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, 3, 4 Die Definition von Sinus, Cosinus, Tangens, sowie Sinussatz und Cosinussatz für geometrische Berechnungen anwenden Trigonometrie Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen bzw. allgemeinen Dreieck

3 Inhalte der 4. Klasse INHALTE 4. KLASSE GYMNASIUM ZAHLEN und Variablen Die Notwendigkeit von Zahlbereichserweiterungen begründen, den Zusammenhang zwischen Operationen und deren Umkehrungen nutzen. Eigenschaften und Gesetzmäßigkeiten erkennen und algebraisch beschreiben Der Bereich der reellen und komplexen Zahlen Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen, rekursiv definierte Zahlenfolgen, 3, 4 Den Zahlenbereich auf die komplexen Zahlen erweitern Einfache Berechnungen mit komplexen Zahlen durchführen Begriff einer Folge und einer Reihe verstehen Konvergenz, Divergenz und Grenzwerte bestimmen Anwendung auf die Zinseszinsrechnung Reelle und Komplexe Zahlen Erweiterung der Zahlenbereiche auf die komplexen Zahlen (Geschichte der komplexen Zahlen) Darstellung in der Zahlenebene (Betrag einer komplexen Zahl) Wurzeln mit negativem Radikanden Grundrechnungsarten mit komplexen Zahlen Quadratische Gleichungen mit Lösungen in C Folgen und Reihen Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen Konvergenz und Divergenz Grenzwert einer Folge Zinseszinsrechnung Induktionsbeweis (optional) Sowohl diskrete als auch stetige Modelle von Wachstum sowie von periodischen Abläufen erstellen Diskrete und stetige Funktionen 4, 5, 6 Verschiedene Funktionen und ihre Bedeutung in der Wirklichkeit verstehen Verschiedene Funktionen Ganzrationale Funktionen Gebrochenrationale Funktionen Betragsfunktion Signumsfunktion Treppenfunktion Abschnittsweis definierte Funktionen Grenzwerte berechnen und Ableitungen von Funktionen berechnen und interpretieren Grenzwertbegriff, Differenzen- und Differentialquotient, Regeln für das Differenzieren einfacher Funktionen Den Begriff des Grenzwertes verstehen Grenzwerte von Graphen ablesen Grenzwerte berechnen Den Begriff der Ableitung verstehen Ableitungen berechnen Ableitungen für Kurvendiskussionen anwenden Grenzwerte Grenzwerte gegen Unendlich, Polstellen, diskrete Stellen ablesen Berechnen von Grenzwerten mit Wertetabelle Berechnung von Grenzwerten o durch Abschätzen des höchsten Monomes, o durch Division durch Monom mit höchster Potenz Differentialrechnung Ableitung einer Funktion o Elementarfunktionen (Potenzfunktionen, Exponential- Logarithmusfunktionen, Trigonometrische Funktionen) o Potenzregel, o Summen- und Differenzregel, Multiplikationsregel o Produktregel, Quotientenregel o Kettenregel Charakteristiken (Kurvendiskussion) ganzrationaler Funktionen Charakteristiken (Kurvendiskussion) anderer Funktionen (optional) Mit Vektoren operieren und diese Operationen geometrisch und im physikalischen Kontext deuten Vektoren, ihre Darstellung und Operationen, 4 Den Begriff des Vektors verstehen Mit Vektoren rechnen Definition Vektoren Graphische Darstellung Vektoraddition, -subtraktion Skalarprodukt Daten und Zufall Statistische Erhebungen planen und durchführen um reale Problemstellungen zu untersuchen und Datengestützte Aussagen zu tätigen. Statistisches Projektmanagement 3, 4, 5, 6 Die Teilkompetenzen ergeben sich aus dem jeweils durchgeführten Projekt Planung und Durchführung einer Erhebung Zusammenarbeit mit dem Fach Sozialwissenschaften

4 Zufallsexperimente veranschaulichen, die Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen berechnen Wahrscheinlichkeitsverteilung, Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2, 3, 4 Normalverteilung und Binomialverteilung und ihre Bedeutung verstehen Regression und Korrelation (optional) Interpolation und Extrapolation (optional) Wahrscheinlichkeitsverteilungen (optional) o Normalverteilung o Binomialverteilung

5 Inhalte der 5. Klasse INHALTE 5. KLASSE GYMNASIUM Vektoren (WH) und Matrizen (optional) geometrische Objekte in Koordinatendarstellung angeben und damit geometrische Probleme lösen Grundbegriffe der analytischen Geometrie Berechnungen an Punkten, Geraden und den Kegelschnitten durchführen Die Verbindung zwischen geometrischem, algebraischem und funktionalem Denken herstellen Explizite und vektorielle Schreibweise vergleichen Analytische Geometrie in der Ebene (optional) o Geradengleichung o Richtung einer Geraden o Senkrechte, o Schnittpunkt und Schnittwinkel, o Abstand eines Punktes o Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel o Lagebeziehung Analytische Geometrie im Raum (optional) Verschiedene Koordinatensysteme (optional) Das Änderungsverhalten von Funktionen und den Einfluss von Parametern auf die qualitativen Eigenschaften einer Funktion mit mathematischen Begriffen erfassen und beschreiben und für die grafische Darstellung der Funktion nutzen Eigenschaften verschiedener Funktionstypen, notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Extrem- bzw. Wendestellen Funktionen und ihre Eigenschaften verstehen Funktionen ableiten Funktionen WH Grund- und erweiterte Funktionen und Eigenschaften WH Differentialrechnung und Kurvendiskussion Steckbriefaufgaben (umgekehrte Kurvendiskussion) Das Integral von elementaren Funktionen berechnen und verschiedene Deutungen des bestimmten Integrals geben Stammfunktion, Integrierbarkeit, bestimmtes Integral, Integrationsverfahren Den Begriff des Integrals verstehen Integrale mit der jeweils am besten geeigneten Methode berechnen Integralrechnung Stammfunktion Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Unbestimmtes und bestimmtes Integral Höhere Integrationsverfahren (optional) o Partielle Integration o Substitutionsmethode o Partialbruchzerlegung Prozesse aus der Technik sowie aus den Natur-, Sozial- oder Wirtschaftswissenschaften anhand gegebenen Datenmaterials mittels bekannter Funktionen, auch durch Nutzung von Rechnern, modellieren und verschiedene Modelle vergleichen sowie ihre Grenzen beurteilen Konzept des mathematischen Modells Optimierungsprobleme 3, 4, 5, 6 Mit Differentialrechnung und Integralrechnung Prozesse modellieren und interpretieren Modellierung Modellierungsaufgaben zur Differentialrechnung o Änderungsraten berechnen (optional) o Extremwertaufgaben Modellierungsaufgaben zur Integralrechnung o Bogenlänge berechnen o Flächen unter Kurven berechnen o Rotationskörper berechnen Anwendungsaufgaben aus dem Bereich der Physik Daten und Zufall statistische Informationen und Daten unterschiedlichen Ursprungs bewerten und zu Zwecken der Begründeten Prognose nutzen Stichprobentheorie, statistische Kenngrößen Statistische Kenngrößen sinnvoll anwenden und interpretieren Repräsentative Stichproben auswähnen WH Lagemaße, Streumaße Stichprobentheorie (Auswahl der Stichprobe) Wahrscheinlichkeitsverteilungen von Zufallsgrößen bestimmen Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung, 3, 4, 5, 6 Erwartungswert und Wahrscheinlichkeiten verstehen und mit Wahrscheinlichkeiten rechnen Wahrscheinlichkeitsverteilungen erkennen und interpretieren Erwartungswert Eigenschaften und Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wahrscheinlichkeitsverteilungen o Binomialverteilung o Normalverteilung