Historische Aspekte der Stochastik

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1 Referenten: Anja Freytag, Robert Zeranski Seminarleiter: Prof. Dr. Bernd Zimmermann Wintersemester 2008 / 2009 Historische Aspekte der Stochastik Stochastik stammt aus dem griechischen: stochazesthai (mutmaßen, vermuten), stochasmos (die Vermutung)

2 Text der zwischen 1222 und 1268 entstand Ovidius: De Vetula (405) Du wirst aber vielleicht sagen, dass einige Zahlen von denjenigen, die bei den Würfelspielern in Gebrauch sind, ein größeres Gewicht haben als andere, und zwar deshalb, weil ein Würfel sechs Seiten und sechs einfache Zahlen hat, und es daher bei drei Würfeln 18 sind, von denen Würfeln 3 übrigbleiben müssen. (410) Diese werden auf verschiedene Art variiert, und es entstehen so zweimal acht zusammengesetzte Zahlen, freilich nicht von gleichem Wert, denn die höheren und niederen Zahlen treten selten auf, die mittleren häufig, und die übrigen in umso größerer Zahl und um so häufiger, je näher sie gerade den mittleren Werten liegen. (461) Es gibt also nicht allein den Zufall; ich sage dir aber in wenigen Worten, dass darin der Zufall stecken muss, wenn das Glück dir oder deinem Kameraden den besseren Wurf zugesteht.

3 Historischer Überblick Indien v. Chr. Würfelspiel: vornehmste Unterhaltung des Adels, großer Eifer in Kreisen des Volkes (Vorschriften über Spielhäuser und Spielschulden) (I) Würfel: Nuss des Vibhidaka-Baumes Spiel: Die Anzahl der Würfel des Gegenspielers zu Zahl bestimmter Eigenschaft ergänzen (II) Würfel: Rechtwinklige, vierseitige Prismen (pasakas), Spiel: Das vorher Genannte muss gewürfelt werden (24 Variationen) keine Glücksspielrechnung, keine Berechnung von Chancen (pasakas sind im auch im Orakel verwendet worden)

4 Historischer Überblick Griechen und Römer 6. Jh. v. Chr. Spiel mit Astragalen (Knöchel: Sprungbein von Schaf oder Ziege) Im Dezember war spielen allgemein erlaubt, sonst verpönt! Astragalen: Bedeutung wurde an der Form erkannt (keine zusätzliche Bezeichnung) Spiele: Meisterwurfspiel (wer weniger wirft, muss Gegenspieler einen seiner Astragalen geben) Rate-Spiel (raten ob Anzahl gerade oder ungerade) Lose spielten große Rolle: verteilendes Los, beratendes Los, wahrsagendes Los

5 Historischer Überblick Die Anfänge Cardano ( ) Beim Würfelspiel beobachtete Zufallsgesetze z.b. Problem der Gewinnaufteilung. Schrieb das älteste Buch, dass der Wahrscheinlichkeitsrechnung gewidmet war Chevalier de Méré, angeblich Berufsspieler, beklagt sich bei Blaise Pascal ( ), dass die Mathematik mit dem Leben nicht übereinstimme. Bei zwei Würfelspielen (1) mit 1 Würfel, 6 Ausfälle, in 4 Würfen mindestens eine Sechs (2) mit 2 Würfeln, 6*6 = 36 Ausfälle, in 6*4 = 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu erhalten müsste die gleichen Chancen haben, denn die beiden Verhältnisse 6:4 und 36:24 sind gleich. Die Spielpraxis zeigte aber, dass dem nicht so ist.

6 Historischer Überblick Die Anfänge Das Problem der Gewinnaufteilung, das schon Cardano beschäftigte: Bei einem Glücksspiel wird in mehreren Runden um einen Einsatz gespielt. Das Spiel wird vorzeitig unterbrochen. Wie ist der Einsatz unter die beiden Spieler gerecht zu verteilen? Die erste richtige allgemeine Lösung findet sich in einem Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat ( ) 1657 Christiaan Huygens ( ): Tractatus de Ratiociniis in Aleae Ludo. Enthält eine vollständige Theorie des Würfelspiels. Sie wurde durch den Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat angeregt. Er schuf den Begriff der Erwartung Sterblichkeitsprobleme

7 Historischer Überblick Die moderne Entwicklung Jakob Bernoulli ( ): Ars conjectandi. (Über die Kunst des Vermutens) Das erste grundlegende Werk über die Wahrscheinlichkeitsrechnung. Es baut auf Huygens auf. Herausgegeben wurde das Werk posthum von einem Neffen Jakob Bernoullis, dem Mathematiker, Logiker und Juristen Nikolaus Bernoulli. erste Verallgemeinerungen der konkreten Glücksspielprobleme Jakob Bernoulli: Die Wahrscheinlichkeit ist ein Grad der Gewissheit und unterscheidet sich von ihr wie ein Teil vom Ganzen (1713) Er verwendet den Begriff Urne als erster in Bezug auf eine Lostrommel

8 Historischer Überblick Die moderne Entwicklung Pierre Simon de Laplace ( ): Théorie analytique des probabilités. Erste Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als das Verhältnis der günstigen Fälle zu den möglichen Fällen. Er formulierte darüber hinaus die Regeln für das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten Poincaré ( ): Nach welchen Gesetzen fällt der Regen? 1933 Andrei Nikolajewitsch Kolmogoroff ( ): Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeitstheorie

9 Warum begann die Entwicklung erst so spät?

10 Aufgabe 1. Drei Spieler A, B, und C nehmen 12 Steine, von denen 4 weiß und 8 schwarz sind, und spielen unter der Bedingung, dass derjenige Sieger sei, der als erster mit verbundenen Augen einen weißen Stein ergreift; dabei solle zuerst A, dann B und schließlich C ziehen, dann wieder A und so fort. In welchem Verhältnis stehen ihre Chancen zueinander? (a) mit zurücklegen (b) ohne zurücklegen (Huygens) (Huddle) Jakob Bernoulli fügte noch eine weitere Variante hinzu: Jeder zieht aus seiner eigenen Urne mit Steinen ohne zurücklegen in der angegebenen Reihenfolge.

11 Aufgabe 2. A wettet mit B, dass er aus 40 Spielkarten, von denen je 10 von derselben Farbe sind, vier Karten verschiedener Farbe herausziehen wird. Wie müssen sich die Einsätze verhalten, damit die Wette fair wird?

12 Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit