Seminar über ebene projektive Geometrie Wintersemester 2011/2012

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1 Seminar über ebene projektive Geometrie Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. J. Heinloth Ort und Zeit: T03 R04 D10, Montag, Uhr, erster Termin zur Vergabe der Vortrge am 10. Oktober Inhalt: Wir werden uns mit Geraden, Quadriken und Kubiken in der projektiven Ebene beschäftigen und Anwendungen dieser Objekte kennenlernen: Wir werden sehen, wie man eine geometrische Parametrisierung einer Quadrik benutzen kann, um alle pythagoräischen Tripel (ganze Zahlen mit a 2 +b 2 = c 2 ) zu finden, und wie man mit einer ähnlichen Konstruktion auf bestimmten Kubiken (diese heißen auch elliptische Kurven) eine Gruppenstruktur erhält. Diese Gruppenstruktur spielt eine zentrale Rolle in der Verschlüsselung; wir werden ein Verschlüsselungsverfahren auf elliptischen Kurven kennen lernen. Organisatorisches: Dieses Seminar ist als Fortsetzung der Vorlesung Geometrie von Georg Hein aus dem Sommersemester 2011 gedacht. Es gibt aber auch Vorträge, für die Kenntnisse der linearen Algebra genügen. Die Vorträge werden am ersten Seminartermin, dem 10. Oktober verteilt. Programm Die projektive Ebene entsteht, indem man zur affinen Ebene die sogenannte Gerade im Unendlichen hinzufügt. Diese enthält für jede Richtung paralleler (affiner) Geraden einen Punkt. Damit ergibt sich automatisch, da sich parallele affine Geraden in der projektiven Ebene in einem Punkt schneiden. Überrschenderweise stellt sich heraus, da die projektive Ebene überall gleich aussieht: Schaut man von einem Punkt der auf der Gerade im Unendlichen liegt auf die projektive Ebene, so sieht man wieder eine affine Ebene und aus diese Perspektive liegt nun eine affine Gerade im Unendlichen. Das klingt kompliziert, macht das Leben aber in vielen Situationen einfacher. Zum Beispiel schneiden sich zwei Geraden in der projektiven Ebene immer in einem Punkt. Ob man den Schnittpunkt in einem affinen Ausschnitt sieht, hängt dann eben davon ab, wie man den Ausschnitt gewählt hat. Wenn man ein Bild malen möchte, wird man natürlich immer nur ein Stück eines affinen Ausschnittes darstellen können (das gilt auch für die Bilder in diesem Programm). Aus der Sicht der projektiven Geometrie erscheinen die Sätze der affinen Geometrie zumeist paarweise: Die Geraden in der projektiven Ebene sind die Punkte einer anderen projektiven Ebene (der sogenannten dualen projektiven Ebene), was uns erlaubt, aus jedem Satz über Punkte und Geraden einen zweiten (den dualen) Satz zu folgern. Zum Beispiel finden wir zu jeder Aussage, die drei Geraden schneiden sich in einem Punkt enthält, ein neues Resultat, über drei Punkte, die auf einer Geraden liegen. Wir werden die projektiven Versionen der Sätze von Pappos und Desargues (und die zugehörigen dualen Aussagen) kennen lernen sowie die Gegenstücke zu affinen Transformationen, Projektionen und dem Teilverhältnis nämlich projektive Transformationen, Projektionen und das Doppelverhältnis. 1

2 Abbildung 1: Der Satz von Pascal Geraden in der Ebene kann man auffassen als Lösungen von Gleichungen vom Grad 1. Betrachtet man Gleichungen vom Grad 2, erhält man Quadriken. Mit Hilfe linearer Algebra kann man sich überlegen, wie Quadriken über R oder C aussehen. Für eine ebene Quadrik gilt der in Abbildung 1 1 dargestellte Satz von Pascal, der den Satz von Pappos verallgemeinert. Ebene Quadriken kann man sehr geometrisch parametrisieren. Wenn die Gleichung der Quadrik rationale Koeffizienten hat, kann man sich fragen, ob auch Punkte mit rationalen Koordinaten auf der Quadrik liegen. Hat man erst einmal einen, so findet man durch die geometrischen Parametrisierung gleich alle (und das sind unendlich viele). Beispielsweise lassen sich so alle pythagoräischen Tripel finden. Man kann dann versuchen, mit einem ähnlichen geometrischen Verfahren auch auf Kurven höheren Grades (das heißt auf Nullstellenmengen von Polynomen höheren Grads) aus einem Punkt neue Punkte zu machen. Wir werden dies im Fall von bestimmten Kurven vom Grad 3, den elliptischen Kurven, untersuchen. Dies führt uns zu einer Gruppenstruktur auf den Punkten einer elliptischen Kurve wie in Abbildung 2 2. Wenn wir über einem endlichen Körper arbeiten, erhalten wir so endliche Gruppen, die in der Verschlüsselung eine wichtige Rolle spielen. Ein Verschlüsselungsverfahren, das elliptische Kurven benutzt, soll kurz vorgestellt werden. Vortrag 1 (Projektive Räume). Projektive Räume, Unterräume und ihr Schnittverhalten (Proposition 2.1), Bezug zwischen affinen und projektiven Räumen wie in [1], S.143 S.144,Z.2, S.145,Mitte S.150,Ende Vortrag 2 (Pappos und Desargues I; Dualität). Die projektiven Versionen von Pappos und Desargues hier funktioniert der Beweis so, daß wir uns einen uns bequemen affinen Ausschnitt aussuchen und dann die affinen Versionen benutzen; das Dualitätsprinzip; die dualen Aussagen [1], S.151 S.155,Mitte; [2], S.161 Vortrag 3 (Projektive Transformationen). Projektive Transformationen; Projektionen [1], S.155,Mitte S.160; [2], S.135 S.136, hier reicht uns Z 1, Z 2 Hyperebenen und z ein Punkt außerhalb von Z 1 und Z 2 ; Bild! 1 entnommen aus 2 entnommen aus 2

3 Abbildung 2: Addition auf einer elliptischen Kurve Vortrag 4 (Das Doppelverhältnis; Pappos und Desargues II). Das Doppelverhältnis, projektive Beweise für Pappos und Desargues [1], S.161; [2], S.144,unten S.147 Vortrag 5 (Quadriken). (Projektive) Quadriken und ihre Klassifikation über R und C [2], S.164 S.169, S.171 S.173, S.183,erste Tabelle Vortrag 6 (Reguläre Quadriken). Reguläre Quadriken und Tangenten; der Satz von Pascal mit der Folgerung, daß fünf (allgemeine) Punkte eine Quadrik bestimmen [2], S.186 S.191 Vortrag 7 (Parametrisierung von ebenen Quadriken und rationale Punkte). Parametrisierung des Einheitskreises und pythagoräische Tripel; es gibt nicht immer einen rationalen Punkt [8], S.9 S.13,Mitte, S.14,Z.3 S.14,Z.24, [5] S.6 Mitte S.8 Mitte Vortrag 8 (Anwendung und Gleichungen dritten Grades). Eine schöne Anwendung der Parametrisierung des Einheitskreises ist Fermats Beweis, daß die Gleichung a 4 + b 4 = c 4 keine nichttrivialen, ganzzahligen Lösungen hat. Nach dieser Anwenung versuchen wir ähnlich wie im vorigen Vortrag die Lsungen von Gleichungen dritten Grades zu finden. Wenn die Kubik eine Singularität hat, klappt das, ansonsten kann man nur aus einem Punkt neue Punkte machen, man wird aber damit nicht alle erwischen. Wir betrachten zu beiden Fällen ein Beispiel. [5], S.81 [6], S.6 S.11 Vortrag 9 (Über den Satz von Bézout). Der Satz von Bézout besagt, daß sich zwei ebene Kurven vom Grad m und n in mn Punkten schneiden, wenn man die Schnittpunkte mit den richtigen Vielfachheiten zählt und über einem algebraisch abgeschlossenen Körper (zum Beispiel den komplexen Zahlen) arbeitet. Wir werden einfache Fälle dieses Satzes kennen lernen. Als Anwendung lernen wir noch einmal, daß eine Quadrik durch 5 Punkte (in allgemeiner Lage) bestimmt ist. [7], Abschnitte 1.8, 1.9, 1.10 (mit 1.7) und 1.11 Vortrag 10 (Der Satz vom neunten Punkt). Ziel dieses Vortrags ist der Satz vom neunten Punkt ([7], Folgerung 2.7): Schneiden sich zwei Kubiken in 9 verschiedenen Punkten und geht eine dritte Kubik durch 8 dieser Punkte, so auch 3

4 durch den neunten. (Diesen Satz werden wir brauchen, um die Assoziativität der Gruppenstruktur auf einer glatten Kubik einzusehen). Als Anwendung lernen wir noch einmal den Satz von Pascal. [7], Abschnitte 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.11 Vortrag 11 (Die Gruppenstruktur auf einer elliptischen Kurve). Eine Kurve wie in [7], 2.8 heißt auch elliptische Kurve. Wir lernen die Gruppenstruktur auf einer solchen Kurve kennen und sehen die Assoziativität für allgemeine Punkte ein (die Voraussetzung k C brauchen wir nicht, da wir uns damit begnügen). Dann noch konkrete Rechnungen für elliptische Kurven in einfacher Form (man kann so etwas immer herstellen, aber das wollen wir nicht nachrechnen) [7], Abschnitte 2.8, 2.9, 2.12, 2.13 und Übungsaufgabe 2.4 Vortrag 12 (Verschlüsselung). RSA, ElGamal und Diffie Hellman; ElGamal auf elliptischen Kurven [4], S.16, S.22; [9], Anhang J; [4], S.51 S.53 oben, S.68, (2) und (3), S.70 S.71 oben; zum Weiterlesen: [10] Vortrag 13 (Abstrakte projektive Ebenen sind alle von der Form P 2 (F )). In den letzten eineinhalb Sitzungen wollen wir einen anderen Zugang zur projektiven Geometrie kennenlernen und diesen mit unserem vergleichen: Man kann eine projektive Ebene auch abstrakt als Menge von Punkten definieren, in der Geraden als Teilmengen definiert sind, so daß das Schnittverhalten von Geraden den Gesetzmäßigkeiten genügt, die wir in der Geometrie-Vorlesung kennengelernt haben. Ziel des Vortrags ist, zu erklren, warum in eine abstrakt definierte Geometrie (in der der Satz von Desargues gilt) notwendigerweise von der Form P 2 (F ) für einen (Schief-)Körper F ist: [3] S.1,3,7. und Kapitel 7. Es wird nicht möglich sein, alle Argumente aus Kapitel 7 vorzustellen, aber es ist sicher genügen Zeit, um die wesentlichen Ideen zu erklären. Bitte kommen Sie spätestens zwei Wochen vor Ihrem Vortrag vorbereitet (das heißt mit einem ersten Manuskript) zur Vorbesprechung, damit wir eventuelle Fragen noch klären können. Sie dürfen natürlich auch jederzeit vorher vorbeikommen. Die Seitenangaben beziehen sich auf die Ausgaben, die unten aufgeführt sind. Sollten Sie Probleme bei der Literaturbeschaffung haben, wenden Sie sich bitte an mich. Literatur [1] Michèle Audin. Geometry ISBN [2] Gerd Fischer. Analytische Geometrie ISBN [3] Robin Hartshorne Foundations of Projective Geometry ISBN , online verfgbar (google) [4] Norbert Hoffmann. Kryptographie 4

5 [5] Anthony Knapp. Elliptic curves ISBN [6] Franz Lemmermeyer. Elliptische Kurven I hb3/ec.ps.gz [7] Miles Reid. Undergraduate Algebraic Geometry ISBN [8] Joseph H. Silverman, John Tate. Rational Points on Elliptic Curves ISBN [9] Simon Singh. Geheime Botschaften ISBN [10] Annette Werner. Elliptische Kurven in der Kryptographie ISBN